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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2008
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu par
Arnaud Riegert (ENS Ulm) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).
Ce sujet propose d’étudier quelques aspects de l’hélicoptère, qui fait partie des
systèmes à voilure tournante. La rotation des pales crée une force de portance par
réaction sur l’air, ce qui maintient l’appareil en l’air. Le problème principal de ce
mode de propulsion est l’apparition d’un couple, dû à la rotation des pales, qui a
tendance à faire tourner l’aéronef sur lui-même. Ce couple peut être éliminé par la
présence d’un rotor sur la queue de l’appareil.
• La première partie représente la moitié du problème. Elle traite de la mécanique
de la sustentation et de la compensation du couple de traînée par le rotor de
queue. Il s’agit d’établir les torseurs associés à la portance et à la traînée de
l’aéronef, dans le cas de pales droites puis vrillées. La fin de cette partie est
consacrée aux relations liant le rotor principal au rotor anticouple.
• L’étude de la tête de rotor, dans la deuxième partie, s’intéresse aux liaisons
entre les pièces qui le composent. Elle est assez courte et propose d’établir des
lois de commande par l’analyse de mécanismes.
• La troisième partie traite d’asservissements à travers trois sous-parties. Le but
est d’exprimer les fonctions de transfert de la boucle de régulation de vol stationnaire. Elle débute par l’établissement, assez classique, de la fonction de transfert d’un système {masse-ressort-amortisseur}. Quelques aspects des condensateurs sont étudiés ensuite afin de modéliser un accéléromètre de type capacitif.
Enfin, un léger problème de régulation est abordé et la fonction de transfert de
la boucle est établie, réalisant ainsi une synthèse de tout le problème.
Ce sujet doit se traiter rapidement. Il est un peu plus facile que ceux des précédentes années. Il permet de faire le point sur ses capacités de calcul d’éléments de
réduction de torseurs et de fonctions de transfert. Les parties de physique pure étant
très proches du cours, elles n’offrent pas de réelle difficulté.
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Indications
Partie I
I.3 Intégrer les éléments de portance et de traînée le long d’une pale. Faire de
même avec les moments
Z R
−−→
−
→
→
M=
r−
yr ∧ dFz
0
I.4 Utiliser la formule du changement de point d’un moment pour trouver le point
où le moment est nul.
I.5 Le couple s’appliquant sur le rotor autour de son axe de rotation s’exprime
→
comme la valeur absolue de la projection du moment total sur l’axe −
z,
C=|
P−
→ →
M·−
z|
I.6 La puissance est le comoment du torseur des actions mécaniques et du torseur
cinématique. Trouver ensuite la vitesse de rotation nécessaire au décollage en
écrivant que la portance 2 Fz compense le poids M g.
I.7 Étudier la dépendance de la portance en fonction de l’angle α.
I.10 Le coefficient κ0 est exprimé en inverse de degrés.
I.14 Reprendre les calculs effectués à la question I.3 en remplaçant le coefficient de
portance Cz par son expression en fonction de l’angle α puis en fonction du
rayon r.
I.15 Utiliser une partie de l’inégalité obtenue à la question I.13.
I.16 Utiliser la formule du changement de point d’un moment pour trouver le point
où le moment est nul.
I.17 Reprendre les calculs effectués à la question I.3 en remplaçant le coefficient de
portance Cx par son expression en fonction de l’angle α puis en fonction du
rayon r.
Partie II
II.1 Le torseur cinématique d’une liaison équivalente à l’association en parallèle
de liaisons doit être compatible avec tous les torseurs cinématiques de ces
liaisons. Le torseur cinématique d’une liaison équivalente à l’association en
série de liaisons est égal à la somme des torseurs cinématiques de ces liaisons.
II.4 Écrire que la longueur BC de la biellette est constante.
Partie III
III.1 Effectuer un bilan des forces et appliquer le principe fondamental de la dynamique à la masse m.
III.4 Commencer par tracer rapidement le diagramme de Bode asymptotique.
III.6 Utiliser la formule donnant la capacité d’un condensateur plan en fonction de
sa géométrie.
III.13 Linéariser le sinus au carré présent dans la tension au carré.
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I. Principe d’une voilure tournante
Voilure tournante
I.1 L’écoulement de l’air étant provoqué par le mouvement circulaire des pales par
rapport au corps de l’appareil, on a directement
Vair (r) = r ω
I.2 Les expressions données dans l’énoncé permettent d’écrire, avec dS = ℓ dr,

1

 dFz = ρ ℓ Cz (α) ω 2 r2 dr
2

 dF = 1 ρ ℓ C (α) ω 2 r2 dr
x
x
2
I.3 La résultante des torseurs des actions mécaniques dues à la portance et à la
traînée sont
Z R
−
→
1
→
Fz =
ρ ℓ Cz (α) ω 2 r2 dr −
z
0 2
et
−
→
1
→
Fz = ρ ℓ Cz (α) ω 2 R3 −
z
6
Z R
−
→
1
→
Fx =
ρ ℓ Cx (α) ω 2 r2 dr −
x
r
2
0
−
→
1
→
Fx = ρ ℓ Cx(α) ω 2 R3 −
x
r
6
Explicitons maintenant au point O les moments associés à la portance et à la traînée
Z R
−−→
−−→
→
Mz (O) =
r−
yr ∧ dFz
0
=
Z
0
et
R
1
−
→
→
2 2−
r yr ∧
ρ ℓ Cz (α) ω r z dr
2
−−→
1
→
Mz (O) = ρ ℓ Cz (α) ω 2 R4 −
x
r
8
Z R
−−→
1
→
→ dr
Mx (O) =
r−
yr ∧
ρ ℓ Cx (α) ω 2 r2 −
x
r
2
0
−−→
1
→
Mx (O) = − ρ ℓ Cx (α) ω 2 R4 −
z
8
I.4 Pour montrer que ces torseurs sont des glisseurs, cherchons le point G où le
moment est nul,
−−→
→
−
Mz (G) = 0
−−→
−−→ −
→ −
→
Mz (O) + GO ∧ Fz = 0
1
1
→
→
→
ρ ℓ Cz (α) ω 2 R4 −
z = Rg −
yr ∧ ρ ℓ Cz (α) ω 2 R3 −
x
r
8
6
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Il existe donc bien un point G pour lequel le moment du torseur de portance est nul,
ce qui prouve que c’est un glisseur dont le point d’application est situé à une distance
Rg de l’axe du rotor telle que
Rg =
3
R
4
Les calculs sont menés de la même manière pour la traînée et on tombe sur le même
point d’application.
−
→
z
Fz
Fx
Fz
Fx
3R/4
I.5 Le couple total C s’appliquant sur le rotor autour de son axe de rotation est
la somme des couples associés à la portance et à la traînée, pour chaque pale, en
→
projection sur l’axe −
z . Seules les forces de traînée contribuent donc à ce couple et
ainsi, de par la symétrie du problème et d’après l’expression obtenue à la question I.3,
C=
1
ρ ℓ Cx ω 2 R4
4
I.6 La portance suffisante pour assurer le décollage compense juste le poids P = M g
de l’hélicoptère. Exprimons le torseur des actions mécaniques qui s’exercent sur l’hélicoptère
(
)
→
(2 Fz − M g)−
z
{T } =
→
−C−
z
(O,R)
Or, puisque seules les pales sont en mouvement, le torseur cinématique associé au
mouvement de l’hélicoptère lors du décollage n’est autre que


→
 ω−
z 
{V} =
→ 
 −
0
(O,R)
La puissance développée étant égale au comoment de ces deux torseurs, on a ainsi
1
P = −C ω = − ρ ℓ Cx ω 3 R4
4
Exprimons à présent la vitesse de rotation minimale ω0 qui assure le décollage.
On a, pour 2 Fz = M g,
1
ρ ℓ Cz ω0 2 R3 = M g
3
et donc
ω0 =
r
3Mg
ρ ℓ Cz R3
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