Sciences Industrielles pour l`Ingénieur

Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
Centre d’Intérêt 8 :
COURS 1
MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES :
TRANSMETTRE l'énergie – Aspect
STATIQUE
Compétences : MODELISER
TP
Associer un modèle à une action mécanique
Associer aux liaisons un torseur d'action mécanique transmissible
• Système de freinage du train avant d'un Airbus A320
Le système de freinage du train avant d’un Airbus A320 permet, par contact avec
frottement entre des disques et des garnitures, de ralentir puis de stopper le
mouvement de l’avion. Comment déterminer la pression hydraulique nécessaire
au niveau des pistons ?
MODELE
TD
• Porte de barrage sur la Tamise
Comment déterminer l’action de l’eau sur
une porte du barrage de la Tamise afin de
dimensionner son système de manœuvre et
la porte ?
REEL
• Ces exemples montrent la nécessité de définir précisément et localement les actions mécaniques qui assurent le service attendu,
pour dimensionner correctement le système ou prédire ses déformations.
La statique étudie les actions mécaniques qui produisent "l’équilibre" d’un système matériel. Comme en cinématique, une
modélisation adaptée va être nécessaire. On vérifiera aussi, dans le cadre de ces études statiques, que les pièces sont fixes ou alors,
s’il y a mouvement, qu’il soit uniforme (vitesse constante) ou bien que les masses des pièces et les accélérations soient très faibles
pour négliger les effets d’inertie (et donc dynamiques).
• Nous débuterons ce nouveau chapitre par un rappel sur les actions mécaniques d’un point de vue physique et mathématique.
1- QU'EST-CE QU'UNE ACTION MECANIQUE ?
1/ Définitions
• Action mécanique (A.M.) : Toute cause susceptible de provoquer
l’équilibre, le mouvement ou la déformation et la destruction d’un
système matériel. Une action mécanique s'exprime par une force
et/ou un moment.
maintenir
un corps en
équilibre
créer un
déplacement
déformer un corps
• La FORCE : La force est une action mécanique représentée par un vecteur
en un point d’application P ;
est un vecteur
dont la direction, le sens et la norme permettent de quantifier l’effet mécanique constaté sur le système 2 subissant la force. Son
unité est le Newton (N).
On appelle support de la force, l'axe défini par le point d'application et la
direction de la force.
Ex : action mécanique du doigt sur une touche du clavier d’ordinateur, du
pneu sur la route, du fluide sur le piston 1.
• Le MOMENT : Pourquoi cette notion ?
Comment nommer/modéliser l’action mécanique exercée par le tournevis sur la vis ?
Comment nommer/modéliser l’action mécanique exercée en A par le sol sur le panneau pour
éviter qu’un vent violent en P ne le fasse basculer ?
On appelle moment en A d’une force
par :
appliquée en P, le vecteur noté
P
défini
L’unité est le Newton mètre (N.m).
Signification physique : Il traduit la capacité de la force appliquée en P (par exemple du vent 1
sur le panneau 2) à entraîner le système en rotation autour du point A. Il est dirigé selon l'axe
de rotation.
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-1-
A
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Plan
Caractéristiques de
:
Produit vectoriel
- Direction : perpendiculaire au plan = ( ,
)
- Sens : orthonormé direct (application de la règle du tire-bouchon (ou
des 3 doigts de la main droite) à partir du sens de
).
défini par (
,
)
dans le plan
A
P
• 3 moyens à connaître pour une utilisation efficace de la formule du moment :
2 exemples :
- A droite, un dispositif (traits forts) représente un
pèse-véhicule par une lecture appropriée de l’effort
Q appliqué au point A.
En O, B, C, D : liaisons pivot de direction .
Le poids du véhicule
est
appliqué au point G.
- A gauche, un panneau est soumis à son propre
poids.
G
C
G
On souhaite déterminer :
le moment au point C du poids du véhicule ou du
panneau :
. On donne :
.
H
1- Utilisation classique du produit
vectoriel pour les cas généraux en 3D :
2- Autre traduction du produit
vectoriel, connaissant et CG :
3- Formule dite du "bras de levier" pour les
systèmes plan essentiellement :
Tracer
Attention au signe : règle tire-bouchon
ou celle des 3 doigts de la main droite
Bras de levier = a : distance la plus courte du
point de calcul du moment au support de la
force. C’est donc la perpendiculaire à la force
passant par le point C où l’on calcule le
moment. Dans notre cas, a = CH.
Ou alors :
2/ Classification
On distingue :
• Les actions mécaniques à distance :
Elles s’exercent au niveau du volume du solide.
Ex : action magnétique, action de la pesanteur, etc.
• Les actions mécaniques de contact :
Elles s’appliquent directement sur la surface du solide (action ponctuelle, surfacique, …).
Ex : pression d’un fluide, action de contact entre deux solides, etc.
3/ Représentation mathématique
• Toute action mécanique exercée par un solide 1 sur un solide 2 et caractérisée par un ensemble de forces
points est modélisée par un torseur d'action mécanique dont on retiendra les 3 écritures :
Titre
Ecriture vectorielle globale
Définition
avec :
Ecriture en ligne (ou "vectorielle détaillée")
RESULTANTE de l’action mécanique de 1 sur 2
(indépendante du point d'expression du torseur)
Ecriture en colonnes
(ou "par les composantes")
MOMENT en A de l’action mécanique de 1 sur 2
(dépendant du point d'expression)
• Rappel sur le champ des moments :
(BABAR)
(permet de transporter le torseur du point A vers le point B)
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appliquées aux
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• Rq :
- Pour sommer des torseurs, ceux-ci doivent tous être exprimés au même point.
- Le point d'expression est aussi appelé "point de réduction" du torseur.
• Actions mécaniques particulières :
- Torseur couple : un torseur couple est de la forme :
- Glisseur : un glisseur est de la forme :
et donc s'écrit de la même manière en tout point.
au point d'expression A.
• Application : exercice 1 sur TD1.
2- MODELISATION D'UNE ACTION MECANIQUE sans frottement
• L'étude du système de freinage de l’A320 en introduction conduit à la nécessité de représenter et d’étudier les actions
mécaniques et ses effets à partir d’un modèle local (à l'échelle d'une zone infiniment petite) puis d’évoluer vers une représentation
globale pour déterminer la pression dans le circuit hydraulique. Autre exemple :
(cf. RDM)
Disque de frein (à
l’arrêt)
1/ Modélisation locale d’une action mécanique
: Plan tangent
au contact entre
1 et 2
au point M.
(normale au plan )
2
M
Surface de contact
plaquette / disque
1
• Si deux solides 1 et 2 sont en contact ponctuel théorique (sans frottement)
au point M, alors le torseur associé à l’action mécanique de 1 sur 2 s’écrit :
La résultante de l’action mécanique de contact est normale au plan tangent au contact.
Ce torseur correspond au torseur d’action mécanique transmissible par une liaison sphère / plan de normale
(L'action mécanique va être transmise par la pièce 1 à la pièce 2 dans la liaison entre 1 et 2).
.
2/ Modélisation globale d’une action mécanique (sans prise en compte du frottement)
• La modélisation globale consiste à étudier les actions mécaniques équivalentes à tous les éléments de forces étudiés localement.
C'est le modèle retenu pour tous les problèmes de mécanique du solide indéformable.
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Contact surfacique
Zoom sur un élément de
surface autour de M
M
dS
M
• Autour de chaque point M de la surface de contact, on définit une surface élémentaire de contact dS. L’action mécanique exercée
au niveau de cet élément dS par 1 sur 2 est modélisée par le vecteur
de moment nul en M (action élémentaire) :
.
L’action mécanique globale de 1 sur 2, modélisée en un point A quelconque, correspond à la somme de toutes les actions
mécaniques élémentaires en chaque point :
avec
-
où
.
Pour "pression"
• Exemple de modélisation locale / globale surfacique :
Répartition radiale des
pressions de contact
alésage/arbre dans un
palier lisse :
la répartition réelle des
efforts est complexe
Simplification assez réaliste
Contact linéique
avec
où
-
.
Répartition volumique
avec
où
• Méthode pour déterminer le torseur associé à l'action mécanique de 1 sur 2 :
- Représenter la ligne / surface / le volume sollicité localement, ainsi que le repère ;
- représenter M et l'élément ,
ou
et sa limite ;
- représenter
et
;
- choisir un système de coordonnées (cartésiennes, polaires ou sphériques).
• Application : exercices 2 et 3 sur TD1.
3/ Quelques actions mécaniques souvent rencontrées
L’action de gravité
Axe vertical
vers le bas
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-
.
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• Définition du centre de gravité :
On définit le point G, centre de gravité d’un solide de masse m de la façon suivante (O = origine du repère attaché) :
ou encore :
(car
)
On définit le point G, centre de gravité d’un ensemble de solides i de centres de gravité Gi, de masses mi, de volumes Vi et de masses
volumiques i, par :
avec
et
• Torseur des actions de pesanteur :
On définit le torseur des actions de pesanteur agissant sur un solide S de masse m comme suit :
avec = vecteur vertical unitaire descendant (vers le centre de la Terre).
Action mécanique d’un fluide sur une surface
• Un fluide exerce toujours une pression normale à la surface sur laquelle il agit :
La résultante des actions de pression vaut donc :
p
p
Ex : balle plongée dans un liquide
• On peut distinguer 2 situations courantes :
- cas d’une surface plane :
, par exemple . On a alors
- cas d’une surface plane circulaire (piston vérin) avec p = cte = P :
où
. Soit : F = P . S
2
[N] [Pa] [m ]
Modèle local
Modèle global
Transmission d’A.M. dans les engrenages à denture droite
MODELISATION
I
Effort de 1 → 2 transmis
par une seule dent
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Effort de 1 → 2 réparti
sur 2 dents
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On modélise toujours l’action au contact par un
glisseur de résultante
incliné de α, l’angle de
pression (20° en général), au point I sur le diamètre
nominal (D = m.z, roulement sans glissement en I). La
direction du glisseur est nommée ligne d’action.
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Modélisation des A.M. exercées par les pièces élastiques
• En mécanique, l'usage d'éléments déformables et élastiques est fréquent. Ils ont la propriété de fournir un effort proportionnel à
leur déformation.
• Les éléments élastiques les plus courants sont :
- les ressorts : ils peuvent être de traction, de compression ou de torsion. Ils sont
réalisés à partir d'un fil d'acier que l'on enroule en spirales.
Ils permettent de grandes déformations (de l'ordre de plusieurs mm ou cm).
Barres de torsion sur train
arrière de voiture
- les barres : elles peuvent être de torsion ou de flexion. Elles sont réalisées dans de
l'acier, et on utilise l'élasticité du matériau.
Elles permettent de très petites déformations (de l'ordre de 0,001 à 1 mm).
- les rondelles ressort (Belleville) : elles s'assemblent comme des rondelles
classiques mais présentent la particularité d'être coniques et donc
déformables.
Elles permettent de petites déformations (de l'ordre de 0,1 à quelques
mm).
(seule) (en série) (en //)
(mixte)
• Tous ces éléments ont une grandeur caractéristique : la raideur (k),
déterminée à l'aide de la RDM ou d'essais.
Dans le cas d'un ressort de compression, l'effort axial F nécessaire pour obtenir une
déformation (appelée aussi flèche (f)) est donné par la relation de proportionnalité
suivante :
-1
[N.mm ]
• Pour les autres éléments élastiques, il existe des relations similaires de
proportionnalité entre l'action mécanique fournie (force ou moment) et la
déformation obtenue (distance ou angle). Par exemple :
.
-1
[N.m.rad ]
3- LES ACTIONS MECANIQUES DANS LES LIAISONS NORMALISEES – TORSEURS STATIQUES
• Il y a, de manière évidente pour des liaisons parfaites, complémentarité entre le torseur d’action mécanique transmissible et le
torseur cinématique, exprimés au centre de la liaison et en la respectant. Un exemple est donné ci-dessous pour une liaison linéaire
rectiligne d’axe
et de normale
.
Chaque composante non nulle (mouvement possible)
du vecteur vitesse :
une composante nulle de la résultante (traduction : 1 ne
peut pas transmettre d’effort à 2) selon cet axe
Torseur
cinématique
(1)
(2)
Chaque composante non nulle (mouvement possible)
du vecteur rotation
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Torseur d’action
mécanique
transmissible
entre 1 et 2.
une composante nulle du moment (traduction : 1 ne
peut pas transmettre de moment à 2) selon cet axe
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Les actions mécaniques transmissibles par les liaisons (A CONNAÎTRE)
Symbole
Désignation de la
liaison
Plan
sphère/plan en O
de normale
(ponctuelle)
Spatial
Torseur d’AM
transmissible
(2)
(1)
(1)
O
(2)
sphère/cylindre en
O d’axe
(linéaire annulaire)
linéaire rectiligne
en O d’axe
et de normale
Mobilités
(1)
(1)
(2)
(2)
(1)
(2)
(1)
(1)
(1)
(2)
(2)
plane en O de
normale
(appui plan)
(2)
(2)
(1)
O
(1)
O
(2)
(2)
sphérique de
centre O
(rotule)
(2)
(1)
(1)
(2)
(2)
pivot glissant en O
d’axe
(2)
(1)
(1)
(1)
(2)
(2)
pivot en O d’axe
(2)
(1)
(1)
(1)
O
(2)
(2)
hélicoïdale en O
d’axe
(2)
(2)
(1)
glissière en O de
direction
x
x
(1)
O
O
(1)
(2)
(2)
(1)
Z12 et NO12 liées
(1)
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(1)
-7-
Rz et Tz
liées
Pas à droite :
NO12 = - . Z12
(pas p en mm)