Deux exercices concernant le cercle Brevet, Centres étrangers, juin

Deux exercices concernant le cercle
Brevet, Centres étrangers, juin 2009
Soient un cercle C de centre O et de rayon 5 cm, [AB] un diamètre de ce cercle et M un point de C tel que
BM= 4,2 cm.
1. Faire une figure.
2. Montrer que ABM est un triangle rectangle.
3. Quelles sont les mesures, arrondies au degré, des angles
̂
ABM
et
̂
AOM
?
Brevet Asie, juin 2009
Sur la figure ci-contre, qui n’est pas en vraie grandeur, nous savons que :
• (C) est un cercle de centre E dont le diamètre [AD]mesure 9 cm.
• B est un point du cercle (C) tel que :
̂
AEB
= 46°.
1. Faire la figure en respectant les dimensions données.
2. Montrer que le triangle ABD est un triangle rectangle.
3. Justifier que :
̂
ADB
= 23°.
4. Calculer la longueur AB et préciser sa valeur arrondie au centième
de cm.
5. On trace la droite parallèle à la droite (AB) passant par E.
Elle coupe le segment [BD] au point F. Calculer la longueur EF et
préciser sa valeur arrondie au dixième de cm.
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Correction Brevet, Centres étrangers, juin 2009
1) Figure à réaliser au compas et à la règle.
2) Le triangle ABM est inscrit dans un cercle de diamètre [AB], c'est donc un triangle rectangle en M.
3) Le triangle ABM étant rectangle en M, nous avons : cos(
̂
ABM
)=
BM
AB
et donc cos (
̂
ABM
)=
4,2
10
En
utilisant la touche
cos−1
ou
arcccos
de la calculatrice, nous trouvons que
̂
ABM
mesure environ 65°.
̂
ABM
et
̂
AOM
interceptent le même arc de cercle AB et O est le centre de ce cercle.
̂
AOM
est l'angle au
centre associé à l'angle
̂
ABM
, nous avons donc
̂
AOM
=
2×
̂
ABM
et ainsi
̂
AOM
mesure environ 10°.
Brevet Asie, juin 2009
1) Figure à réaliser au compas, à la règle et au rapporteur.
2) Le triangle ABD est inscrit dans un cercle de diamètre [AD], c'est donc un triangle rectangle en B.
3)
̂
ADB
et
̂
AEB
interceptent le même arc de cercle AB et E est le centre de ce cercle.
̂
AEB
est l'angle au
centre associé à l'angle
̂
ADB
, nous avons donc
̂
ADB
=
1
2×
̂
AEB
et ainsi
̂
ADB
=
1
2×46∘=23∘
.
4) Le triangle ABD est rectangle en B, nous avons donc sin(
̂
ADB
)=
AB
AD
et ainsi sin(23°)=
AB
9
ce qui
donne
AB=9×sin (23∘)
. La longueur AB vaut environ 3,52 cm.
5) Deux méthode sont possibles.
En utilisant les propriétés de la droite des milieux (cf. cours de 4e)
Je sais que E est le milieu de [DA] et que (FE) et (AB) sont parallèles, or si, dans un triangle, une droite
passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second côté alors elle passe par le milieu du troisième
côté, donc, ici, F est le milieu de [DB].
Je sais que E est le milieu de [DA] et F est le milieu de [DB], or si dans un triangle un segment joint les
milieux de deux côtés alors sa longueur est égale à la moitié du troisième côté, donc
EF =1
2×AB≈3,52 2
et EF vaut environ 1,76 cm.
En utilisant le théorème de Thalès (cf. cours de 3e)
Je sais que les droites (FE) et (AB) sont parallèles et que les droites (AE) et (BF) sont sécantes en F, donc,
d'après le théorème de Thalès, nous avons :
DF
DB =DE DA =EF AB
soit
DF
DB =4,5 9=EF 3,52
et ainsi
EF =3,52×4,5
9
et EF vaut environ 1,76 cm.