CHAPITRE 6 : STATISTIQUES ET PROBABILITÉS

CHAPITRE 6 : STATISTIQUES ET PROBABILITÉS
Objectifs :
•
[3.130] Déterminer une valeur médiane d'une série statistique (liste, tableau, graphique) et en
donner la signification.
•
[3.131] Déterminer les quartiles d'une série statistique (liste, tableau, graphique) et en donner la
signification.
•
[3.132] Déterminer l'étendue d'une série statistique (liste, tableau, graphique).
•
[3.133] Exprimer et exploiter les résultats de mesures d'une grandeur (notion d'incertitude,
validité, ...).
•
[3.134] Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité.
•
[3.135] Calculer des probabilités dans des contextes familiers.
I. STATISTIQUES
a) Rappel sur la moyenne
La moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs de cette série
par l'effectif total.
Exemple 1 :
Voici 5 notes : 12 ; 14 ; 15 ; 11 ; 18
1214151118 70
= =14
La moyenne est : m=
5
5
Exemple 2 :
Relevé des âges de 25 élèves.
Age
13 14 15 16
Effectif 2 9 11 3
La moyenne pondérée par les effectifs de cette série est égale à :
13×214×915×1116×3
m=
=14,6 ans.
29113
Exemple 3 : Regroupement par classes
Voici la répartition d'une récolte de pommes après calibrage.
Calibre (mm)
[55-60[ [60-65[ [65-70[ [70-75[ [75-80[ [80-85[
Centre de la classe
57,5
62,5
67,5
72,5
77,5
82,5
Effectif (en kg)
130
200
320
240
270
160
La moyenne de cette série regroupée en classes est égale à :
130×57,5200×62,5320×67,5240×72,5270×77,5160×82,5
=70,5 (à 0,1 près)
130200320240270160
Remarque : Le regroupement en classe permet des calculs plus rapides mais ne permet pas d'obtenir
la valeur exacte de la moyenne.
b) Médiane d'une série statistique
La médiane d'une série statistique partage cette série en deux groupes de même effectif :
– les valeurs inférieures ou égales à la valeur médiane.
– les valeurs supérieures ou égales à la valeur médiane.
Exemple 1 : Un professeur a classé par ordre croissant les notes des 13 garçons et des 14 filles d'une
classe.
Garçons : 7 8 9 9 10 10 11 12 13 14 14 15 17
6 notes
Valeur
médiane
6 notes
Filles : 7 7 9 9 10 11 12 13 13 13 14 14 15 15
7 notes
Valeur
médiane :
12,5
7 notes
Exemple 2 :
A la question « Depuis combien d'années résidez-vous dans la même ville ? », les cinquante
personnes interrogées ont donné les réponses suivantes :
Nombre
d'années
1
2
3
4
5
6
plus de 6
Total
Effectif
2
4
5
10
6
12
11
50
Effectif
cumulé
2
6
11
21
27
39
50
L'effectif total est 50. Si on classe les valeurs par ordre croissant, la 25e valeur est 5. La médiane est
donc égale à 5 années.
c) De nouvelles caractéristiques
Le premier quartile d'une série statistique est la plus petite valeur Q1 telle qu'au moins 25 % des
valeurs sont inférieures à Q1 .
Le troisième quartile d'une série statistique est la plus petite valeur Q3 telle qu'au moins 75 %
des valeurs sont inférieures à Q3 .
L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs
prises par cette série.
Exemple 1 : Voici le temps consacré, en minutes, au petit-déjeuner par 16 personnes.
16
12
1
9
17
19
13
10
4
8
7
8
14
12
14
9
Détermine une valeur médiane, les valeurs des premier et troisième quartiles, ainsi que l'étendue de
cette série statistique.
On commence par ranger les 16 valeurs dans l'ordre croissant.
1
4
7
8
8
9
9
10
12
12
13
14
14
16
17
19
•
Tout nombre compris entre la 8 e et la 9e valeur peut être considéré comme médiane. En général,
on prend la demi-somme de ces deux valeurs : m = 11. (La moitié de ce groupe consacre moins
de 11 minutes au petit-déjeuner.)
•
25 % et 75 % de 16 sont égaux à 4 et 12 donc le premier quartile est la 4 e valeur, soit Q1 = 8, et
le troisième quartile est la 12e valeur, soit Q3 = 14.
•
19 − 1 = 18 donc l'étendue est 18.
Exemple 2 : On donne la répartition des notes à un contrôle dans une classe de 27 élèves.
Note sur 20
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Effectif
2
3
5
2
1
6
3
3
2
Détermine une valeur médiane, les valeurs des premier et troisième quartiles, ainsi que l'étendue de
cette série statistique.
On commence par calculer les effectifs cumulés croissants.
Note sur 20
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Effectifs cumulés
2
5
10
12
13
19
22
25
27
•
L'effectif total est de 27. Or 27 ÷ 2 = 13,5 donc la médiane est la 14 e note : m = 12. Cette
valeur partage la série en deux groupes de même effectif : un groupe de 13 notes inférieures
ou égales à 12 et un groupe de 13 notes supérieures ou égales à 12.
•
25 % et 75 % de 27 sont égaux à 6,75 et 20,25 donc le premier quartile est la 7 e valeur, soit
Q1 = 9, et le troisième quartile est la 21e valeur, soit Q3 = 13.
•
15 − 7 = 8 donc l'étendue est 8.
II. PROBABILITÉS
Le calcul des probabilités consiste à mesurer le caractère probable d'un événement avec la plus
grande précision possible et ce, dans des contextes très variés tels que les jeux, la météorologie, les
finances, la chimie ou même la médecine.
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans
pouvoir déterminer de manière certaine lequel va se produire.
On appelle issue ou éventualité de l’expérience chacun des résultats possibles de l’expérience.
L’ensemble des issues de l’expérience est appelé univers.
Exemple 1 : Détermine la probabilité de tirer un as ou un trèfle dans un jeu de 32 cartes.
Dans un jeu de 32 cartes, il y a quatre as et huit trèfles (dont un as). Il y a donc onze chances sur 32 de
11
.
tirer un as ou un trèfle soit une probabilité de
32
Exemple
2 : Un joueur de tennis a droit à deux tentatives pour réussir sa mise en jeu.
Fabbio réussit sa première balle de service dans 65 % des cas. Quand il échoue, il réussit la seconde dans
80 % des cas. Quelle est la probabilité qu'il commette une double faute (c'est-à-dire qu'il échoue deux fois
de suite) ?
Ce joueur réussit sa première balle de service dans 65 % des cas, ce qui signifie qu'il échoue dans 35 %
des cas. Parmi ces 35 % de cas-là, il réussit sa deuxième balle de service dans 80 % des cas, ce qui
signifie qu'il échoue une nouvelle fois dans 20 % des cas.
Ainsi, 20 % de 35 % des mises en jeu effectuées ne sont pas réussies. La probabilité qu'il commette
20
35
7
×
une double faute est donc de
soit
.(Autrement dit, Fabbio commet une double faute
100 100
100
dans 7 % des cas.)
Exemple 3 : Dans une urne, il y a cinq boules rouges (R), deux boules bleues (B) et une boule verte (V),
indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules. Détermine la probabilité
de tirer deux boules de la même couleur.
On peut représenter tous les résultats sur un arbre en indiquant sur les branches correspondantes la
probabilité de chaque résultat lors des deux tirages.
(L'expérience s'effectuant sans5remise, il restera sept boules
au second tirage.).1
2
8
8
8
R
1er tirage
B
V
4
7
2
7
1
7
5
7
1
7
1
7
5
7
2
7
0
7
R
B
V
R
B
V
R
B
V
2e tirage
On suppose que l'on reproduit un grand nombre de fois l'expérience :
5
4
dans des cas, on obtiendra R au premier tirage et dans
de ces cas, on obtiendra R une nouvelle
8
7
5 4
20
×
fois lors du deuxième tirage. Donc, il y aura
soit
des expériences qui donneront comme
8 7
56
résultat (R, R).
2 1
2
1 0
×
×
De même, il y aura
soit
des expériences qui donneront comme résultat (B, B) et
8 7
56
8 7
c'est-à-dire aucune expérience qui donnera comme résultat (V, V).
20
2
22

. La
La proportion d'expériences donnant deux boules de même couleur est donc de
soit
56 56
56
22
.
probabilité d'obtenir la même couleur est donc
56