Séries de Fourier 1. Dénitions et notations. Premières propriétés. . C(2π) ou C désigne l'espace des fonctions continues sur R à valeurs complexes, 2π -périodiques ; muni du produit usuel et de la norme ||f ||∞ = sup|f | = sup |f |, C est une algèbre de Banach. R [0,2π] T Rmq : l'étude d'une fonction T -périodique f se ramène à celle d'une fct 2π -périodique ϕ(x) = f ( 2π x). .L p (2π) , où 1 ≤ p < +∞, désigne l'espace de Banach des (classes de) fonctions 2π -périodiques sur R à va¡ 1 R 2π p ¢1/p leurs dans C, Lebesgue-mesurables, t.q. |f |p est intégrable sur (0, 2π) ( norme : ||f ||p = 2π ). 0 |f | dt R 2π 1 2 Muni du produit scalaire (f |g) = 2π 0 f ḡdt, L(2π) est un Hilbert. . Pour n ∈ Z : e est la fonction t 7→ e . Rappel : (e ) est une base hilbertienne de L . P = Vect(e , n ∈ Z) = { P a e , où a ∈ C} est l'ensemble des polynômes trigonométriques. int n 2 (2π) n n∈Z n n n n finie Dénition : Pour f ∈ L1(2π) et n ∈ Z le nieme coecient de Fourier cn (f ) de f (relatif à la famille (en )n ) est cn (f ) = remarque : si f ∈ L2(2π) 1 2π Z 2π 0 1 2π Z a+2π f(t)e−int dt , ∀a ∈ R . a : cn (f ) = (f |en ). Dénition : Pour f ∈ L1(2π) , la série P+N f (t)e−int dt = P∞ −∞ cn (f )e int s'appelle la série de Fourier de f ; (f )eint est la somme partielle de rang N ; la série de Fourier de f converge en un point x0 SN = −N cn (resp. est uniformément convergente sur [a, b] resp. ...) si la suite (SN )N converge en x0 (resp. converge unift sur [a, b] , etc). P (a cos nx + bn sin nx) avec autre expression : SN = a20 + N n=0 R n R 2π 1 2π an = an (f ) = cn (f ) + c−n (f ) = π 0 f (t) cos ntdt et bn = i(cn (f ) + c−n (f ) = π1 0 f (t) sin ntdt propriétés des coefficients de Fourier : Si f est paire (resp. impaire) alors la fonction n ∈ Z 7→ cn (f ) est paire et bn (f ) = 0 , ∀n ≥ 1 (resp. est impaire et an (f ) = 0 , ∀n ≥ 0). cn (f ) = c−n (f ) Si f ∈ L2(2π) , alors cn (f ) = (f |en ) → 0 quand |n| → +∞ (cf. égalité de Parseval) Qu'en est-il si f ∈ L1(2π) ? Lemme de Riemann-lebesgue. f ∈ L1 (a, b), où −∞ ≤ a < b ≤ ∞, λ réel. Z lim |λ|→+∞ Z b f (t)e iλt dt = lim |λ|→+∞ a Z b f(t) cos λt dt = a lim |λ|→+∞ b f(t) sin λt dt = 0 a Corollaire : f ∈ L1(2π) =⇒ cn (f ) → 0 quand |n| → +∞. pp 1 ; si c (f ) = c (g) , ∀n ∈ Z, alors f = g . Proposition : Soit f, g ∈ L(2π) n n divers modes de convergence des séries de Fourier (en )n∈Z étant base hilbertienne de L2(2π) : Théorème : Si f ∈ L2(2π) , sa série de Fourier moyenne quadratique) et ||f ||22 = P P∞ cn (f )eint converge vers f dans L2 (convergence en |cn (f )|2 (identité de Parseval). −∞ n∈Z Quid des autres modes de convergence de la série de Fourier de f ∈ L 1 : cv simple, uniforme, en norme L1 ? Et si la série converge, est-ce f sa somme ? Contrexemple : ∃f continue de période 2π t.q. sup|SN (0)| = +∞ : on est très loin de la CV simple ! N 1 2. Théorème de Féjer et applications P Dénitions : Noyau de Dirichlet d'ordre n ≥ 0 : Dn := nk=−n ek . D0 + ... + Dn−1 Noyau de Féjer d'ordre n ≥ 1 : Fn = . n S0 + ... + Sn−1 Somme de Féjer σn (f ) d'ordre n de f : σn (f ) = . n propriétés des noyaux de Dirichlet et Féjer Dn est pair et 1 2π Fn est pair et 1 2π Rπ −π Dn (t)dt = 1 ; Dn (x) = Rπ −π Fn (t)dt = 1 ; Fn (x) = sin((n+ 12 )x) ; sin(x/2) ¡ ¢ 1 sin(nx/2) 2 n sin(x/2) Sn (f ) = f ∗ Dn , pour f ∈ L12π . ; σn (f ) = f ∗ Fn , pour f ∈ L12π , n ≥ 1 Théorème de Féjer : (a) Si f ∈ C(2π) , (σn (f ))n converge uniformément vers f sur R. (b) Si f ∈ Lp(2π) , 1 ≤ p < ∞, (σn (f ))n converge vers f en norme ||.||p . Corollaire : (a) Soit f ∈ C(2π) et a ∈ R ; si Sn (f )(a) → `, alorsP ` = f (a). ∞ 1 (b) Si f ∈ C(2π) et est de classe C par morceaux, alors f = de la série. −∞ cn (f )en un rappel : on déduit des propriétés du noyau Dn et du lemme de Riemann-Lebesgue le : 1 Théorème de Dirichlet : Soit f ∈ L(2π) et a ∈ R ; on suppose que : ∃ lim f (a + t) := f + t→0+ et ∃ lim f (a − t) := f − t→0+ f (a + t) − f + f (a − t) − f + ∃ lim et ∃ lim ; t t t→0+ t→0+ alors la suite (Sn (f )(a))n converge vers 21 (f + + f − ). 2 avec convergence normale