Correction Devoir surveillé N°1 Electromagnétisme 2005/2006 Exercice N°1 1. Déterminons la direction du champ électrique en utilisant les règles de symétrie : Comme le cylindre est supposé infini ( h>>b) ; les plans (e z , e ) et (e , e ) sont deux plans de symétrie, donc le champ est dirigé suivant l’intersection de ces deux plans soit E E e Déterminons les coordonnées dont dépend le champ électriques : Le système est invariant par rotation autour de Oz donc E ne dépend pad de Le système est invariant par translation suivant Oz donc E ne dépend pad de z E E ( )e Donc : 2. On a d’après les relations de continuité : E1t E2t Or au voisinage de la surface de séparation entre le diélectrique est le vide, le champ électrique se réduit a sa composante tangentielle c-à-d E Et . Comme cette composante est continue donc E vide E diélectrique 3. Comme on a un mélange de charge libre et de charge de polarisation, pour calculer le champ électrique, il est plus simple de déterminer d’abord le champ D qui ne dépend que des charge s libres : on a : DdS Qlibre Surface de Gauss est un cylindre de hauteur h et de rayon r ( a < r < b ). On a donc : DdS vide DdS DdS 0 E dS diélectrique vide diélectrique 1 E dS Car E est le même dans les deux milieux. (N.B le calcul de l’intégrale se fait sur la moitié d’un cylindre) DdS Donc : 0 Erh 1 Erh La charge libre intérieur à la surface de Gauss est : Qlibre v l ah ld ah Avec ld est la densité de charge libre la moitié qui contient le diélectrique. lv est la densité de charge libre la moitié qui contient le vide. Donc : ( lv ld )a E ( 0 1 )r Déterminons E en fonction de U, a et b, pour cela calculons la circulation de E entre les deux conducteurs : U b a ( lv ld )a b Edr U ln( ) ( 0 1 ) a D’où 4. Expression de la polarisation : Dans le vide P = 0 E U b r ln( ) a e Dans le diélectrique : P ( 1 0 ) E ( 1 0 ) U b r ln( ) a e Expressions du vecteur déplacement électrique : U Dans le vide : D v 0 e b r ln( ) a U Dans le diélectrique : D d 1 e b r ln( ) a 5. Densité de charge de polarisation : Surface r = a : dans le vide p 0 Dans le diélectrique p ( 1 0 ) Surface r = b: dans le vide p 0 Dans le diélectrique p ( 1 0 ) U b a ln( ) a U b b ln( ) a 6. La somme des charges de polarisation : Qp p dS p dS 0 r a r b Exercice N°2 1) Calcul du vecteur excitation magnétique : On a dans ce cas un mélange de courant libre et de courant d’aimantation mais la circulation de H ne dépend que des courants libres. Direction de H : On utilise les règles de symétrie : Tout plan (e z , e ) est un plan de symétrie donc H H e r Ra/2 H 0 NI Hdr I libre R a / 2 r R a / 2 H 2 r Ra/2 H 0 2) En déduire B : r Ra/2 B0 NI B H R a / 2 r R a / 2 B 2 r Ra/2 B0 En déduire l’aimantation M. Comme le milieu est un ferro doux, on a M H ( r 1) H r Ra/2 M 0 ( 1) NI M (1 r ) H R a / 2 r R a / 2 M r 2 r Ra/2 M 0 3) Soit I’ le courant qui fournit le même champ si le ferro est remplacé par le vide, on aura donc : NI 0 NI ' I 0 I ' I ' r I 10 3 I 2 2 4) Calcul de l’énergie magnétique du torre : B2 N 2 I 2 h R a / 2 On a Wmag d ln( ) 2 2 Ra/2 5) Déterminons l’expression du champ magnétique dans la coupure Comme la circulation de H ne dépend que des courants libres et on a dans le ferro H B et dans le vide H B 0 Donc : B Hdl NI 0 l1 B (2R l1 ) NI B l1 0 NI (2R l1 ) Exercice 3 1) Densités de charges de polarisation surfacique On a p P.n P 2) a) Expression du potentiel crée par un dipôle élémentaire : dV 1 d p.u 40 r 2 P.u 1 u 1 u dS P. dS P.J avec J dS 2 2 40 r 40 r 40 r 2 c) J est un champ électrique fictif crée par un plan charge avec une densité de charge uniforme 1 1 k d’où le calcul de J se déduit facilement par le th de Gauss : J 2 0 3) a) En déduire V P np V P.J On a 2 0 2 0 b) on a V 1 b) on a E gradV 0 c) Le plan polarisé est équivalent à un condensateur plan chargé avec une densité p P.n P . Or le champ à l’extérieur d’un condensateur plan infini est nul, ceci explique la valeur trouvée.