Séries de Fourier 1. Définitions et notations. Premières propriétés

Séries de Fourier
1. Dénitions et notations. Premières propriétés.
.
C(2π) ou C désigne l'espace des fonctions continues sur R à valeurs complexes, 2π -périodiques ; muni du
produit usuel et de la norme ||f ||∞ = sup|f | = sup |f |, C est une algèbre de Banach.
R
[0,2π]
T
Rmq : l'étude d'une fonction T -périodique f se ramène à celle d'une fct 2π -périodique ϕ(x) = f ( 2π
x).
.L
p
(2π) ,
où 1 ≤ p < +∞, désigne l'espace de Banach des (classes de) fonctions 2π -périodiques sur R à va¡ 1 R 2π p ¢1/p
leurs dans C, Lebesgue-mesurables, t.q. |f |p est intégrable sur (0, 2π) ( norme : ||f ||p = 2π
).
0 |f | dt
R 2π
1
2
Muni du produit scalaire (f |g) = 2π 0 f ḡdt, L(2π) est un Hilbert.
. Pour n ∈ Z : e est la fonction t 7→ e .
Rappel : (e )
est une base hilbertienne de L
. P = Vect(e , n ∈ Z) = { P a e , où a ∈ C} est l'ensemble des polynômes trigonométriques.
int
n
2
(2π)
n n∈Z
n
n n
n
finie
Dénition : Pour f ∈ L1(2π) et n ∈ Z le nieme coecient de Fourier cn (f ) de f (relatif à la famille (en )n )
est
cn (f ) =
remarque : si f ∈
L2(2π)
1
2π
Z
2π
0
1
2π
Z
a+2π
f(t)e−int dt , ∀a ∈ R .
a
: cn (f ) = (f |en ).
Dénition : Pour f ∈ L1(2π) , la série
P+N
f (t)e−int dt =
P∞
−∞ cn (f )e
int
s'appelle la série de Fourier de f ;
(f )eint
est la somme partielle de rang N ; la série de Fourier de f converge en un point x0
SN = −N cn
(resp. est uniformément convergente sur [a, b] resp. ...) si la suite (SN )N converge en x0 (resp. converge
unift sur [a, b] , etc).
P
(a cos nx + bn sin nx) avec
autre expression : SN = a20 + N
n=0
R n
R 2π
1 2π
an = an (f ) = cn (f ) + c−n (f ) = π 0 f (t) cos ntdt et bn = i(cn (f ) + c−n (f ) = π1 0 f (t) sin ntdt
propriétés des coefficients de Fourier :
Si f est paire (resp. impaire) alors la fonction n ∈ Z 7→ cn (f ) est paire et bn (f ) = 0 , ∀n ≥ 1 (resp. est
impaire et an (f ) = 0 , ∀n ≥ 0).
cn (f ) = c−n (f )
Si f ∈ L2(2π) , alors cn (f ) = (f |en ) → 0 quand |n| → +∞ (cf. égalité de Parseval)
Qu'en est-il si f ∈ L1(2π) ?
Lemme de Riemann-lebesgue. f ∈ L1 (a, b), où −∞ ≤ a < b ≤ ∞, λ réel.
Z
lim
|λ|→+∞
Z
b
f (t)e
iλt
dt =
lim
|λ|→+∞
a
Z
b
f(t) cos λt dt =
a
lim
|λ|→+∞
b
f(t) sin λt dt = 0
a
Corollaire : f ∈ L1(2π) =⇒ cn (f ) → 0 quand |n| → +∞.
pp
1 ; si c (f ) = c (g) , ∀n ∈ Z, alors f = g .
Proposition : Soit f, g ∈ L(2π)
n
n
divers modes de convergence des séries de Fourier
(en )n∈Z étant base hilbertienne de L2(2π) :
Théorème : Si f ∈ L2(2π) , sa série de Fourier
moyenne quadratique) et ||f ||22 =
P
P∞
cn (f )eint converge vers f dans L2 (convergence en
|cn (f )|2 (identité de Parseval).
−∞
n∈Z
Quid des autres modes de convergence de la série de Fourier de f ∈ L 1 : cv simple, uniforme, en norme
L1 ? Et si la série converge, est-ce f sa somme ?
Contrexemple : ∃f continue de période 2π t.q. sup|SN (0)| = +∞ : on est très loin de la CV simple !
N
1
2. Théorème de Féjer et applications
P
Dénitions : Noyau de Dirichlet d'ordre n ≥ 0 : Dn := nk=−n ek .
D0 + ... + Dn−1
Noyau de Féjer d'ordre n ≥ 1 : Fn =
.
n
S0 + ... + Sn−1
Somme de Féjer σn (f ) d'ordre n de f : σn (f ) =
.
n
propriétés des noyaux de Dirichlet et Féjer
Dn est pair et
1
2π
Fn est pair et
1
2π
Rπ
−π Dn (t)dt = 1 ; Dn (x) =
Rπ
−π
Fn (t)dt = 1 ; Fn (x) =
sin((n+ 12 )x)
;
sin(x/2)
¡
¢
1 sin(nx/2) 2
n sin(x/2)
Sn (f ) = f ∗ Dn , pour f ∈ L12π .
; σn (f ) = f ∗ Fn , pour f ∈ L12π , n ≥ 1
Théorème de Féjer :
(a) Si f ∈ C(2π) , (σn (f ))n converge uniformément vers f sur R.
(b) Si f ∈ Lp(2π) , 1 ≤ p < ∞, (σn (f ))n converge vers f en norme ||.||p .
Corollaire : (a) Soit f ∈ C(2π) et a ∈ R ; si Sn (f )(a) → `, alorsP
` = f (a).
∞
1
(b) Si f ∈ C(2π) et est de classe C par morceaux, alors f =
de la série.
−∞ cn (f )en
un rappel :
on déduit des propriétés du noyau Dn et du lemme de Riemann-Lebesgue le :
1
Théorème de Dirichlet : Soit f ∈ L(2π)
et a ∈ R ; on suppose que :
∃ lim f (a + t) := f +
t→0+
et ∃ lim f (a − t) := f −
t→0+
f (a + t) − f +
f (a − t) − f +
∃ lim
et ∃ lim
;
t
t
t→0+
t→0+
alors la suite (Sn (f )(a))n converge vers 21 (f + + f − ).
2
avec convergence normale