cy - theoreme de dini

CY - THEOREME DE DINI
Théorème Soit une suite décroissante (fn ) de fonctions numériques continues définies sur un
compact K. Si la suite converge simplement vers 0 sur K, alors elle converge uniformément vers 0
sur K.
En particulier les fonctions fn sont positives.
Supposons qu’il existe ε > 0, tel que pour tout entier N , on puisse trouver un nombre xN de K vérifiant
fN (xN ) ≥ ε .
On peut extraire de la suite (xN ) une suite convergente (xϕ(N ) ). Notons ℓ sa limite.
Soit n un entier. Alors, si N ≥ n, on a ϕ(N ) ≥ N ≥ n, et puisque la suite (fn ) décroit, on en déduit
fn (xϕ(N ) ) ≥ fϕ(N ) (xϕ(N ) ) ,
et il en résulte que
fn (xϕ(N ) ) ≥ ε .
Puisque la fonction fn est continue en ℓ, on en déduit que, pour tout entier n,
lim fn (xϕ(N ) ) = fn (ℓ) ≥ ε .
N →+∞
Alors la suite (fn (ℓ)) ne converge pas vers 0, d’où une contradiction, puisque la suite (fn ) converge
simplement vers 0. L’hypothèse initiale est donc fausse. Cela signifie que, pour tout ε > 0, il existe un
entier N , tel que pour tout x de K.
fN (x) < ε .
Mais comme la suite (fn ) est décroissante, on a, si n ≥ N ,
fn (x) ≤ fN (x) < ε .
Donc, pour tout ε > 0, il existe un entier N , tel que, pour tout n ≥ N et tout x ∈ K, on ait
|fn (x)| < ε .
Cela signifie que la suite (fn ) converge uniformément vers 0 sur K.
On en déduit immédiatement le résultat général suivant.
CY 2
Corollaire Si une suite monotone de fonctions continues converge simplement vers une fonction
continue f sur un compact, elle converge uniformément vers f .
Il suffit d’appliquer le résultat précédent à la suite (|fn − f |).
Remarques
- Le résultat est pris en défaut si la limite n’est pas continue, puisque la convergence ne peut être
uniforme dans ce cas.
Par exemple, si l’on pose,
fn (x) =
1 − nx
0
si 0 ≤ x ≤ 1/n
,
si 1/n < x ≤ 2
la suite (fn ) est décroissante, mais la limite simple f définie par
1
si x = 0
f (x) =
0 si 0 < x ≤ 2
n’est pas continue en 0.
- Le résultat peut être également pris en défaut si l’intervalle n’est pas compact.
Par exemple, si l’on pose,


0
fn (x) =
x−n

1
si 0 ≤ x ≤ n
si n < x ≤ n + 1 ,
si n + 1 < x
la suite (fn ) est décroissante et converge simplement vers 0 sur [ 0, +∞ [ , mais la convergence n’est
pas uniforme, puisque sup fn (x) = 1. Par contre, on a convergence uniforme sur tout compact.
x≥0