Mathématiques – STIA1

STIA 3
MISE A NIVEAU
MATHEMATIQUES
Support de cours
1
CHAPITRE 1
GENERALITES SUR LES FONCTIONS
I. Rappels
I.1. Définitions
Définition 1
Soit I un sous ensemble de (intervalle de ou réunion d’intervalles de ), définir
une fonction f de I dans , c’est associer à chaque réel x de I, un unique réel noté
f (x) .
I est l’ensemble de définition de f ; f est définie sur I.
Cette définition peut être schématisée comme suit :
f :
I
x
f (x)
Définition 2 (Courbe représentative)
Soit f une fonction définie sur un ensemble I :
La courbe représentative de f dans un repère orthogonal (o; i , j ) est l’ensemble des
points M de coordonnées ( x ; f (x) ), avec x élément de I. Ainsi, dire que M (x , y)
appartient à cette courbe équivaut à dire que x I et y = f (x) .
y
f(x1)
j
x1
O i
2
x
I.2. Sens de variation
Théorème 1
f est une fonction définie sur un intervalle I de .
On dit que f est croissante sur I si quels que soient les réels u et v de I,
u <v
implique
f(u) ≤
f(v)
On dit que f est décroissante sur I si quels que soient les réels u et v de I,
u <v
implique
f(u) ≥
f(v)
On dit que f est monotone sur I si elle est croissante ou décroissante sur I.
On dit que f est strictement croissante sur I si quels que soient les réels u et v de I,
u <v
implique
f(u) <
f(v)
On dit que f est strictement décroissante sur I si quels que soient les réels u et v de I,
u <v
implique
f(u) >
f(v)
On dit que f est strictement monotone sur I si elle est strictement croissante ou
strictement décroissante sur I.
I.3. Fonctions paires/impaires
Définition 3
Une fonction f définie sur I est paire si quel que soit x dans I, alors – x est aussi dans
I et f(-x) = f(x).
La courbe représentant f dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à
l’axe des ordonnées.
Définition 4
Une fonction f définie sur I est impaire si quel que soit x dans I, alors – x est aussi
dans I et f(-x)=-f(x).
La courbe représentant f dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à
l’origine du repère.
II. Les fonctions de référence
Dans ce premier chapitre, cinq fonctions de référence sont définies. Les fonctions
trigonométriques sont présentées dans le chapitre 2 "Rappels de trigonométrie". Les
fonctions exponentielle et logarithme sont étudiées en détails aux chapitres 5 et 6.
II.1. Fonction affine
Définition5
Une fonction affine est une fonction f : x
deux réels fixés.
Sens de variation :
Si a > 0, f est strictement croissante sur .
Si a < 0, f est strictement décroissante sur .
Si a = 0, f est constante sur .
3
a x + b définie sur
où a et b sont
II.2. Fonction inverse
Définition 6
La fonction inverse est la fonction f : x
Sens de variation :
f est strictement décroissante sur
1
x
;0
définie sur
et sur 0 ;
;0
.
0;
.
Son tableau de variation est :
x
-∞
0
+∞
1
x
II.3. Fonction valeur absolue
Définition 7
La fonction valeur absolue est la fonction f : x
x définie sur .
Si x ≥ 0 alors x = x et si x ≤ 0 alors x = -x.
Sens de variation :
f est strictement croissante sur 0 ;
et strictement décroissante sur
;0 .
Son tableau de variation est :
x
-∞
0
+∞
x
0
II.4. Fonction « racine carrée »
Définition 8
La fonction « racine carrée » est la fonction f : x
Sens de variation :
f est strictement croissante sur 0 ;
x définie sur
.
Son tableau de variation est :
x
0
+∞
x
4
0;
.
II.5. Fonctions polynômes
Définition 9
La fonction f définie sur par f (x) = a x n est appelée fonction monôme de coefficient
a. Lorsque a est non nul, n est le degré de cette fonction monôme.
Une fonction polynôme est une somme de fonction monômes
f :
x
ai x i
i
III. Opérations sur les fonctions
III.1. Opérations algébriques
Définition 10
Dire que deux fonctions f et g sont égales signifie qu’elles ont le même ensemble de
définition, I, et que pour tout x de I, f (x) = g (x) .
Définition 11
f et g sont deux fonctions définies respectivement sur If et Ig et x appartenant à If et
Ig, le tableau ci-dessous donne les définitions des opérations algébriques sur les
fonctions.
Opération
Notation
Définition
Somme
f + g
x
f(x) g(x)
Différence
f - g
x
f(x) - g(x)
Produit
f. g
x
f(x) g(x)
Quotient
f
g
x
f (x)
g (x)
Définie pour
x
x
If Ig
I f Ig et g(x) 0
III.2. Composition de fonction
Théorème 2
Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur If et Ig.
La fonction g f est la fonction définie par ( g f )(x)=g(f(x)).
Cette fonction est définie sur l’ensemble des réels x appartenant à If tels que f (x)
appartient à Ig.
5
CHAPITRE 2
RAPPELS DE TRIGONOMETRIE
I- Les fonctions trigonométriques
I.1. La fonction cosinus
Soit x un nombre réel et M le point du cercle
trigonométrique associé à x . On appelle
cosinus de x l'abscisse du point M dans le
repère orthonormé O ; i ; j .
La fonction cosinus est la fonction f : x
cos x définie sur IR.
La fonction cosinus est une fonction paire, périodique de période 2π et bornée ( x
IR, - 1 cos x 1 ).
Son tableau de variation sur 0 ; :
I. 2. La fonction sinus
Soit x un nombre réel et M le point du cercle
trigonométrique associé à x . On appelle sinus
de x l'ordonnée du point M dans le repère
orthonormé O ; i ; j .
La fonction sinus est la fonction f : x
sin x définie sur IR.
6
La fonction sinus est impaire, périodique de période 2π et bornée ( x
- 1 sin x 1 ).
Son tableau de variation sur 0 ; :
IR,
I.3. La fonction tangente
Si cos x est non nul, on appelle tangente de x le réel noté tan x défini par : tan x = sin x .
cos x
La fonction tangente est impaire et périodique de période π.
est défini géométriquement comme
indiqué sur la figure ci-contre.
tan x
La cotangente (notée cotan) d'un réel est égale au quotient de son cosinus par son sinus.
Pour x 0 modulo , cotan x = cos x .
sin x
I.4. Les fonctions trigonométriques réciproques
I.4.1. Fonction Arc-sinus
On appelle Arc-sinus (et on note arcsin) la fonction réciproque de sin.
x [- /2 ; /2], y [-1 ; 1], y = sin x  x = arcsin y.
sin (Arcsin x) = x
Arcsin(sin x) = x si x
[- /2 ;
/2]
I.4.2. Fonction Arc-cosinus
On appelle Arc-cosinus (et on note arccos) la fonction réciproque de cos.
x [0, ], y [-1 ; 1], y = cos x  x = Arccos y.
Arccos (-1) =
Arccos (1) = 0
cos(Arccos x)=x pour x [-1 ; 1] Arccos(cos x)=x pour x
7
[0 ;
]
I.4.3. Fonction Arc-tangente
On appelle arc-tangente (et on note arctan) la fonction réciproque de la fonction
tangente.
x ] - /2 ; /2[ et y R, y = tan x  x = arctan(y)
Pour x R, tan(Arctanx) = x
Pour x ]- /2 ; /2[, Arctan(tan x) = x
II. Cercle trigonométrique - angles associés et remarquables
cos (
sin (
x)
2 x
cosx
x) sinx
cos (
x)
cos x
sin (
x)
sin x
x
x
x
-x
cos ( 2 x)
sin x
sin ( 2 x)
cos x
cos ( x)
sin ( x)
cos x
sin x
Angles remarquables
(rad)
0
6
4
3
2
Sin
0
1
2
2
2
3
2
1
Cos
1
Tan
0
3
2
2
2
1
2
3
3
0
∞
1
3
III. Formulaire
III.1. Formules d'addition
cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b
cos (a+b) = cos a cos b - sin a sin b
sin (a-b) = sin a cos b - cos a sin b
sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b
8
tan (a b)
1
tan a tan b
tan a . tan b
tan (a b)
1
tan a tan b
tan a . tan b
III.2. Formules de duplication
cos (2a) cos2 a sin2 a
2 cos2 a 1
1 2 sin2 a cos (3a) 4 cos3 a 3 cosa
sin (2a) 2 sin a cos a
sin (3a) 3 sin a 4 sin3 a
2 tan a
1 tan 2 a
tan (2a)
tan (3a)
3 tan a tan 3 a
1 3 tan 2 a
III.3. Formules de linéarisation
cos 2 a 1
cos 3 a
cos (2a)
2
cos (3a)
4
sin2 a 1
3 cos a sin3 a
cos a . cos b
1 cos (a b)
2
cos a . sin b
1 sin (a b)
2
sin (a b)
sin a . sin b
1 cos (a b)
2
cos (a b)
cos (2a)
2
tan2 a
sin (3a) 3 sin a
tan3 a
4
1 cos (2a)
1 cos (2a)
sin (3a) 3 sin a
cos (3a) 3 cos a
cos (a b)
III.4. Relations entre cos, sin et tan
cos2 x
sin2 x 1
1
tan2 x
1
cos2 x
III.5. Transformations
a-b
sin a + sin b = 2 sin a+b
2 . cos 2
a+b
sin a -sin b = 2 sin a-b
2 . cos 2
a-b
cos a + cos b = 2 cos a+b
2 . cos 2
a-b
cos a - cos b = - 2 sin a+b
2 . sin 2
9
CHAPITRE 3
LIMITES ET CONTINUITE
I. Limite d’une fonction en
et
Définition 1
Soit f une fonction définie sur un intervalle de type x 0 ;
. On dit que f tend vers
+ ∞ quand x tend vers + ∞ si, pour tout nombre A, l’intervalle A ;
contient
toutes les valeurs prises par la fonction pour x assez grand.
f
f(x)
On écrit lim
ou lim
.
+
x
Fonctions de références
a> 0
lim
ax+b= + ,
+
lim
x =+
+
,
a< 0
1 = 0+
lim
+
x
Définition 2
f (x)
On dit que f vérifie lim
x
lim a x ++ b = -
si lim
x
f (x)
.
Définition 3
Soit f une fonction définie sur un intervalle du type x 0 ;
. On dit que f tend vers
quand x tend vers +∞ si tout intervalle ouvert contenant
contient toutes les
f (x)
valeurs de la fonction pour x assez grand. On écrit lim
ou lim f
.
x
On dit que la courbe C représentative de la fonction f admet en + ∞ une asymptote
horizontale ∆ d’équation y = .
Définition 4
Soit f une fonction définie sur un intervalle du type x 0 ;
. Si f (x) peut s’écrire
(x) 0 , on dit que la courbe C
sous la forme a x + b + (x) avec a ≠ 0 et lim
x
représentative de f admet en +∞ une asymptote oblique ∆ d’équation y = a x + b .
II. Limite d’une fonction en un réel x0
Définition 5
Soit f une fonction définie au voisinage de x0 (et pas nécessairement en x0). On dit
que f tend vers + ∞ quand x tend vers x0 si tout intervalle A ;
contient toutes
les valeurs de la fonction pour x assez proche de x0.
10
On écrit lim f(x)
x
ou lim f
x0
.
x0
On dit alors que la courbe C représentative de la fonction f admet une asymptote
verticale ∆ d’équation x = x0.
Définition 6
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x0.
On dit que f tend vers quand x tend vers x0, si tout intervalle ouvert contenant
contient toutes les valeurs de la fonction pour x assez proche de x0.
On écrit lim f (x)
x
ou lim f
x0
x0
.
III. Limites et comparaison des fonctions
Propriété 1 (Théorème des gendarmes pour les fonctions)
Soient f , g et h trois fonctions vérifiant, au voisinage de x0 (x0 étant éventuellement
égale à + ∞ ou à- ∞), f (x) g (x) h (x) .
Si f et h admettent la même limite quand x tend vers x0, alors g admet aussi une
limite en x0 et lim g (x)
.
x
x0
Propriété 2
Soit f et g deux fonctions vérifiant, sur un intervalle A ;
f(x)
g(x)
Si lim
, alors lim
.
x
x
g(x)
Si lim
x
f (x)
, alors lim
x
, f (x) g (x) .
.
IV. Limites et opérations sur les fonctions
IV.1. Limite d’une somme
Si lim f …
et si lim g …
c
c
c
+∞
-∞
+∞
c’
+∞
-∞
+∞
-∞
-∞
x0
x0
11
alors lim (f g)
x0
IV.2. Limite d’un produit
Si lim f …
x0
c
c>0
c<0
+∞
0
-∞
et si lim g …
x0
alors lim (f g)
x0
c’
+∞
+∞
-∞
-∞ ou +∞
-∞
IV.3. Limite de l’inverse
Si lim f …
alors lim (1 )
x0
x0
f
c≠0
+∞
-∞
0, avec f>0
0, avec f<0
0
IV.4. Limite d’une composition de fonction
f b et si lim
g c , alors lim
(g f) c .
Si lim
a
b
a
V. Limite et formes indéterminées
Les quatre types essentiels de formes indéterminées sont :
 la somme de deux fonctions qui admettent pour limite l’une + ∞, l’autre - ∞,
 le produit d’une fonction qui admet une limite infinie et d’une fonction qui
admet une limite nulle,
 le quotient de deux fonctions qui admettent chacune une limite nulle,
 le quotient de deux fonctions qui admettent chacune une limite infinie.
Méthodes pour lever les indéterminations
Méthode 1 : factoriser le terme prépondérant (F.I. du type (+ ∞) + (- ∞) ou ∞/∞)
- Repérer le terme prépondérant
- Factoriser ce terme
- Étudier les limites de chaque facteur
- Conclure
Méthode 2 : utiliser la quantité conjuguée (F.I. pour des expressions contenant des √
ou lorsque la méthode 1 est inefficace)
- Multiplier et diviser l'expression par sa quantité conjuguée
- Simplifier
- Étudier les limites du numérateur et du dénominateur
- Conclure
12
VI. Fonctions continues
VI.1. Définitions
Définition 7
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de I. On dit que f est
f (x) f (a) .
continue en a si lim
x a
Définition 8
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si elle
est continue en tout point de I.
Propriété 3
Les fonctions polynômes, trigonométriques et racine carrée ainsi que toute fonction
construite à partir de ces fonctions par addition, multiplication, division ou
composition, sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.
VI.2. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et, a et b deux nombres de
I. Pour tout nombre k compris entre f (a) et f (b) , il existe un nombre c compris entre
a et b tel que f (c) = k .
Propriété 4
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle a ; b , alors,
pour tout nombre k compris entre f (a) et f (b) , l’équation f (x) = k a une solution c
unique dans l’intervalle a ; b .
Propriété 5
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle a ; b ( b étant
f (x) ,
un nombre ou + ∞), alors, pour tout nombre k compris entre f (a) et lim
x b
l’équation f (x) k a une solution c unique dans l’intervalle a ; b .
13
CHAPITRE 4
DERIVEES ET PRIMITIVES
I. Nombre dérivé et interprétations
Propriété 1
Soit f la fonction définie sur un intervalle I et x0 un élément de I. Les deux
propositions suivantes sont équivalentes :
 Le taux de variation de f entre x0 et x0+ h admet une limite finie l quand h
tend vers 0 :
lim
h 0
f (x0 h) f (x0)
h
l
 Pour tout h tel que x0+ h soit dans I, on peut écrire :
(h) 0.
f (x0 + h) = f (x0) + l h + h (h) avec lim
h 0
L'équation y = f (x0) + (x - x0) . f ' (x0) est l'équation de la tangente (T) à la courbe
représentative de la fonction f au point x0.
Définition 1
Lorsque l’une des propositions de la propriété 1 est vraie, on dit que f est dérivable
en x0. Le nombre l s’appelle nombre dérivé de f en x0. On le note f ' (x0) .
II. Fonction dérivée, dérivées successives
Définition 2
Soit f une fonction dérivable en tout x d’un intervalle I.
On dit que f est dérivable sur I. On appelle fonction dérivée de f , notée f ' , la
f'(x) qui, à tout nombre x de I, associe le nombre dérivé de f en x .
fonction x
Propriété 2
Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I, alors f est continue sur I.
Définition 3
Soit f une fonction dont la dérivée f ' est dérivable.
On appelle dérivée seconde de f , la fonction dérivée de la fonction f ' . On la note
f ' ou f (2).
On définit de même la dérivée n-ième de f, notée f (n).
14
Fonctions dérivées des fonctions usuelles
Fonction
x
Fonction dérivée
Validité de la formule
k (k : constante)
x
x
x
xn (n Z*)
x
x
1
x
x
x
sin x
x
cos x
x
tan x
x
cotan x
x
arcsin x
x
arccos x
x
arctan x
Fonctions dérivées et opérations
Soit u et v, deux fonctions continues et dérivables :
Fonction
Fonction dérivée
Remarque
u+v
k.u (k : constante)
u.v
u
v
un (n Z*)
u
Propriété 3 : fonction dérivée d’une fonction composée
Si g est une fonction dérivable en x0 et f une fonction dérivable en g (x0) , alors
f g est dérivable en x0 et on a (f g) ' (x0) f' g (x0) g' (x0) .
15
III. Applications de la fonction dérivée
Propriété 4
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
 f est constante sur I si, et seulement si, la dérivée f ' est nulle sur I.
 f est strictement croissante sur I si, et seulement si, la dérivée f ' est strictement
positive sur I (éventuellement nulle en des points isolés).
 f est strictement décroissante sur I si, et seulement si, la dérivée f ' est strictement
négative sur I (éventuellement nulle en des points isolés).
Conséquence
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I dont la dérivée f ' est strictement
positive (négative) sur I, éventuellement nulle en des points isolés, alors f est
continue strictement croissante (décroissante).
Propriété 5
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle a ; b noté I et x0 appartenant à I. Si la
dérivée f ' s’annule et change de signe en x0, alors f admet un extremum local en x0.
IV. Primitives d’une fonction
Définition 4
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I une fonction F, dérivable sur I, telle que, pour tout x
appartenant à I, F’(x) = f(x).
Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Propriété 6
Soit F une primitive de f sur un intervalle I.
 Pour tout nombre k, x
F(x) + k est aussi une primitive de f sur I.
 Si G est une autre primitive de f sur I, alors il existe un nombre k tel que, pour
tout x de I, G(x) = F (x) + k.
Propriété 7
Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I.
Un réel x0 de I et un réel y0 étant donnés (appelés « conditions initiales »), il existe
une unique primitive F de f sur I telle que F (x0) = y0.
16
CHAPITRE 5
FONCTION EXPONENTIELLE
I. La fonction exponentielle
Définition 1
Soit a un nombre réel. On appelle solution sur l’intervalle I de l’équation
différentielle Y ' = a Y toute fonction, dérivable sur I, qui vérifie sur I : f ' = a f .
Propriété 1 (Théorème d’existence)
Il existe une fonction f , dérivable sur IR, solution de l’équation différentielle Y' = Y et
telle que f (0) = 1 . Cette fonction est appelée fonction exponentielle. On note cette
fonction x exp (x) ou x ex pour tout élément x de IR.
Le nombre réel e = exp (1) 2,72
Propriété 2
La fonction exponentielle est strictement positive sur IR.
Propriété 3
Soit a un réel donné. Les solutions de l’équation différentielle Y ' = a Y sont les
fonctions définies sur IR par f(x) = k exp (ax) où k est une constante réelle.
Propriété 4
Pour tous nombres réels a et b, exp (a + b) = exp (a) exp (b) .
Conséquences
Pour tous nombres réels a et b :
e a+ b = e a e b,
e -a = 1a ,
e
e a-b =
ea
eb
Pour tout nombre réel a et tout nombre rationnel r : e ra = (e a) r .
II. Étude de la fonction x
ex
17
La fonction x e x est solution de l’équation différentielle Y ' = a Y et f(o) = 1 ; elle est
dérivable sur IR donc continue sur IR, et égale à sa dérivée. De plus, x e x est
strictement croissante sur IR.
Propriété 4 (limites)
lim
x 0
ex - 1
=1
x
lim
ex = +
x
lim
ex = 0
x
Tableau de variation de la fonction exponentielle
x
-∞
0
1
+∞
+∞
ex
e
1
0
Conséquences
Pour tout nombre réel x : e x > 0 .
Pour tous nombres réels x et y : ex = ey équivaut à
ex > ey équivaut à
Propriété 5
Soit u une fonction définie sur un intervalle I.
Si u est dérivable sur I, alors la fonction x e
x u'(x) e u(x) .
Propriété 6
lim
x
ex
=+
x
lim
x ex = 0
x
Conséquences
Pour tout n, nombre entier strictement positif :
lim
x
ex
=+
xn
lim
xn ex = 0
x
18
u(x)
x=y
x > y.
est dérivable sur I et sa dérivée est
CHAPITRE 6
FONCTIONS LOGARITHMES
I. Logarithme népérien d’un nombre
Propriété 1
Pour tout nombre réel a strictement positif, il existe un réel unique
tel que e
a.
On appelle ce nombre le logarithme népérien de a. On le note ln (a) ou ln a .
Conséquences
 ln 1 = 0 et ln e = 1.
 Pour tout nombre réel a strictement positif, e ln a = a .
 Pour tout nombre réel a, ln (ea) = a .
Propriété 2
Pour tous nombres réels a et b strictement positifs : ln a b = ln a + ln b .
Conséquences
 Pour tous nombres réels a et b de l’intervalle 0 ; +
 Pour tout nombre réel a de l’intervalle 0 ; +
: ln a = ln a - ln b .
b
:
ln 1 = - ln a et ln a = 1 ln a .
a
2
 Pour tout nombre réel a de l’intervalle 0 ; +
et tout nombre rationnel r :
ln a r = r ln a .
II. Fonction logarithme népérien
Définition 1
On appelle fonction logarithme népérien la fonction, notée ln, qui à tout x de
l’intervalle 0 ; +
associe ln x.
Propriété 3
La fonction ln est dérivable sur l’intervalle 0 ; +
La fonction ln est la primitive de la fonction x
s’annule en 1.
19
.
1 sur l’intervalle 0 ; +
x
qui
Propriété 4
ln (x+1) = 1
lim
x 0
x
lim
ln
x
=x 0
ln x = 1
lim
x 1 x-1
lim
ln x = +
x
Tableau de variations de la fonction logarithme népérien
x
0
1
e
+∞
+∞
ln x
1
0
-∞
Conséquences
 ln x négatif sur l’intervalle 0 ; 1 et positif sur l’intervalle 1 ; +
.
 Pour tous nombres réels x et y strictement positifs :
ln x = ln y équivaut à x = y
ln x > ln y équivaut à x > y.
Propriété 6 (limites fondamentales)
ln x = 0
lim
x
x
ln
x =0
lim
x
xn
lim
xln x = 0
x 0
lim
xn ln x = 0
x 0
III . Fonction logarithme décimal
Définition 2
On appelle fonction logarithme décimal la fonction, notée log, définie sur l’intervalle
0;+
par log x = ln x .
ln 10
Conséquences
log 1 = 0 et log 10 = 1
log est définie et strictement croissante sur l’intervalle 0 ; +
20
.
Propriété 7
Pour tous nombres a et b de l’intervalle 0 ; +
et tout nombre rationnel r :
log (a b) = log a + log b
log a = log a - log b
b
log ar = r log a
Conséquence
Soit x un nombre réel, si 10 n x < 10 n +1 , alors n log x < n + 1 .
IV. Fonctions exponentielles de base a
Définition 3
Pour tout nombre réel a strictement positif et tout nombre réel b, on pose : a b = eb lna .
Propriété 8
Pour tous nombres réels a et a’ strictement positifs et tous nombres réels b et b’ :
ln a b = b ln a
a b + b' = a b a b'
( a b )b' = a bb'
( a a' )b = a b a'b
ab
a b'
ab
= b
a'
a b - b' =
Définition 4
Soit a un nombre réel strictement positif et différent de 1.
On définit sur IR la fonction x a x par a x = exln a .
On l’appelle fonction exponentielle de base a.
21
a
a'
b
CHAPITRE 7
INTEGRATION
I. Intégrale et primitive
Propriété 1
Soit une fonction f continue, positive sur l’intervalle a ; b et C sa courbe
représentative.
b
L’aire sous la courbe C représentative de f sur l’intervalle a ; b , a f(x) dx , est égale
en unité d’aire, à F(b) – F(a) où F est une primitive de f sur l’intervalle a ; b .
Soit une fonction f continue, négative sur l’intervalle a ; b et C sa courbe
représentative.
L’aire du domaine D limité par C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et
b
b
x = b est égale à a f(x) dx = - a f(x) dx .
Remarques :
b
a
f(x) dx se lit :
On utilise la notation :
Intégrale de a à b de f
ou
Somme de f(x) dx de x = a à b
b
a
f(x) dx = F(x)
b
a
= F (b) – F (a)
Définition 1
Soit une fonction f continue sur un intervalle I et a un élément de I.
x
Pour tout x appartenant à I, la fonction définie par a f(t) dt est l’unique primitive de
f sur I s’annulant en a.
22
x
Si F est une primitive quelconque de f sur I, alors
a
f(t) dt = F(x) - F(a) .
II. Propriétés algébriques de l’intégrale
Propriété 2 (relation de Chasles)
Soit une fonction f continue sur un intervalle I.
b
Quels que soient a, b et c éléments de I : a f(x)dx =
c
a
f(x)dx +
b
c
f(x)dx .
Propriété 3 (linéarité de l’intégrale)
Soit deux fonctions f et g continues sur un intervalle I, a et b des éléments de I, et
et deux nombres réels, alors :
b
a
( f(x) +
b
g(x)) dx
a
f(x) dx
b
a
g(x)dx
Propriété 4 (fonctions paires et impaires)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I centré en 0.
Pour tout élément a de I :
a
a
 Si f est paire : a f(x) dx 2 0 f(x) dx
 Si f est impaire :
a
a
f(x) dx 0
Propriété 5 (fonctions périodiques)
Soit f une fonction continue sur IR, périodique de période T.
a T
T
Pour tout nombre réel a : a f(x) dx 0 f(x) dx .
III. Intégrales et inégalités
23
Propriété 6
Soit une fonction f continue positive sur un intervalle a ; b :
b
a
f(x) dx
0.
Propriété 7
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle a ; b :
Si f
b
g , alors
a
b
f(x) dx
a
g(x) dx .
Propriété 8
Soit une fonction f continue sur un intervalle I.
 Si les réels m et M sont tels que, pour tout x de l’intervalle I, on a m f(x) M , alors
si I = a ; b avec a < b :
m (b a)
b
a
f(x) dx M (b a)
Si le réel M est tel que, pour tout x de l’intervalle I, on a 0
les éléments a et b de I :
b
0
f(x) dx M b a .
a
f(x)
M , alors pour tous
Définition 2 (valeur moyenne)
Soit une fonction f , continue sur un intervalle
a ; b . On appelle valeur moyenne
b
de la fonction f sur l’intervalle a ; b le nombre réel 1 a f(x) dx .
b a
IV. Intégration par parties et changement de variable
Propriété 9
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, telles que u’ et v’ soient
continues sur I.
Pour tous éléments a et b de I :
b
a
Exemple : A =
2
0
u(x) v'(x) dx
b
u(x) v(x) a
b
a
u'(x) v(x) dx
x sin x dx = ? (Résultat : A = 1)
Propriété 10
Soit f et u deux fonctions dérivables sur un intervalle I, telles que u soit une bijection
sur I d’inverse u-1.Pour tous éléments a et b de I :
b
a
u ' ( x) f (u( x)) dx
u (b )
u(a)
f (t ) dt
V. Intégrales doubles
La méthode générale de calcul de D f(x,y) dx dy consiste donc :
- à intégrer d’abord par rapport à une variable, y par exemple, les bornes
dépendant de x
- puis à intégrer par rapport à l’autre variable.
24
On admet que, pour les fonctions continues, on peut intervertir l’ordre d’intégration
(Théorème de Fubini).
f (x, y) dx dy =
D
b
d
a
c
f (x , y) dy dx =
d
b
c
a
f (x , y) dx dy
Propriétés
D D'
f(x,y) dx dy
D
f(x,y) dx dy
f
f
D
g
D'
0
D
D
f(x,y) dx dy 0
f(x,y) dx dy
(af bg) (x,y) dx dy a
Exemple
Soit f (x, y) = x + 2 y , D = [0 , 1]
Calculons :
f(x,y) dx dy si D et D’ sont disjoints.
D
D
f(x,y) dx dy b
[0 , 1]
A=
D
g(x,y) dx dy
f (x , y) dx dy
(Résultat : A = 3/2)
25
D
g(x,y) dx dy
CHAPITRE 8
ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES
I. Généralités
Définition 1
On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x et les
d2 y
d ny
dy
valeurs y , y ' ou
, y ' ou
, ..., y (n) ou
d'une fonction inconnue et de ses
2
n
dx
dx
dx
dérivées au point x .
On dit qu'une équation différentielle est d'ordre n si elle contient la dérivée nième de y,
et pas celles d'ordre supérieur.
Définition 2
La solution d'une équation différentielle est une fonction f continue et dérivable
(jusqu'à l'ordre n pour une équation d'ordre n) sur un intervalle I, et telle que pour
toute valeur x de I, les valeurs de f et de ses dérivées vérifient l'équation.
Méthodologie : Une équation différentielle admet une infinité de solutions. Pour
trouver la solution particulière du problème étudié, il faut tenir compte des
conditions particulières (ou conditions initiales) que doit satisfaire la solution.
II. Les équations différentielles du premier ordre
Définition 3
Les équations différentielles du premier ordre ou d'ordre 1 ne font intervenir que des
dérivées premières. Elles sont de la forme F (x, y, y') = 0 .
II.1. Les équations différentielles du premier ordre à variables séparables
Ces équations différentielles ont pour forme générale : y ' = f (x) g (y) équivalente à
dy
= f (x) g (y) .
dx
Pour trouver la solution de cette équation différentielle, il faut donc calculer deux
primitives :
dy
=
g(y)
f(x) dx d'où G (y) = F (x) + k avec k une constante
IR
II.2. Les équations différentielles homogènes du premier ordre
26
La forme générale de ces équations est : y ' = f y
x
<=> dy = f y .
dx
x
Pour résoudre ce type d'équations différentielles, il faut poser u = y pour se ramener
x
à une équation à variables séparables (§ II.1).
On a y = x u et dy = u + x du .
dx
dx
y
du = dx .
Soit f
= f u = u + x du et l'équation différentielles devient :
x
dx
f (u) -u
x
III. Les équations différentielles linéaires d'ordre 1
La forme générale de ces équations est : y ' + f (x) y = g (x) .
III.1. Les équations différentielles linéaires d'ordre 1 sans second membre
La forme générale de ces équations est : y' + f (x) y = 0 .
Il s'agit de résoudre une équation différentielle à variables séparables :
y' + f (x) y = 0 <=> y = k e-F (x) avec F primitive de f et k une constante.
III.2. Les équations différentielles linéaires d'ordre 1 avec second membre
La forme générale de ces équations est : y' + f (x) y = g(x)
(E).
Ces équations différentielles s'intègrent en deux temps :
Étape 1 : Intégration de l'équation sans second membre pour obtenir y1 = k e- F(x)
Étape 2 : Résolution de l'équation avec second membre en cherchant une
solution particulière ( yp )
La solution générale de (E) est définie par :
y = y1 + y p = k e-F(x) + yp .
III.3. Les équations différentielles linéaires d'ordre 1 à coefficient constant
La forme générale de ces équations est : y' + a y = g (x) , cas particulier des équations
différentielles linéaires avec f (x) = a .
La résolution de ce type d'équation différentielle se fait en utilisant les méthodes
présentées pour les équations différentielles linéaires d'ordre 1 avec second membre.
La solution particulière yp est obtenue facilement dans les cas suivants :
- si g (x) = P (x) , P (x) polynôme de degré n, alors yp = Q (x) , Q (x) polynôme de
degré n
- si g (x) = em x P (x) , alors on pose yp = em x z , z étant la fonction inconnue de
l'équation différentielle z ' + (a + m) z = P (x) .
27
-
Si f (x) = A cos
x + B sin
x , alors yp = C cos x + D sin
x.
Tableau récapitulatif :
Forme de l'équation
différentielle
Description
Solution générale
Y'+aY=0
Équation différentielle linéaire
du premier ordre sans second
membre avec coefficient
constant.
Équation différentielle linéaire
du premier ordre avec second
membre avec coefficient
constant.
Équation différentielle linéaire
du premier ordre avec second
membre de la forme d'un
polynôme et coefficient
constant devant Y.
Équation différentielle linéaire
du premier ordre sans second
membre avec une fonction f
devant Y.
Équation différentielle linéaire
du second ordre sans second
membre avec coefficients
constants.
Y ( x) = K exp (- a x)
Y'+aY=b
Y ' + a Y = P (x)
Y ' + f (x) Y = 0
Y '' + a Y ' + b Y = 0
28
Y (x) = K exp (-a x) + b/a
Y (x) = Y0 (x) + Yp
avec Yp = Q (x), polynôme
de même degré que P
Y (x) = K exp ( - F(x))
avec F primitive de f
Pas au programme des
révisions