Espaces vectoriels normés

Mathématiques MP2
Espaces vectoriels normés
Résumé de cours
N ORMES ET DISTANCES
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Méthode (Méthode pour la non-équivalence)
N1 (x n )
N2 (x n )
est de limite infinie - pour cela on peut essayer de construire une suite de vecteurs unitaires pour l’une des normes (et de
limite nulle ou infinie - suivant le sens - pour les normes de l’autre).
Pour prouver qu’une norme N1 n’est pas dominée par N2 , on essaie de construire une suite de vecteurs telle que
N ORMES
Définition 1 (Norme)
on appelle norme sur E une application :
→ N : E → R+ (existence et positivité),
→ N (x) = 0 ⇒ x = 0 (définie),
→ N (λx) = |λ|N (x) (homogénéité),
→ N (x + y) É N (x) + N (y) (inégalité triangulaire).
On notera ∥·∥ à la place de N .
S UITES
L IMITE
Définition 4 (Convergence, limite)
Proposition 1 (Différentes normes)
p
→ si ⟨·|·⟩ est un produit scalaire sur E , alors l’application x 7→ ⟨x|x⟩ est une norme. Une norme provenant d’un
produit scalaire est appelée norme euclidienne.
→ si F est un sev de E , l’application x 7→ ∥x∥E définit une norme sur F , appelée norme induite sur F par ∥·∥.
→ si (E i , Ni )1Éi Ép sont des K-ev, on munit E = E 1 × . . . × E p d’une norme par ∥(x 1 , . . . , x p )∥ = sup Ni (x i ).
i ∈J1 ;p K
Définition 2 (Algèbre normée)
on dit qu’une algèbre E est une algèbre normée, lorsque E est un evn et que la norme vérifie ∥x.y∥ É ∥x∥∥y∥ pour tout
x, y ∈ E . On dit que c’est une algèbre normée unitaire si, de plus, ∥1E ∥ = 1.
→ une suite (u n )n∈N ∈ E N converge vers ℓ ∈ E lorsque ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N, ∀n Ê n 0 , ∥u n − ℓ∥ < ε.
→ si la limite existe, elle est unique et on la limite lim u n .
n→+∞
Propriété 5 (suites convergentes)
→ une suite convergente est bornée.
→ on dispose des opérations usuelles sur les limites (combinaison linéaire, produit dans une algèbre normée).
→ dans un espace produit muni de la norme infinie produit, une suite converge si et seulement si, chaque suite
composante converge.
Proposition 6 (Dimension finie)
si {e 1 , . . . , e p } est une base de l’evn de dimension finie E , on peut écrire, pour n ∈ N, u n =
D ISTANCES
Proposition 2 (Distance associée à une norme)
Propriété 3 (Distance à une partie)
VALEURS D ’ ADHÉRENCE
k=1
u n(k) e k . Si ℓ =
p
∑
ℓk e k , alors
k=1
lim u n = ℓ ⇔ lim u n(k) = ℓk pour tout k ∈ J1; p K.
n→+∞
L’application (x, y) 7→ ∥x − y∥ est une distance sur E , appelée distance associée à la norme ∥·∥. Elle est invariante pas
translation.
p
∑
n→+∞
Définition 5 (valeur d’adhérence)
si A ⊂ E non vide, on peut définir la distance à A par d (x, A) = inf ∥x − a∥.
a∈A
¯
¯
→ elle est 1-lipschitzienne : ¯d (x, A) − d (y, A)¯ É ∥x − y∥.
→ d (x, A) = 0 ⇔ x ∈ A
on dit que ℓ est une valeur d’adhérence de (u n )n∈N lorsqu’il existe une suite extraite (u φ(n) )n∈N qui converge vers ℓ.
Proposition 7 (lien avec la limite)
soit (u n ) une suite de E .
→ si (u n ) converge vers ℓ, alors la suite n’admet qu’une valeur d’adhérence ℓ - si une suite admet deux valeurs d’adhérence, elle diverge.
→ une suite n’admettant qu’une seule valeur d’adhérence n’est pas forcément convergente.
→ une suite d’un compact avec une seule valeur d’adhérence converge vers cette valeur d’adhérence (c’est le cas des
suites bornées de K ou d’une K-ev de dimension finie).
N ORMES ÉQUIVALENTES
Définition 3 (Domination, équivalence)
soit N1 et N2 deux normes sur E . On dit que
→ N1 domine N2 lorsqu’il existe α > 0 tel que N2 É αN1 .
→ N1 et N2 sont équivalentes lorsqu’il existe α, β > 0 tels que βN1 É N2 É αN1 .
Proposition 8 (fermeture (hors.prog.))
Théorème 1 (Dimension finie)
l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite est un fermé, plus précisément
+∞
∩
n=0
si E est un espace vectoriel de dimension finie, alors toutes les normes sur E sont équivalentes.
{x k , k Ê n}.
Propriété 4 (normes équivalentes)
si N1 et N2 sont équivalentes, alors
→ elles conservent la nature des suites et la valeur des limites (suites), les valeurs d’adhérence
→ elles conservent les propriétés de limites et continuité (fonctions), le fait d’être lipschitzien,
→ elles ont les mêmes ouverts, fermés, bornés, compacts (mais les boules sont différentes), les adhérences et intérieurs sont conservés.
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T OPOLOGIE
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Définition 10 (et propriétés)
→ une partie A est dense dans E lorsque A = E .
→ on appelle frontière de A le fermé FrA = Ā\ Å.
→ si A ⊂ E , E \ Å = E \A.
O UVERTS
Définition 6 (ouvert, voisinage)
→ une partie O de E est ouverte lorsque, pour tout x ∈ O, il existe r > 0 tel que B (x, r ) ⊂ O.
→ une partie A de O est un voisinage de x lorsqu’il existe r > 0 tel que B (x, r ) ⊂ A (A contient une boule ouverte
centrée en x).
Propriété 9 (ouverts)
→ E , ;, les boules ouvertes sont ouverts.
→ une union quelconque d’ouvert, une intersection finie d’ouverts sont des ouverts.
Méthode (partie dense)
Pour montrer que X est dense dans A :
→ montrer que A ⊂ X ,
→ montrer que pour tout a ∈ A, il existe une suite (x n ) d’éléments de X qui converge vers a,
→ montrer que pour tout a ∈ A et v ar epsi l on > 0, il existe x ∈ X tel que ∥x − a∥ < ε.
T OPOLOGIE RELATIVE
Définition 7 (intérieur)
→ x est intérieur à A lorsqu’il existe r > 0 tel que B (x, r ) ⊂ A.
→ l’intérieur de A, noté Å, est l’ensemble des points intérieurs à A - c’est le plus grand ouvert contenu dans A, à
savoir la réunion de tous les ouverts de E contenus dans A :
Å =
∪
O.
O ouvert ⊂A
Définition 11 (toplogie relative)
soit A une partie de E , un partie B ⊂ A est
→ un ouvert relatif de A lorsqu’il existe O ouvert de E tel que B = A ∩ O,
→ un fermé relatif de A lorsqu’il existe F fermé de E tel que B = A ∩ F ,
C OMPACTS
→ A est ouvert si et seulement si, A = Å.
Définition 12 (compact)
F ERMÉS
soit K une partie de E . On dit que K est compact lorsque toute suite d’éléments de K admet une valeur d’adhérence dans
K (i.e. admet une suite extraite convergente dans K ).
Définition 8 (fermé)
Théorème 2 (Bolzano-Weierstrass)
une partie F de E est fermée lorsque E \F est ouvert.
soit (u n ) une suite bornée de réels, alors on peut en extraire une suite convergente. Ce résultat se généralise pour les
suites complexes et les suites dans un evn de dimension finie.
Propriété 10 (fermés)
→ E , ;, les boules fermées sont fermés.
→ une union finie de fermés, une intersection quelconque de fermés sont des fermés.
Propriété 12 (propriétés topologiques)
Définition 9 (adhérence)
→ On dit que x est adhérent à A lorsque, pour tout r > 0, B (x, r ) ∩ A ̸= ;.
→ L’adhérence de A, notée A est l’ensemble des points adhérents à A. C’est le plus petit fermé qui contient A, à savoir
Ā =
∩
F.
→
→
→
→
→
si K est une partie compacte de E alors K est fermée et bornée
si K ′ est une partie d’un compact K alors K ′ est compact si et seulement si K ′ est fermé
si E est de dimension finie alors les compacts sont exactement les fermés bornés
un produit fini de compacts est encore compact (dans l’ev produit avec la norme infini produit)
une suite d’un compact avec une unique valeur d’adhérence converge vers cette valeur d’adhérence
A⊂F fermé
L IMITE ET CONTINUITÉ
→ A est fermé si et seulement si A = A
Propriété 11 (caractérisations séquentielles)
D ÉFINITIONS
1. x ∈ A si et seulement si il existe une suite d’éléments de A qui converge vers x.
Dans cette partie, E et F sont deux evn et A ⊂ E non vide.
2. F est fermé si et seulement si, pour toute suite (x n ) de F qui converge vers x ∈ E , on a x ∈ F .
Définition 13 (limite)
Méthode (montrer qu’une partie est fermée)
soit A dans E , on veut montrer que F est un fermé. On peut
→ montrer que son complémentaire est un ouvert,
→ montrer qu’elle peut s’écrire comme intersection, réunions de fermés
→ choisir une suite quelconque de vecteurs (x n ) de A qui converge vers x dans E et montrer que x ∈ A,
→ montrer que c’est l’image réciproque d’un fermé par une application continue
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année 2016/2017
soit f : A → F et a adhérent à A. On dit que f admet ℓ pour limite en a lorsque
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ A, ∥x − a∥E < α ⇒ ∥ f (x) − ℓ∥F < ε.
Cette limite est alors unique. Elle est notée lim f (x). L’existence d’une limite revient à
x→a
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ A ∩ B (a, α), ∥ f (x) − ℓ∥F < ε.
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C ONNEXITÉ PAR ARCS
Définition 14 (continuité)
On se place dans le cas où E est un evn de dimension finie.
→ soit f : A → F et a ∈ A. On dit que f est continue en a lorsque lim f (x) = f (a).
x→a
→ On dit que f est continue sur A lorsqu’elle est continue en tout point de A.
Définition 17 (connexité par arcs)
Définition 15 (applications lipschitziennes)
on dit que A ⊂ E est connexe par arcs, lorsque, pour tout a, b ∈ A, il existe f : [0, 1] → A continue telle que f (0) = a et
f (1) = b.
→ f : A → E est K -lipschitzienne lorsque, ∀x, y ∈ A, ∥ f (x) − f (y)∥F É K ∥x − y∥E .
→ Une telle application lipschitzienne est continue sur A.
→ Une somme, une composée d’applications lipschitziennes est lipschitzienne.
Propriété 17 (connexes par arcs)
Proposition 13 (Caractérisations de la limite)
→ par les suites : on a lim f (x) = ℓ si et seulement si, pour tout suite (u n ) d’éléments de A qui converge vers a, ( f (u n ))
x→a
→ les parties convexes sont connexes par arcs, les parties étoilés également,
→ l’image d’un connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs,
→ dans R, les connexes par arcs sont les intervalles
converge vers ℓ,
→ par les voisinages : on a lim f (x) = ℓ si et seulement si, pour tout voisinage V de ℓ, il existe U un voisinage de a
tel que f (U ∩ A) ⊂ V .
A PPLICATIONS LINÉAIRES , BILINÉAIRES
x→a
Propriété 18 (Continuité des applications linéaires)
O PÉRATIONS
soit f : (E , ) → (F, ∥·∥F ) une application linéaire. Cette application est continue sur E si et seulement si, il existe K Ê 0 tel
que ∀x ∈ E , ∥ f (x)∥F É K ∥x∥E .
Propriété 14 (opérations sur les limites)
Propriété 19 (application bilinéaire)
soit f , g : A → F qui admettent une limite, respectivement ℓ et ℓ′ en a ∈ Ā.
→ pour tout λ ∈ K, lim ( f (x) + λg (x)) = ℓ + λℓ′ ,
x→a
→ si F est une algèbre normée, alors lim f (x)g (x) = ℓ.ℓ′ ,
x→a
soit f : A → F et g : B → G avec f (A) ⊂ B . Soit a ∈ Ā. Si lim f (x) = b et lim g (y) = ℓ, alors b ∈ B et lim g ◦ f (x) = ℓ.
x→a
y→b
x→a
Exemple (applications continues)
→ les applications polynomiales en plusieurs variables,
→ les applications A 7→ A k sur M n (K) (avec k ∈ N), A 7→ det A, A 7→ χ A ,
→ les applications linéaires et multi-linéaires sur des espaces de dimension finie, notamment M 7→ M X , X 7→ M X ,
M 7→ P −1 M P (où M ∈ M n (K), X ∈ M n,1 (K), P ∈ GL n (K)), trace et transposition.
Soit f : E × F → G une application bilinéaire. L’espace E × F est muni de la norme produit infinie. Si E et F sont de
dimension finie, alors il existe K ∈ R+ tel que ∀(x, y) ∈ E × F, ∥ f (x, y)∥G É K ∥x∥E ∥y∥F . L’application est alors continue sur
E ×F.
Définition 18 (Norme subordonnée)
∥ f (x)∥
= sup ∥ f (x)∥.
∥x∥
∥x∥=1
cela définit une norme sur l’ensemble des applications linéaires continues de E dans F , noté Lc (E , F )
pour tout x ∈ E , ∥ f (x)∥ É |∥ f |∥∥x∥,
elle vérifie |∥g ◦ f |∥ É |∥g |∥|∥ f |∥ (lorsqu’on peut composer),
c’est une norme d’algèbre sur Lc (E )
Soit f ∈ L (E , F ) une application linéaire continue. On note |∥ f |∥ = sup
→
→
→
→
C ONTINUITÉ UNIFORME
x̸=0
E N DIMENSION FINIE
Définition 16 (continuité uniforme)
Soit E est un K-evn de dimension finie, muni d’une base B = (e 1 , . . . , e p )
soit f : A → F . On dit que f est uniformément continue sur A lorsque
Propriété 20 (dimension finie)
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x, y ∈ A, ∥x − y∥ < α ⇒ ∥ f (x) − f (y)∥ < ε.
→ toutes les normes sur E sont équivalentes (et ont donc mêmes fermés, ouverts, compacts et définissent les mêmes
notions de limite),
→ les compacts sont les fermés bornés,
→ une suite converge si et seulement si elle converge coordonnée par coordonnée,
→ une fonction de A vers E (arrivée de dimension finie) admet une limite en a (resp. est continue en a) si et seulement si ses applications composantes admettent une limite en a (resp. est continue en a),
→ toutes les applications linéaires, bilinéaires, multilinéaires de E (de dimension finie) vers F (dimension quelconque) sont continues,
→ l’application |∥· · ·|∥ est une norme sur L (E , F ), notamment c’est une norme d’algèbre de L (E ).
L IEN AVEC LA TOPOLOGIE
Proposition 15 (images réciproques)
soit f : A → F , alors on a l’équivalence entre
→ f est continue sur A,
→ pour tout ouvert O de F , f −1 (O) est un ouvert relatif de A.
→ pour tout fermé F ′ de F , f −1 (F ′ ) est un fermé relatif de A.
Proposition 16 (compacts)
→ si f est continue sur A, si K est un compact de E inclus dans A, alors f (K ) est un compact de F .
→ si f est continue sur A à veleurs réelles, si K est un compact de E inclus dans A, alors f est bornée sur K est elle
atteint ses bornes.
→ si f : K → E est continue et K compact, alors f est uniformément continue sur K .
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