dielect-haj

Les Diélectriques
Le remplacement du vi de par un diélectrique a 3 effets positifs
·
Stabilité mécanique
·
On peu appl iquer une tension élevée
air
3 .10 6 V/m
plexiglas
40 .10 6 V/m
L’insertion du diélectrique augmente l a capacité du condensateur
·
Définition : Un matériau diélectrique est un milieu qui ne contient pas de
charges électriques susceptibles de se déplacer de façon macroscopique. A ce titre,
on l'appelle parfois isolant électrique.
Mais : les charges peuvent se déplacer localement et entraîner une variation des
charges (polarisation).
Quelques mi lieux diélectriques soli des usuels
· Le verre, utilisé pour faire des isolateurs de lignes haute tensi on
· La céramique, très utilisée pour les matériels HTB des postes
électriques
· La plus part des plastiques
· Le Polypropylène, utilisé en parti culier dans les condensat eurs.
Un matériau diélectrique est car actérisé d’un point de vue électrique par sa constante
diélectrique (permittivité). Elle permet de décrire la facilité qu'a un diélectrique à se
polariser.
La constante di électrique ε (grandeur tensorielle) dépend de :
De la fréquence à laquelle le champ électrique est appliqué. La variation de la
constante diélectrique complexe en fonction de la fréquence est directement reliée
au mouvement d'oscillation des atomes et des él ectrons du diélectrique.
De la température T. Ceci est une conséquence du point précédent, car le
mouvement de vi bration des atomes dans un di électrique dépend de la température.
Expérience :
Introduisant un diélectrique entre les armatures d’un condensateur plan.
+
+
-
+
-
+
+
+
-
+
-
Diélectrique
+
+
+
-
P
+
-
E ind
+
+
+
-
On observe :
surface
A
Le champ électrique
condensateur diminue
à
l’intérieur
du
Conséquence :
Apparition d’un champ interne dans le
diélectrique.
l
Le champ interne dans le diélectrique est causé par le phénomène qui provient de la
polarisation du milieu diélectrique.
Quelle est l’origine de cette polarisation ?
Action d’un champ électrique sur un atome isolé
· Si E = 0, les centres de gravité des charges positives et des charges négatives sont
confondus
· L’application d’un champ électrique crée un dipôle induit. On dit que l’atome est
polarisé.
Le vecteur polarisation
La distribution de ces dipôles induit est décrite par un champ vectoriel appelé vecteur
polarisation. La polarisation correspond à la somme vectorielle de tous les dipôles par unité de
volume
P=
dp
dt
L’unité de la polarisation est C/m2. C’est l’unité d’une densité de charge.
+
+
+
Diélectrique
+
+
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
P
+
-
Eind
+
+
-
+
-
moment dipolaire
surface
A
6
7
8
Qind l
Al
{
P=
=
Qind
=s p
A
volume
l
Pour des cas plus complexes, sp équivaut à la composante de P perpendiculaire à la surface
du diélectrique et on a
·
densité surfacique de charge σP :
s p = P.n
n est la normale à la surface.
Exemple : Sphère polarisée :
La normale à la surface de la sphère est le vecteur
er
Polarisation suivant Oz
Polarisation suivant er
s p = P.e r = P k .er = P cos(q )
s p = P.er = P.er .e r = P
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
-
+
+
-
+
+
+
-
+
-
-
+
+
+
+
Si la polarisation est non uniforme (cas de la sphère polarisée suivant er ), il apparaît aussi
une densité de charge volumique
· Densité de charge volumique
r P = -div P
Exemple : Cas de la sphère polarisée suivant er
r P = - div P = -
P
er
r
N.B. La somme des charges de polarisation est nulle
å Q pol = òò s p dS + òòò r p dv = 0
Cas de la sphère polarisée suivant er
åQ
pol
= òò s p dS + òòò r p dv = òò PdS - òòò
P
dv = P 4pR 2 - ò P 4prdr = 0
r
Polarisation et potentiel électrostatique
Soit un diélectrique polarisé avec une polarisation P
Le potentiel crée
d p est donné par :
par
un
dipôle
dV =
d p.r
4pe 0 r 3
Donc le potentiel crée par le diélectrique au point M est donné par :
V = ò dV = ò
v
d p.r
P.r
=ò
dv
3
4pe 0 r
4pe 0 r 3
Cas de polarisation uniforme :
P uniforme, d’où : V = P.ò
r
4pe 0 r 3
dv = P.J
r
ò 4pe
dv est un champ électrique crée par une densité de charge fictif r = 1
r3
répartie uniformément dans le volume du diélectrique
Conclusion : Pour déterminer le potentiel crée par un diélectrique polarisé
uniformément soit :
- On calcul directement le champ crée par les charges de polarisation
- ou bien on détermine d’abord le champ crée par les charges fictifs ( J ) puis on
déduit le potentiel V
Avec J =
0
Le vecteur déplacement électrique :
En présence des charges libres (Q) et des charges de polarisation (Qind) , le théorème de
Gauss devient :
r r Q Qind
E
ò .dS = -
e0
Avec :
e0
r r
Qind = ò P × dS
S
Soit :
ò (e
0
)
r r r
E + P .dS = Q
S
r r
On définit le vecteur D = e 0 E + P
appelé vecteur déplacement électrique. L’intérêt
de ce vecteur est qu’il ne dépend plus explicitement que des charges libres.
r r
Le théorème de Gauss devient :
ò D.dS = Q
S
N.B. En présence de charge libre et de polarisation, il est plus facile de déterminer d’abord
D puis en déduire le champ électrique et la polarisation.
Cas des milieux linéaires homogènes et isotropes :
La linéarité impose une relation de proportionnalité entre la polarisation et le champ
électrique moyen :
P = e0c E
Avec c est la susceptibilité diélectrique. En général c est un tenseur.
L’homogénéité est associée à l’invariance par translation dans le milieu et signifie que c à la
même valeur en tout point du milieu.
L’isotropie est associé à l’invariance par rotation et signifie que les propriétés physiques sont
les même dans toutes les directions : c se réduit à un scalaire.
A l’aide de ces deux relations de bases pour les diélectriques :
r r
D = e 0E + P
et
P = e0c E
On déduit toutes les autres relations :
r r
D = e 0 E + P = e 0 (1 + c ) E = e E
avec
e = e 0 (1 + c )
Et la susceptibilité relative est donnée par : e r =
Et
r
r
P = e E - e 0 E = (e - e 0 ) E
e
= 1+ c
e0
N.B. Comme e > e 0 , la polarisation est toujours dirigée suivant la direction du champ total E
Ces relations sont résumées dans le tableau suivant :
Pour certaines applications, comme pour la fabrication de condensateurs, on désire souvent
utiliser des matériaux ayant des valeurs élevées de permittivité
Pour d’autres applications, en électrotechnique, on cherche à utiliser des matériaux ayant une
permittivité, et surtout des pertes diélectriques, faibles.
Cas d’un condensateur plan rempli avec un diélectrique
Etudions deux cas :
- cas ou U = cst
- cas ou le condensateur est isolé
En présence du diélectrique, les équations locales sont :
D = e0 E + P
div D = r lib
(1)
(2)
Cas d’un diélectrique entre les armatures d’un condensateur
Deux cas possibles :
· Cas ou E = cst (b), de nouvelles charges doivent être amenées par la source sur les
armatures du condensateur pour satisfaire l’eq (1)
D =e E
D0 = e 0 E
D = e r D0
s lib = e rs lib 0
La capacité du condensateur avant introduction du diélectrique : C 0 = Q0U
La capacité du condensateur après introduction du diélectrique : C = e r Q0U
Soit :
C = e r C0
·
Cas ou la charge est constante (c), donc, E doit diminuer (eq 2)
D = e 0 E0
Donc : U 0 = U e r
D =e E
soit C = e r C 0
On a dans ce cas
E0 =
s
k
e0
et
EP = -
sP
k
e0
E0 = e r E
E=
Comme
D’où
Q p = Q(1 -
1
er
E0
er
= E 0 + E p Þ E p = E 0 (1 -
1
er
)
)
Le théorème de Gauss devient :
r r Q Qp
r r Q
E
.
d
S
=
Þ
E
ò
ò .dS =
r
E est le champ total et Q la charge libre.
e0
e0
e
Pour les exercices consulter le site :
[email protected]
Remarque
Dans le cas ou seules les charges surfaciques existent, le champ de polarisation est donné par :
Cas de quelques géométries usuels
Les différents types de polarisation :
·
la polarisation électronique
Toujours présente, due au déplacement et à la déformation du nuage
électronique, Ce type de polarisation s’établit en un temps très court t reste ainsi actif
jusqu’au fréquences optiques (1015Hz)
· la polarisation atomique ou ionique
Dans ce cas, c’est l’ion dans son ensemble qui va osciller avec le champ
électrique. L’ion a une inertie beaucoup plus grande que celle d’un électron,ce qui ramène
les limites de cette contribution vers les basses fréquences (1011Hz)
· la polarisation d'orientation
C’est le cas des matériaux qui sont initialement déjà polarisés de façon
microscopique, mais dont les dipôles n'ont pas forcément la même orientation, cette
polarisation n’est sensible qu’à des fréquences voisines de 108Hz
· La polarisation par charge d’espace
Sous l’influence de E, les charges libres d’un matériau ont tendances à ce
concentrer soit autour d’un défaut localisé, soit aux joints de grains d’une céramique.
Cette accumulation locale de charge provoque la création de dipôles. Ce type de
polarisation a lieu aux basses fréquences.
Illustration schématique des différents mécanismes de polarisation
Diélectriques non polaires : relation de Clausius – Mossotti
Diélectriques à densité élevée: champ local
En milieu condensé, les molécules sentent le champ électrique dû aux moments dipolaires de
leurs voisins. Cet effet est traité dans une approximation de « champ moyen ». Le champ
local se compose du champ externe E et de la contribution des autres molécules à travers la
polarisation P.
Dans le modèle de Lorentz, le champ local est donnée par :
El = E +
P
3e 0
Les mécanismes de polarisation électronique et ionique, sont des phénomènes très rapides qui
ont des temps de réponse correspondant aux fréquences optiques ou infrarouges.
P = N (a e + ai ) El = Na d El
N nombre d’atome par unité de volume
On utilisant la formule de Lorentz pour le champ local : E l = E +
P
3e 0
on a
Na d
c ed =
e0
1-
Na d
3e 0
Donc :
Or
N=
Ν Ar
M
Or
e = e 0 (1 + c e )
Na d
e -1
= r
3e 0
er + 2
(Clausius-Mossotti)
N Aa d M e r - 1
=
3e 0
r er + 2
Ces relations ne sont valables que pour les milieux non polaires.
Diélectriques polaires : relation de Debye
Généralisation de la relation de Clausius – Mossotti :
Polarisabilité = de déformation + d’orientation
Or
ao =
m
2
3kT
N
m2
e -1
(a d +
)= r
3e 0
3kT
er + 2
Une équation connue depuis fort longtemps pour l’indice de réfraction des diélectriques est
l’équation de Lorentz-Lorentz donnée par :
Na d
n2 -1
= 2
3e 0
n +2
Si
n2 = e r
l’équation de Lorentz-Lorentz se ramène à celle de Clausius-Mossotti sans la contribution des
dipôles permanents.
En effet : Aux fréquences optiques, les dipôles permanents sont beaucoup trop « lents » pour
pouvoir suivre les oscillations du champ électrique et ne réagissent pas du tout à la
sollicitation électrique.
La contribution des dipôles permanents, notée Pd, s’ajoute à celle des dipôles induites, Pa et
Pe, seulement lorsque la fréquence est inférieure à une certaine fréquence de coupure
On constate la différence important entre la permittivité à haute fréquence (n2) et la
permittivité statique pour les liquides polaires.