Annexe 06 - Notions sur les torseurs Page 1/4 Notions sur les torseurs 1) DEFINITIONS : RESULTANTE, MOMENT ET CHAMP DE MOMENT. .........................2 2) NOTATIONS : ECRITURE EN LIGNE OU EN COLONNE. ............................................2 3) TRANSPORT D’UN TORSEUR (CHANGEMENT DE POINT DE REDUCTION). ..........2 4) INVARIANTS D’UN TORSEUR. .....................................................................................3 Le premier invariant est un invariant vectoriel : la résultante R ............................................................. 3 Le deuxième invariant est un invariant scalaire : le produit scalaire R.M A (appelé automoment) ....... 3 5) EQUIPROJECTIVITE DU CHAMP DES MOMENTS : MB .BA M A .BA . ...................3 6) OPERATIONS SUR LES TORSEURS............................................................................3 Égalité de 2 torseurs. .............................................................................................................................. 3 Somme de 2 torseurs. ............................................................................................................................. 3 Multiplication par un réel. ........................................................................................................................ 3 Comoment de 2 torseurs......................................................................................................................... 3 7) AXE CENTRAL. ..............................................................................................................4 Définition : résultante et moment colinéaires. ......................................................................................... 4 Propriétés. ............................................................................................................................................... 4 8) TORSEURS PARTICULIERS. ........................................................................................4 Torseur nul. ............................................................................................................................................. 4 Torseur couple......................................................................................................................................... 4 Torseur glisseur....................................................................................................................................... 4 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 16/03/2010 Annexe 06 - Notions sur les torseurs Page 2/4 La notion de torseur est extrêmement utile dans le cours de mécanique, pour permettre de modéliser globalement le comportement cinématique des solides ou encore les actions transmissibles entre deux solides à travers une liaison. 1) Définitions : résultante, moment et champ de moment. R M A A Un torseur est un ensemble de deux champs de vecteurs : On le note : T Un champ R Un champ M Le premier champ, appelé résultante du torseur et noté R , est un champ constant, Le deuxième champ, appelé moment du torseur et noté M , est un champ variable vérifiant la loi du champ de moment : M A MB AB R M A est le moment du torseur au point A. MB est le moment du torseur au point B. R et M A sont les éléments de réduction du torseur au point A. R et MB sont les éléments de réduction du torseur au point B. 2) Notations : écriture en ligne ou en colonne. R .x R y .y R z .z T R x M . x M . y M . z M Ay Az A A A Ax Écriture en ligne R x R y R A z M Ax M Ay M Az ( x, y, z ) Écriture en colonne On indique toujours, en bas à gauche, le point d’expression du torseur (appelé aussi point de réduction), ici A. Pour l’écriture en colonne, il est impératif d’indiquer en bas à droite, la base dans laquelle R et M A ont été exprimés. Pour l’écriture en ligne, il n’est pas utile de préciser la base d’expression de R et M A puisque celle-ci figure explicitement dans le torseur. 3) Transport d’un torseur (changement de point de réduction). Compte tenu de la définition, on a : T R R R M M M BA R A A B B B A R R et représentent le même torseur. M M A A B B Il est important de noter que dans le nom du torseur, n’apparaît pas. MPSI-PCSI T, Sciences Industrielles pour l’Ingénieur le point en lequel ce torseur est exprimé S. Génouël 16/03/2010 Annexe 06 - Notions sur les torseurs Page 3/4 4) Invariants d’un torseur. Quantités qui restent invariantes quelque soit le point de réduction. Le premier invariant est un invariant vectoriel : la résultante R . Le deuxième invariant est un invariant scalaire : le produit scalaire R.M A (appelé automoment). 5) Equiprojectivité du champ des moments : MB .BA M A .BA (BA R).BA M A .BA MA (propriété du produit vectoriel où le vecteur BA R est MB .BA M A .BA . Lieu de l’extrémité A perpendiculaire au vecteur BA ) B de MB Donc le champ de moment est équiprojectif : MB .BA M A .BA . 6) Opérations sur les torseurs. Pour effectuer des opérations sur des torseurs, ceux-ci doivent être exprimés au même point. Égalité de 2 torseurs. R' R' ' R' R' ' . et T' ' sont égaux si M ' M ' ' MA ' MA ' ' A A A A Deux torseurs T' Somme de 2 torseurs. R' R' ' et T' ' . M ' M ' ' A A A A Soient deux torseurs T' R' R' ' . M ' M ' ' A A A Le torseur somme est : T T' T' ' Multiplication par un réel. R . M A A Soient un réel et un torseur T .R . .M A A Le torseur .T est défini par : .T Comoment de 2 torseurs. R' R' ' et T' ' . M ' M ' ' A A A A Soient deux torseurs T' Le comoment de ces deux torseurs est le scalaire défini par : T' . T' ' R'.M A ' ' R' '.M A ' . MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 16/03/2010 Annexe 06 - Notions sur les torseurs Page 4/4 7) Axe central. Définition : résultante et moment colinéaires. L’axe central d’un torseur est la droite constituée par l’ensemble des points où résultante et moment sont colinéaires. Propriétés. Soient A et B deux points de l’axe central. Donc il existe 2 constantes A et B tels que M A A .R et MB B .R . D'autre part selon la loi du champ de moment, on a MB M A BA R . Or BA R donne un vecteur perpendiculaire à R (par définition du produit vectoriel). Par conséquent, il faut que BA R soit nul, ce qui implique que : BA k.R et M A MB Donc : - L’axe central est une droite de direction R . - Tous les points de l’axe central ont même moment appelé moment central. - Sur l’axe central, la norme du moment est minimale. - Si le moment d’un torseur est nul en un point, alors ce point appartient à l’axe central du torseur. 8) Torseurs particuliers. Torseur nul. C’est le torseur : T 0 0 . Les éléments de réduction sont nuls en tout point. 0 P Torseur couple. 0 . M A A C’est le torseur pour lequel la résultante est nulle : T MB M A BA R M A implique que le torseur a la même expression en tout point T 0 . M P P Torseur glisseur. R 0 Q C’est un torseur pour lequel il existe un point Q où le moment est nul : T . R 0 un torseur quelconque tel que R.M A 0 M 0 A A Soit T Soit C un point de l’axe central : donc par définition de l’axe central, R et MC sont colinéaires. Or MC .R (M A CA R ).R (M A .R ) (CA R ).R 0 : donc R et MC sont orthogonaux. Un seul vecteur peut être à la fois colinéaire et orthogonal à un autre vecteur : le vecteur nul. Donc Mc 0 . Ainsi si le moment d’un torseur est perpendiculaire à sa résultante, ce torseur est un torseur glisseur. NB : On sait que l'action de la pesanteur se modélise par un torseur glisseur car il existe le point G où le moment est nul. Ainsi, nous devrons toujours avoir pour cette action R.M 0 et son axe central sera la droite de direction MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël R passant par G. 16/03/2010
