LE CALCUL ALGEBRIQUE EN CLASSE DE SECONDE

LE CALCUL ALGÉBRIQUE EN CLASSE DE SECONDE
♦ Poursuivre le travail sur le sens des égalités

Continuer à développer les propriétés de symétrie et de transitivité de l’égalité :
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse :
4+
4
1
= 5−
3
3
2+
3+
17 2 − 152 = 26
2
1
9

x + x− 4= x+  −
2
4

2
x 2 + ( x − 4 ) = 2( x − 2) + 8
2
2
5 2
=
5 3
4x − 5
5
= 2−
2x + 1
2x + 1
9+ 4 6 = 3+ 2 6
a 2 + b2 = a + b
♦ Démontrer en algèbre

Développer le raisonnement et l’activité de démonstration
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse :
Pour tout réel a,
Il existe un réel a tel que (a
Pour tout réel x,
Pour tout réel x,
(a + 3)²= a² + 9
+ 3)² = a² + 9
9 - x² = (x + 3)(x – 3)
x3 – 4x = x(x + 2)(x – 2)
Pour tout réel n,
Pour tout réel x non nul,
L’ensemble des solutions de Pour tout réel x,
l’équation x² = 9 est S = {3}
(n - 1)² = n² - 1
(2x)2 = 2x2
2
1
1

2
x+  = x + 2
x
x

Pour tout réel x,
− x
Pour tous réels a et b,
Soit x un réel,
a² + b² est un réel
n’existe jamais
la somme des opposés.
L’opposé d’un produit est
strictement positif
L’inverse de la somme de
Le carré du double d’un
Le double du produit de
le produit des opposés.
deux nombres est égal à la
nombre est égal au double
deux nombres est le
somme des inverses de ces
du carré de ce nombre
produit du double de ces
Pour tous réels a et b,
nombres
Pour tous réels a et b,
Pour tout réel x,
a 2 + b2 = a + b .
a 2 × b2 = a × b .
2
(-3x) = -9x
2
Pour tous réels et b non
1 1
2
nuls, + =
.
a b a+ b
L’opposé d’une somme est
nombres
2x + 1 x + 1
=
4
2
Pour tout réel x ≠ −
3
,
2
4x + 6 2
=
6x + 9 3
L’ensemble des solutions de
l’équation x² + 4 = 0 est S =
{-2 ; 2}
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♦ Poursuivre le travail sur les écritures littérales

Reconnaître la forme d’une expression algébrique (somme, produit, carré, différence) :
x et y sont deux nombres non nuls. Ecrire :
Phrase
Expression algébrique
La somme de leurs inverses.
L’inverse de la somme de leurs carrés.
La différence du carré de x et de son inverse.
x² - y²
Le quotient du double de x par l’inverse de y

Identifier l’enchaînement des calculs
1°) Voici un programme de calcul :
a) Appliquer ce programme à chacun des nombres : 4
; -2 ;
2
3
b) Appliquer ce programme à un nombre x ; Exprimer le résultat en fonction
de x
2°) Dresser un programme de calcul pour calculer 3x² + 1 .

Choisir un nombre
Ajouter 1
Elever le résultat au carré
Multiplier par 2
Soustraire 5 au résultat
Donner le résultat obtenu
Modifier une expression ; la développer ; la réduire selon l’objectif poursuivi :
1°) Soit A l’aire d’un rectangle dont la longueur des côtés est L et l, exprimer A en fonction de L, lorsque :
a) L = l
1
L
2
b) l =
c) L – l = 2
d) L = 3l
2°) Cocher la bonne réponse :
a) L’écriture réduite et ordonnée de 5x – 2x² - 4x est :
 - x²
 - 2x² + x
 - x4
 Aucune de ces réponses
b) L’écriture réduite et ordonnée de x² + 5x - 4 – 7x + 3x² - 1 est :
 - 3x6
 2x² - 5
 - 4x² - 2x – 5
 Aucune de ces réponses
c) L’écriture réduite et ordonnée de 2(x - 3x²) - x(1 - 2x) est :
 - 4x² + x
3°) Calculer : 1 +
 - 8x² + x
2
x+ 1
;
 - 3x3
 Aucune de ces réponses
2
1
−
2
( x + 1) 3x + 3


4°) Indiquer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse : Pour tout réel x non nul,  x +
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2
1
1
2
 = x + 2
x
x
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
Poursuivre le travail sur les factorisations :
1°) x étant un réel différent de 1 et de -1, simplifier les expressions qui peuvent l’être :
2 x − 1 x − 1 x − 1 x 2 + 1 5x − 5 x 2 − 1
;
;
;
;
;
.…
x + 1 x2 − 1 1 − x
x − 1 2x − 2
x+ 1
2°) Cocher la bonne case :
1°) 9x2 – 49 =
 ( 3x − 7 )( 3x + 7 )
 ( 3x − 7 )
2
 ( 3x + 7 )
2
 Aucune de ces réponses
 ( 2x − 3)
2
 ( 2x + 3)
2
 Aucune de ces réponses
2°) 4x² + 12x + 9 =
 ( 2x − 3)( 2x + 3)
3°) x 2 + 36 =
 ( x − 6)( x + 6)
 ( x − 6)
2
 ( x + 6)
2
 Aucune de ces réponses
 ( x − 7)
2
 ( x + 5)
2
 Aucune de ces réponses
 ( x − 4)
2
 ( 3x − 2)( x − 2)
4°) (x – 1)2 – 36 =
 ( x + 7 )( x − 5)
5°) (2x – 3)² - (x + 1)² =
 ( x − 4)( 3x − 2)
3°) Sachant que x 2 +
 Aucune de ces réponses
1
1
1
= 7 , calculer x 4 + 4 et x +
2
x
x
x
4°) Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse :
a) Pour tout réel a, (a + 3)²= a² + 9
b) Il existe un réel a tel que (a + 3)² = a² + 9

Reconnaître différentes écritures d’une même expression et choisir la forme la plus adaptée au travail
demandé (forme réduite, factorisée, …) :
On pose f(x) = (3x + 1)2 – 9.
1°) Développer et réduire f(x).
2°) Factoriser f(x).
3°) En choisissant pour f(x) la forme la plus adaptée :


a) Calculer f(0), f(2), f  −
1
 et f
3
( 2) .
b) Résoudre l’équation f(x) = -8.
c) Résoudre l’équation f(x) = 0.
d) Résoudre l’équation f(x) = -9.
♦ Poursuivre le travail sur la résolution d’équation et d’inéquation

Résoudre une équation ou une inéquation se ramenant au premier degré

Utiliser un tableau de signes pour résoudre une inéquation ou déterminer le signe d’une fonction
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♦ Notion de fonction

Identifier la variable et son ensemble de définition pour une fonction définie par une courbe, un tableau de
donnes ou une formule

Déterminer l’image d’un nombre par une fonction définie par une courbe, un tableau de donnes ou une
formule

Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d’une fonction (sens de
variation, maximum, minimum)

Etablir le sens de variation des fonctions usuelles
♦ Démontrer en algèbre

Développer le raisonnement et l’activité de démonstration
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse :
1°) Pour tout réel a, (a + 3)²= a² + 9
2°) Il existe un réel a tel que (a + 3)² = a² + 9
4°) Pour tout réel x, 9 - x² = (x + 3)(x – 3)
5°) Pour tout réel x, x3 – 4x = x(x + 2)(x – 2)
6°) Pour tout réel n, (n - 1)² = n² - 1


7°) Pour tout réel x non nul,  x +
2
1
1
2
 = x + 2
x
x
8°) L’ensemble des solutions de l’équation x² = 9 est S = {3}
9°) L’ensemble des solutions de l’équation x² + 4 = 0 est S = {-2 ; 2}
10°) Pour tout réel x, (2x)2 = 2x2
11) Pour tout réel x, (-3x)2 = -9x2
12) Pour tous réels a et b, a² + b² est un réel strictement positif
13°) Soit x un réel,
− x n’existe jamais.
14°) L’opposé d’une somme est la somme des opposés.
15°) L’opposé d’un produit est le produit des opposés.
16°) L’opposé d’une somme est la somme des opposés.
17°) L’inverse de la somme de deux nombres est égal à la somme des inverses de ces nombres.
18°) Le carré du double d’un nombre est égal au double du carré de ce nombre.
19°) Le double du produit de deux nombres est le produit du double de ces nombres.
20°) Pour tous réels a et b,
a 2 + b2 = a + b .
21°) Pour tous réels a et b,
a 2 × b2 = a × b .
22°) Pour tout réel x,
2x + 1 x + 1
=
4
2
23°) Pour tout réel x ≠ −
3 4x + 6 2
,
=
2 6x + 9 3
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24°) Pour tous réels et b non nuls,
1 1
2
+ =
.
a b a+ b
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