Fonctions trigonométriques Cours CHAPITRE 8 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 1. PLAN D’ÉTUDE D’UNE FONCTION TRIGONOMÉTRIQUE PERIODIQUE On considère un repère orthogonal (O , i , j ) 1. Déterminer le domaine de définition D de la fonction. 2. Recherche d’une éventuelle période T (T>0 le plus petit possible). On étudie la fonction pour x ∈ E1 = [ α , α + T ] ∩ D, avec α à déterminer en tenant compte des autres propriétés de la fonction. 3. Parité ou imparité Si la fonction est paire ou impaire, on prend en général α = − T et donc l’intervalle 2 T T T E1 = − , ∩ D et l’on réduit l’étude à l’intervalle E2 = 0, ∩D 2 2 2 Remarque On peut aussi prendre α = 0 et dans certains cas d’autres valeurs de α sont préférables. 4. Centre de symétrie. Axe de symétrie On peut aussi réduire l’intervalle d’étude dans le cas où la fonction admet un centre de symétrie I ( a , b) (autre que l’origine) ou un axe de symétrie x = a (autre que x = 0 ) 5. Etude de la fonction dérivée. Limites aux bornes du domaine de définition. Tableau de variation. 6. Représentation graphique de la fonction. Gérard Hirsch – Maths54 1 Fonctions trigonométriques Cours Remarque Certaines étapes comme le 2 (ou le 3 ou le 4) peuvent ne pas se produire 2. Etude de la fonction sinus Soit la fonction f : x sin x • La fonction sinus est définie sur D = • La fonction sinus est périodique de période T = 2 π En effet ∀x ∈ D , x + 2π ∈ D et sin( x + 2π) = sin x Il suffit donc d’étudier la fonction sur E1 = [ − π , π ] • La fonction sinus est impaire En effet ∀x ∈ D , − x ∈ D et sin(− x) = − sin x • On réduit l’étude de la fonction à E2 = [ 0 , π ] • La courbe représentative de la fonction sinus admet la droite d’équation x = π pour axe de 2 symétrie En effet π π π π + x ∈ D ⇔ − x ∈ D et sin( + x) = sin( − x) 2 2 2 2 ∀x ∈ D π On réduit (encore) l’étude de la fonction à E3 = 0 , 2 • La fonction sinus est dérivable sur D = et (sin x) ' = cos x avec cos x ≥ 0 pour π x ∈ E3 = 0 , 2 Tableau de variation : x f 0 1 2 + 0 1 f 0 Gérard Hirsch – Maths54 2 Fonctions trigonométriques Cours • Courbe représentative : π Pour x ∈ E3 = 0 , , on obtient l’arc générateur de la courbe représentant les variations de 2 la fonction. 1 0 1 Pour x ∈ E2 = [ 0 , π ] : on passe de l’arc générateur obtenu pour π x ∈ E3 = 0 , 2 à l’arc obtenu pour x ∈ E2 = [ 0 , π ] en effectuant la symétrie par rapport à la droite d’équation x = π 2 1 0 1 2 3 Pour x ∈ E1 = [ − π , π ] : on passe de l’arc obtenu pour x ∈ E2 = [ 0 , π ] à l’arc obtenu pour x ∈ E1 = [ − π , π ] en effectuant la symétrie par rapport à l’origine O du repère Gérard Hirsch – Maths54 3 Fonctions trigonométriques Cours 1 -3 -2 0 -1 1 2 3 -1 Pour x ∈ D = R : on passe de l’arc obtenu pour x ∈ E1 = [ − π , π ] à l’arc obtenu pour x ∈ D = R en effectuant les translations 2 k π i , k ∈ Z 1 0 -5 5 10 -1 3. Etude de la fonction cosinus Soit la fonction f : x cos x • La fonction cosinus est définie sur D = • La fonction cosinus est périodique de période T = 2 π En effet ∀x ∈ D , x + 2π ∈ D et cos( x + 2π) = cos x Il suffit donc d’étudier la fonction sur E1 = [ − π , π ] • La fonction cosinus est paire Gérard Hirsch – Maths54 4 Fonctions trigonométriques En effet ∀x ∈ D , Cours − x ∈ D et cos(− x) = cos x On réduit l’étude de la fonction à E2 = [ 0 , π ] • La courbe représentative de la fonction cosinus admet le point I = ( π , 0 ) pour centre de 2 symétrie En effet π π π π + x ∈ D ⇔ − x ∈ D et cos( + x) + cos( − x) = − sin x + sin x = 0 2 2 2 2 ∀x ∈ D π On réduit (encore) l’étude de la fonction à E3 = 0 , 2 • La fonction cossinus est dérivable sur D = et (cos x) ' = − sin x π avec − sin x ≤ 0 pour x ∈ E3 = 0 , 2 • Tableau de variation : x f 0 2 − 0 -1 1 f 0 • Courbe représentative : π Pour x ∈ E3 = 0 , , on obtient l’arc générateur de la courbe représentant les variations de 2 la fonction. 1 0 1 Pour x ∈ E2 = [ 0 , π ] : Gérard Hirsch – Maths54 5 Fonctions trigonométriques on passe de l’arc générateur obtenu pour Cours π x ∈ E3 = 0 , 2 x ∈ E2 = [ 0 , π ] en effectuant la symétrie par rapport au point I = ( à l’arc obtenu pour π ,0) 2 1 0 1 2 3 -1 Pour x ∈ E1 = [ − π , π ] : on passe de l’arc obtenu pour x ∈ E2 = [ 0 , π ] à l’arc obtenu pour x ∈ E1 = [ − π , π ] en effectuant la symétrie par rapport à l’axe Oy 1 -3 -2 0 -1 1 2 3 -1 Pour x ∈ D = R : on passe de l’arc obtenu pour x ∈ E1 = [ − π , π ] à l’arc obtenu pour x ∈ D = R en effectuant les translations 2 k π i , k ∈ Z Gérard Hirsch – Maths54 6 Fonctions trigonométriques Cours 1 0 -5 5 10 -1 4. Etude de la fonction tangente Soit la fonction f : x tan x • La fonction tangente est définie par tan x = sin x π sur D = ∪ + k π k ∈ Z k ∈ Z cos x 2 • La fonction tangente est périodique de période T = π En effet ∀x ∈ D , x + π ∈ D et tan( x + π) = sin( x + π) − sin x = = tan x cos( x + π) − cos x π π Il suffit donc d’étudier la fonction sur E1 = − , 2 2 • La fonction tangente est impaire En effet ∀x ∈ D , − x ∈ D et tan(− x) = sin(− x) − sin x = = − tan x cos(− x) cos x π On réduit l’étude de la fonction à E2 = 0 , 2 π • La fonction tangente est dérivable sur D = ∪ + k π k ∈ Z k∈Z 2 2 2 sin x ' (sin x) 'cos x − sin x(cos x) ' cos x + sin x = = 1 + tan 2 x et (tan x) ' = = 2 2 cos x cos x cos x avec (tan x) ' = 1 π = 1 + tan 2 x > 0 pour x ∈ E2 = 0 , 2 cos x 2 • Limite aux bornes du domaine de définition : Gérard Hirsch – Maths54 7 Fonctions trigonométriques π Puisque limπ sin x = sin( ) = 1 2 x→ x< Cours π lim cos x = lim cos( ) = 0+ π π 2 x→ x→ et 2 π 2 x< 2 π 2 x< 2 π 2 alors limπ tan x = +∞ x→ x< 2 π 2 La droite d’équation x = π est asymptote à la courbe 2 • Tableau de variation : x f 0 2 + 1 + f 0 • Courbe représentative : π Pour x ∈ E2 = 0 , , on obtient l’arc générateur de la courbe représentant les variations de 2 la fonction. 3 2 1 0 1 π π Pour x ∈ E1 = − , : 2 2 Gérard Hirsch – Maths54 8 Fonctions trigonométriques on passe de l’arc générateur obtenu pour π x ∈ E2 = 0 , 2 Cours à l’arc obtenu pour π π x ∈ E1 = − , en effectuant la symétrie par rapport au l’origine O du repère. 2 2 3 2 1 -1 0 1 -1 -2 -3 π Pour x ∈ D = ∪ + k π k ∈ Z : k∈Z 2 π π π on passe de l’arc obtenu pour x ∈ E1 = − , à l’arc obtenu pour D = ∪ + k π k ∈ Z k ∈ Z 2 2 2 en effectuant les translations 3 2 1 -5 0 5 10 -1 -2 -3 Gérard Hirsch – Maths54 9