Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel Partie 2 : notions élémentaires de trigonométrie rectiligne 1 1.1 Rappel sur les angles Mesure en radian des angles Considérons un secteur angulaire, formé de deux droites concourantes distinctes, et un cercle de rayon r tracé dans un plan contenant ces deux droites, dont le centre est le point d’intersection des droites. Alors, la valeur de l’angle en radians est le rapport entre la longueur L de l’arc de cercle intercepté par les droites et le rayon r. Le radian est une grande unité qui n’est pas intuitive contrairement au degré qui est notre unité première. Son grand avantage est de permettre de connaı̂tre directement la longueur d’un arc. C’est aussi une unité du Système international. { a pour Soit C un cercle de centre O. La définition précédente implique que, dire que l’angle géométrique AOB Ŋ est égal au rayon R du cercle. mesure 1 radian signifie que la longueur du petit arc AB De même, la longueur d’un arc de cercle de rayon R et dont l’angle au centre a pour mesure α radians est αR. 1 Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel Exercice 1 Calculer les longueurs d’arcs de cercle dans les cas suivants : • un arc de cercle de rayon 1 et d’angle 10˚ • un arc de cercle de rayon 10 et d’angle 10˚ • un arc de cercle de rayon 1 et d’angle 270˚ • un arc de cercle de rayon 3 et d’angle 45˚ • un arc de cercle de rayon et d’angle 80˚ • un arc de cercle de rayon 1 et d’angle 120˚ Il est important de connaı̂tre les angles remarquables en radians : Pour convertir les 2 unités de mesure d’angle, on utilise la formule : 180α “ πx (1) soit : π x 180 où α est la mesure de l’angle en radian et x la mesure de l’angle en degré.AM α“ 1.2 (2) Cercle trigonométrique On appelle cercle trigonométrique dans un repère orthogonal direct pO,⃗i, ⃗jq, le cercle de centre O et de rayon 1. 2 Mathématiques élémentaires 1.3 2015-2016 Cl. Gabriel Angles dans le cercle trigonométrique La mesure d’un angle α repéré par un point M dans le cercle trigonométrique, est la valeur algébrique de la Ŋ où A “ p1, 0q. Le sens trigonométrique ou direct correspond au sens antihoraire. On longueur de l’arc AM remarquera que l’on a indiqué le sens trigonométrique par une flèche et un signe `. On a représenté deux angles α et β dont l’un est positif pαq et l’autre négatif pβq. On peut noter les angles remarquables sur le cercle trigonométrique. Il est important de visualiser l’emplacement des angles pour s’en faire une idée. Exercice 2 Dans le cercle trigonométrique, convertir en degrés les mesures d’angles données en radians : π , 7π , 5π , 2π , 2π , 5π 5 5 3 3 6 . Exercice 3 Convertissez en radians les angles suivants et situez les sur le cercle trigonométrique : 120˚, 150˚, 225˚, 315˚. 3 Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel En fait, mesurer les angles en radians consiste à ! enrouler " l’axe réel sur le cercle trigonométrique, c’est-à-dire le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct. A chaque réel x correspond un et un seul point du cercle trigonométrique. Si x est positif, le point M associé à x est le point du cercle obtenu en parcourant une longueur x sur ce cercle, dans le sens direct, à partir du point de coordonnées p1, 0q. Si x est négatif, on parcourt sur le cercle une longueur | x |“ ´x dans le sens indirect. Ainsi, tout réel est associé à un et un seul angle et si M est le point associé au réel x alors x s’appelle UNE mesure ÝÝÑ Ý Ñ{ en radian de l’angle orienté p i , OM q. Ici, l’unité de mesure est la longueur du rayon du cercle trigonométrique, à savoir 1 et | x | est le nombre de rayons qui constituent l’arc de cercle qui va de O à M , d’où le mot radian. 4 Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel Inversement, puisque le tour complet a une longueur égale à 2π, deux réels mesurent un même angle si et seulement si leur différence est un multiple entier (relatif) de 2π. Tout angle admet donc une infinité de mesures. Propriété Un même angle α peut avoir plusieurs mesures. Si un angle α, repéré par le point M sur le cercle trigonométrique, a comme mesures x et y, alors on a la relation suivante : y “ x ` k.2π où kPZ (3) ou plus simplement : y ” xr2πs qui signifie que y est égal à x, modulo 2π. Sur la figure ci-dessous on a tracé deux mesures d’un même angle repéré par un point M . par exemple x “ π 6 et y “ ´11π 6 sont deux mesures du même angle puisque π 6 ´ ´11π 6 “ 2π Definition On appelle mesure principale d’un angle α, la mesure x qui se trouve dans l’intervalle s ´ π, πr. 31π Exemple : trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont 17π 4 et ´ 6 . L’existence et l’unicité de la mesure pricipale d’un angle de mesure x peut se comprendre sur le schéma suivant : On part de x et on se dirige vers l’intervalle r0, 2πr en faisant des pas de longueur 2π. Quand on arrive juste en dessous de 0 (ou juste au-dessus de 2π si on est parti d’un x ą 2π), le pas suivant est suffisamment long pour nous faire dépasser 0, mais trop court pour nous faire dépasser 2π et on tombe donc dans l’intervalle r0, 2πr. Puis, si on effectue encore un pas, on ressort forcément de cet intervalle. Exercice 4 On donne des mesures d’angles en radian, déterminer la mesure principale de chacun de ces angles : 75π , ´ 98π , 59π , ´ 94π 3 5 11 7 . Exercice 5 Placer sur le cercle trigonométrique C de centre O et d’origine I les points P , Q, R et S tels que : z IOP z IOQ z IOR z IOS “ π rad π “ ´ rad 2 “ 6π rad 7π “ rad 6 5 Mathématiques élémentaires 2 2015-2016 Cl. Gabriel Lignes trigonométriques 2.1 Introduction et étymologie Pour mesurer un angle, on a mesuré une longueur sur un cercle. Mesurer des ! longueurs courbes " est difficile, et on préfère de loin mesurer des lignes droites, les différentes lignes trigonométriques : le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente. Le mot sinus peut prêter à confusion. Nous avons effectivement dans la partie supérieure de notre nez deux sinus. Ce sinus là vient du latin et a la même étymologie que le mot sein par exemple. Il signifie ! pli (d’un vêtement) " ou ! renflement " ou ! courbure " ou ! bosse "... Ce sinus est apparu au moyen-âge peu de temps avant le mot sinus de la trigonométrie. Le mot sinus de la trigonométrie a une longue histoire. Il s’est appelé jiva en sanscrit (en 500 ap.JC environ), ce qui signifie corde d’arc. Il est passé à l’arabe sous la forme jı̂ba, mot qui n’a pas d’autre signification en arabe, et ceci grâce au mathématicien AL-FAZZARI (8ème siècle). Mais quand GERARD DE CREMONE (1114-1187) traduit AL-FAZZARI en latin, celui-ci commet une erreur de transcription et donc de traduction en transformant le mot jı̂ba en jaı̂b, mot qui cette fois-ci veut dire ! pli (d’un vêtement) " ou ! renflement "... Il traduit donc ce mot par sinus. C’est enfin REGIOMONTANUS (1436-1476) qui systématise l’emploi du mot au sens où nous le connaissons aujourd’hui et entérine ainsi l’erreur de traduction. D’ALEMBERT (1717-1783) dans son encyclopédie donne la définition suivante du mot sinus : ! ligne droite tirée d’une extrémité d’un arc perpendiculairement au rayon qui passe par l’autre extrémité ". Le sinus de la trigonométrie n’a donc aucun rapport avec les sinus qui se trouvent dans la partie supérieure de notre nez. Pour construire le mot cosinus, on a apposé au mot sinus le préfixe co qui vient de la préposition latine cum signifiant avec. Le cosinus est donc une ligne trigonométrique qui va avec le sinus ou encore qui est associée au sinus. Signalons enfin l’étymologie du mot trigonométrie : du grec tria (trois) gonia (angles) metron (mesure) ou encore mesure des trois angles (d’un triangle). 2.2 Définitions Soit un angle α repéré par un point M sur le cercle trigonométrique. On appelle : • cos α “ OH (prononcer cosinus de α) = longueur (orientée) de la projection de M sur l’axe des abscisses • sin α “ OK (prononcer sinus de α) = longueur (orientée) de la projection de M sur l’axe des ordonnées • tan α “ AM 1 (prononcer tangente de α) = ordonnée du point M 1 , intersection de la droite pOM q avec la droite tangente au cercle trigonométrique en A. 6 Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel On peut définir de la même façon la cotangente d’un angle : Remarques : Il résulte de la définition des lignes trigonométriques d’un angle que : • cospα ` 2kπq “ cos α et sinpα ` 2kπq “ sin α si k P Z ; les fonctions cosinus et sinus sont donc périodiques de période 2π. • Pour tout réel x, on a ´1 ď cos x ď 1 et ´1 ď sin x ď 1. • Le point M 1 n’existe pas si la droite pOM q est parallèle à la tangente au cercle trigonométrique menée depuis le point A, c’est-à-dire si l’angle α “ π2 ` kπ avec k P Z. La tangente d’un tel angle n’est donc pas définie. La valeur de la tangente de α tend en fait vers `8 si α Ñ π2 ` 2kπ et vers ´8 si α Ñ 3π 2 ` 2kπ 2.3 Expressions des lignes trigonométriques par les éléments du triangle Le théorème de Thalès permet de déduire, de la définition du cosinus, du sinus et de la tangente que dans un triangle rectangle : on a les formules bien connues : cos θ “ côté adjacent hypoténuse , sin θ “ côté opposé hypoténuse , tan θ “ côté opposé côté adjacent . Exercice 6 Soit un triangle ABC, rectangle en Â. On note a le côté opposé à l’angle Â, b le côté opposé à l’angle B̂ et c le côté opposé à l’angle Ĉ. • Calculer le cosinus des angles du triangle si : a “ 15, b “ 12 et c “ 9. • Calculer le sinus des angles du triangle si : a “ 15, b “ 12 et c “ 9. • Calculer la tangente des angles du triangle si : a “ 15, b “ 12 et c “ 9. Exercice 7 Retrouvez les lignes trigonométriques remarquables des angles π{6, π{4, π{3 en utilisant les triangles rectangles obtenus en traçant une diagonale d’un carré de côté 1 et une hauteur d’un triangle équilatéral de côté 1. 7 Mathématiques élémentaires 2.4 2015-2016 Cl. Gabriel Représentation des fonction sinus, cosinus et tangente Les courbes des fonction sinus et cosinus s’appellent des sinusoı̈des. Elle sont identiques à une translation près. La courbe de la fonction tangente n’a pas de nom. On peut remarquer que la fonction tangente n’est pas définie en x “ π2 ` kπ avec k P Z. 2.5 Formules fondamentales de la trigonométrie Le théorème de Pythagore permet d’écrire : sin2 α ` cos2 α “ 1 @α (4) Le théorème de Thalès ou la similitude des triangles OHM et OAM 1 donne : tan α “ sin α cos α En combinant ces formules, on obtient, @α ‰ 2.6 π 2 @α ‰ π ` kπ avec k P Z 2 (5) ` kπ avec k P Z : sin2 α “ cos2 α “ tan2 α 1 ` tan2 α 1 1 ` tan2 α Tableau des angles remarquables Les principales valeurs des lignes trigonométriques sont données dans le tableau ci-dessous : 8 (6) (7) Mathématiques élémentaires 2.7 2.7.1 2015-2016 Cl. Gabriel Relations entre les lignes trigonométriques de deux angles Angles opposés sinp´αq “ ´ sin α cosp´αq “ cos α tanp´αq “ ´ tan α (8) On peut constater que les fonctions sinus et tangente sont impaires tandis que la fonction cosinus est paire. 2.7.2 Angles supplémentaires et opposés supplémentaires Angles supplémentaires sinpπ ´ αq “ sin α cospπ ´ αq “ ´ cos α tanpπ ´ αq “ ´ tan α (9) Angles opposés supplémentaires sinpπ ` αq “ ´ sin α cospπ ` αq “ ´ cos α tanpπ ` αq 2.7.3 “ (10) tan α Angles complémentaires et opposés complémentaires Angles complémentaires π ´ αq 2 π cosp ´ αq 2 π tanp ´ αq 2 sinp “ cos α “ sin α “ cot α (11) 9 Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel Angles opposés complémentaires π ` αq “ 2 π cosp ` αq “ 2 π tanp ` αq “ 2 sinp 2.7.4 cos α ´ sin α (12) ´ cot α Lignes trigonométriques dans le cercle Voici sur le cercle trigonométriques l’ensemble des lignes trigonométriques des angles remarquables dans le cercle trigonométrique : Exercice 8 Retrouvez les lignes trigonométriques des angles remarquables 210˚, 330˚, 135˚, 225˚ en utilisant les formules des paragraphes précédentes et en comparant ces angles à un angle du premier quadrant. 10 Mathématiques élémentaires 3 2015-2016 Cl. Gabriel Exercices Exercice 9 Maman girafe mesure 5 m 80. Placée à 3 m de son petit, elle le voit sous un angle de 24˚. Quelle est la taille du petit ? Exercice 10 Une boı̂te cubique de 50 cm d’arête s’appuie contre un mur vertical comme indiqué sur le dessin. Sachant que le point A est à 40 cm du pied du mur, à quelle hauteur se trouve le point C ? Exercice 11 L’ombre d’un arbre s’allonge de 20 mètres lorsque l’angle que fait un rayon de soleil avec le sol passe de 31˚à 12˚. Quelle est la hauteur de cet arbre ? Exercice 12 Un homme assis dans un bateau aperçoit le sommet d’une montagne sous un angle d’élévation de 13˚. En se rapprochant du rivage, il voit le même sommet sous un angle d’élévation de 19˚. Quelle est l’altitude de la montagne sachant que le bateau a avancé de 3,5 km ? Exercice 13 Une échelle de 10 m est dressée entre deux maisons. Si on l’appuie sur la première, elle fait un angle de 40˚ avec la façade. Si on l’appuie sur la seconde, elle fait un angle de 30˚ avec la façade. Quelle est la distance entre ces deux maisons ? Exercice 14 Quelle est la hauteur d’un clocher qui a une ombre de 36 m lorsque le soleil est élevé de 37,5˚ au dessus de l’horizon ? Une cheminée de 55,3 m donne une ombre de 35,3 m. A quel angle le soleil se trouve-t-il au-dessus de l’horizon ? Exercice 15 Sur la figure ci-dessous : • Démontrer que AB 2 “ 4OB 2 ´ 4OM 2 sin2 α • Déterminer de même CD2 . • En déduire AB 2 ` CD2 . 11 Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel Exercice 16 On veut déterminer le rayon r d’une tour cylindrique que l’on observe en se promenant. L’angle de vision de la tour est l’angle (dans le plan horizontal) entre les deux extrémités observées de la tour. • Une première observation faite à une distance x du centre de la tour donne un angle de vision horizontal de 10˚. • On se rapproche ensuite de 50 mètres du centre de la tour ; on mesure alors un angle de vision horizontal de 15˚. Faire un croquis de la situation et indiquer les angles observés. Déterminer deux équations contenant r et x. Calculer le rayon r de la tour et la distance originale x. Exercice 17 Dans un repère orthonormé pO, I, Jq, on considère le cercle C de centre O et de rayon r. Soit I 1 le point de rOIq tel que OI 1 “ r. Soit P un point du cercle tel que rP I 1 s en soit un diamètre. Soit M un point { “ π rad. du cercle tel que l’angle IOM 3 { • Déterminer la nature du triangle I 1 OM , en déduire la mesure de l’angle M I 1 O ainsi que la longueur du 1 segment rI M s • A l’aide du théorème de Pythagore, déterminer P M en fonction de r • Déterminer la valeur de cos α. • Déterminer α • Que vient-on de démontrer ? 12 Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel Exercice 18 Soit un pentagone régulier ABCDE inscrit dans un cercle de rayon r et de centre O. { • Calculer x, mesure en degrés de l’angle AOB { • Déterminer α, mesure en radians de l’angle AOB • Sachant que cos 2π 5 “ ? 5´1 4 , calculer sin2 2π 5 et en déduire que : ? sin 2π 5 “ ? 2p5` 5q 4 • Montrer que le triangle AOB est isocèle en O. • Soit H le pied de la hauteur du triangle AOB passant par B. Calculer BH. En déduire l’aire du triangle AOB en fonction de r • En déduire l’aire du pentagone ABCDE en fonction de r Exercice 19 Soit le carré P ET I de côté a. Ses diagonales se coupent en O. Soit pT Jq la bissectrice de l’angle z IT O telle que le point J soit sur le segment rOIs. H est le projeté orthogonal de J sur pT Iq. L’objectif de cet exercice est de trouver les valeurs exactes de cos π{8 et sin π{8. • Exprimer en fonction de a, la longueur du segment rT Os • En utilisant dans les triangles JOT et JT H le cosinus de deux angles égaux, montrer que OT “ OH et exprimer la longueur du segment rT Hs en fonction de a. En déduire HI. • Déterminer la nature du triangle IJH et en déduire JH en fonction de a • Déterminer la nature du triangle T HJ et déduire des questions précédentes les longueurs des 3 côtés de ce triangle. • Déduire de la question précédente que : ? ? 2 cos π8 “ 2` 2 sin π8 “ et ? • Vérifier que : cos2 π 8 ` sin2 13 π 8 “1 2´1 2 “ a ? 2` 2 Mathématiques élémentaires 4 4.1 2015-2016 Cl. Gabriel Relations métriques dans un triangle rectangle Théorème de Pythagore Théorème 4.1 Théorème de Pythagore — Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit. c’est-à-dire, avec des notations modernes : a2 ` b2 “ c2 L’implication réciproque est également vraie : Théorème 4.2 Réciproque du théorème de Pythagore — Si AB 2 “ AC 2 ` BC 2 alors le triangle ABC est rectangle en C. Preuve Plusieurs centaines de démonstrations différentes ont été répertoriées pour le théorème de Pythagore. La plupart sont construites sur des égalités d’aires obtenues par découpage et recollement, voire en utilisant des rapports d’aires de triangles semblables. La définition du produit scalaire en géométrie repérée fournit aussi une démonstration purement algébrique Par soustraction d’aire Pour un triangle rectangle donné, il est possible de l’inscrire en quatre exemplaires dans les coins d’un carré dont le côté a pour longueur la somme des longueurs des cathètes. Les quatre hypoténuses forment alors un carré, par égalité de longueur et sachant que chacun de ses angles est supplémentaire des deux angles aigus du triangle. Avec les notations usuelles, l’aire totale du grand carré vaut donc pa ` bq2 et l’aire du carré intérieur vaut c2 . La différence est constituée par quatre triangles d’aire pab{2q chacun. La relation algébrique s’écrit alors pa ` bq2 “ 4pab{2q ` c2 , c’est-à-dire a2 ` 2ab ` b2 “ 2ab ` c2 , ce qui revient à a2 ` b2 “ c2 . Par le produit scalaire Dans le plan muni d’un repère orthonormé, les vecteurs portés par les côtés d’un triangle ABC vérifient la relation de Chasles : ÝÝÑ ÝÑ ÝÝÑ AB “ AC ` CB donc par bilinéarité du produit scalaire, il vient : 14 Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÑ ÝÝÑ ÝÑ ÝÝÑ ÝÑ ÝÝÑ AB 2 “ AB ¨ AB “ pAC ` CBq ¨ pAC ` CBq “ AC 2 ` CB 2 ` 2AC ¨ CB donc la relation du théorème est équivalente à l’annulation du dernier produit scalaire, ce qui correspond précisément au cas où les vecteurs sont orthogonaux, autrement dit lorsque les côtés rACs et rBCs forment un angle droit. 4.2 Théorème de la médiane pour un triangle rectangle Théorème 4.3 Dans tout triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse. Preuve Par définition M est le milieu de rBCs. Le triangle rectangle ABC est un demi-rectangle ABCD. Un rectangle est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu, donc M , milieu de rBCs, est aussi celui de rADs. Les diagonales d’un rectangle sont de longueur égales, donc AD “ BC et AM “ AD{2 “ BC{2. On peut aussi faire appel aux vecteurs : ÝÝÑ ÝÝÑ 1 ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÑ AM “ AB ` 2 BC et BC “ BA ` AC, d’où : ÝÝÑ 1 ÝÝÑ ÝÑ AM “ 2 pAB ` ACq. Ces deux derniers vecteurs sont orthogonaux, donc : Ñ ÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ Ý AC .AC “ AM 2 “ AM .AM “ AB .AB ` 4 AB 2 `AC 2 4 D’autre part, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABC, on obtient : BC 2 “ AB 2 ` AC 2 donc finalement : AM “ BC{2 15 Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel Ce théorème possède une réciproque. Théorème 4.4 Réciproque du théorème de la médiane : si dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle en le sommet opposé à ce côté. Preuve Supposons que la médiane AM du triangle ABC soit égale à la moitié du côté BM . Comme AM “ BM et AM “ M C, les triangles AM C et AM B sont alors isocèles, donc on déduit les égalités d’angles suivantes { { “C p et M { { “ B. p On a donc : A p“M { { p ` C. p Comme la somme des M AC “ ACM AB “ ABM AC ` M AB “ B p p p p angles d’un triangle vaut toujours deux droits, on a aussi A ` B ` C “ π et donc A “ π{2 et le triangle ABC est donc bien rectangle en A. La hauteur issue de l’angle droit d’un triangle rectangle possède des propriétés caractéristiques. Théorème 4.5 Si le triangle ABC est rectangle en C alors • H appartient à rABs et CH 2 “ HA.HB • H appartient à rABs et AC 2 “ AH.AB ou BC 2 “ BH.AB • CH.AB “ CA.CB Réciproquement, un triangle dans lequel l’une de ces trois propriétés est réalisée est un triangle rectangle en C Preuve Les deux premières propriétés se déduisent de l’observation des trois triangles semblables ABC, CBH et ACH. La troisième consiste à écrire l’aire du triangle rectangle en considérant successivement BC et BA comme base. Les réciproques utilisent les mêmes outils : les premières égalités traduisent des égalités de rapports et la présence d’un angle droit ou d’un angle en commun confirment la présence de triangle semblables. donc certains sont rectangles. 16 Mathématiques élémentaires 4.3 2015-2016 Cl. Gabriel Exercices Exercice 20 Déterminer les éléments manquants du triangle représenté ci-dessous. Exercice 21 Déterminer les éléments manquants du triangle ci-dessous où a “ 30, b “ 35 et c “ 40. Exercice 22 Un heptagone régulier est inscrit dans un cercle de rayon 12 cm. Calcule le périmètre et l’aire de ce polygone régulier. Généraliser ensuite à un polygone régulier quelconque. Exercice 23 Dans un triangle équilatéral ABC avec AB “ 12 cm est inscrit un triangle P QR avec P Q “ 7 cm. Détermine l’aire du triangle P QR et le segment QR. 17 Mathématiques élémentaires 5 5.1 2015-2016 Cl. Gabriel Relations métriques dans un triangle quelconque Premier théorème de la médiane ou théorème d’Apollonius Théorème 5.1 Théorème d’Apollonius — Soit ABC un triangle quelconque, et AI la médiane issue de A. On a alors la relation suivante : AB 2 ` AC 2 “ 2BI 2 ` 2AI 2 , ou encore : AB 2 ` AC 2 “ 12 BC 2 ` 2AI 2 , Preuve Démonstration par le produit scalaire ÝÝÑ ÝÑ On décompose les vecteurs AB et AC par rapport au point I et on développe : AB 2 ` AC 2 ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÑ ÝÑ Ý Ñ ÝÑ Ý Ñ ÝÑ “ AB.AB ` AC.AC “ pAI ` IBq2 ` pAI ` ICq2 Ý Ñ ÝÑ Ý Ñ ÝÑ “ AI 2 ` IB 2 ` 2AI.IB ` AI 2 ` IC 2 ` 2AI.IC ÝÑ ÝÑ Le point I est milieu de rBCs, donc IB et IC sont opposés, ce qui implique que les produits scalaires s’éliminent 2 2 et IC “ IB donc AB 2 ` AC 2 “ 2AI 2 ` 2IB 2 Démonstration n’utilisant que les théorèmes sur les distances Une autre méthode, probablement celle d’Apollonius, est la suivante : Soit H le pied de la hauteur issue de A. Les triangles BHA et AHC sont rectangles ; en y appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : AB 2 “ BH 2 ` AH 2 AC 2 AI 2 “ AH 2 ` HC 2 “ IH 2 ` AH 2 On obtient donc : AB 2 ` AC 2 “ BH 2 ` 2AH 2 ` HC 2 On exprime d’une nouvelle manière BH et HC en fonction de BI et IH (en gardant en tête que I est le milieu de BC et donc BI=IC). Notez aussi que dans notre cas de figure, le pied H de la hauteur issue de A ”atterrit” sur le segment rBIs, autrement dit entre B et I, mais cela marche pour tous les cas : BH HC “ BI ´ IH “ IC ` IH “ BI ` IH 18 Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel On remplace maintenant dans l’expression précédente : AB 2 ` AC 2 “ pBI ´ IHq2 ` 2AH 2 ` pBI ` IHq2 AB 2 ` AC 2 AB 2 ` AC 2 “ BI 2 ´ 2BI.IH ` IH 2 ` 2AH 2 ` BI 2 ` 2BI.IH ` IH 2 “ 2BI 2 ` 2IH 2 ` 2AH 2 “ 2BI 2 ` 2pIH 2 ` AH 2 q Or, on sait que, d’après les triangles rectangles du départ : IH 2 ` AH 2 “ AI 2 En remplaçant dans l’égalité précédente, on obtient : AB 2 ` AC 2 “ 2BI 2 ` 2AI 2 5.2 Deuxième théorème de la médiane Théorème 5.2 Deuxième théorème de la médiane — Soient ABC un triangle et I le milieu du segment rBCs. Alors : 1 ÝÝÑ ÝÑ AB ¨ AC “ AI 2 ´ BC 2 4 Preuve La démonstration utilise la relation de Chasles et les identités remarquables. il suffit d’exprimer les ÝÝÑ ÝÑ Ý Ñ ÝÑ vecteurs AB et AC en fonction de AI et IB. On a : ´ ¯ ´ ¯ ÝÝÑ ÝÑ Ý Ñ ÝÑ Ý Ñ ÝÑ AB.AC “ AI ` IB . AI ` IC 1 “ AI 2 ´ BC 2 4 ÝÑ ÝÑ ÝÝÑ où l’on a utilisé le fait que : ´IB “ IC “ BC 2 . 5.3 Troisième théorème de la médiane Théorème 5.3 Troisième théorème de la médiane — Soient ABC un triangle et I le milieu du segment rBCs. On note H le projeté orthogonal de A sur pBCq. Alors : ˇ ˇ ˇAB 2 ´ AC 2 ˇ “ 2BC.IH . Preuve Il suffit d’utiliser le produit scalaire et les identités remarquables : AB 2 ´ AC 2 AB 2 ´ AC 2 ÝÝÑ ÝÑ ÝÝÑ ÝÑ “ pAB ` ACq ¨ pAB ´ ACq Ý Ñ ÝÝÑ “ 2AI ¨ CB Ý Ñ ÝÝÑ ÝÑ La projection de AI sur BC est HI d’où ÝÑ ÝÝÑ AB 2 ´ AC 2 “ 2HI ¨ CB Ce produit scalaire de deux vecteurs colinéaires est égal à BC.IH ou son opposé, d’où la valeur absolue. 5.4 Théorème d’Al-Kashi ou théorème de Pythagore généralisé Soit un triangle quelconque ABC, dans lequel on utilise les notations usuelles exposées sur la figure ci-dessous : d’une part α,β et γ pour les angles et, d’autre part, a, b et c pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles, c’est-à-dire plus précisément : • a “ BC et α = angle formé par rABs et rACs ; • b “ AC et β = angle formé par rBAs et rBCs ; • c “ AB et γ = angle formé par rCAs et rCBs. 19 Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel Théorème 5.4 On a toujours les relations suivantes : a2 2 b c2 “ b2 ` c2 ´ 2bc cos α 2 (13) 2 “ a ` c ´ 2ac cos β “ a2 ` b2 ´ 2ab cos γ (14) (15) Preuve Tout comme le théorème de Pythagore, le théorème d’Al-Kashi possède de nombreuses démonstrations, certaines utilisant des propriétés sur les aires comme celles d’Euclide ou d’Al-Kashi, d’autres utilisant des propriétés trigonométriques ou liées au cercle. Enfin, le théorème d’Al-Kashi peut être vu comme une application des propriétés sur le produit scalaire. Démonstration d’Euclide La démonstration d’Euclide s’appuie sur le théorème de Pythagore et fait intervenir le point H pied de la hauteur issue de B. Pour Euclide cette propriété est une propriété sur des aires. Pour l’angle obtus, Euclide construit le carré extérieur au triangle AHC de côté rAHs et remarque que : CH 2 ` CA2 ` 2.CH.AC “ AH 2 Il lui suffit alors d’ajouter l’aire du carré de côté HB HB 2 ` CH 2 ` CA2 ` 2.CH.AC “ AH 2 ` HB 2 et d’utiliser deux fois le théorème de Pythagore (dans les triangles rectangles BCH et ABH) pour obtenir : CB 2 ` CA2 ` 2.CH.CA “ AB 2 . Comme d’autre part, par définition du cosinus, on a : cos γ “ ´ cospπ ´ γq “ CH CB , on déduit finalement : CB 2 ` CA2 ´ 2. cos γ.CB.CA “ AB 2 Une démonstration analogue est réalisable pour l’angle aigu. À l’aide du produit scalaire En utilisant le calcul vectoriel, plus précisément le produit scalaire, il est possible de retrouver le théorème d’Al-Kashi en quelques lignes : c2 ÝÑ “ ∥AB∥2 ÝÑ ÝÑ “ ∥CB ´ CA∥2 ÝÑ ÝÑ ÝÑ ÝÑ “ ∥CB∥2 ´2 ¨ CB ¨ CA ` ∥CA∥2 z ` CA2 “ CB2 ´ 2 ¨ |CB| ¨ |CA| cos ACB “ a2 ` b2 ´ 2ab cos γ . 20 Mathématiques élémentaires 5.5 2015-2016 Cl. Gabriel Loi des sinus On considère un triangle quelconque ABC, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante : La formule dite des sinus est alors : On a même mieux : a b c “ “ , sin α sin β sin γ (16) a b c abc “ “ “ “ 2R, sin α sin β sin γ 2S (17) où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC et S est l’aire du triangle ABC. Preuve Nous présentons ici deux preuves de cette formule importante : En exprimant une hauteur de deux manières On trace la hauteur issue de C ; elle divise le triangle ABC en deux triangles rectangles. Notons h cette hauteur, on peut appliquer la définition du sinus dans les deux petits triangles rectangles pour exprimer h : sin α “ et sin β “ ha . h b Dont on tire deux expressions pour h : h “ b sin α “ a sin β et donc : a sin α b sin β . “ En faisant de même avec la hauteur issue de A on obtient : b sin β c sin γ . “ Par le calcul de l’aire du triangle L’aire S du triangle peut se calculer en choisissant le côté AB “ c comme base et h comme hauteur et on obtient alors : S“ cˆh 2 “ cˆb sin α 2 “ 12 bc sin α . Ainsi l’aire S du triangle peut être exprimée de l’une de ces trois façons selon le côté que l’on choisit comme base : S “ 12 bc sin α “ 12 ac sin β “ 12 ab sin γ . En multipliant par 2{abc on obtient : 2S abc “ sin α a “ sin β b “ sin γ c . Finalement en prenant l’inverse on obtient bien la relation énoncée : a sin α “ b sin β “ 21 c sin γ “ abc 2S . Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel Lien avec le rayon du cercle circonscrit Dans le cercle circonscrit à ABC, (ce cercle a pour centre le point d’intersection des médiatrices des côtés du triangle), on trace le diamètre rAZs. Deux cas sont à envisager selon que Z est sur le même arc de cercle que B, d’extrémités A et C, ou bien sur l’arc complémentaire. Dans le premier cas de figure, les angles inscrits B et Z sont égaux. Dans le second cas de figure, les angles inscrits B et Z sont supplémentaires, et on a donc sin Ẑ “ sinpπ ´ B̂q “ sin B̂. En effet, il résulte du théorème de l’angle au centre que deux angles inscrits qui interceptent la même corde sont égaux ou bien supplémentaires. Dans les deux cas, le triangle AZC étant rectangle en C, on en déduit : AZ “ AC sin Ẑ 2R “ b sin B̂ c’est-à-dire : Ceci montre que le rayon du cercle circonscrit ne dépend que d’un côté et de l’angle opposé, c’est à dire de l’angle inscrit qui intercepte ce côté. Il résulte de ces égalités la forme suivante de la loi des sinus : a sin α 5.6 “ b sin β c sin γ “ “ abc 2S “ 2R, Formule de Héron En géométrie euclidienne, la formule de Héron, du nom de Héron d’Alexandrie, permet de calculer l’aire d’un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle : a S “ ppp ´ aqpp ´ bqpp ´ cq (18) avec p “ 12 pa ` b ` cq p est donc le demi-périmètre du triangle, a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle et S est l’aire du triangle. Preuve La formule de Héron peut se déduire de manière calculatoire du théorème d’Al-Kashi en utilisant cos γ “ a2 `b2 ´c2 2ab puis la formule classique de l’aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents : S “ “ “ “ “ “ 1 ab sin γ 2 1 a ab 1 ´ cos2 γ 2 1 a ab p1 ´ cos γqp1 ` cos γq 2 d ˙ˆ ˙ ˆ c2 ´ a2 ´ b2 1 c2 ´ a2 ´ b2 ab 1` 1´ 2 2ab 2ab a 1 ppa ` bq2 ´ c2 q pc2 ´ pa ´ bq2 q 4 1a pa ` b ` cqpa ` b ´ cqp´a ` b ` cqpa ´ b ` cq 4 On obtient la formule de Héron en substituant a “ 2p ´ b ´ c dans la formule ci-dessus. 22 Mathématiques élémentaires 5.7 2015-2016 Cl. Gabriel Exercices Exercice 24 quants. • Dans un triangle ABC, on a BC “ 8, B “ 50˚, C “ 110˚ Déterminer les éléments man- • Dans un triangle ABC, on a BC “ 7, B “ 50˚,  “ 80˚ Déterminer les éléments manquants. • Dans un triangle ABC, on a BC “ 25, AC “ 10 et Ĉ “ 80˚ Déterminer les éléments manquants. • Dans un triangle ABC, on a BC “ 7, 5, AC “ 10 et Ĉ “ 42˚ Déterminer les éléments manquants. • Dans un triangle ABC, on a BC “ 36, B̂ “ 45˚ et Ĉ “ 62˚ Déterminer l’aire de ABC. Exercice 25 Soit ABC un triangle défini par AB “ 2, BC “ 1, et B̂ “ π3 . Déterminer la longueur AC et les angles  et Ĉ. ? ? Exercice 26 Soit ABC un triangle défini par AB “ 2, BC “ 2, et AC “ 2. Déterminer la mesure en radians des angles Â, B̂ et Ĉ. Exercice 27 Soit ABCD un quadrilatère convexe, dans lequel on donne les longueurs AB “ 20, AC “ 40 et { “ 60˚ et ACD { “ 45˚. Déterminer l’aire de ABCD. CD “ 30, ainsi que les angles BAC Exercice 28 Soit un terrain ABCD comptant quatre côtés droits, défini par ses diagonales AC “ 40 mètres ÝÑ ÝÝÑ { et BD “ 20 mètres, et par l’angle α “ AC, BD “ π6 . Déterminer la surface S du terrain ABCD. Exercice 29 (Calcul d’une hauteur ! inaccessible "). Soit ABC un triangle ayant l’angle B̂ obtus, tel que { “ 74˚et U { AB “ 50, BAC BC “ 81˚. Soit H le projeté orthogonal de C sur pABq. Déterminer la hauteur CH. Exercice 30 (Calcul d’une hauteur ! inaccessible  “ 105˚, B̂ “ 36˚ et AB “ 300. Déterminer CH. " { “ 42˚, bis). Sur la figure ci-dessous, on donne HAC Exercice 31 Dans un triangle ABC, avec les notations usuelles, montrer que a “ b cos Ĉ ` c cos B̂ pour en déduire la formule d’addition : sinpB̂ ` Ĉq “ sin B̂ cos Ĉ ` sin Ĉ cos B̂. 6 6.1 Formulaire de trigonométrie Formules d’addition On peut démontrer les formules suivantes : sinpa ` bq “ sinpa ´ bq “ sin a cos b ` cos a sin b sin a cos b ´ cos a sin b (19) (20) cospa ` bq cospa ´ bq cos a cos b ´ sin a sin b cos a cos b ` sin a sin b tan a ` tan b 1 ´ tan a tan b tan a ´ tan b 1 ` tan a tan b (21) (22) “ “ tanpa ` bq “ tanpa ´ bq “ 23 (23) (24) Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel Voici par exemple une démonstration utilisant la géométrie analytique et le produit scalaire. Soient a et b deux réels. Dans un repère orthonormé pO;⃗i,⃗jq, posons A et B les points du cercle trigonométrique tels que : ÝÑ ÝÑ ÝÝÑ Ý Ñ { { p i , OAq “ a et pOA, OBq “ b. Soit encore A1 le point du cercle trigonométrique tel que : ÝÝÑ { Ý Ñ p i , OA1 q “ a ` π2 . Alors : ÝÑ OA “ cospaq⃗i ` sinpaq⃗j ´ ´ ÝÝÑ1 π ¯⃗ π ¯⃗ i ` sin a ` j OA “ cos a ` 2 2 “ ´ sinpaq⃗i ` cospaq⃗j ÝÝÑ OB “ cospa ` bq⃗i ` sinpa ` bq⃗j. Mais dans le repère Ý Ñ ÝÑ pO;OA,OA1 q, ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÑ OB “ cospbqOA ` sinpbqOA1 ´ ¯ ´ ¯ “ cos b cospaq⃗i ` sinpaq⃗j ` sin b ´ sinpaq⃗i ` cospaq⃗j “ pcos a cos bq⃗i ` psin a cos bq⃗j ´ psin a sin bq⃗i ` pcos a sin bq⃗j “ pcos a cos b ´ sin a sin bq⃗i ` psin a cos b ` cos a sin bq⃗j ÝÝÑ Or OB “ cospa ` bq⃗i ` sinpa ` bq⃗j, d’où : cospa ` bq⃗i ` sinpa ` bq⃗j “ pcos a cos b ´ sin a sin bq⃗i ` psin a cos b ` cos a sin bq⃗j. Les composantes d’un vecteur étant uniques, nous pouvons identifier : cospa ` bq “ cos a cos b ´ sin a sin b sinpa ` bq “ sin a cos b ` cos a sin b. Ainsi, cospa ´ bq “ cospa ` p´bqq “ cos a cosp´bq ´ sin a sinp´bq “ cos a cos b ` sin a sin b sinpa ´ bq “ sinpa ` p´bqq “ sin a cosp´bq ` cos a sinp´bq “ sin a cos b ´ cos a sin b. 24 Mathématiques élémentaires 2015-2016 Cl. Gabriel Enfin, tanpa ` bq “ “ “ “ tanpa ´ bq “ “ “ sinpa ` bq cospa ` bq sin a cos b ` cos a sin b cos a cos b ´ sin a sin b sin a cos b ` cos a sin b cos a cos b ˆ cos a cos b cos a cos b ´ sin a sin b tan a ` tan b 1 ´ tan a tan b tanpa ` p´bqq tan a ` tanp´bq 1 ´ tan a tanp´bq tan a ´ tan b . 1 ` tan a tan b Voici une autre preuve, utilisant seulement les définitions des lignes trigonométriques ; sur la figure suivante, on a: CE CD ` DE CD DE CD CB BA OB “ “ ` “ ` OC OC OC OC CB OC OB OC “ cos α sin β ` sin α cos β sinpα ` βq “ cospα ` βq “ sin α cos β ` cos α sin β OE OA ´ EA OA EA OA OB DB CB “ “ “ ´ “ ´ OC OC OC OC OB OC CB OC “ cos α cos β ´ sin α sin β Les autres formules d’addition se déduisent alors des propriétés de parité des fonctions trigonométriques (8) : sinpα ´ βq “ sin α cos β ´ cos α sin β cospα ´ βq cos α cos β ` sin α sin β “ 25 Mathématiques élémentaires 6.2 2015-2016 Formules de duplication (ou de l’arc double) cos 2a sin 2a tan 2a 6.3 6.4 “ cos2 a ´ sin2 a (25) 2 (26) (27) (28) “ 2 cos a ´ 1 “ 1 ´ 2 sin2 a “ 2 sin a cos a 2 tan a “ 1 ´ tan2 a (29) Formules de linéarisation (ou formules de Carnot) cos2 a “ sin2 a “ 1 ` cos 2a 2 1 ´ cos 2a 2 (30) (31) Formules de transformation de produit en somme cos a cos b sin a sin b sin a cos b 6.5 Cl. Gabriel 1 rcospa ` bq ` cospa ´ bqs 2 1 “ ´ rcospa ` bq ´ cospa ´ bqs 2 1 “ rsinpa ` bq ` sinpa ´ bqs 2 “ (32) (33) (34) Formules de transformation de somme en produit (ou formules de Simpson) ˙ ˆ ˙ a´b a`b cos 2 cos 2 2 ˆ ˙ ˆ ˙ a`b a´b ´2 sin sin 2 2 ˆ ˙ ˆ ˙ a`b a´b 2 sin cos 2 2 ˆ ˙ ˆ ˙ a`b a´b 2 cos sin 2 2 sinpa ` bq cos a cos b sinpa ´ bq cos a cos b ˆ cos a ` cos b “ cos a ´ cos b “ sin a ` sin b “ sin a ´ sin b “ tan a ` tan b “ tan a ´ tan b “ 26 (35) (36) (37) (38) (39) (40) Mathématiques élémentaires 6.6 2015-2016 Cl. Gabriel Exercices Exercice 32 Démontrer toutes les formules énoncées précédemment. Exercice 33 Calculer les valeurs de sin π8 et cos π8 en utilisant les formules de duplication. π π Exercice 34 En utilisant les formules d’addition, calculer la valeur exacte de sin 12 et cos 12 .(On pourra utiliser π π π l’égalité 12 “ 3 ´ 4 ). 7π Exercice 35 En utilisant les formules d’addition, calculer la valeur exacte de sin 7π 12 et cos 12 .(On pourra utiliser 7π π π l’égalité 12 “ 4 ` 3 ). Exercice 36 Démontrer que pour tout réel x, on a : cos4 x ´ sin4 x “ cosp2xq. Exercice 37 Démontrer que, pour tout réel x différent de k π2 où k P Z : sin 3x sin x ´ cos 3x cos x “2 Exercice 38 Soit ABC un triangle non rectangle. • Démontrer que : tanpA ` Bq “ ´ tan C • À l’aide de la relation tanpA ` Bq “ tan A`tan B 1´tan A tan B (que l’on pourra redémontrer au passage), prouver que : tan A ` tan B ` tan C “ tan A. tan B. tan C Exercice 39 Montrez que : cos4 π 8 ` cos4 3π 8 ` cos4 5π 8 ` cos4 7π 8 “ 3 2 Exercice 40 Démontrer les identités suivantes, en précisant à chaque fois leur domaine de validité : • 1´cos x sin x • 1 tan x “ tan x2 ` ˘ ` ˘ 2π • sin x ´ 2π “0 3 ` sin x ` sin x ` 3 `π ˘ `π ˘ • tan 4 ` x ` tan 4 ´ x “ cos22x ´ tan x “ 2 tan 2x 27