32 42 112 2,72
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Chap 8 Les racines carrées I. Racines carrées d'un nombre positif 1. Définition On a vu que : −62 = 62 = 36 définition : On appelle racine carrée d'un nombre positif a, le nombre positif dont le carré est a. On le note 2 a . On a donc a =a. Remarques : ● le symbole ... est aussi appelé "radical". ● Si a est négatif, a n'a pas de sens. −62 = 62 = 36 donc exemple : 36 = 6 2. Carré parfait définition : Un carré parfait est le carré d'un nombre entier. Sa racine (parfaite) est donc un entier naturel. exercice : A l'aide de la calculatrice, donne la valeur (si nécessaire arrondie au millième) de : 625 , 2 et 12,25 . S'agit-il de racines parfaites ? 625 = 25 c'est bien une racine parfaite. 2 ≃ 1,414 ce n'est pas une racine parfaite. 12,25 ≃ 3,5 valeur exacte mais ce n'est pas une racine parfaite. Il faut connaître les premières racines parfaites : 0 = 0 1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10 121 = 11 3. Racine carrée d'un nombre au carré exemples : Calculer 3 = 9 = 3 2 4 2 = 16 = 4 11 = 121 = 11 propriété : Pour tout nombre positif a, on a : 2 a 2 2,7 = 7,29 = 2,7 2 = a . (la racine "annule" le carré.) II. Calculer avec des racines carrées 1. Produit de racines carrées propriétés : Pour tous les nombres positifs a et b, on a : a × b = a × b exemples : 3 × 27 = 3 × 27 = 81 = 9 5 × 0,45 = 5 × 0,45 = 2,25 = 1,5 5 × 2 × 10 = 5 × 2 × 10 = 100 = 10 Application à la simplification de racines : Le but est de faire apparaître des racines parfaites, puis d'utiliser la formule que l'on vient de voir pour écrire la racine de départ sous la forme a b avec b le plus petit possible. 1. 32 = 16 × 2 = 16 × 2 = 4 × 2 = 4 2 2. 45 = 9 × 5 = 9 × 5 = 3 × 5 = 35 3. 72 = 36 × 2 = 6 × 2 = 6 × 2 = 6 2 2. Quotient de racines carrées propriété : Pour tous les nombres a et b positifs et b non nul : ........ ........ = ........ ........ 36 0,56 27 (2 façons possibles) 25 0,08 12 …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. exemples : Calculer et simplifier : Remarque : Lorsque l'on a un quotient avec des racines, on fait en sorte de ne pas en avoir au dénominateur. 3 3 × ...... ......... = Ainsi, s'écrira plutôt . 2 2 × ...... ...... 15 45 …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. exemple : Ecrire sous la forme d'un quotient sans racine au dénominateur : 3. Réduire une somme de racines carrées Nous allons étudier plusieurs exemples pour en dégager les méthodes. a. Racines simples A = 5−2 57 5 A = ............................. A = ............................. on remarque que B = 7 2−3 58 2− 5 B = ....................................... B = ....................................... 5 est un facteur commun aux 3 termes de la somme. on a 2 racines carrées 2 et 5 , on fait donc 2 factorisations. C = 3−2 3−4−6 3 C = .................................... C = .................................... b. Racines plus complexes Il y a des cas où il va falloir faire apparaître les facteurs communs en simplifiant les racines carrées. D = 2 72−7 18 D = ............................................... D = ............................................... D = ............................................... D = ............................................... il faut décomposer 72 et 18 pour faire apparaître le produit d'un carré parfait par un entier identique.
