Modèle mathématique.

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NOM :
Prénom :
Classe : 4ème2-5
Date : 04/01/10
MATHEMATIQUES
E
Devoir maison n°2 - corrigé
Exercice n°1 :
Dans la figure ci-contre,
le quadrilatère EFHI est un trapèze,
c'est-à-dire un quadrilatère
qui a deux côtés parallèles [EF] et [HI],
appelés les bases du trapèze.
I
a
c
c
b
G
H
a
b
F
1) L’aire d’un trapèze dont les bases ont pour longueurs L et l et la hauteur est h, est égale à
A=
L l
h.
2
Exprimer en fonction uniquement de a et b, l’aire A du trapèze EFHI.
Les deux côtés parallèles sont [FE] et [HI] puisqu’ils sont tous les deux perpendiculaires à [FA].
Les deux bases sont [FE] et [HI]. FE = a et HI = b.
La hauteur du trapèze est donc FH = a + b.
D’après la formule, A =
( a b ) (a b )
a b
(a b) . Donc A =
2
2
(a b )2
.
2
2) On se propose dans cette question, d’exprimer l’aire A du trapèze EFHI en fonction des trois
nombres a, b et c.
 est un angle droit.
a) En utilisant les angles dans un triangle, démontrer que l’angle EGI
Les deux triangles rectangles EFG et GHI ont les mêmes dimensions et les mêmes angles.

Donc EGF
 . Donc EGF
 HGI

HIG
 HGI
 . Or dans le triangle rectangle HGI, la
HIG
 HGI
 = 90°.
 HGI
 = 90°. Donc EGF
somme des 2 angles aigus est égale à 90°. Donc HIG
 - 90° = 180° - 90° = 90°. Donc l’angle EGI
 = HGF
 est un angle droit.
Donc EGI
b) Exprimer en fonction uniquement de c l’aire du triangle EGI.
Puisque le triangle EGI est rectangle en G, on peut dire que sa base est GI et sa hauteur est GE.
c c
Donc l’aire du triangle EGI est A1 =
2
c2
.
2
c) Exprimer en fonction uniquement de a et b l’aire de chacun des triangles EFG et GHI.
Les deux triangle EFG et GHI ont les mêmes dimensions donc la même aire.
Comme EFG est un triangle rectangle en F on peut dire que sa base est FG et sa hauteur est FE.
Donc l’aire de EFG est A2 =
a b
2
ab
a b
. Donc l’aire de GHI est A ' 2 =
2
2
ab
.
2
2/4
d) En déduire l’aire A du trapèze EFHI en fonction des 3 nombres a, b et c.
L’aire du trapèze EFHI est donc égale à
A = A1 + A2 + A ’ 2 =
c2
2
ab
2
ab
c 2 2ab
. Donc A =
.
2
2
3) Déduire des deux questions précédentes, que :
a ² + b ² = c ². Quel théorème a-t-on démontré ?
En utilisant la réponse de la question 1) et la réponse de la question 2) d), on obtient :
A=
( a b) 2
2
c 2 2ab
. Donc (a + b) 2 = c 2 + 2 ab.
2
On développe (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2.
D’où a 2 + 2 ab + b 2 = c 2 + 2 ab. Donc a 2 + b 2 = c 2 + 2 ab – 2 ab.
Finalement on obtient la formule :
a 2 + b 2 = c 2.
Les nombres a, b et c représentent les longueurs des côtés du triangle EFG rectangle en F.
L’égalité précédente signifie que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des
deux autres côtés.
On a démontré le théorème de Pythagore.
L
Exercice n°2 :
x
H
9 cm
1) Soit LAC un triangle rectangle en A tel que
LA = 9 cm et AC = 12 cm.
[AH] est la hauteur issue de A.
a) Calculer l’aire du triangle LAC.
M
A
Comme LAC est un triangle rectangle en A,
on peut prendre [AC] comme base et [AL] comme hauteur.
D’où l’aire du triangle LAC est A =
12 9
2
C
12 cm
2 6 9
. Donc A = 6 x 9 = 54 cm².
2
b) Calculer LC.
LAC est un triangle rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore, LC 2 = LA 2 + AC 2.
D’où LC 2 = 9 2 + 12 2 = 81 + 144 = 225. Donc LC =
225 = 15 cm.
c) En exprimant différemment l’aire du triangle LAC, calculer AH.
On peut aussi prendre [LC] comme base, et [AH] comme hauteur.
Dans ce cas, l’aire du triangle LAC est A =
D’après la question 1) a), on obtient
LC AH
2
15 AH
.
2
15 AH
= 54.
2
En utilisant la règle des produits en croix,
15 x AH = 2 x 54. D’où AH =
2 54
15
2 3 18
3 5
36
5
72
. Donc AH = 7,2 cm.
10
3/4
2) On considère un point M appartenant au côté [LC] du triangle LAC et on note x la distance LM,
en cm (0 < x < 15).
a) Exprimer en fonction de x l’aire du triangle LAM.
Dans le triangle LAM, on peut prendre comme base [LM] et comme hauteur [AH].
Donc l’aire du triangle LAM est A 1 =
LM AH
2
x 7, 2
2
x 2 3, 6
. Donc A 1 = 3,6 x.
2
b) Exprimer en fonction de x l’aire du triangle MAC.
Dans le triangle MAC, la droite (AH) passe par le sommet A et est perpendiculaire au côté
opposé [MC]. Donc (AH) est la hauteur relative au côté [MC]. Comme MC = LC – LM = 15 – x,
l’aire du triangle MAC est A 2 =
MC AH
2
(15 x ) 7,2
2
(15 x) 2 3,6
.
2
Donc A 2 = 3,6 (15 – x). On développe et on obtient A 2 = 54 – 3,6 x.
c) Pour quelle valeur de x les deux triangles LAM et MAC ont-ils la même aire ?Quelle est alors cette aire ?
Les deux triangles ont la même aire si A 1 = A 2.
Ce qui signifie 3,6 x = 54 – 3,6 x. On résout cette équation.
3,6 x = 54 – 3,6 x
3,6 x + 3,6 x = 54
7,2 x = 54
x=
Finalement x =
54
7, 2
18 3
1,8 4
1,8 10 3 1,8 5 2 3
.
1,8 4
1,8 2 2
5 3
= 7,5 cm.
2
Dans ce cas, l’aire commune des deux triangles est A 1 = A 2 = 3,6 x 7,5 = 27 cm².
4/4
Exercice n°2 :
x
x² - x - a
x +b
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
86
66
48
32
18
6
-4
-12
-18
-22
-24
-24
-22
-18
-12
-4
6
18
32
48
66
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Colonne B Colonne C
72
51
32
15
0
-13
-24
-33
-40
-45
-48
-49
-48
-45
-40
-33
-24
-13
0
15
32
x ² - x - 24 = x + 24 est vérifié pour les valeurs de x suivantes
et
x1 =
x2 =
-6
8
La valeur commune aux 2 membres est
1er cas
2ème cas
x =
x =
18
a=
1
-6
18
18
2
8
32
32
32
oooo
ooooo
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
24
b=
24