Avant-propos

Avant-propos
Pour réussir l’agrégation de mathématiques, il ne suffit pas de connaître tous les
résultats sur le bout des doigts ! L’année de préparation doit permettre à l’agrégatif
d’acquérir du recul par rapport au programme c’est-à-dire, selon le rapport du jury
de 2002, de « faire une synthèse [et de] mettre en perspective résultats et méthodes ».
Cette maturité peut s’acquérir par la fréquentation des mathématiques au fil
des années et au hasard des expériences. Mais elle peut également être activement
recherchée pour elle-même et construite en quelques mois. C’est cet objectif que nous
souhaitons vous aider à réaliser. Nul ne peut vous « apprendre » cette maturité,
pas plus qu’on ne peut expliquer à un enfant comment marcher : il doit apprendre
par lui-même. Nous pouvons néanmoins guider votre apprentissage en vous aidant à
structurer vos connaissances, à faire votre chemin dans la jungle des références et à
mettre en œuvre les mathématiques du programme.
Structurer les connaissances. Ce livre propose des synthèses de cours sur lesquelles
vous pouvez vous appuyer pour construire et justifier vos plans de leçons selon vos
connaissances, vos préférences et vos objectifs.
Il propose aussi des exercices corrigés en détail pour préparer l’écrit et enrichir
votre panoplie d’exemples pour l’oral. Certains exercices sont extraits des écrits,
d’autres ont étés posés à l’oral lors des sessions précédentes.
Domestiquer les références. Pour bien préparer le concours, l’agrégatif a besoin
de « bonnes » références. Il doit aussi trouver un équilibre difficile : diversifier ses
références en évitant de trop se disperser...
Nous avons épluché la bibliographie pour vous et nous proposons, pour chacun
des thèmes abordés dans ce livre, des références précises à des ouvrages classiques
et accessibles que nous vous invitons naturellement à compléter selon vos goûts, vos
besoins et vos objectifs.
Valoriser les exemples et les applications. Cet ouvrage rassemble des commentaires,
remarques, exemples et illustrations autour de thèmes essentiels pour l’agrégation.
Nous vous livrons ainsi notre expérience afin que vous puissiez vous en enrichir.
Ce livre a été organisé et structuré pour faciliter la préparation des leçons, notamment en s’affranchissant d’une lecture linéaire. Des étoiles (⋆) signalent des exemples
ou des applications qui utilisent des notions présentées dans la suite.
Ajoutons que vous trouvez en ligne à l’adresse
http://www.H-K.fr/publications/objectif-agregation
des compléments à cet ouvrage ainsi que la liste des erreurs qui nous ont été signalées.
iv
Avant-propos
Bon courage et bon travail ! Nous espérons que ce livre vous aidera à façonner votre
propre réservoir de savoir, de savoir-faire et de références fiables ainsi qu’à prendre du
recul sur les mathématiques au programme de l’agrégation. Bon courage, bon travail
et bonne réussite.
Vincent Beck
Jérôme Malick
Gabriel Peyré
Table des matières
1 Calcul différentiel
1
1.1
Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Applications différentiables . . . . .
1.1.2 Lemme fondamental de composition
1.1.3 Inégalité des accroissements finis . .
1.1.4 Utilisations de la différentielle . . . .
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1.2
Inversion locale et fonctions implicites . . .
1.2.1 Fonctions inverses, fonctions implicites
1.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Variantes . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 9
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. 11
. 13
1.3
Optimisation . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Existence et unicité . . . . . . .
1.3.2 Localisation et calcul différentiel
1.3.3 Optimisation numérique . . . . .
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1.4
Développements de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Développement local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Développement global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5
Fonctions convexes . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Ensembles convexes . . . . . . . .
1.5.2 Fonctions convexes . . . . . . . . .
1.5.3 Fonctions convexes différentiables .
1.5.4 Fonctions convexes et optimisation
1.6
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26
26
27
28
30
45
Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1
2.1.2
2.2
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15
16
16
22
Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Fonctions d’une variable complexe
2.1
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1
2
6
7
8
Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Au bord du disque de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.1 Fonctions développables en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . 51
viii
Table des matières
2.2.2
2.2.3
2.2.4
Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Théorème des zéros isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Fonctions analytiques réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3
Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Holomorphie VS calcul différentiel réel . .
2.3.2 Applications conformes . . . . . . . . . .
2.3.3 Fonctions holomorphes et inversion locale
2.4
Conséquences de la théorie de Cauchy . . .
2.4.1 Formule de Cauchy . . . . . . . . . . .
2.4.2 Lien holomorphie -- développements en
2.4.3 Résidus . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Holomorphie sous le signe somme . . .
2.4.5 Familles de fonctions holomorphes . .
2.5
Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Harmonicité et holomorphie . . . . . . .
2.5.2 Harmonicité et propriété de la moyenne
2.5.3 Principe du maximum . . . . . . . . . .
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2.6
Compléments . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 L’anneau des fonctions holomorphes
2.6.2 Algèbre de Banach complexe . . . .
2.6.3 Déterminations . . . . . . . . . . . .
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2.7
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56
56
58
61
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série
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62
62
63
66
67
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71
71
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73
74
74
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Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3 Analyse fonctionnelle
3.1
Analyse hilbertienne . . . . . .
3.1.1 Espace muni d’un produit
3.1.2 Théorème de projection .
3.1.3 Dualité . . . . . . . . . .
3.1.4 Bases hilbertiennes . . . .
3.1.5 Polynômes orthogonaux .
3.1.6 Compléments . . . . . . .
3.2
Convolution . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Propriétés de la convolution .
3.2.2 Convolution et régularisation
3.2.3 Identités approchées . . . . .
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3.3
Séries de Fourier . . . . . . . . . . .
3.3.1 Aspect hilbertien . . . . . . . .
3.3.2 Algèbre de convolution L1 (T) .
3.3.3 Convergence au sens de Cesàro
3.3.4 Convergence ponctuelle . . . .
3.3.5 Régularité et estimation . . . .
3.3.6 Applications . . . . . . . . . .
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3.4
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scalaire
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91
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91
95
103
107
110
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113
114
116
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122
123
125
127
129
131
132
Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
ix
Table des matières
4 Algèbre linéaire
147
4.1
Théorie de la dimension . . . . . . . . .
4.1.1 Bases et dimension . . . . . . . . .
4.1.2 Dimension et applications linéaires
4.1.3 Théorème du rang . . . . . . . . .
4.1.4 Rang et matrices équivalentes . . .
4.1.5 Calcul du rang . . . . . . . . . . .
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148
148
151
153
155
156
4.2
Réduction des endomorphismes . . . . . .
4.2.1 Sous-espaces stables . . . . . . . . .
4.2.2 Polynômes et endomorphismes . . .
4.2.3 Polynômes annulateurs et réduction
4.2.4 Réductions simultanées . . . . . . .
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157
158
161
165
167
4.3
Endomorphismes remarquables . . . .
4.3.1 Endomorphismes nilpotents . . .
4.3.2 Endomorphismes cycliques . . .
4.3.3 Endomorphismes diagonalisables
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168
168
174
176
4.4
D’autres outils d’algèbre linéaire
4.4.1 Déterminant . . . . . . . .
4.4.2 Opérations élémentaires . .
4.4.3 Une méthode . . . . . . . .
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181
181
186
189
4.5
Codes Correcteurs . . . . . . .
4.5.1 Notion de code correcteur
4.5.2 Distance et séparation des
4.5.3 Codes cycliques . . . . . .
. . . .
. . . .
mots .
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189
190
192
193
4.6
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Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5 Algèbre commutative
231
5.1
Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Surjection canonique . . . . . . . .
5.1.2 Passage au quotient . . . . . . . .
5.1.3 Quotients et structures algébriques
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231
231
232
233
5.2
Anneaux . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Morphismes d’anneaux .
5.2.2 Anneaux euclidiens . . .
5.2.3 Divisibilité . . . . . . .
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236
236
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5.3
Théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.3.1 Autour du théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.3.2 Factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.4
Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
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x
Table des matières
6 Modules
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6.1
Structure de module . . . . . . .
6.1.1 Modules sur un anneau . .
6.1.2 Morphismes de A-modules .
6.1.3 Sous-modules . . . . . . . .
6.1.4 Module quotient . . . . . .
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254
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6.2
Changement d’anneau de base . . . . . . .
6.2.1 Restriction des scalaires . . . . . . . .
6.2.2 Lien entre A-modules et A/I-modules
6.2.3 A[X]-modules et A-modules . . . . . .
6.2.4 Lorsque A est un corps . . . . . . . .
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263
263
264
266
269
6.3
Familles génératrices, familles
6.3.1 Définitions . . . . . . .
6.3.2 Modules de type fini . .
6.3.3 Modules libres . . . . .
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270
270
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6.4
Modules de type fini sur un anneau principal
6.4.1 Approche théorique . . . . . . . . . . .
6.4.2 Approche matricielle . . . . . . . . . . .
6.4.3 Lien entre les deux approches . . . . . .
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6.5
Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
6.5.1 Invariants de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.5.2 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.6
Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
libres
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Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
Chapitre 1
Calcul différentiel
L’idée du calcul différentiel est d’approcher au voisinage d’un point une fonction f
par une fonction plus simple (ou d’approcher localement le graphe de f par un espace
plus simple).
Une fois les notations assimilées, les méthodes et les résultats du calcul différentiel
sont naturels : ce sont les mêmes que pour l’étude des fonctions d’une variable réelle.
On est ainsi amené
à étudier la restriction des fonctions le long d’une droite comme, par exemple, pour
démontrer les formules de Taylor.
à généraliser les outils familiers en dimension 1 comme les changements de variables,
l’inégalité des accroissements finis, etc.
Ce chapitre présente les résultats essentiels qui exploitent ces idées. Nous insistons
sur leur mise en situation, en particulier en optimisation et pour l’étude des fonctions
convexes. Nous nous appuyons régulièrement sur le livre de François Rouvière [rou]
qui est une excellente référence sur le sujet.
Préliminaires
Les définitions et les résultats sont valides dans les espaces de Banach réels.
Cependant, la dimension infinie amène des problèmes qui sont secondaires en calcul différentiel (la dépendance vis-à-vis de la norme et la non-continuité automatique
des applications linéaires). On a alors besoin de résultats sur les espaces de Banach
comme par exemple le théorème de l’inverse continue de Banach (voir [bré, II.6]).
Comme la plupart des illustrations et des exemples que nous proposons ont pour
cadre la dimension finie, nous avons choisi de ne pas nous attarder sur ces questions.
Dans ce chapitre, E, F et G désignent des R-espaces vectoriels normés. Sauf mention explicite du contraire, ils sont supposés de dimension finie. La norme est notée
k · k indépendamment de l’espace.
1.1
Différentiabilité
Les applications différentiables en un point a sont celles qui peuvent être approchées au voisinage de a par une application affine. Intuitivement, le graphe de f
« ressemble » localement à un espace affine Ta .
2
Chapitre 1
1.1.1
Calcul différentiel
z = f (x, y)
y
Ta
y = f (x)
Ta
a
x
x0
y0
a = (x0 , y0)
Fig. 1.1 Différentiabilité d’une fonction de R dans R et d’une
fonction de R2 dans R
1.1.1
Applications différentiables
Différentiabilité
Soient U un ouvert de E et f : U → F. On dit que f est différentiable en a ∈ U s’il
existe ℓ une application linéaire (continue) de E dans F telle que
f (a + h) = f (a) + ℓ(h) + o (khk),
quand h tend vers 0. Cette application ℓ est unique (voir [rdo3, 8.1.1.1◦]) : on l’appelle la différentielle de f en a. On choisit de la noter df (a) (d’autres notations
courantes sont f ′ (a) ou Df (a)). Insistons : df (a) est une application linéaire (continue) de E dans F. On note souvent df (a) · h ∈ F plutôt que df (a)(h) sa valeur prise
en h ∈ E.
Exemple 1.1
Applications affines. Une application affine est la somme d’une
application constante et d’une application linéaire.
Une application constante est différentiable partout et sa différentielle en tout
point est l’application nulle. La réciproque est vraie si U est connexe (voir l’application 1.14). Ainsi l’application différentielle d’une application constante est elle-même
constante et, par suite, une fonction constante est de classe C ∞ .
D’autre part, une application f linéaire (continue) est différentiable partout, et
elle est sa propre différentielle en tout point :
∀ h ∈ E,
df (a) · h = f (h).
L’application différentielle est ainsi l’application constante df : x 7→ f . Une application linéaire (continue) est donc de classe C ∞ . Bref, une application affine (continue)
est de classe C ∞ .
Exemple 1.2
Différentielle d’un « produit ». Soit B une application bilinéaire
(continue) d’un produit E × F dans G. Alors B est différentiable en (a, b) ∈ E × F et
∀ (h, k) ∈ E × F,
dB(a, b) · (h, k) = B(a, k) + B(h, b).
En particulier, on peut différentier le produit scalaire d’un espace euclidien (voir
l’exemple 1.12).
1.1.1
3
Différentiabilité
Exemple 1.3
Dans les espaces de matrices.
L’analyse matricielle regorge
d’exemples intéressants.
Lors de la démonstration du lemme 1.31 de Morse, on s’intéresse à la différentielle
t
de l’application M ∈ Mn (R) 7→ MA0 M ∈ Sn , où A0 ∈ Sn .
Le calcul de la différentielle de l’inverse sur GLn (R) est fait directement dans
l’exercice 16 de [rou] ou via les dérivées partielles dans l’exercice 7 de [gou2, p.309].
La première méthode présente l’avantage d’être valable en dimension infinie et a
fait l’objet de la troisième partie du sujet d’analyse de 1999.
la différentielle du déterminant M ∈ Mn (R) 7→ det(M) ∈ R est un autre exemple
classique (voir l’exercice 25 de [rou] ou l’exercice 7 de [gou2, p.309] ainsi qu’une
application à l’exercice 1.5).
Sandwich. Soient f : E → R et a ∈ E.
Exemple 1.4
Considérons deux applications
M
m : E → R et M : E → R
différentiables en a avec la même différentielle
dm(a) = dM(a) en a et vérifiant
a
m(a) = f (a) = M(a)
et
f
m(y) 6 f (y) 6 M(y)
pour y proche de a. Alors f est différentiable
en a, avec df (a) = dm(a) = dM(a).
m
Ce résultat exprime simplement ce qui est évident sur un dessin : une courbe
prise « en sandwich » entre deux courbes ayant la même tangente admet cette même
tangente. Démontrons ce résultat. Posons ℓ = dm(a) = dM(a) et écrivons, pour
tout h suffisamment petit,
m(a + h) 6 f (a + h) 6 M(a + h).
D’où
c’est-à-dire
m(a + h) − m(a) 6 f (a + h) − f (a) 6 M(a + h) − M(a)
ℓ(h) + o (h) 6 f (a + h) − f (a) 6 ℓ(h) + o (h).
Finalement f (a + h) − f (a) = ℓ(h) + o (h), ce qui permet de conclure.
Remarque 1.5 Identifications. Ajoutons que deux identifications sont utilisées en
permanence en calcul différentiel : l’une concernant la différentielle seconde, l’autre
les fonctions d’une variable réelle.
Soit f : E → F une application deux fois différentiable en a. Cette hypothèse impose à f d’être différentiable dans un voisinage de a. Pour tout x dans ce voisinage, df (x) appartient à L (E, F), et donc la différentielle au point a de l’application x 7→ df (x) appartient à L (E, L (E, F)). Cet espace est identifié avec l’espace
L2 (E, F) des applications bilinéaires de E dans F grâce à l’isomorphisme
∼
L (E, L (E, F)) −→ L2 (E, F)
u
7−→ ((h, k) 7→ u(h)(k)) .
qui est en fait une isométrie si l’on munit les espaces de leurs normes canoniques.
Cette identification est utilisée pour le théorème de Schwarz (voir l’application 1.16).
4
Chapitre 1
Calcul différentiel
1.1.1
La deuxième identification précise pourquoi la différentiabilité est bien une extension de la dérivabilité. Soit f : R → F. La différentiabilité en a équivaut (par définition)
à la dérivabilité en a, et la différentielle est h 7→ f ′ (a)h. Ainsi, avec l’isomorphisme
∼
L (R, F) −→ F
u
7−→ u(1),
on identifie dérivée et différentielle. Notez que certains livres (comme [cia]) parlent
d’applications « dérivables » pour dire « différentiables », et de « dérivées » pour dire
« différentielles ».
Dérivées directionnelles
Soit f une application d’un ouvert U de E dans F. On dit que f est dérivable en
a ∈ U selon h ∈ E si la fonction partielle t 7→ f (a + th) est dérivable en 0. Sa dérivée
est la dérivée partielle ou la dérivée directionnelle de f dans la direction h. On la note
∂f
(a)
∂h
ou
∂f
(a) si h = ei et (e1 , . . . , en ) une base de E.
∂xi
Certains ouvrages utilisent d’autres notations, comme ∂h f (a) ou Dh f (a).
Fig. 1.2 Dérivées directionnelles d’une fonction de R2 dans R
Si f est différentiable en a ∈ U, alors les dérivées directionnelles en a existent et
on a l’égalité
∂f
(a) = df (a) · h.
∂h
La réciproque est fausse : l’existence des dérivées partielles dans toutes les directions n’implique pas la différentiabilité. C’est bien naturel puisque la connaissance
du comportement des fonctions partielles (même dans toutes les directions) ne donne
d’information sur le comportement de f que sur les droites issues de a. Or, dans la
définition de la différentielle, h peut tendre vers 0 « en tournant autour ».
Contre-exemple 1.6 Soit l’application définie par f (x, y) = y 2 /x si x 6= 0 et
f (0, y) = y sinon. Elle est dérivable en (0, 0) dans toute direction, mais elle n’est même
pas continue. Cet exemple est proposé dans [rdo3, 8.1.1.5◦] et corrigé à l’exercice 1
de [gou2, p.305]. L’idée géométrique est d’approcher (0, 0) en tournant (le long de la
parabole x = y 2 ). On a f (y 2 , y) = 1 et donc f (y 2 , y) ne tend pas f (0, 0) = 0 quand
y tend vers 0. Bref, f n’est pas continue en (0, 0) donc pas différentiable en (0, 0).
1.1.1
5
Différentiabilité
Remarque 1.7
Affine VS vectoriel.
En calcul différentiel, l’espace de travail
possède une structure d’espace vectoriel et donc aussi une structure d’espace affine. Il n’est pas toujours désirable de distinguer vecteurs et points, mais il est bon
de garder à l’esprit la cohabitation des deux en calcul différentiel. Par exemple,
pour la dérivée directionnelle, on dérive une fonction en un point dans la direction
d’un vecteur.
Gradient
Soient (E, h·, ·i) un espace euclidien (ou un espace de Hilbert) et f : E → R une
application différentiable en a ∈ E. Par définition, df (a) est une forme linéaire (continue) sur E. D’après le théorème 3.29, il existe un unique vecteur de E, noté ∇f (a),
tel que
df (a) · h = h∇f (a), hi
pour tout h ∈ E.
On l’appelle gradient de f en a. Remarquez que le gradient dépend du produit scalaire
choisi sur E.
z = f (x, y )
(a0 , f(a 0 ))
(a1 , f(a 1 ))
x
y
a0
∇f (a 0 )
a1
{(x, y), f(x, y )= z0 }
∇f (a 1 )
Fig. 1.3 Gradient d’une fonction de R2 dans R
Si E = Rn muni de sa structure euclidienne canonique, il y a essentiellement deux
méthodes pour calculer le gradient :
en revenant à la définition,
via les dérivées partielles
∂f
∂f
∇f (a) =
(a), . . . ,
(a) .
∂x1
∂xn
Attention, ce n’est pas parce que toutes les dérivées partielles existent que le
vecteur des dérivées partielles est égal au gradient. En effet, le gradient n’est défini
que pour des applications différentiables. De plus, cette notion ne concerne que les
fonctions à valeurs dans R.
Remarque 1.8
Interprétation géométrique. Géométriquement, le gradient en a
(supposé non nul) peut s’interpréter de trois manières.
∇f (a) indique la direction « de la plus forte pente » de f en a (voir [rou, ex.27]).
Le graphe de la fonction f est une hypersurface de E × R dont l’espace tangent est
l’orthogonal de (∇f (a), −1).
6
Chapitre 1
Calcul différentiel
1.1.2
∇f (a) dirige la normale à « l’hyperplan tangent » en a à « l’hypersurface »
S = {x ∈ E, f (x) = f (a)}.
Si l’on trace sur S une courbe dérivable γ qui passe par a en t = 0, son vecteur
tangent γ ′ (0) est orthogonal à ∇f (a) (pour le voir, dériver par rapport à t l’égalité
f ◦ γ(t) = f (a)).
Le cadre justifiant proprement tout ceci est celui des sous-variétés (auquel [rou, Ch.5]
est une bonne introduction).
1.1.2
Lemme fondamental de composition
Le lemme technique suivant est extrêmement important : il généralise la formule
de dérivation des fonctions composées et il est d’usage permanent.
Différentiabilité d’une composée. Soient U un ouvert de E, V un
Lemme 1.9
ouvert de F et a un point de U tel que f (a) ∈ V. Si f : U → F et g : V → G sont
différentiables respectivement aux points a et f (a), alors g ◦ f est différentiable au
point a et
d(g ◦ f )(a) = dg (f (a)) ◦ df (a) .
Pour démontrer ce lemme, il suffit d’écrire le développement limité de g ◦ f en a
au premier ordre (voir [rou, Ch.2] pour le schéma de la preuve et [rdo3, 8.1.2] pour
les détails).
L’identité d’Euler pour les fonctions homogènes donne un exemple d’utilisation
de ce lemme (voir [rou, ex.20]). Par ailleurs, en appliquant ce lemme à une fonction
bijective f et à son inverse, on obtient le résultat suivant.
Application 1.10
Différentielle de la réciproque. Soit f : U ⊂ E → F une
bijection de U sur f (U). Si f est différentiable en un point a ∈ U et si f −1 est
différentiable au point f (a), alors df (a) est un isomorphisme linéaire de E sur F et
d(f −1 )(f (a)) = df (a)−1 .
Sous ces hypothèses, df (a) réalise donc un isomorphisme entre E et F (qui sont ainsi
de même dimension).
L’inconvénient de cet énoncé est qu’il exige que de f −1 soit différentiable en f (a),
ce qui est difficile à vérifier. Pour y remédier, on ajoute des propriétés à f (que f
soit de classe C 1 et de différentielle inversible en a) pour se passer de celles sur f −1
(que f −1 soit différentiable en f (a)). Cela donne le premier théorème fondamental
du calcul différentiel : le théorème d’inversion locale (voir la section suivante).
Ajoutons que si f est simplement un homéomorphisme, E et F sont aussi de même
dimension, mais c’est plus difficile à prouver (sauf si E = R car on dispose alors d’un
argument de connexité, voir l’exercice 7 de [gou2, p.46]).
Exemple 1.11
Restriction à un segment. Soit f différentiable sur un ouvert U
de E. Pour tous a, b ∈ U tels que le segment [ a , b ] soit dans U, l’application
(
[ 0 , 1 ] −→ F
ϕ:
t 7−→ f (a + t(b − a)) = f (tb + (1 − t)a)
est dérivable sur [ 0 , 1 ] et ϕ′ (t) = df (a + t(b − a)) · (b − a) pour tout t ∈ [ 0 , 1 ].
C’est une application directe du lemme de composition 1.9 que l’on retrouve très
1.1.3
7
Différentiabilité
souvent, comme par exemple dans la démonstration de l’inégalité des accroissements
finis [rdo3, 8.1.3.1◦ ] et celle des développements de Taylor [rdo3, 8.3].
Exemple 1.12
Norme au carré. Soient (E, h·, ·i) un espace euclidien et g une
fonction de classe C 1 sur un ouvert U de E. Posons N : x 7→ kxk2 et G = N ◦ g. Alors
G est de classe C 1 sur U et
∀ x ∈ U,
∀ h ∈ E,
dG(x) · h = 2hg(x), dg(x) · hi.
On démontre ceci en appliquant deux fois le lemme 1.9. Commençons par observer que
N est la composée de l’application linéaire i : x 7→ (x, x) avec l’application bilinéaire
b : (x, y) 7→ hx, yi. D’après les exemples 1.1 et 1.2, N est différentiable et
dN(x) · h = db(i(x))(di(x) · h) = db(x, x) · (h, h) = hx, hi + hh, xi = 2hx, hi.
On en déduit que G est différentiable et que
dG(x) · h = dN(g(x)) · (dg(x) · h) = 2hg(x), dg(x) · hi.
On retrouve notamment une fonction de ce type au cours de la preuve du théorème
d’Hadamard-Lévy proposée dans [zq, p.392]. Remarquez que cette preuve utilise une
hypothèse supplémentaire de régularité justement pour pouvoir faire ce calcul.
1.1.3
Inégalité des accroissements finis
L’inégalité des accroissements finis (parfois appelée inégalité de la moyenne) permet de majorer l’accroissement de f entre deux points avec un majorant de la norme
de sa différentielle.
Théorème 1.13 Inégalité des accroissements finis. Soient U un ouvert de E et
f : U → F une application différentiable sur U. Soit [ a , b ] un segment contenu dans U.
S’il existe M > 0 tel que kdf (x)k 6 M pour tout x ∈ [ a , b ], alors
kf (b) − f (a)k 6 M kb − ak.
Ce théorème généralise l’inégalité des
accroissements finis pour une unique
variable réelle (voir [rdo3, 4.2.1.1◦]).
D’ailleurs, l’inégalité en dimension supérieure se montre grâce à l’inégalité
en une dimension via la fonction ϕ de
l’exemple 1.11 (voir [rdo3, 8.1.3.1◦]).
Nous renvoyons aux intéressants commentaires de [rou, chap.3].
| f ′ (x)| 6 M
D
d
a
d = | f(b)−f(a)|
b
D = M |b − a |
Remarquons que si f est de classe C 1 , l’existence du majorant M est assurée
par la compacité du segment [ a , b ] et la continuité de x 7→ df (x). Soulignons qu’il
faut que U soit convexe pour appliquer l’inégalité entre deux points quelconques
de U. Ajoutons aussi que la norme de df (x) qui apparaît dans l’énoncé est la norme
d’application linéaire associée aux normes de E et F :
kdf (x)k = sup
h6=0
kdf (x) · hkF
.
khkE
Lorsque l’inégalité des accroissements finis est utilisée pour montrer que f est contractante, le choix des normes est primordial (voir [rou, ex.32]).
8
Chapitre 1
Calcul différentiel
1.1.4
Application 1.14
Différentielle nulle. Soit U un ouvert connexe de E ; alors
∀ x ∈ U, df (x) = 0
⇐⇒
f est constante sur U.
L’implication (⇐) est toujours vraie. L’hypothèse de connexité permet de démontrer
(⇒) en exploitant l’équivalence suivante (voir [gou2, I.4.3]) pour un ouvert U de E
U connexe ⇐⇒ U connexe par arc ⇐⇒ U connexe par lignes brisées.
Ajoutons que si la différentielle est nulle mais U n’est pas connexe, la fonction f est
constante seulement sur chaque composante connexe de U.
Application 1.15 Caractérisation des fonctions C 1 . Soient U un ouvert de Rn et
f : U → F une fonction dont les dérivées partielles existent en tout point de U. On ne
peut pas en déduire que f est différentiable sur U (voir le contre-exemple 1.6). Mais
dès lors que les dérivées partielles existent et sont continues, alors f est de classe C 1
sur U, et donc notamment différentiable (voir [rou, ex.37]). Comme la réciproque
est vraie, c’est ainsi une caractérisation des fonctions C 1 (utilisée constamment).
Application 1.16 Théorème de Schwarz. Soient f une application d’un ouvert U
de Rn dans F et (e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn . Si f est deux fois différentiable
au point a ∈ U alors, pour 1 6 i, j 6 n, on a
∂2f
∂2f
d2 f (a)(ei )(ej ) =
(a) =
(a) = d2 f (a)(ej )(ei ).
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
Voir le théorème 6.1 dans [rou]. Le théorème de Schwarz est parfois donné avec
d’autres hypothèses (voir [gou2, p.302] et l’exercice 1 de [gou2, p.305]).
Ce théorème permet d’identifier la différentielle seconde d2 f (a) avec une application bilinéaire symétrique sur E à valeurs dans F (via le premier isomorphisme de la
remarque 1.5). En particulier, lorsque f est à valeurs réelles, d2 f (a) est identifiée à
une forme bilinéaire symétrique et donc aussi à une forme quadratique. La matrice
représentant cette forme quadratique dans la base canonique est appelée la hessienne
de f en a. On la note
2
∂ f
Hf (a) =
(a)
.
∂xi ∂xj
i,j
Maintenant qu’on peut intervertir deux dérivées partielles, on peut faire de même
pour toute permutation de plusieurs dérivées partielles (puisque les transpositions
engendrent les permutations). Ainsi, l’ordre des dérivations partielles n’a pas d’inp
fluence. A priori, il y avait
dérivées partielles p-ièmes. On sait maintenant
donc n n−1+p
qu’il n’y en a en fait que
(voir l’exercice 4.1).
p
Application 1.17
Différentielle d’une limite.
Il existe un théorème en plusieurs variables analogue au théorème [rdo4, 2.2.3.1◦] de la variable réelle. Sous des
hypothèses de convergence uniforme, la différentielle de la limite est la limite des différentielles (voir [rou, ex.38] pour un énoncé précis, une preuve et une application).
1.1.4
Utilisations de la différentielle
Différentiabilité
La différentielle d’une fonction en un point approche cette fonction au premier
ordre autour de ce point. En fait, une information sur la différentielle en un point
permet d’obtenir des propriétés de la fonction elle-même au voisinage de ce point.
1.2.1
Inversion locale et fonctions implicites
9
Cette idée centrale se retrouve notamment :
dans le théorème d’inversion locale (voir la section 1.2),
pour les conditions nécessaires du premier ordre vérifiées par les minima (voir la
sous-section 1.3.2),
lors de l’étude qualitative des équations différentielles : la stabilité d’un point critique peut se lire sur la différentielle (voir le théorème [zq, X.IV.4]).
Lorsque l’approximation au premier ordre ne suffit pas, on peut la préciser par les
différentielles supérieures : ce sont les formules de Taylor, étudiées au paragraphe 1.4.
Changement de variables
Énonçons l’important théorème du changement de variables dans une intégrale.
Théorème 1.18 Changement de variables. Soient U un ouvert de Rn et ϕ : U → Rn
une application injective et différentiable sur U. Alors V = ϕ(U) est mesurable et
une fonction f appartient à L1 (V) si, et seulement si, la fonction |det dϕ| f ◦ ϕ est
dans L1 (U). Dans ce cas,
Z
Z
f (x) dx =
f (ϕ(y)) |det dϕ(y)| dy.
V
U
La preuve de ce théorème est basée sur le
f
théorème 4.83. Une fois de plus, l’idée est
d’approcher autour de chaque point y la
transformation ϕ par sa différentielle dϕ(y).
x0
f (x0 )
Ainsi localement, ϕ affecte le volume infinitésimal de la même manière que l’applicaA
| det df(x 0)| A
tion linéaire dϕ(y) : en le multipliant par
|det dϕ(y)|. Attention à ne pas oublier le
déterminant et la valeur absolue dans la formule de changement de variables.
Signalons aussi que le résultat est encore vrai sous des hypothèses plus faibles
(voir [rud, 7.26]). Nous l’énonçons ici sous une forme plus pratique, que l’on peut
encore simplifier en supposant que ϕ est un difféomorphisme de U sur V.
On utilise très souvent des changements de variables pour calculer ou ré-exprimer
des intégrales (voir par exemple l’exercice 1.4).
Application 1.19
Calcul de loi. En probabilité, ce théorème permet de calculer
la loi d’une variable aléatoire définie à partir d’autres variables aléatoires dont on
connaît la loi (voir les exemples 8.3 et 8.4 ainsi que l’exercice 8.4 de [ouv]).
1.2
Inversion locale et fonctions implicites
Le théorème d’inversion locale établit qu’une fonction de classe C 1 est localement
un C 1 -difféomorphisme dès lors que son premier ordre l’est. Le théorème des fonctions
implicites exprime qu’une courbe définie implicitement par une équation du type
f (x, y) = 0 peut être vue localement comme le graphe d’une fonction.
Les deux théorèmes servent à créer des fonctions. Comme ce n’est pas facile en
général, ces théorèmes apportent un véritable plus. Pensez-y quand vous voyez une
question du genre « montrer qu’il existe f de classe C 1 telle que... ».
10
1.2.1
Chapitre 1
Calcul différentiel
1.2.1
Fonctions inverses, fonctions implicites
Théorème 1.20 Inversion locale.
Soient U un ouvert de E, a un point de U et
f : U → F une application de classe C k (k > 1). Si df (a) est un isomorphisme de E
dans F, alors il existe un voisinage ouvert V ⊂ U de a et un voisinage ouvert W ⊂ F
de f (a) tels que la restriction de f à V est un C k -difféomorphisme de V sur W.
f
U
a
f(a)
V
g =f
W
−1
V
Fig. 1.4 Inversion locale
Théorème 1.21 Fonctions implicites. Soient U un ouvert de E×F, (a, b) un point
de U et f : U → G (avec dim F = dim G) une application de classe C k (k > 1) telle
que f (a, b) = 0. Supposons que la différentielle au point b de l’application y 7→ f (a, y)
qui est de classe C k soit un isomorphisme entre F et G. Alors il existe un voisinage
ouvert Ua × Ub de (a, b) dans U et une application ϕ : Ua → Ub de classe C k telle que
∀ (x, y) ∈ Ua × Ub ,
f (x, y) = 0 ⇐⇒ y = ϕ(x).
Fig. 1.5 Fonctions implicites
Vous trouvez dans [rou, Ch.5] des figures illustrant ces théorèmes et des remarques concernant les applications pratiques. Nous conseillons vivement la lecture
de ce passage, en méditant sur cet extrait du rapport du jury de 2002 : « L’importance
du théorème des fonctions implicites et du théorème d’inversion locale du point de
vue géométrique ne saurait apparaître si l’on se noie dans le formalisme analytique.
Une étude illustrée par des figures en dimensions 2 ou 3 est plus adéquate ».
30
1.5.4
Chapitre 1
Calcul différentiel
1.6
Fonctions convexes et optimisation
Soit C un convexe non vide. La convexité des fonctions étant une propriété « globale », elle permet d’assurer des inégalités sur C tout entier. Les fonctions convexes
jouissent ainsi de propriétés remarquables vis-à-vis de l’optimisation.
Si f est une fonction convexe sur C, alors
(i) les conditions nécessaires des lemmes 1.34 et 1.38 sont alors aussi suffisantes
(voir l’exercice 115 de [rou]) ;
(ii) l’ensemble des points réalisant le minimum est un convexe (c’est un ensemble
de niveau particulier, voir l’exemple 1.64).
De plus, la stricte convexité fournit une condition fort utile pour assurer l’unicité
du point minimum.
Lemme 1.75
Unicité du minimum. Soient C un convexe non vide et f : C → R
une application strictement convexe sur C. Alors, il existe au plus un point x̄ ∈ C
minimisant f sur C.
Preuve. Soient deux points x et y minimisant f sur C. D’après la propriété (ii)
ci-dessus, le milieu (x + y)/2 est aussi un point minimum. La stricte convexité de f
montre donc que x = (x + y)/2 = y.
Exemple 1.76
Fermat. L’exercice sur le point de Fermat illustre les méthodes
de base de l’optimisation sur un problème géométrique simple (voir [rou, ex.118]).
On considère la fonction f : x 7→ kx − x1 k + kx − x2 k + kx − x3 k (où x1 , x2 et x3
sont trois points non alignés). La fonction f est continue et coercive (ce qui entraîne
l’existence d’un point minimum, voir l’exercice 1.1). Elle est par ailleurs strictement
convexe (ce qui entraîne l’unicité du point minimum). Des considérations géométriques permettent d’écarter les xi dans la recherche du minimum. Sur l’ouvert complémentaire de {x1 , x2 , x3 }, l’application est différentiable et on peut donc appliquer
le lemme 1.34.
Justifions ici la stricte convexité (complétez avec l’exercice 118 de [rou]). Supposons qu’il existe x 6= y et t ∈ ] 0 , 1 [ tels que f (tx + (1 − t)y) = tf (x) + (1 − t)f (y).
On en déduit les égalités suivantes pour i ∈ {1, 2, 3},
kt(x − xi ) + (1 − t)(y − xi )k = kt(x − xi )k + k(1 − t)(y − xi )k.
On a donc égalité dans l’inégalité triangulaire. Comme la norme est une hilbertienne,
on obtient alors que x−xi et y−xi sont colinéaires (voir section 3.1.1). Ainsi xi est sur
la droite reliant x et y et donc les xi sont alignés. Ceci est contraire aux hypothèses.
1.6
Exercices corrigés
Exercice 1.1
Existence d’un minimum.
a) Soient E un espace vectoriel de dimension finie et f : E → R continue. Montrer que
si C est un fermé de E et si f est coercive, alors f est minorée sur C et atteint
son minimum.
b) Soient (F, k · k) un espace vectoriel normé (éventuellement de dimension infinie),
E un sous-espace vectoriel de F de dimension finie. Pour tout x ∈ F, montrer qu’il
existe x⋆ ∈ E tel que
kx − x⋆ k = inf kx − yk.
y∈E
1.6
31
Exercices corrigés
c) Montrer que si la norme sur F est strictement convexe alors le point réalisant le
minimum est unique.
Commentaires.
Le résultat de la première question est très utile (voir les exercices 1.2 et 1.5). Il offre une généralisation du théorème [rdo3, 2.5.1.5◦] dont on
se sert d’ailleurs dans la démonstration. Le principe est d’affaiblir les hypothèses
sur l’espace en renforçant celles sur la fonction : l’hypothèse de compacité de C est
remplacée par la coercivité de f , c’est-à-dire
f (x) −−−−−−→ +∞.
kxk→+∞
L’idée de la preuve est de restreindre la minimisation de f sur C à la minimisation
de f sur l’intersection de C avec une boule fermée.
La deuxième question est un classique de l’agrégation. Ce résultat s’utilise notamment lorsque F est un espace de fonctions et qu’on cherche à approcher les fonctions
par des fonctions « plus simples » appartenant à un espace de dimension finie (voir
l’exercice 1.9 par exemple).
La troisième question s’intéresse à l’unicité du point de meilleure approximation dans E c’est-à-dire s’il existe une application projection sur le sous-espace E.
On donne ici une réponse géométrique à cette question. L’exercice 1.9 montre qu’il
existe des normes non strictement convexes pour lesquelles il peut y avoir quand
même unicité.
Remarquez enfin que le résultat de la question a fournit une démonstration du
théorème 3.11 de projection sur un convexe fermé en dimension finie : il suffit de l’appliquer à la norme k · k2 . Cependant, ce n’est pas le bon point de vue car la compacité
des boules joue ici un rôle artificiel : le théorème de projection est essentiellement la
conséquence de la complétude et d’arguments géométriques (voir la section 3.1).
Corrigé.
a) Soit a ∈ C. La coercivité assure l’existence de R > 0 tel que
∀ x ∈ C,
On en déduit que
kxk > R =⇒ f (x) > f (a).
inf f (x) =
x∈ C
inf
x∈ C∩B(0,R)
f (x),
où B(0, R) désigne la boule fermée de centre 0 et de rayon R. La dimension finie
assure la compacité de B(0, R) ainsi que celle de C ∩ B(0, R) comme intersection
d’un fermé et d’un compact. On applique alors le théorème [rdo3, 2.5.1.5◦ ] :
f continue sur le compact C ∩ B(0, R) y atteint ses bornes, ce qui termine la
démonstration.
b) Il suffit d’appliquer le résultat de la question a avec le fermé C = E tout entier
et la fonction continue f : y ∈ E 7→ kx − yk ∈ R. La fonction f est bien coercive
d’après l’inégalité triangulaire (f (y) > kyk − kxk).
c) Commençons par attirer l’attention sur ce que signifie « la norme est strictement
convexe ». L’application norme k · k : F → R est toujours convexe mais jamais
strictement convexe. En effet, si x, y sont sur la même demi-droite issue de l’origine, alors
ktx + (1 − t)yk = tkxk + (1 − t)kyk
pour tout t ∈ [ 0 , 1 ].
32
Chapitre 1
1.6
Calcul différentiel
La stricte convexité d’une norme est en
fait une condition géométrique portant
sur les sphères associées : si deux points
sont sur une même sphère, le segment
liant ces deux points ne rencontre la
sphère qu’en ses extrémités. En termes
mathématiques, cela signifie : si x 6= y et
kxk = kyk, alors pour tout t ∈ ] 0 , 1 [,
ktx + (1 − t)yk < tkxk + (1 − t)kyk.
Boule
strictement
convexe
Boule non
strictement
convexe
Revenons à présent à la question. Soient y1 et y2 réalisant le minimum de la
distance de x à E. Montrons que y1 = y2 . L’application z ∈ E 7→ kx − zk est
convexe (composée d’une application affine et d’une norme), l’ensemble des points
réalisant le minimum est donc un convexe. En particulier, (y1 + y2 )/2 réalise aussi
le minimum. On a donc
w
w
w
y1 + y2 w
w
w.
kx − y1 k = kx − y2 k = wx −
2 w
Or
x−
y1 + y2
1
1
= (x − y1 ) + (x − y2 ).
2
2
2
Grâce à la stricte convexité de la norme, on en déduit que x − y1 = x − y2 ,
autrement dit que y1 = y2 . Bref le minimum est unique.
Exercice 1.2
Fonctions quadratiques. Soient (E, h·, ·i) un espace euclidien de
dimension n, b un vecteur de E et u un endomorphisme de E symétrique défini
positif. Montrer que l’application

 E −→ R
f:
 x 7−→ 1 hu(x), xi + hb, xi
2
admet un unique point minimum sur E. Calculer ce point minimum.
Commentaires.
Cet exercice est l’occasion de mettre en pratique l’armada des
résultats présentés dans la section 1.3. La coercivité et la continuité de f assurent
l’existence du point minimisant (exercice 1.1). Sa stricte convexité nous donne l’unicité du point minimisant (lemme 1.75). Enfin, pour calculer x⋆ , il ne reste plus qu’à
chercher l’annulation de la différentielle (lemme 1.34).
Cet exercice peut aussi se traiter avec des « méthodes hilbertiennes » (voir l’exercice 3.3) et ainsi s’étendre aux espaces de Hilbert de dimension infinie.
La preuve donnée ici tombe en défaut en dimension infinie. En effet, on utilise
le résultat de la question a de l’exercice 1.1 qui repose sur la compacité des fermés
bornés en dimension finie. Cependant, on peut remplacer cet argument par un théorème de topologie faible : si (H, h·, ·i) est un espace de Hilbert, f : H → R est une
fonction convexe, continue et coercive, alors f atteint son minimum sur H (voir le
théorème 4.40 de [wil]).
Corrigé. L’application f est la somme d’une forme quadratique et d’une application
linéaire. Elle est donc continue.
Montrons qu’elle est coercive. L’idée est que « le quadratique va l’emporter sur
le linéaire ». Précisément, soit x ∈ E, minorons f (x) par un terme qui tend vers +∞.
Commençons par minorer le terme quadratique. Puisque u est symétrique, on peut
choisir une base orthonormée (ei )i de vecteurs propres de u (associés aux valeurs
1.6
33
Exercices corrigés
propres λi ). Comme u est défini positif, ses valeurs propres sont strictement positives
λ1 > λ2 · · · > λn > 0. Ensuite, on écrit x = x1 e1 + · · · + xn en , et
n
n
n
P
P
P
hu(x), xi =
λi xi ei , xi ei > λn xi 2 = λn kxk2 .
i=1
i=1
i=1
Pour minorer le terme affine, on utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz qui induit
hb, xi > −kbk kxk. On obtient finalement
λn
kxk2 − kbk kxk
f (x) >
2
et donc, comme λn > 0, f est coercive.
Montrons à présent que f est strictement convexe. Comme u est symétrique défini
positif, l’application x 7→ hu(x), xi est le carré d’une norme euclidienne. D’après
l’exemple 1.67, c’est donc une application strictement convexe. La fonction f est
ainsi la somme d’une fonction strictement convexe et d’une fonction affine (donc
convexe), donc elle est strictement convexe.
Terminons avec le calcul de x⋆ . Comme composée de fonctions C ∞ , f est de
classe C ∞ sur E. D’après les exemples 1.1 et 1.2, on calcule
1
1
df (x) · h = hu(h), xi + hu(x), hi + hb, hi.
2
2
En utilisant la symétrie de u et celle du produit scalaire, on obtient :
df (x) · h = hu(x) + b, hi.
Si le minimum est atteint en x⋆ , alors df (x⋆ ) = 0. On trouve finalement
x⋆ = −u−1 (b).
Exercice 1.3
Application du lemme d’Hadamard. Que peut-on dire du sousensemble I de C ∞ (R) formé des fonctions qui s’annulent en 0 ?
Commentaires. L’idée est de copier ce qui se passe pour le problème équivalent
dans R[X]. Montrons que I est un idéal maximal et principal.
Corrigé.
Considérons le morphisme d’algèbres
( ∞
C (R) −→ R
ϕ:
f
7−→ f (0).
I est le noyau de ϕ ; c’est donc un idéal. Par ailleurs, ϕ est notamment une forme
linéaire (non nulle) : I est un hyperplan et donc il est maximal. De plus, le lemme
d’Hadamard (voir l’application 1.61) montre que si f ∈ I, il existe ϕ ∈ C ∞ (R) tel
que f (x) = xϕ(x) pour tout x ∈ R. Autrement dit, I est engendré par la fonction
x 7→ x. Ainsi, I est principal.
Exercice 1.4
Lemme de Milnor.
Soient K un compact de Rn , U un ouvert de Rn et Ω un ouvert convexe
borné vérifiant
K
K ⊂ Ω ⊂ Ω ⊂ U.
Considérons une fonction v : U → Rn
de classe C ∞ , et posons vt = id + t v,
pour t ∈ R.
Ω
U
Chapitre 2
Fonctions d’une
variable complexe
Ce chapitre est centré sur la notion d’holomorphie. À première vue, la C-dérivabilité ne paraît pas remarquable : dans le corps C, on s’intéresse à la limite du
quotient
f (z) − f (a)
z−a
quand z tend vers a, tout comme la théorie des fonctions d’une variable réelle s’intéresse à ces quotients dans le corps R. En fait, la géométrie du corps C confère aux
fonctions C-dérivables des propriétés remarquables qui n’ont aucune contrepartie
dans la théorie des fonctions de la variable réelle.
À l’agrégation
Les fonctions d’une variable complexe apparaissent souvent lors des épreuves de
l’agrégation, et ce fut notamment le cas dans les sujets d’analyse en 2001 et 2002.
À l’oral aussi, on rencontre souvent ce thème : en illustration dans certaines leçons
(comme « Utilisation des séries » ou « Intégrales dépendant d’un paramètre ») ou
lors de leçons qui lui sont entièrement dédiées. Pour ces leçons, il faut prêter une
attention particulière à l’articulation des notions pour éviter les erreurs de logique
mais aussi les hors-sujet. Citons en effet le rapport du jury 2001 : « À propos des
deux leçons centrées l’une autour de la notion analyticité, l’autre autour de la notion
d’holomorphie (et méromorphie) : le jury s’attendait à deux présentations différentes,
ce qui n’était pas toujours le cas. »
Préliminaires
Dans tout ce chapitre, le corps C est muni de sa structure d’espace normé par le
module. Pour U un ouvert de C, on note H (U) l’ensemble des fonctions holomorphes
sur U, et M (U) l’ensemble des fonctions méromorphes sur U. D(a, r) désigne le
disque ouvert de centre a et de rayon r, C(a, r) le cercle de centre a et de rayon r, et
K(a, r1 , r2 ) la couronne ouverte {z ∈ C, r1 < |z − a| < r2 }.
Rappelons les identifications usuelles qui permettent de comparer l’holomorphie
et la différentiation classique dans R2 (voir la sous-section 2.3.1) :
Les complexes sont identifiés aux couples de réels via l’application R- linéaire bijective :
∼
C
−→
R2
z = x + i y 7−→ (x, y) = (Re z, Im z) .
46
Chapitre 2
Fonctions d’une variable complexe
2.1
Ils sont aussi identifiés aux similitudes directes de l’espace euclidien R2 via l’isomorphisme de groupes :

∼
×
−→ (Sim+ R2 , ◦)
 (C , · )
x −y
z = x + i y 7−→
.
y x
En fait, il y a un isomorphisme de corps entre C et le corps formé par les similitudes
directes et la matrice nulle.
a
a
r
C(a , r )
a
r2
r
D(a , r )
r
K(a, r1, r 2 )
Fig. 2.1 Cercles, disques et couronnes
Les définitions des fonctions étudiées sont rassemblées ci-dessous.
Définition 2.1
Fonctions d’une variable complexe.
Soient U un ouvert de C
et f une fonction de U dans C. On dit que f est :
développable en série entière en un point a ∈ U : s’il existe r > 0 et (an )n∈N ∈ CN
une suite de nombres complexes, tels que le disque {z ∈ C, |z − a| < r} soit inclus
dans U et que sur ce disque, on ait
P
+∞
f (z) =
an (z − a)n .
n=0
P
On dit alors que f est égale à la somme de la série entière z 7→
an (z − a)n sur
le disque de centre a et de rayon r.
une fonction analytique sur U : si f est développable en série entière en tout point
de U.
une fonction holomorphe sur U : si, en tout point a ∈ U,
f (z) − f (a)
z−a
admet une limite lorsque z tend vers a. Si elle existe, cette limite est notée f ′ (a).
une fonction méromorphe sur U : s’il existe P un ensemble de points isolés de U
(appelés pôles de f ) tel que f est analytique sur U r P et si, en tout p ∈ P, il existe
n ∈ N∗ et b ∈ C r {0} vérifiant f (z) ∼ b(z − p)−n .
z→p
une fonction harmonique sur U : si f est deux fois R-différentiable sur U et vérifie
sur U
∂2f
∂2f
∆f =
+ 2 = 0.
2
∂x
∂y
Un résultat important est que les notions d’holomorphie et d’analyticité coïncident (ceci est démontré en deux temps par les théorèmes 2.4 et 2.25). Nous séparons
néanmoins l’étude de ces deux notions pour mettre en avant ce qui leur est propre.
Nous nous affranchissons de la contrainte d’une présentation linéaire du sujet pour
laquelle nous vous renvoyons aux ouvrages de référence tels [car] et [rud].
2.1.1
Séries entières
2.1
47
Séries entières
Les séries entières sont des séries de fonctions à valeurs complexes aux propriétés
remarquables. Elles doivent être, à l’issue de la préparation, familières à l’agrégatif.
Nous recommandons la lecture de [rdo4, Ch.3] qui présente leur étude accompagnée d’exemples. Nous rappelons dans cette section les propriétés liées au rayon de
convergence et présentons quelques résultats sur le comportement au bord du disque
de convergence.
2.1.1
Rayon de convergence
Exponentielle complexe
L’exponentielle est un premier exemple important à partir duquel sont définis
les fonctions trigonométriques (et les fonctions trigonométriques hyperboliques) ainsi
que le nombre π. Nous conseillons la lecture du prologue de [rud] qui expose les
propriétés fondamentales de l’exponentielle. Nous utilisons ces propriétés à la soussection 2.6.3 et dans l’exercice 2.12.
Rayon de convergence
La forme du terme général d’une série entière (z 7→ an z n ) impose une forme
particulière au domaine de convergence absolue de la série : c’est un disque dont
le rayon est appelé rayon de convergence de la série entière. La notion de rayon de
convergence est ainsi propre aux séries entières.
C’est le lemme d’Abel qui justifie à la fois l’existence et la définition
de ce rayon
P
de convergence (voir [rdo4, 3.1.2]). Étant donnée la série entière
an z n de rayon
de convergence R, on dispose d’une partition du plan complexe en trois parties :
C = D(0, R) ∪ C(0, R) ∪ {z ∈ C, |z| > R}.
P
Sur D(0, R), la série
an z n est absolument convergente.
Sur {z ∈ C, |z| > R}, la suite (an z n )n∈N n’est pas bornée.
Sur C(0, R), la situation dépend de la suite (an )n∈N (voir sous-section 2.1.2).
On retrouve une situation analogue pour les séries de Dirichlet : le domaine de
convergence absolue est un demi-plan et on parle alors d’abscisse de convergence
absolue P
(voir [ser, VI.2.2] et le sujet d’analyse de 1989).
Soit an z n une série entière de rayon de convergence R ∈ [ 0 , +∞ ]. Récapitulons
différentes manières (extraites de [rdo4, 3.1.2]) pour déterminer R.
P
S’il existe z0 de module r avec
an z0 n qui converge absolument, alors r 6 R.
P
S’il existe z0 de module r tel que la série an z0 n diverge grossièrement (c’est-à-dire
que son terme général ne tend pas vers 0), alors R 6 r.
La formule d’Hadamard donne exactement R :
1
1
= lim sup |an | n ∈ R+ ∪ {+∞}.
R
La règle de d’Alembert
1
|an+1 |
= lim
∈ R+ ∪ {+∞}
R
|an |
permet de calculer certains rayons de convergence (notamment lorsque an s’exprime
avec des factoriels).
Chapitre 3
Analyse fonctionnelle
Ce chapitre réunit quelques thèmes d’analyse fonctionnelle. Tout d’abord, nous
étudions indépendamment les espaces de Hilbert et la convolution. Nous les réunissons ensuite lors de la présentation des séries de Fourier.
Le fil conducteur de ce chapitre est l’approximation. Les espaces de Hilbert offrent
une structure pour approcher des objets par projections. La convolution, quant à elle,
est un outil puissant qui permet d’approcher et de régulariser des fonctions. La théorie
des séries de Fourier tire parti de ces deux approches.
3.1
Analyse hilbertienne
Les espaces de Hilbert jouent un rôle capital en théorie comme dans les applications. La clef de voûte de tout l’édifice est le théorème de projection qui mélange topologie et géométrie. Les conséquences de ce théorème confèrent aux espaces de Hilbert
de dimension infinie des propriétés proches de celles des espaces de dimension finie.
3.1.1
Espace muni d’un produit scalaire
Soit H un espace vectoriel sur le corps k = R ou C ; l’espace H est dit préhilbertien
s’il est muni d’un produit scalaire (produit scalaire hermitien si k = C). Ainsi, un
espace préhilbertien est un couple (H, h·, ·i) où H est un k-espace vectoriel et h·, ·i un
produit scalaire sur H (voir 2.1.1 et 4.1.1 de [rdo2]). Si un espace préhilbertien est
complet pour la norme k · k associée au produit scalaire, on dit que c’est un espace
de Hilbert.
Exemple 3.1
Espaces euclidiens et hermitiens. Quelle que soit la norme, un
espace vectoriel normé de dimension finie est complet. Un espace préhilbertien de
dimension finie est donc un espace de Hilbert. On parle alors d’espace euclidien
(si k = R) ou d’espace hermitien (si k = C).
Exemple 3.2 Exemple fondamental. L’ensemble des suites de nombres complexes
de carré sommables
+∞
P
2
2
N
ℓ (N) = x = (xn )n ∈ C ,
|xn | < +∞
n=0
muni du produit scalaire hermitien
∀ x, y ∈ ℓ2 (N),
hx, yi =
P
+∞
xn y n
n=0
forme un espace de Hilbert. C’est en fait l’archétype des espaces de Hilbert séparables
comme le montre le théorème 3.41.
92
Chapitre 3
Analyse fonctionnelle
3.1.1
Exemple 3.3 Espace L2 . Soient (X, T , µ) un espace mesuré et L2 (X, T , µ) l’espace
vectoriel défini à l’exemple 5.4. Muni du produit scalaire
Z
2
∀ f, g ∈ L (X, T , µ),
hf, gi = f (x)g(x) dµ(x) ,
X
l’espace L2 (X, T , µ) est un espace de Hilbert.
On retrouve en particulier l’ensemble précédent avec X = N, T = P(N) la tribu
des parties de N et µ la mesure de comptage (pour A ∈ T , µ(A) = Card (A)).
Un sous-espace fermé d’un espace complet est complet. Muni de la restriction du
produit scalaire, un sous-espace fermé d’un espace de Hilbert a donc aussi une structure d’espace de Hilbert. Les sous-espaces fermés des espaces de Hilbert classiques
fournissent ainsi de nombreux exemples d’espaces de Hilbert.
Signaux à spectre borné. Dans l’espace de Hilbert L2 (R), consiExemple 3.4
dérons le sous-ensemble
BL2 = f ∈ L2 (R), F (f ) = 0 p.p. sur R r [ −1/2 , 1/2 ] ,
où F (f ) désigne la transformée de Fourier de f ∈ L2 (R). La linéarité et la continuité
de F sur L2 impliquent que BL2 est un sous-espace vectoriel fermé (voir les détails
dans [wil, 6.25]). Ainsi, BL2 muni de la norme L2 est un espace de Hilbert (dont on
connaît une base hilbertienne, voir l’exemple 3.44). En fait, la propriété de spectre
borné des éléments de BL2 leur confère de la continuité (voir [wil, 6.26]). Les éléments
de BL2 sont des fonctions continues au sens suivant : pour tout élément de f ∈ BL2 ,
on peut trouver un représentant continu dans la classe d’équivalence de f pour la
relation d’égalité presque partout (voir l’exemple 5.4).
Exemple 3.5
Forme bilinéaire continue coercive. Soit (H, h·, ·i) un R-espace
de Hilbert (dont la norme est notée k · k). Considérons une forme bilinéaire symétrique a(·, ·) que l’on suppose
(i) continue c’est-à-dire
(ii) coercive c’est-à-dire
∃ β > 0,
∃ α > 0,
∀ x, y ∈ H,
∀ x ∈ H,
|a(x, y)| 6 β kxk kyk.
αkxk2 6 a(x, x).
Alors a(·, ·) définit un produit scalaire sur H et la norme associée à ce produit scalaire
est équivalente à k · k puisque
∀ x ∈ H,
αkxk2 6 a(x, x) 6 βkxk2 .
Ainsi (H, a(·, ·)) est un espace de Hilbert.
Attention, on a supposé que la forme bilinéaire a(·, ·) est symétrique. Si ce n’est
pas le cas, a(·, ·) ne définit pas un produit scalaire.
Remarque 3.6 Corps de base. Prêtez attention au corps de base d’un espace de
préhilbertien : les calculs se mènent différemment dans R ou C. Les preuves sont parfois un peu plus techniques sur C, à l’image de celle de l’inégalité de Cauchy-Schwarz
[hir, p.86]. Notez que dans [bré], tous les espaces considérés sont des R-espaces
vectoriels.
Par ailleurs, les techniques de polarisation qui permettent de retrouver le produit
scalaire à partir de la norme diffèrent sur R et C (voir [gou1, p.225] et [gou1, p.226]).
La première question du sujet d’algèbre de 2002 nécessitait l’utilisation de la formule
de polarisation dans le cas complexe.
Attention enfin quand k = C aux conventions de la définition du produit scalaire
hermitien, on suppose souvent que h·, ·i est semilinéaire (ou antilinéaire) à droite et
linéaire à gauche ([rdo2, 3.2.3]), mais c’est parfois l’inverse ([gou1, V]). Bref, faites
attention aux scalaires quand vous les sortez du produit.
3.1.1
Analyse hilbertienne
93
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soit (H, h·, ·i) un espace préhilbertien. Le produit scalaire h·, ·i vérifie une inégalité
fondamentale :
∀ x, y ∈ H,
|hx, yi| 6 kxk kyk.
N’oubliez pas la valeur absolue (ou le module) dans l’inégalité : si k = R, on perdrait
de l’information, et si k = C, l’inégalité ne pourrait avoir de sens. Par ailleurs, on
connaît les cas d’égalité :
|hx, yi| = kxk kyk ⇐⇒ x et y sont liés.
hx, yi = kxk kyk ⇐⇒ x et y sont positivement liés.
La preuve de l’inégalité repose uniquement sur la positivité de h·, ·i. En revanche,
pour démontrer les cas d’égalité, on se sert du fait que h·, ·i est défini positif.
On ne peut pas surestimer l’importance de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Pensezy à chaque fois que vous avez une inégalité à démontrer dans un espace préhilbertien,
comme par exemple dans l’exercice 1.2 ou dans la première question de la partie III
du sujet d’analyse de 2002 . Connaître les cas d’égalité est aussi bien utile (voir par
exemple l’exercice 3.6).
de Cauchy-Schwarz permet de
Remarque 3.7 Inégalité triangulaire. L’inégalité
p
montrer l’inégalité triangulaire pour k · k = h·, ·i (inégalité de Minkowski), et donc
que k · k est une norme (voir [rdo2, 1.2.3] et [rdo2, 3.3.2] qui donnent aussi les cas
d’égalité dans l’inégalité de Minkowski).
Application 3.8 Forme linéaire. Soit y ∈ H ; d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
la forme linéaire h·, yi est continue et de norme kyk. Ce résultat forme en fait la
« moitié » du théorème 3.29 de Riesz. La continuité de h·, yi justifie notamment le
passage à la limite suivant. Soit (xn )n une suite d’éléments de H telle que xn → x ;
alors pour tout y ∈ H, on a hxn , yi → hx, yi.
Application⋆ 3.9
Continuité de l’adjoint. Soit u un endomorphisme continu
de H ; l’adjoint de u est défini à l’exemple 3.32. Montrons à l’aide de l’inégalité de
Cauchy-Schwarz que u∗ est continu et que kuk = ku∗ k.
Pour x ∈ H, on écrit
ku∗ (x)k2 = hu∗ (x), u∗ (x)i = hx, u(u∗ (x))i 6 kxk ku(u∗(x))k 6 kxk kuk ku∗(x)k,
ce qui se simplifie en
ku∗ (x)k 6 kuk kxk.
Ainsi u∗ est continu et ku∗ k 6 kuk. On obtient l’inégalité réciproque grâce au fait
que (u∗ )∗ = u, puisqu’alors k(u∗ )∗ k = kuk 6 ku∗ k.
Identité du parallélogramme
Soit (E, k · k) un espace vectoriel normé. Supposons que E soit un espace préhilbertien (c’est-à-dire que k · k soit une norme associée à un produit scalaire), alors en
développant le membre de gauche, on obtient l’identité du parallélogramme :
∀ x, y ∈ E,
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ).
La réciproque est vraie aussi : si k · k vérifie cette égalité alors elle est issue d’un
produit scalaire et ainsi (E, k · k) a une structure préhilbertienne. Pour démontrer
94
Chapitre 3
Analyse fonctionnelle
3.1.1
ceci, il suffit de définir hx, yi avec la formule de polarisation attendue, c’est-à-dire
dans le cas complexe
hx, yi =
1
(kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2 ),
4
puis de vérifier que c’est bien un produit scalaire hermitien (les calculs pour le cas
réel se trouvent par exemple dans [gou1, ex.9 p.248]).
Les espaces préhilbertiens sont ainsi les seuls espaces pour lesquels la norme vérifie
l’identité du parallélogramme. Cette identité est utilisée notamment dans la preuve
du théorème 3.11 de projection. Pour une autre utilisation géométrique de cette
inégalité, on pourra consulter la partie I.B.1 de la première épreuve de l’agrégation
interne de 2004.
Géométrie de la boule
Dans un espace préhilbertien, la boule unité est « ronde » : aucune direction n’est
privilégiée. Que signifie réellement cette propriété ?
Commençons par regarder les boules unités pour différentes normes sur un dessin dans R2 muni de sa structure euclidienne canonique. La boule euclidienne est
effectivement ronde au sens commun (c’est le disque unité). Au contraire, les boules
associées aux normes k · kp ne sont pas rondes : il y a des directions privilégiées (voir
la figure 3.1).
Cependant si l’on considère une
autre norme euclidienne (par exemple N(x)2 = x1 2 + 4 x2 2 ), alors
sur le même dessin la boule unité
est une ellipse et donne la fausse
impression de directions privilégiées. Nos impressions sont biaisées puisqu’on dessine dans le
boule pour
boule pour
plan euclidien classique, ce qui a (x , x ) 7→ (x 2 + x 2 )12 (x x ) 7→ (x 2 +  x 2 )12
,
1
2
1
2
1
2
1
2
pour effet de « déformer » la seconde boule.
Pour éviter ces intuitions plus ou moins trompeuses, utilisons le langage des actions de groupes. Plaçons-nous dans un espace E de dimension finie muni d’une
norme k · k et considérons l’action du groupe G des isométries linéaires
G = {g ∈ GL(E),
∀ x ∈ E, kg(x)k = kxk}
sur la sphère unité S. Soit u ∈ S ; si le stabilisateur de u est « très grand », alors il est
« difficile de quitter » cette direction pour une autre : cette direction est ainsi privilégiée. De plus, si u et v sont dans la même orbite, ils ont des stabilisateurs conjugués (voir [cbf, 2.2]). Ainsi, toutes les directions d’une même orbite ont le même
« poids ». En particulier, si l’action est transitive, alors aucune direction n’est privilégiée. La proposition suivante justifie la particularité géométrique des normes euclidiennes.
Proposition 3.10 Soient E un espace vectoriel de dimension finie et k · k une norme
sur E. Alors le sous-groupe des isométries de GL(E) agit transitivement sur S si, et
seulement si, k · k est une norme euclidienne.
La preuve de cette proposition (donnée dans le thème III question III.D3 de [ale])
repose sur la compacité de la boule unité et n’est donc valable qu’en dimension finie.
3.1.2
95
Analyse hilbertienne
On trouve aussi dans [ale] l’étude des groupes d’isométries pour les normes k · kp :
ces groupes sont finis et n’agissent donc pas transitivement sur les sphères unités.
De plus, les différents stabilisateurs ne sont pas tous conjugués (ils n’ont même pas
tous le même cardinal).
p = 1, 5
p=2
p = 2 ,5
p =+
∞
p=1
Fig. 3.1 Les boules unités pour les normes k · kp
Notons pour finir que pour les normes k · k1 et k · k∞ , la boule unité n’est pas
strictement convexe (voir aussi la remarque 1.67). Les points extrémaux (les sommets
de chacun des deux carrés dans R2 ) donnent naissance à des directions privilégiées.
3.1.2
Théorème de projection
Le théorème suivant est le résultat à la base de toute l’analyse hilbertienne :
projeter est la méthode hilbertienne par excellence. Dans un espace de Hilbert, pensez « projection ».
Théorème 3.11
Projection sur un convexe fermé.
Soient (H, h·, ·i) un espace
de Hilbert et C un convexe fermé (non vide) de H. Alors, pour tout x ∈ H, il existe
un unique élément de C, qui réalise la distance de x à C. Ce point est appelé la
projection de x sur C et il est noté pC (x). On a ainsi
∀ y ∈ C,
kx − pC (x)k 6 kx − yk.
Par ailleurs, on dispose de la caractérisation angulaire suivante de l’élément pC (x) :
(i) pC (x) ∈ C,
(ii) Re (hx − pC (x), y − pC (x)i) 6 0, pour tout y ∈ C.
Preuve. Il faut connaître les idées de la preuve de ce théorème tant le résultat est
important et les arguments naturels. Elle était demandée à l’écrit d’analyse de 1999.
Voici la charpente de la preuve (voir par exemple [bré, V.2] pour la compléter).
On est face à un problème d’optimisation : la minimisation de la distance de
x à y sous contrainte que y appartienne à C. Comme souvent, on commence alors
par considérer une suite minimisante (yn )n d’éléments de C (voir sous-section 1.3).
On montre au moyen de l’identité du parallélogramme que (yn )n est une suite de
Cauchy. La convexité de C intervient à cette étape : la demi-somme de deux termes
de la suite appartient aussi à C. Or, C est complet puisque c’est un fermé de l’espace
complet H. Ainsi, la suite minimisante (yn )n converge vers un élément y ∈ C qui
réalise donc le minimum. L’unicité du point de C réalisant la distance découle de
l’identité du parallélogramme (et de la convexité de C).
Remarque 3.12 Complétude. Remarquez que c’est en fait la complétude de C qui
assure la convergence de la suite minimisante. La même preuve établit donc également
le résultat avec les hypothèses suivantes : H préhilbertien et C convexe complet
(non vide). Cependant, c’est souvent sous la forme énoncée dans le théorème 3.11
que le résultat est utilisé.
Chapitre 4
Algèbre linéaire
L’algèbre linéaire « irrigue » presque toutes les disciplines des mathématiques, de
l’algèbre (théorie des corps par exemple) à l’analyse (calcul différentiel notamment)
en passant par la géométrie (géométrie affine et géométrie projective). On ne peut
guère y échapper !
Ce chapitre
Ce chapitre est structuré en cinq sections. Le thème central est la réduction des
endomorphismes : les outils sont étudiés dans la section 4.2, et les endomorphismes
remarquables associés dans la section 4.3. La section 4.1 insiste au préalable sur
les points clés de la construction de la théorie de la dimension. Enfin, après la section 4.4 consacrée à quelques éléments de calcul matriciel, la section 4.5 sur les codes
correcteurs est une mise en situation concrète de l’algèbre linéaire.
Nous proposons tout au long de ce chapitre des exemples d’origines diverses.
Pour enrichir votre réservoir d’illustrations, consultez les nombreux livres d’exercices
d’algèbre linéaire. Évoquons par exemple le livre de Xavier Gourdon [gou1] et celui
de Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas [fra]. Les livres de Rached
Mneimné [mné] et [mnév] sont particulièrement riches mais plus difficiles.
À l’agrégation
Les leçons d’algèbre linéaire sont fréquentes à l’oral de l’agrégation, et plus difficiles qu’il n’y paraît. En effet, la plupart des manuels de référence sur le sujet sont
d’un niveau de premier cycle, alors qu’il faut justement montrer au jury une certaine
maturité face à ces notions. Ceci signifie peut-être travailler sur un corps quelconque,
utiliser des espaces vectoriels quotients, etc. Le rapport du jury de 1988 regrette que
« les connaissances en algèbre linéaire sont dans l’ensemble trop superficielles, et un
effort sérieux est à faire dans ce domaine au cours de la préparation ».
Ainsi n’hésitez pas à vous replonger dans ces notions de premier cycle pour les
éclairer d’un jour nouveau. La synthèse de cours et les exercices de ce chapitre sont
rédigés pour vous aider dans ce travail. Pour aller un peu plus loin, le chapitre 6
présente la réduction des endomorphismes d’un point de vue différent.
Notations
On considère un corps k dont on note car(k) la caractéristique. Sauf mention
explicite du contraire, les espaces vectoriels sont pris sur k. En particulier, E et F
désignent dans tout ce chapitre des k-espaces vectoriels.
148
Chapitre 4
4.1
Algèbre linéaire
4.1.1
Théorie de la dimension
Les notions de dimension et de rang sont des outils fondamentaux pour l’étude
des espaces vectoriels. Des idées claires sur les définitions et l’enchaînement des résultats sont exigées à l’agrégation. C’est ce que souligne le rapport du jury de 1998 :
« La leçon traitant de la dimension d’un espace vectoriel est rarement bien traitée.
On observe un manque de logique dans l’ordre des notions introduites ». Un piège
classique, par exemple, est la définition d’espace de dimension finie : E est dit « de
dimension finie » s’il admet une partie génératrice finie. Cette définition est donnée
avant celle de « dimension » (voir ci-dessous).
Cette section insiste sur les points clés de la construction en suivant le cheminement du livre de Ramis, Deschamps et Odoux [rdo1] pour éviter les problèmes de
présentation. Avant tout, commençons pour nous motiver par une petite liste (pas
du tout exhaustive) de théories et de méthodes qui utilisent la notion de dimension :
(i) Théorie des corps. La dimension est un outil utile pour l’étude des extensions
de corps (voir [per, Ch.3] et [goz]).
(ii) Théorie des modules. Plusieurs résultats du chapitre 6 se démontrent en se
ramenant à un espace vectoriel pour pouvoir utiliser la notion de dimension
(propositions 6.55 et 6.74 notamment).
(iii) Démonstration par récurrence sur la dimension de l’espace. Cette méthode
apparaît souvent, en particulier lors de la réduction des endomorphismes. Évoquons par exemple la caractérisation de la trigonalisabilité [rdo1, 12.2.3.1◦],
la réduction des endomorphismes normaux [rdo2, 2.3.7.2◦] ou des endomorphismes symétriques [rdo2, 2.2.1].
4.1.1
Bases et dimension
La notion de base d’un espace vectoriel est centrale en algèbre linéaire. Elle enrichit en effet la notion classique de famille génératrice utilisée en algèbre. Un principe
général en algèbre est d’obtenir une propriété sur une structure algébrique en la vérifiant sur des générateurs de cette structure. En algèbre linéaire, on dispose en plus
de la notion de famille libre. La combinaison « génératrice + libre » est alors particulièrement fertile. Ainsi une base permet de « bien réduire un problème linéaire ».
Par exemple, pour définir une application linéaire sur tout un espace vectoriel, il suffit de donner l’image des vecteurs d’une base (voir [rdo1, 9.1.2.7◦ ] – cette propriété
est utilisée dans l’application 4.5 et dans l’exercice [fra, 1.7]).
Espaces vectoriels et bases
Soit E un k-espace vectoriel ; les deux résultats fondamentaux sont les suivants :
(i) E admet une base.
(ii) Toutes les bases de E ont le même cardinal.
À la suite du résultat (ii), on définit la dimension de E comme le cardinal commun
de toutes les bases de cet espace.
Ces deux résultats sont vrais en « dimension finie » comme en « dimension infinie ». Cependant les démonstrations ne sont pas les mêmes pour les deux cas. Elles
reposent sur une idée commune : montrer l’existence d’une famille libre maximale.
En dimension finie, cette existence (ainsi que le point (ii)) se démontre à l’aide du
lemme 4.1. En dimension infinie, on fait appel au lemme de Zorn (voir l’exercice 4.22).
4.1.1
Théorie de la dimension
149
Plaçons-nous pour la suite dans un espace vectoriel E qui admet une famille
génératrice finie (avec le vocabulaire de la théorie des modules du chapitre 6, E est
un k-module de type fini, voir la définition 6.45). Le lemme clé de la dimension finie
est le suivant [rdo1, 9.2.1.3◦].
Lemme 4.1 Si un espace vectoriel E admet une famille génératrice finie de cardinal n,
alors toute famille de cardinal n + 1 est liée.
La première conséquence de ce lemme est la suivante : un sous-espace vectoriel
d’un espace vectoriel de dimension finie est lui-même de dimension finie. Attention,
croire que ceci est évident d’après les définitions est un piège classique. Le rapport
du jury de 1990 met en garde : « [Pour] un espace vectoriel de dimension finie, on
doit être en mesure de savoir démontrer qu’un sous-espace vectoriel d’un tel espace
est de dimension finie. » Remarquez que ceci est faux si k est seulement un anneau
(on ne dispose pas du lemme 4.1, voir la sous-section 6.3.2).
Application⋆ 4.2
Polynômes annulateurs, polynôme minimal. Soient A une
k-algèbre de dimension finie n et a ∈ A. Montrons qu’il existe un polynôme annulateur
(non nul) de a. La famille (1, a, . . . , an ) est de cardinal n+1 (strictement supérieur à la
dimension de A) : elle est donc liée d’après le lemme 4.1. Une relation de dépendance
linéaire (non triviale) entre ces éléments fournit un polynôme non nul P ∈ k[X] tel
que P(a) = 0 de degré au plus n = dim A.
L’ensemble des polynômes annulateurs I = {P ∈ k[X], P(a) = 0} est un idéal
de k[X] (qui n’est pas réduit à 0). Comme k[X] est principal, il existe un polynôme non
nul (unique si choisi unitaire) qui engendre I. On appelle ce polynôme le polynôme
minimal de a (on le note πa ). Remarquez que
deg(πa ) = min d ∈ N, (1, a, . . . , ad ) est liée
En effet, d ∈ N, (1, a, . . . , ad ) est liée est non vide puisqu’il contient n. Il admet
donc un plus petit élément. De plus, le fait que la famille (1, a, . . . , ad ) soit liée est
équivalent à l’existence d’un polynôme non nul de degré 6 d. On obtient ainsi l’égalité
souhaitée. Par suite, le degré de πa peut aussi s’exprimer comme le rang de la famille
(1, a, . . . , aℓ−1 ) pour ℓ > deg(πa ), ou celui de la famille (1, a, . . . , ad , . . . ).
Par exemple, si A = L (E) (où E est un espace vectoriel de dimension p), le polynôme minimal d’un endomorphisme u est de degré inférieur ou égal à p2 = dim L (E).
En fait, le théorème de Cayley-Hamilton assure que son degré est inférieur ou égal à
p = dim E (voir la sous-section 4.2.2). Le degré de πu est égal au rang de la famille
(1, u, . . . , up−1 ).
Application⋆ 4.3
Éléments algébriques. Soit j : k → K un morphisme de corps
(on dit que K est une extension de corps de k). On note A l’ensemble des éléments
de K algébriques sur k (voir [goz, III.17] pour les caractérisations des éléments de A).
Montrons que A est un anneau (il s’avère que c’est un corps, mais pour démontrer
l’inversibilité des éléments, la dimension finie n’intervient pas, voir [goz, III.36]).
Soient a, b ∈ A. D’après [goz, III.17], k[a] est un corps et un k-espace vectoriel
de dimension finie. Or, b est aussi algébrique sur k[a] donc k[a, b] = k[a][b] est un
k[a]-espace vectoriel de dimension finie. On en déduit que k[a, b] est un k-espace
vectoriel de dimension finie. Comme k[a + b] ⊂ k[a, b] et k[ab] ⊂ k[a, b], on a
dimk (k[a + b]) < +∞
Ainsi a + b et ab appartiennent à A.
et
dimk (k[ab]) < +∞ .
150
Chapitre 4
Algèbre linéaire
4.1.1
Compléter et extraire
Le deuxième corollaire du lemme 4.1 est le théorème de la base incomplète pour la
dimension finie (voir [rdo1, 9.2.2.2◦] et comparer avec la démonstration en dimension
infinie de l’exercice 4.22).
Théorème 4.4 Base incomplète. Soit E un k-espace vectoriel. Si L est une partie
libre de E et G une partie génératrice de E contentant L, alors il existe une base B
de E telle que L ⊂ B ⊂ G. En particulier, l’espace vectoriel E admet une base.
Ce théorème établit donc que tout espace vectoriel admet une base (cf. le point (i))
et, plus précisément, il autorise à :
compléter une famille libre en une base ;
extraire une base d’une famille génératrice.
À ce titre, il pourrait aussi s’appeler le « théorème de la base trop complète ».
Application 4.5
Orbite de E sous GL(E)
GL(E). Le groupe GL(E) agit sur E via
(
GL(E) × E −→ E
(f, v) 7−→ f (v).
Signalons que cette action a deux orbites : {0} et E r {0}. Montrons que, si x ∈ E
est non nul, son orbite est E r {0}. En effet, soit y ∈ E r {0} ; on complète la
famille libre x (respectivement y) en une base (x1 = x, x2 , . . . , xn ) (respectivement
(y1 = y, y2 , . . . , yn )). Définissons f ∈ GL(E) en posant f (xi ) = yi pour i ∈ [[ 1 , n ]].
Ainsi définie, f envoie x sur y et appartient à GL(E) (puisque f envoie une base sur
une autre).
Application 4.6 Base de matrices inversibles. Montrons qu’on peut extraire une
base de toute famille F dense dans Mn (C). Par exemple, il existe une base de Mn (C)
formée de matrices inversibles ou de matrices diagonalisables (exercice [gou1, p.184]).
D’après le théorème de la base incomplète, il suffit de montrer que F est génératrice, c’est-à-dire que vect F = Mn (C). Pour montrer ceci, on commence par observer :
vect F = vect F .
En effet, vect F étant un sous-espace vectoriel de Mn (C), il est lui aussi de dimension
finie (donc fermé). Or F ⊂ vect F ; on peut ainsi écrire
Mn (C) = F ⊂ vect F = vect F ⊂ Mn (C).
On a donc l’égalité partout et ainsi F est génératrice.
Application 4.7
Surjectivité de la restriction. Soient E et G deux espaces
vectoriels et F un sous-espace de E. Montrons que
(
L (E, G) −→ L (F, G)
ϕ:
f
7−→ f
F
est surjective.
Soit g ∈ L (F, G) ; construisons f ∈ L (E, G) telle que ϕ(f ) = g. On considère F
une base de F. C’est une famille libre de E que l’on complète en une base E de E.
On définit alors f sur E par
(
g(e) si e ∈ F ,
f (e) =
0 sinon.
Le théorème [rdo1, 9.1.2.7◦] nous assure que f est bien définie, linéaire et, en plus,
que ϕ(f ) = g. Remarquons que le choix de 0 est arbitraire. De plus, grâce à la
propriété universelle du quotient (théorème 6.17), Ker ϕ s’identifie à L (E/F, G).
4.1.2
Théorie de la dimension
151
Application 4.8
Supplémentaires. Soient E un espace vectoriel et F un sousespace de E ; il existe un supplémentaire de F dans E c’est-à-dire qu’il existe un
sous-espace vectoriel G tel que E = F ⊕ G.
En effet, soit F une base de F ; on la complète en une base E de E. On considère G
le complémentaire de F dans E. Le sous-espace G = vect G est alors un supplémentaire de F dans E.
Sous-espaces vectoriels
Avec simplement la définition d’« espace de dimension finie » et le lemme 4.1,
on peut montrer qu’un sous-espace d’un espace vectoriel de dimension finie est luiaussi de dimension finie. Avec la théorie de la dimension on peut préciser ce résultat
[rdo1, 9.2.3.1◦ ].
Proposition 4.9
Dimension et sous-espaces.
Soient E un espace vectoriel
de dimension finie et F un sous-espace de E. Alors dim F 6 dim E. De plus, si
dim F = dim E, alors F = E.
Ce théorème fournit un moyen très utile pour montrer l’égalité entre deux espaces
vectoriels E et F de dimension finie. Plutôt que de montrer les deux inclusions E ⊂ F
et F ⊂ E, on n’en établit qu’une seule (souvent une des deux est justement facile !)
et on vérifie que E et F ont même dimension. On se ramène ainsi à un problème de
calcul de dimension.
Applications 4.10
Une forme linéaire f ∈ L (E, k) est soit nulle, soit surjective. En effet, son image
est un sous-espace vectoriel de k, donc dim Im f 6 1. Or
et
dim Im f = 0 ⇐⇒ f = 0,
dim Im f = 1 ⇐⇒ Im f = k ⇐⇒ f est surjective.
La proposition 4.9 est un outil bien utile en dualité : par exemple pour montrer
que (F⊥ )◦ = F en dimension finie [rdo1, 9.3.6.3◦].
La proposition 4.9 est aussi utilisée dans la preuve de la proposition 4.55 et dans
l’exercice 4.9, par exemple.
4.1.2
Dimension et applications linéaires
Interprétons et illustrons à présent les deux théorèmes de [rdo1, 9.2.2.6◦ ].
Dimension et surjectivité
Le premier établit qu’une application linéaire surjective arrive nécessairement
dans un espace de dimension plus petite : la surjectivité fait « diminuer la dimension ».
Ajoutons qu’à l’opposé, une application linéaire injective ne peut arriver que dans un
espace de dimension plus grande que l’espace de départ. Le théorème du rang 4.13
quantifie précisément ceci.
Application 4.11 Une « formule » du rang. Soient E, F, G et H quatre espaces
vectoriels de dimension finie. Considérons des applications linéaires w ∈ L (E, F),
v ∈ L (F, G) et u ∈ L (G, H). Montrons que
rg (u ◦ v ◦ w) + rg (v) − rg (v ◦ w) − rg (u ◦ v) > 0.
Chapitre 5
Algèbre commutative
Ce chapitre rassemble quelques idées fécondes de l’algèbre. Nous insistons tout
d’abord sur l’obtention d’espaces par passage au quotient. Des espaces aussi usuels
que l’anneau Z/nZ, les espaces Lp ou le groupe R/2πZ par exemple reposent sur cette
construction. Nous proposons ensuite un « kit de survie » en algèbre commutative
contenant les outils essentiels pour l’étude des anneaux. Nous terminons par une
revue des idées du théorème chinois, illustrée par une méthode de factorisation de
polynômes.
5.1
Quotient
Le passage au quotient est une notion majeure en mathématiques. Sa vocation
est de regrouper des éléments ayant la même propriété et de changer d’espace pour
ne plus les distinguer.
Nous présentons ici la notion de quotient et son comportement agréable vis-àvis des structures algébriques, en insistant sur les deux objets indispensables à la
manipulation des quotients : la surjection canonique et la propriété universelle.
5.1.1
Surjection canonique
Soient E un ensemble et R une relation d’équivalence sur E ; le quotient E/R
est l’ensemble des classes d’équivalence pour la relation R. Ainsi, l’ensemble E/R
est un sous-ensemble de P(E). Pour les principales propriétés et les détails de la
construction du quotient, on peut consulter [rdo1, 1.3.2] et [cbf, Ch.1].
Exemple 5.1
Intuitivement, considérer les classes
d’équivalences revient à « coller »
deux éléments x, y de E lorsqu’ils vérifient x R y. Par exemple, pour la
relation d’équivalence sur E = [ 0 , 1 ]
dont les classes d’équivalence sont
{0, 1} et {x} pour x ∈
/ {0, 1}, on
« colle » 0 et 1.
0
1
passage au
quotient
{0, 1}
La première difficulté est d’ordre pratique. Comment noter et manipuler les éléments du quotient E/R ? En fait, on dispose de l’application (surjective)
(
E −→ E/R
π:
x 7−→ π(x)
232
Chapitre 5
Algèbre commutative
5.1.2
qui associe à un élément x ∈ E sa classe d’équivalence π(x) ∈ E/R ⊂ P(E). Cette application s’appelle la surjection canonique. La plupart du temps, la notation π(x) où
x ∈ E est suffisante pour manipuler les éléments du quotient. De plus, elle est facile
d’emploi (contrairement aux notations x̄ ou [x]) puisqu’on est habitué à manipuler les
images d’une application. Cependant, on revient parfois à la définition des éléments
du quotient en tant que classes d’équivalence (comme au théorème 6.22).
5.1.2
Passage au quotient
La propriété universelle (appelée aussi propriété de factorisation) est l’outil fondamental pour « créer des applications partant d’un quotient ».
Propriété de factorisation.
Soient E, F deux ensembles, R
Théorème 5.2
une relation d’équivalence sur E et f : E → F une application. Si f est compatible
avec R (c’est-à-dire x R y =⇒ f (x) = f (y)), alors il existe une unique application
fe: E/R → F vérifiant fe ◦ π = f .
Cette propriété se résume sur le diagramme commutatif suivant, typique du passage au quotient :
f
// F
E
==
π
fe
E/R
La condition de compatibilité pour f est naturelle : elle assure que tous les éléments d’une même classe d’équivalence ont la même image par f . On définit alors
l’image par fe d’un élément de E/R comme la valeur commune prise par f sur tous
les éléments de cette classe d’équivalence (voir [rdo1, 1.3.3.3◦ ]).
Le travail de construction est fait une fois pour toutes dans la démonstration de
la propriété universelle. Il suffit alors de vérifier la condition de compatibilité pour
créer des applications. On évite ainsi le retour aux éléments du quotient à chaque
fois. La morale est qu’il est facile de créer des applications partant d’un quotient.
Finalement, pour l’étude des quotients, les deux outils fondamentaux sont
la surjection canonique (pour la manipulation des éléments du quotient),
la propriété universelle (pour créer des applications partant d’un quotient).
Exemple 5.3
Le tore. Soit R la relation d’équivalence définie sur E = R par
x R y ⇐⇒ x − y ∈ 2πZ.
Le quotient E/R se note R/2πZ ou T (voir la section 3.3).
Soient f une application de R dans F et π la surjection canonique de R sur T.
Observons que f est compatible avec la relation R si, et seulement si, elle est
2π-périodique. Dans ce cas, le théorème 5.2 établit alors qu’il existe une unique
application fe: T → F telle que fe ◦ π = f . Ainsi, l’ensemble F (T, F) des applications
issues du tore s’identifie à l’ensemble F2π (R, F) des applications 2π-périodiques par
la bijection suivante


F (T, F) −→ F2π (R, F)
g
7−→
g◦π


e
f
←−[
f
5.1.3
233
Quotient
Exemple 5.4 Espaces Lp . Soient (X, T , µ) un espace mesuré et L p (X) l’ensemble
des fonctions mesurables sur X à valeurs dans C telles que
Z
p
|f (x)| d µ(x) < +∞.
X
Sur L p (X), on définit

 L p (X) −→ R
Z+
ϕ:
7−→
|f |p d µ .
 f
X
1/p
L’application ϕ vérifie ϕ
1/p
(λ f ) = |λ|ϕ
(f ) et
ϕ1/p (f + g) 6 ϕ1/p (f ) + ϕ1/p (g)
grâce à l’inégalité de Hölder (voir [rud, 3.5]). Cependant, on n’a pas
ϕ1/p (f ) = 0 ⇐⇒ f = 0
mais seulement
1/p
ϕ1/p (f ) = 0 ⇐⇒ f = 0
µ p.p.
Ainsi ϕ (f ) n’est pas une norme mais seulement une semi-norme. Pour obtenir
un espace vectoriel normé, il faudrait que tous les éléments f vérifiant ϕ(f ) = 0
ne fassent plus qu’un. On souhaite donc passer au quotient pour rendre nuls ces
éléments.
On définit sur L p (X) la relation d’équivalence
f R g ⇐⇒ µ ({x ∈ X, f (x) 6= g(x)}) = 0.
L’espace quotient est noté Lp (X) = L p (X)/R. Les propriétés de l’intégrale (voir
[rud, 1.35]) assurent que
Z
Z
p
p
f R g =⇒ ϕ(f ) =
|f | d µ =
|g| d µ = ϕ(g).
X
X
Autrement dit, ϕ est compatible avec la relation d’équivalence R.
Notons π : L p (X) → Lp (X) la surjection canonique. D’après la propriété 5.2, il existe
une unique application ϕ
e sur l’espace quotient Lp (X) = L p (X)/R telle que
ϕ(F)
e
= ϕ(f )
avec π(f ) = F.
1/p
On vérifie alors que l’application ϕ
e
définit une norme sur Lp (X). Remarquez que,
par habitude et par souci de simplification, on note de la même manière un élément
f ∈ L p (X) et son image π(f ) ∈ Lp (X) par la surjection canonique.
5.1.3
Quotients et structures algébriques
Comment une structure algébrique sur E se transmet-elle à un quotient E/R ?
L’envie naturelle est de munir E/R d’une structure de la même nature que celle de E,
par exemple d’une structure de groupe si E est un groupe, d’une structure d’anneau
si E est un anneau, etc. Cependant, construire arbitrairement une structure n’est pas
satisfaisant car on ne peut pas la manipuler.
Contre-exemple 5.5
Plusieurs structures de groupe.
Soient E un groupe
et R une relation d’équivalence sur E. Supposons que E/R admette un nombre
fini n d’éléments. Considérons alors une bijection ϕ : Z/nZ → E/R. Par transfert de
structure, ϕ munit E/R d’une structure de groupe (voir [rdo1, 1.6.3.3◦]).
234
Chapitre 5
Algèbre commutative
5.1.3
En fait, chaque bijection fournit une structure de groupe différente sur E/R.
Aucune de ces structures n’est intéressante : elles sont construites de manière trop
artificielle et aucun calcul dans le quotient n’est possible à partir d’un calcul dans le
groupe de départ E.
Morphisme canonique
L’important pour effectuer des calculs dans le quotient est que la surjection canonique π soit un morphisme. Pour certaines relations d’équivalence sur E, il est
impossible d’imposer à π d’être un morphisme (voir l’exemple 5.7). La relation d’équivalence doit en fait vérifier certaines conditions : les notions de sous-groupe distingué
et d’idéal apparaissent.
Soit E un ensemble muni de lois (internes ou externes) et d’une relation d’équivalence R. On souhaite construire sur E/R autant de lois que sur E telles que la
surjection canonique π : E → E/R soit un morphisme. La relation d’équivalence doit
pour cela être compatible avec les lois (voir [rdo1, 1.6.4]).
Si E est un groupe, les relations d’équivalence compatibles avec la loi de groupe
sont de la forme xy −1 ∈ H avec H un sous-groupe distingué de E (H est en fait la
classe de l’élément neutre, voir [rdo1, 2.3]).
Si E est un anneau, les relations d’équivalence compatibles avec les deux lois sont de
la forme x−y ∈ I avec I idéal de E (ici aussi, I est la classe de 0, voir [rdo1, 3.2.2]).
Le cas des modules (et donc des espaces vectoriels) est traité à la sous-section 6.1.4.
Les « bonnes relations » sont de la forme x−y ∈ F avec F sous-module de E.
Exemple 5.6
Le groupe T .
Quelle structure algébrique peut-on mettre sur
T = R/2πZ ? Le groupe (R, +) étant commutatif, le sous-groupe 2πZ est distingué
dans R. Le quotient T est donc muni d’une structure de groupe pour laquelle la
surjection canonique π est un morphisme de groupes. Par contre, 2πZ n’est pas un
idéal de R et donc il n’existe pas de structure d’anneau sur T telle que π soit un
morphisme d’anneaux.
Contre-exemple 5.7 Soient n > 2 et E = GLn (R). L’ensemble GLn (Z) est un
sous-groupe de GLn (R) et la relation
x R y ⇐⇒ x y −1 ∈ GLn (Z)
est une relation d’équivalence sur GLn (R). Cependant, GLn (Z) n’est pas distingué
dans GLn (R). En effet, le contre-exemple suivant s’étend à toutes les tailles :
1 0 1 1 1 0
1 1/2
=
∈
/ GL2 (Z).
0 2 0 1 0 1/2
0 1
Ainsi, il n’existe pas de structure de groupe sur GLn (R)/R = GLn (R)/GLn (Z) telle
que la surjection canonique soit un morphisme de groupe.
Le quotient GLn (R)/GLn (Z) s’identifie à l’espace des réseaux de Rn . Il est étudié
dans la partie III du sujet de mathématiques générales de 1998.
Exemple 5.8
Groupe dérivé.
Soit G un groupe. Pour x, y ∈ G, on note
[x, y] = xyx−1 y −1 le commutateur de x et y. On appelle groupe dérivé de G le sousgroupe D(G) engendré par les commutateurs. Remarquez que [x, y] = e si, et seulement si, x et y commutent. Voici des exemples de groupes dérivés :
si G est commutatif, D(G) = {e} ;
si G = GLn (k), D(GLn (k)) = SLn (k), sauf cas particuliers (voir [per, IV.3.1]) ;
si G = Sn , D(Sn ) = An (voir [per, I.8.2]).
5.1.3
Quotient
235
Montrons que D(G) est un sous-groupe caractéristique de G c’est-à-dire que
ψ(D(G)) ⊂ D(G) pour tout ψ ∈ Aut(G). Soient x, y ∈ G, comme [x, y]−1 = [y, x],
un élément de D(G) est simplement un produit de commutateurs. Un simple calcul
montre que ψ([x, y]) = [ψ(x), ψ(y)] pour tout ψ ∈ Aut(G). On en déduit alors que
pour z = [x1 , y1 ] · · · [xn , yn ] ∈ D(G), on a
ψ(z) = [ψ(x1 ), ψ(y1 )] · · · [ψ(xn ), ψ(yn )] ∈ D(G).
Bref, le groupe D(G) est un sous-groupe caractéristique de G. En particulier, D(G) est
stable par les automorphismes intérieurs de G et donc il est distingué dans G.
Ainsi, il existe sur G/D(G) une unique structure de groupe telle que la surjection
canonique π : G → G/D(G) soit un morphisme de groupes. Utilisons à présent ce morphisme pour vérifier que G/D(G) est un groupe commutatif. Soient z, z ′ ∈ G/D(G) ;
il existe x, y ∈ G tel que π(x) = z et π(y) = z ′ . Comme π est un morphisme de
groupes, on a [z, z ′ ] = π([x, y]). Or [x, y] ∈ D(G) = Ker π, donc [z, z ′ ] = e ce qui
signifie que zz ′ = z ′ z. Bref, G/D(G) est commutatif.
Exemples 5.9 Pourquoi quotienter ? Le passage au quotient permet de rendre nuls
les « éléments gênants ».
Dans l’exemple 5.4, on quotiente pour « éliminer » les éléments non nuls vérifiant
ϕ(f ) = 0 et récupérer une norme sur l’espace quotient.
Soient E, F deux espaces vectoriels et u ∈ L (E, F) ; en quotientant par les éléments
qui empêchent u d’être injectif (c’est-à-dire Ker u), on obtient une application linéaire injective de E/Ker u dans F.
Dans un module M sur un anneau intègre, on obtient un module sans torsion en
quotientant M par son sous-module de torsion Mtors (voir exercice 6.2).
Soient M un A-module et I un idéal de A ; on obtient un module N vérifiant
IN = {0} en quotientant M par son sous-module IM (voir exercice 6.1).
Soit G un groupe. Les éléments x, y ∈ G commutent si, et seulement si, [x, y] = e
(voir l’exemple 5.8). Pour rendre triviaux les commutateurs et ainsi obtenir un
groupe commutatif, on quotiente G par le plus petit sous-groupe distingué contenant les commutateurs : le groupe dérivé.
Factorisation des morphismes
Intéressons-nous à présent aux propriétés de factorisation des morphismes. Pour
simplifier, nous considérons uniquement le cas des groupes. Les autres cas (anneaux,
modules... ) se traitent de manière similaire et donnent lieu à des résultats analogues
(voir les théorèmes 5.13 et 6.17).
Soient E et F deux groupes, f : E → F un morphisme de groupes, et R une relation
d’équivalence sur E. On suppose que la relation R est compatible avec la loi de E
c’est-à-dire de la forme xy −1 ∈ H où H est un sous-groupe distingué de E. On munit
E/R = E/H de la structure de groupe qui fait de la surjection canonique π un
morphisme de groupes.
Pour que f passe au quotient, il faut et il suffit que f soit compatible (au sens du
théorème 5.2) avec la relation d’équivalence R. Comme f est un morphisme, la forme
particulière de R assure que
f passe au quotient ⇐⇒ H ⊂ Ker (f ).
Chapitre 6
Modules
La théorie des modules est une généralisation de la théorie des espaces vectoriels :
l’ensemble des scalaires est un anneau et plus nécessairement un corps. Notre objectif
est la classification des modules de type fini sur un anneau principal qui unit dans
une même présentation l’étude des groupes commutatifs finis et celle des classes de
similitude dans Mn (k).
Ce chapitre est différent des autres chapitres de ce livre. C’est un cours ! Il contient
donc les démonstrations détaillées des résultats présentés. Nous introduisons et commentons tous les outils nécessaires pour arriver à notre objectif. Nous donnons une
variété d’applications propres à illustrer de nombreuses leçons. Nous abordons aussi
les questions sensibles sous plusieurs points de vue. Par exemple, à la section 6.4,
nous présentons une approche théorique (sous-section 6.4.1) et une approche pratique (sous-section 6.4.2) de la classification des modules de type fini sur un anneau
principal et nous tissons les liens entre ces deux présentations (sous-section 6.4.3).
À l’agrégation
Ce chapitre met en situation toute l’algèbre commutative du programme de l’agrégation. La présentation de la théorie des modules (section 6.1) met en avant des
points systématiques dans l’étude d’une structure algébrique. Dans les sections 6.2,
6.3 et 6.4, on manipule des outils classiques comme le passage au quotient, les anneaux principaux et les polynômes. La section 6.4 fait également grand usage du
lemme chinois. Enfin, la section 6.5 met en relief les résultats de réduction du chapitre 4 d’algèbre linéaire. Travailler ce chapitre est donc aussi l’occasion d’apprivoiser
toutes ces notions en vue de l’écrit comme de l’oral.
Notations
Rappelons qu’un groupe (M, +) est dit abélien s’il est commutatif, c’est-à-dire si
x + y = y + x, pour tous x, y ∈ M. La loi du groupe est notée « + » pour rendre naturel l’usage de la commutativité. Notons de plus EndGr (M) l’ensemble des endomorphismes de groupes de M. Comme M est un groupe abélien, EndGr (M) récupère une
structure de groupe abélien. Avec la composition des applications, (EndGr (M), +, ◦ )
est alors un anneau unitaire.
Dans tout ce chapitre, A désigne un anneau commutatif unitaire, I un idéal de A
et k un corps (commutatif).
254
Chapitre 6
6.1
6.1.1
Modules
6.1.1
Structure de module
Modules sur un anneau
Définition 6.1
A -module.
On dit que (M, + , · ) est un A-module si (M, + )
est un groupe abélien qui est muni d’une application de A × M dans M (notée · )
vérifiant les axiomes suivants :
(i) ∀ (a, m1 , m2 ) ∈ A × M × M,
(ii) ∀ (a1 , a2 , m) ∈ A × A × M,
(iii) ∀ m ∈ M,
a · (m1 + m2 ) = a · m1 + a · m2
(a1 + a2 ) · m = a1 · m + a2 · m
(a1 a2 ) · m = a1 · (a2 · m)
1A · m = m .
S’il n’y a pas d’ambiguïté sur les lois, on note M au lieu de (M, + , · ).
On reconnaît les axiomes de la définition d’un espace vectoriel [gou1, III.1]. Ainsi,
un k-module est simplement un k-espace vectoriel. La différence pour un A-module
est que les scalaires sont les éléments de l’anneau A. Les scalaires non nuls ne sont
donc pas forcément inversibles, ce qui complique la situation. Par exemple, pour
λ ∈ A et x ∈ M,
λ · x = 0 6⇒ (λ = 0 ou x = 0).
Ceci mène à la notion de torsion (exercice 6.2).
L’application · est appelée opération externe de A sur M. Comme pour les espaces
vectoriels, on simplifie souvent l’écriture a · m en a m. Dans ce chapitre, cependant,
nous écrivons explicitement la loi externe à chaque fois qu’il peut y avoir confusion.
Interprétons les axiomes de la définition 6.1 pour aboutir à une autre version
de la définition d’un A-module. Soit M un A-module ; considérons l’application de
l’anneau de base A dans l’ensemble des applications de M dans lui-même
(
A −→ MM
ΘM :
a 7−→ (m 7→ a · m).
L’axiome (i) exprime que ΘM est à valeurs dans EndGr (M). Le point (ii) assure
que ΘM est un morphisme d’anneaux, et le point (iii) que ce morphisme est un
morphisme d’anneaux unitaires. Réciproquement, si M est un groupe abélien et
Φ : A → EndGr (M) un morphisme d’anneaux unitaires, l’action extérieure de A sur M
définie par a · m = Φ(a)(m) munit M d’une structure de A-module. Finalement,
se donner un A-module M revient à se donner un groupe abélien M et un morphisme
d’anneaux unitaires de A dans EndGr (M).
Proposition 6.2
Autre définition d’un module. Un A-module est un groupe
abélien muni d’un morphisme d’anneaux unitaires A → EndGr (M).
Il est utile d’avoir en tête le lien entre l’action de A sur M et le morphisme
ΘM associé. Ces deux objets ont des intérêts complémentaires. L’action extérieure
sert à effectuer des calculs dans M. Quelques règles de calculs (analogues à celles
valables dans un espace vectoriel) sont données dans [rdo1, 4.1.2.1◦]. Quant à ΘM ,
il permet d’obtenir des propriétés de M de façon plus abstraite (il permet notamment
de manipuler aisément les changements d’anneaux de base, voir la section 6.2).
Exemple 6.3
Les Z -modules. Les modules sur l’anneau Z nous sont familiers :
ce sont les groupes abéliens. Précisément, tout groupe abélien (M, +) est muni de
façon unique d’une structure de Z-module.
6.1.2
Structure de module
255
Cette structure est donnée par l’action
n · x = x + ··· + x.
| {z }
(∗)
n fois
La définition d’un groupe implique que (∗) définit une structure de Z-module sur M.
Elle assure aussi, avec les axiomes de la définition 6.1, que c’est la seule possible.
Ces vérifications sont nombreuses et fastidieuses. On peut les éviter grâce à la caractérisation des modules via le morphisme d’anneaux associé. En effet, se donner une
structure de Z-module sur M revient à se donner un morphisme d’anneaux unitaires
de Z dans EndGr (M). Or, il existe un unique morphisme d’anneaux unitaires de Z
dans EndGr (M). Il est donné par n 7→ n idM (voir la proposition 5.11). Il existe donc
une unique structure de Z-module sur M, dont l’action extérieure associée est (∗).
Exemple 6.4
Anneau et module.
Un anneau unitaire B (non nécessairement
commutatif) peut être muni d’une structure de A-module via un morphisme d’anneaux unitaires ρ : A → B. En effet, l’application
(
A −→ EndGr (B)
ΘB :
a 7−→ (b 7→ ρ(a)b)
est bien un morphisme d’anneaux unitaires qui munit B d’une structure de A-module.
L’action extérieure de a ∈ A sur b ∈ B est alors a · b = ρ(a) b. En particulier :
B = A est naturellement un A-module via ρ = id.
Si I est un idéal de A, alors l’anneau quotient B = A/I est un A-module via la
surjection canonique π : A → A/I. L’action de a ∈ A sur x ∈ A/I est donnée par
a · x = π(a) x.
B = An = A × · · · × A est aussi un A-module via
(
A −→ An
ρ:
a 7−→ (a, . . . , a).
On vérifie que l’action de A sur An
composante (exactement comme pour
Mn (A) est un A-module via
(
A
ρ:
a
se fait par multiplication composante par
k n ).
−→ Mn (A)
7−→ a Id.
On vérifie que l’action de A sur Mn (A) se fait par multiplication sur les coefficients
(exactement comme pour Mn (k)).
Exemple 6.5 Matrices à coefficients dans A . L’ensemble Mm×n (A) des matrices
à m lignes et n colonnes à coefficients dans A est un A-module. L’action de a ∈ A
sur C = (cij )i,j ∈ Mm×n (A) s’effectue en multipliant par a chacun des coefficients
de C, c’est-à-dire a · C = (a cij )i,j . Par exemple, la partie B du sujet d’algèbre
de 2004 étudiait les matrices à coefficients dans l’anneau A = Z/qZ. Attention,
si m 6= n, Mm×n (A) n’est pas un anneau et n’entre donc pas dans le cadre de
l’exemple précédent.
La sous-section 4.4.1 et l’exercice 4.19 étudient les propriétés du déterminant
d’une matrice à coefficients dans un anneau.
256
6.1.2
Chapitre 6
Modules
6.1.2
Morphismes de A -modules
Comme dans le cas des groupes, des anneaux ou des espaces vectoriels, on demande aux morphismes de modules d’être compatibles avec chacune des lois de la
structure. Ainsi, un morphisme de A-modules doit respecter à la fois la structure de
groupe et l’action externe de A.
Définition 6.6
Morphisme de A -modules. Soient M et N deux A-modules ; on
appelle morphisme de A-modules de M dans N, une application f : M → N vérifiant
(i) f est un morphisme de groupes,
(ii) ∀ (a, x) ∈ A × M,
f (a · x) = a · f (x).
Dans le cas où A = k, un morphisme de k-modules est simplement une application
k-linéaire (au sens habituel). Ainsi, les morphismes de A-modules sont aussi appelés
applications A-linéaires (ou même simplement linéaires s’il n’y a pas d’ambiguïté sur
l’anneau de base).
La linéarité d’une application s’exprime aussi de façon plus abstraite, via les morphismes ΘM et ΘN , associés aux structures de module. L’application f : M → N est un
morphisme de modules si f est un morphisme de groupes, et si ΘN (a) ◦ f = f ◦ ΘM (a)
pour tout a dans A, c’est-à-dire si le diagramme suivant est commutatif pour tout a
dans A :
f
// N
M
ΘM (a)
M
f
ΘN (a)
// N
Exemples 6.7
Pour tout A-module M, l’identité idM est une application A-linéaire.
Observez qu’un morphisme de Z-modules est simplement un morphisme de groupes.
Soit ρ : A → B un morphisme d’anneaux ; on a vu que ρ munit B d’une structure
de A-module. On vérifie alors que pour cette structure de A-module sur B, ρ est
un morphisme de A-modules de A dans B. En particulier, si I est un idéal de A et
π : A → A/I la surjection canonique, alors π est un morphisme de A-modules de A
dans A/I.
La commutativité de l’anneau A assure que pour tout a ∈ A la multiplication par a
(
M −→ M
ΘM (a) = µa :
m 7−→ a · m
est un endomorphisme du A-module M.
Exemple 6.8
Le module des applications linéaires.
Soient M et N deux
A-modules, on note HomA (M, N) l’ensemble des morphismes de A-modules de M
dans N, et EndA (M) = HomA (M, M) lorsque N = M.
Définissons deux lois qui munissent HomA (M, N) d’une structure de A-module.
Soient f, g ∈ HomA (M, N) ; on définit f + g : M → N par
∀ x ∈ M,
(f + g)(x) = f (x) + g(x).
On vérifie que f + g est bien A-linéaire. De même, pour a ∈ A et f ∈ HomA (M, N),
on définit a · f : M → N par
∀ x ∈ M,
(a · f )(x) = a · f (x).
Index
A
Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 49, 77, 87
Abscisse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Accroissements finis . . . 1, 7, 29, 34, 87, 116,
143
Accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54, 77
Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254, 263, 267, 312
– de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150, 294
– de Steinitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
– transitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
Adhérence . 99, 150, 157, 170, 179, 189, 200
Adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93, 104, 139
Algèbre . . . . . . . . 115, 125, 153, 161, 194, 249
– commutative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
– de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
– de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
– normée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115, 125
– unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Algorithme 15, 108, 156, 190, 281, 286, 319
– d’Euclide . . . . . . . . 239, 244, 246, 287, 326
– de Berlekamp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Analyticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 75, 77
Angle . . . . . . . . . . . . . . 49, 58, 95, 97, 102, 138
Anneau . . . 149, 168, 233, 238, 253, 258, 263
– commutatif . . . . . . . . . . . 181, 217, 237, 256
– de polynômes . . . . . . . . 237, 264, 267, 273
– des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . 73
– euclidien . . . . . . . . . . . . . 238, 275, 285, 289
– non commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
– principal . . . 163, 194, 239, 243, 253, 262,
275, 285, 293, 311
– quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237, 263
Antilinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 104
Application
– affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
– antilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
– bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 3, 7
– conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
– linéaire 2, 56, 98, 103, 151, 244, 256, 263,
268, 275, 290, 301, 308
– ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 36, 52
Approximation . . . . . . . . 22, 24, 31, 111, 119
– au premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 14
– polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42, 128
Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74, 84
Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Automorphisme . . . . . . . . . . . . . . . 66, 235, 251
B
Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Banach . . . . . . . . . . . . 1, 74, 97, 104, 106, 127
Base 148, 155, 183, 209, 224, 266, 270, 275,
295, 304, 312
– adaptée . . . . . . . . . . . . . . . 276, 285, 289, 291
– algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
– de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
– hilbertienne . . . . . 100, 107, 109, 123, 140
– incomplète . . . 14, 145, 150, 227, 271, 276
– orthonormée . . . . 21, 32, 99, 107, 167, 177
Berlekamp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55, 132
Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51, 109
Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239, 243, 272, 283
Bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105, 154
Bijection . . 85, 105, 152, 183, 205, 228, 257,
258, 264, 270, 308
Bilinéarité . . . . . . . . . . . 2, 3, 92, 115, 135, 185
Bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159, 181
– compagnon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295
– de Jordan . . . . . . . 171, 204, 280, 304, 313
Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 64
Borne de Singleton . . . . . . . . . . . . . . . 153, 193
Boule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 94, 133, 192
– unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 71, 94, 185
Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Bruhat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
C
Caractère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Caractéristique . . . . 147, 170, 200, 205, 222,
236, 321
Cardinal . . 95, 148, 176, 196, 228, 252, 274,
292
Carleson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Catégorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
332
Index
Cauchy 36, 48, 54, 57, 62, 71, 78, 80, 95, 182
Cauchy-Schwarz . . . . . . 33, 93, 103, 138, 142
Cayley-Hamilton . . . 149, 158, 163, 170, 172,
175, 203, 214, 217, 223, 300
Centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120, 127, 137
Chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118, 132
Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34, 57
Changement
– de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
– de variables . . . . . . . 1, 9, 34, 127, 142, 184
Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Clarkson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
Classe
– d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232, 259
– de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
– de similitude . . . . . . . . . . 173, 200, 253, 292
Clôture algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . 207, 223
Code
– BCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
– correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 189
– cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191, 193
– de Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
– linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Coefficient 25, 156, 181, 182, 186, 192, 194,
255, 270, 315
– de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122, 137
Coercivité . . . . . . . . . . . . . 30–32, 92, 105, 135
Cofacteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 181, 219
Comatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 181, 217
Combinaison linéaire 108, 144, 239, 271, 289
Combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51, 195
Commutant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Commutateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234, 252
Commutativité . . . . . . . . . . . . . . . 167, 169, 256
Compacité . . . . . 7, 21, 31, 33, 34, 37, 49, 53,
69–72, 79, 80, 96, 113
– faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 113
– séquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Compatibilité . . . . . . . . . . . . . . . 232, 234, 256
Complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151, 158
Complétude . . . . . . . . . . . . . 70, 91, 95, 98, 106
Composante connexe . . . . . . . . . . . 54, 75, 213
Composée . . 6, 28, 32, 52, 59, 168, 198, 257,
309
Concavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168, 200
Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190, 211, 243
Conjugaison . . . . . . . . . . . . . 161, 173, 188, 321
Connexité . . . 2, 7, 26, 34, 53, 72, 73, 80, 85,
89, 141, 213
Conoyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Continuité 17, 28, 48, 74, 96, 103, 115, 201,
214, 219
– uniforme . . . . . . . . . . . . . . 106, 114, 120, 126
Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 21, 35
Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 47
– absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
– au sens de Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
– dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 116, 143
– faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
– normale . . . . . . . . . . . . . 63, 83, 86, 128, 137
– simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130, 137
– uniforme . 8, 48, 69, 79, 88, 119, 128, 138
Convexité . . . 19, 26, 31, 33, 44, 95, 97, 133
– stricte . . . . . . . . . 16, 27, 28, 30, 31, 33, 42
Convolution . . 113, 121, 125, 127, 137, 144,
182
Corps 92, 149, 153, 156, 181, 229, 239, 245,
253, 263, 269, 271, 274, 282, 285,
289, 299, 321
– algébriquement clos . . 160, 166, 199, 206,
209, 304, 324
– commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . 194, 249, 326
– de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
– de fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73, 218
– fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166, 190, 244, 251
Courbe . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 9, 25, 57, 62, 132
Couronne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 65
Critère
– d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
– de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 48, 49, 79–81
– de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Crochet de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208, 211
Cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252, 321
Cyclicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175, 177
D
D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 50, 64, 77
Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Décomposition
– de Bruhat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
– de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
– de Dunford 157, 160, 164, 174, 180, 210,
213, 243
– de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
– de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279, 305
– de Moreau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
– en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
– LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182, 188
Décroissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 172, 287
– exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131, 141
– rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Degré . 35, 98, 108, 149, 163, 168, 178, 193,
195, 238, 252, 271, 295
Demi-droite . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 31, 76, 101
Demi-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 101, 133
Dénombrabilité . . . 53, 70, 73, 108, 109, 112,
123, 273
333
Index
Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . 152, 194, 196
Densité . . 100, 112, 121, 126, 128, 155, 179,
220
Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 43, 68, 87
Dérivée . . . . . 17, 40, 115, 132, 144, 168, 247
– complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 48
– directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
– logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
– partielle . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 8, 12, 36, 194
– seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
– successive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Déterminant . . 3, 9, 14, 157, 159, 181, 201,
217, 218, 251, 255
– circulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
– de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
– de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
– de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
– extrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Détermination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74, 76
– analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 75
– du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
– principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76, 84
Développement
– de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 24, 55
– en série de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
– en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
– limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 11, 25
Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21,
112, 134, 150, 157, 160, 165, 198,
206, 211, 215, 222, 225, 229
– simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167, 207
Diagramme commutatif . 151, 188, 202, 217,
220, 237, 256, 259, 267, 308
Difféomorphisme . . 9, 11–13, 34, 36, 38, 52,
184
– holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61, 74
Différentiabilité . . . . . 2, 8, 16, 28, 46, 52, 56
– complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 25, 52, 184
– d’ordre supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
– seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 8
Dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 119, 183, 187
Dimension . 11, 19, 148, 153, 159, 193, 266,
274, 282, 284, 293, 306
– finie . . 74, 96, 98, 104, 144, 161, 198, 211,
269, 271, 293, 296, 304
– infinie . . . . 28, 32, 104, 107, 113, 162, 227
Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 47, 69, 121, 127, 129
Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179, 223
Disque de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 40, 70, 95, 98
– de Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
– minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
Diviseur de zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291, 310
Divisibilité . . . . 239, 280, 285, 297, 298, 313
Division euclidienne . . . . . . . . . . 238, 287, 319
Domination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 120
Droite
– projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
– stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158, 197
– vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Dualité 99, 103, 145, 151, 154, 159, 205, 211
– topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Dunford . . 157, 160, 164, 174, 180, 210, 213,
243
E
Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Égalité
– de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . 109, 124, 137
– des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . 87
Élément
– algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
– de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
– neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120, 205, 260
Ellipsoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Endomorphisme . . . . . . . . . . 34, 104, 266, 269
– auto-adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 135, 177
– cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171, 175, 177
– diagonalisable . . . . 157, 176, 198, 206, 324
– hermitien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
– induit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158, 160
– inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
– nilpotent . . . 159, 166, 168, 198, 201, 208,
300
– normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148, 177
– remarquable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
– semblable . . . . . . . . . . . . . . . . . 269, 292, 300
– semi-simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160, 324
– symétrique . . . . . . . . . 21, 32, 112, 148, 159
– symétrique défini positif . . . . . . . . . 27, 135
– transposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
– trigonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
– unipotent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Ensemble
– algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157, 197
– convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
– de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 30
– fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 251, 305
– inductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
– quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Enveloppe convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 133
Épigraphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Équation
– aux dérivées partielles . . . . . . . 36, 71, 105
– de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
– de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . 18, 118, 132
334
Index
– différentielle . . . 9, 51, 118, 132, 145, 152,
177, 178
Équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
– de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Ergodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Espace
– affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 5
– complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91, 106
– de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 104, 108
– de Hilbert . 5, 16, 20, 26, 32, 74, 91, 122,
133, 135, 138
– de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
– discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 75, 88
– euclidien . . . . . . . 2, 19, 27, 28, 46, 91, 135
– hermitien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 91
– Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 114, 122
– mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106, 233
– mesuré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67, 92, 105, 233
– métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40, 70, 108
– normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28, 31, 45, 91
– préhilbertien . . . . . . . . . . . . 42, 91, 103, 185
– projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
– quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203, 233
– réflexif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
– séparable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91, 108
– stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
– tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 20
– topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 69
– vectoriel . . 5, 91, 144, 148, 190, 233, 253,
258, 265, 269, 271, 273, 274, 279,
282, 292, 296, 304
Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . 100
Étranger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . 239, 246, 287, 326
Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 19
Existence . . . . . . . . 11, 16, 24, 28, 30, 47, 74,
76, 89, 96, 127, 148, 152, 160, 198,
242, 261, 266, 276, 297, 312
Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
– complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 74, 84
– d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . 174, 215
– matricielle . . . . . . . . . . . . . 11, 164, 174, 213
Exposant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 326
– conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Extension de corps . 148, 170, 205, 223, 252,
298, 324
Extremum lié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
F
Facteur
– invariant . . . 186, 239, 278, 280, 285, 288,
293, 301, 319
– invariant d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . 286
– irréductible . . . . . . . . . . . 229, 244, 279, 314
– multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51, 244, 259
– d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Famille
– génératrice . 145, 148, 175, 209, 212, 270,
278
– libre . . . 148, 163, 169, 175, 223, 227, 270
– liée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144, 149, 175, 312
– normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
– orthonormée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99, 123
– sommable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
– totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121, 127, 128
Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Fermé . . . 16, 26, 30, 35, 41, 53, 70, 95, 113,
133, 136, 150, 157, 177, 180, 189
Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Fonction
– Γ d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54, 68, 82
– θ de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
– ζ de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54, 132
– à variations bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
– affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 26, 33
– analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 51, 131
– analytique réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
– bijective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
– bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 116
– caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 86
– composée 6, 28, 32, 52, 59, 168, 198, 257,
309
– continue . . . . . . . . . . . . . . . 96, 116, 137, 179
– contractante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
– convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 27
– développable en SE . . . . . . . 46, 51, 63, 78
– différentiable . 2, 4, 7, 10, 16, 24, 28, 132
– distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
– exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
– gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68, 83, 117
– génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
– harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 71
– holomorphe . . . . . . . . . 13, 46, 56, 140, 142
– hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
– implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 21, 38
– indicatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113, 130
– intégrable . . . . . . . . . . . . . 115, 119, 127, 142
– lipschitzienne . . . . . . . . . . . . 28, 40, 96, 102
– méromorphe . . . . . . . 46, 52, 71, 73, 82, 87
– mesurable . . . . . . . . . 68, 106, 116, 143, 233
– monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 129
– paire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84, 88
– périodique . . . . . . . . . . . . . 64, 114, 122, 232
– plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55, 117
– poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110, 140
– polynomiale 11, 34, 42, 51, 179, 181, 198,
218
335
Index
– puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 244
– réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
– trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Forme
– bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
– bilinéaire symétrique . . . . . . . . . . 8, 92, 135
– linéaire . . . . 26, 28, 99, 151, 169, 205, 257
– linéaire continue . . . . . . . . . . . . . . 5, 93, 103
– multilinéaire alternée . . . . . . . . . . . . . . . . 181
– quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 23, 29
– quadratique positive . . . . . . . 15, 18, 29, 93
Formule
– d’Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 77
– de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 54, 62, 67, 78
– de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
– de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 193
– de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
– de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 9, 16
– de Taylor reste intégral . . . . . . . . . . . 25, 54
– de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
– du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 169
– du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 109, 122, 137
Fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . 164, 198
Frobenius 157, 176, 183, 201, 244, 247, 251,
293, 297, 301, 313, 317
Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82, 115, 117, 125
G
Gauss . . . . . . . . . . . .15, 24, 112, 133, 188, 246
Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68, 83, 117
Générateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 25, 42, 91
– affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
– projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147, 153
Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 18, 23, 24, 35
– conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108, 110, 185
Graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 5, 9, 12, 29, 154
Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 193
Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . 150, 155, 233, 258
– abélien 114, 205, 235, 252, 253, 255, 265,
275, 281, 326
– cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252, 326
– de permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
– de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
– dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183, 234, 252
– des inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
– fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206, 326
– linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205, 251
– symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
H
Hadamard . . . . . . . 21, 25, 33, 47, 73, 77, 184
Hadamard-Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 13
Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . 74, 97, 106, 133
Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 51, 71, 132
Heine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111, 112
Hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 18, 19, 29
Hilbert . . . . . . . . . . . .20, 26, 91, 123, 133, 135
Hölder . . . . . . . . . . . . . . .29, 105, 116, 131, 233
Holomorphie 13, 45, 54, 63, 71, 74, 140, 142
Homéomorphisme . . . . . . . 6, 36, 84, 174, 216
Homothétie . . . . . . . . . . . . . 157, 183, 294, 300
Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 63
Hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 12, 26, 33, 97
I
Idéal . 25, 149, 161, 194, 234, 241, 255, 258,
260, 265, 276, 288, 308
– annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161, 294
– d’un code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
– étranger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
– maximal 33, 230, 239, 240, 266, 274, 282,
284
– principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 240
– produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Idempotence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Identité
– approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119, 128
– d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
– du parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258, 259, 260, 273
Immersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Inclusion . 103, 122, 135, 141, 151, 179, 201,
203, 228, 237, 252, 262, 274, 278,
280, 291, 308
Indéterminée . . . . . . . . . . . . 194, 217, 237, 273
Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
– de nilpotence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 202
Inégalité
– d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
– d’Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 184
– de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
– de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
– de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64, 66, 78
– de Cauchy-Schwarz 33, 93, 103, 138, 142
– de Clarkson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
– de Hölder . . . . . . . . . . . . . 29, 105, 116, 233
– de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
– de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
– de Wirtinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
– de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
336
Index
– des accroissements finis . . . 7, 29, 34, 116,
143
– isopérimétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
– triangulaire . . . . . . . . . . . . 27, 30, 31, 44, 93
Injection . 9, 13, 34, 38, 53, 69, 74, 115, 127,
137, 142, 151, 204, 228, 258, 270
– canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 249, 264
– de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 34, 233
– calcul par résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
– numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
– par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . .49, 111, 131
Intégrité . . . . . . . . . . . . . . . . . 73, 153, 291, 310
Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44, 213
– de Lagrange . . . . . . . . . . 154, 182, 212, 214
Interversion de limites . . . .48, 49, 64, 83, 89
Invariant de similitude . 159, 173, 270, 293,
295, 298, 303, 307, 313, 317, 319
Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 257
Inversible . . 59, 145, 149, 153, 182, 271, 273
Inversion
– globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 34, 38
– locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 10, 36, 52
Irréductibilité . . . . . . . . . . . 159, 223, 239, 244
Isométrie . . . . . . . . . 3, 94, 105, 106, 109, 124
– bijective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Isomorphisme . . . 6, 153, 205, 261, 269, 293,
307, 308
– canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
– d’algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
– d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
– de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
– de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 207
– de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
– réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . 196, 205, 242
Itération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 70, 137
J
Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Jordan . . . 171, 200, 202, 225, 279, 293, 304,
313, 317
K
Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
L
Lagrange . . 35, 154, 182, 206, 212, 214, 246,
326
Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Lebesgue 34, 43, 82, 100, 105, 115, 120, 126,
130, 184
Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111, 251
Lemme
– d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 77, 87
– d’Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 33
– de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
– de Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
– de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 14
– de Riemann-Lebesgue 115, 121, 126, 130
– de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
– de Zorn . . . . . . . . . . . . . . 106, 108, 148, 228
– des noyaux . . . . . . 163, 197, 210, 223, 326
– des trois cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
– des trois droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . 64, 69, 74, 77, 88
Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74, 84
Loi
– de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
– de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234, 253
– de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 86
– externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
M
Majorant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Matrice . . . . . . . . . . . . 181, 255, 269, 285, 290
– compagnon . . . . . . 171, 174, 295, 302, 323
– de dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
– de permutation . . . . . . .176, 182, 188, 321
– de transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
– de transvection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
– diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164, 206
– diagonale par blocs . . . . . . . . 159, 296, 318
– diagonalisable . . . . 150, 161, 164, 178, 208
– échelonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156, 188
– élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186, 188
– équivalente . . . . . . .155, 156, 285, 289, 300
– extraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
– génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191, 193
– inversible . . . . . . . . . . . . . 150, 155, 168, 182
– nilpotente . . . 161, 164, 168, 200, 208, 300
– orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 134
– semblable . . 156, 170, 196, 200, 221, 297,
299, 300, 321
– symétrique 24, 28, 101, 134, 166, 185, 225
– symétrique positive . . . . . . . . . . . . . 134, 185
– transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155, 196
– triangulaire . 159, 164, 167, 181, 189, 211,
306
– triangulaire par blocs . . . . . . . . . . . 159, 181
– trigonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167, 178
337
Index
Méromorphie . . . . . . . . . . . . 46, 52, 71, 82, 87
Message . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Mesure . . . . . . . . . 68, 100, 105, 106, 124, 233
– de comptage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 82, 92
– de Lebesgue . . . . . . . . . 34, 43, 82, 105, 184
– invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Méthode
– de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 112, 188
– de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 24
– de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
– des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
– du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
– du gradient conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
– itérative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 182
Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Mineur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157, 289
– extrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197, 289
Minimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 23, 31
– sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
– sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 95
Minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 15, 95, 136
– local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 17
Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Module . . 148, 158, 181, 233, 237, 243, 254
– de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . 282, 309, 311
– de type fini 253, 270, 271, 273, 277, 292,
293, 305, 310, 311
– engendré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
– isomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
– libre . . 181, 270, 271, 276, 282, 285, 290,
310
– monogène . . . . . . . 175, 271, 273, 278, 282
– noethérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
– quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259
Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Monôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 129
Moreau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
– d’algèbres . . . . . . . . . 33, 115, 125, 161, 260
– d’anneaux . 217, 234, 236, 237, 238, 241,
254, 255, 260, 263, 267, 273, 299
– de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 149
– de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244, 247
– de groupes . . . 46, 182, 188, 251, 256, 264
– de modules . 256, 260, 261, 268, 308, 310
Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 14
Mot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 65, 72, 113, 128
– de Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Multilinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . 181, 182, 289
Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . 20, 35
Multiplicité 52, 67, 165, 198, 223, 224, 248,
316
Müntz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
N
Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 24, 171, 222
Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Nilpotence . . . 157, 160, 168, 177, 189, 199,
202, 208, 211, 216, 226
Nombre
– complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 205, 315
– premier . . . . . . . . . . . . . . . 190, 244, 251, 312
– rationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312, 315
Norme 7, 27, 31, 35, 42, 45, 70, 91, 95, 122,
125, 233
– équivalente . . . . . . . . . . . . 28, 105, 137, 178
– euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 94, 184
Noyau . 19, 33, 158, 164, 169, 201, 222, 230,
236, 241, 258, 262, 272, 278
– de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121, 127
– de Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121, 127
– trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
O
Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 35
Octant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103, 134
Ondelette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125, 138, 182
– autoadjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
– compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Opération élémentaire . . 156, 181, 186, 287,
302, 319
Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 30, 95
– numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
Orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94, 150, 155, 294
Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310, 327
Orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 20, 99
Orthogonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . 107, 108
Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . 108, 142, 184
Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Ouvert . 2, 10, 16, 24, 28, 36, 48, 52, 57, 63,
71, 73, 77, 141, 157, 179, 181
P
Parallélépipède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Paramétrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 124, 137
Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 252
Passage au quotient . . . . . . . . . . . . . . . 237, 271
Pénalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Pente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
338
Index
Périmètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . 64, 114, 122, 232
Permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . 188, 251, 321
– conjuguées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Phénomène de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 66
Plan
– stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
– tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
– critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 17
– d’accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54, 77
– de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
– extrémal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
– fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 105
– isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 53
– singulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
– stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Polarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Pôle . . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 52, 71, 82, 83, 88
Polynôme . . . 42, 78, 98, 110, 128, 193, 217,
237, 253, 264, 267, 273, 293
– annulateur . 149, 158, 165, 198, 206, 223,
270, 326
– caractéristique . . 158, 163, 178, 181, 200,
209, 217, 222, 299, 306, 313
– cyclotomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
– d’endomorphisme . . . . . . . . . . 159, 211, 215
– de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
– de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
– de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
– dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
– générateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
– homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
– interpolateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
– irréductible . 160, 165, 229, 247, 305, 315,
318
– minimal 149, 156, 161, 163, 197, 207, 294,
297, 326
– orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110, 140
– premiers entre eux . . . . 162, 165, 184, 210
– scindé . . 12, 164, 166, 177, 180, 206, 210,
223, 306, 326
– trigonométrique . . . . . . . . . . . 126, 128, 132
– unitaire . . . . . . . . . . 160, 162, 229, 293, 296
Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40, 66
– holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Principalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149, 163, 194
Principe
– du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 72, 80
– du minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49, 100
Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 36, 152
Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259
– de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
– de convolution . . . . . . . . . . . . . 51, 113, 125
– hermitien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
– scalaire . . . 2, 91, 104, 123, 134, 138, 159,
177, 185
– scalaire hermitien . . . . . . . . . . . . . . 167, 168
Projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98, 166, 210
Projection . 14, 16, 31, 42, 91, 95, 111, 123,
134, 138
– canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88, 106
– analytique . . . . . . . . . . . . . 54, 64, 77, 82, 88
– d’identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Propriété
– de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65, 72
– locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 24, 36
– universelle . . 220, 232, 236, 245, 259, 267,
311
Q
Quotient 122, 152, 158, 231, 237, 242, 253,
259, 261, 265, 273, 308
R
Racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
– carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76, 84
– de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201, 206
– double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
– m-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
– matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
– simple . . . . . . . . . . . . 12, 111, 177, 199, 230
Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Rang . . . . 148, 153, 171, 181, 186, 197, 222,
274, 277, 282, 287, 311
– constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
– de la différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Rayon
– de convergence . . . . . . . . 47, 49, 77, 79, 86
– spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Réciprocité quadratique . . . . . . . . . . . . . . . 133
Réduction
– de Frobenius . . . . 176, 293, 297, 301, 317
– de Jordan . . . . . . . . . . . . 172, 200, 304, 317
– des endomorphismes . 147, 157, 223, 253,
269, 275, 280, 292
– simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Réduite
– de Frobenius . . . . 173, 176, 297, 303, 313
– de Jordan . . . . . . . 173, 197, 203, 305, 313
Réflexivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Règle de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 50
Index
Régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113, 120
Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 16, 27, 182
Relation
– coefficients-racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
– d’équivalence . . . . 232, 233, 239, 259, 285
– de Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Relèvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Représentation conforme . . . . . . . . . . . . 60, 70
Résidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63, 66
Restriction . . . . . . . . . . . 7, 150, 158, 161, 166
– des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263, 282
Résultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179, 184
Riemann . 54, 57, 60, 71, 115, 121, 126, 130,
132
Riesz . . . . . . . . . . . 5, 71, 93, 96, 103, 106, 107
Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 138
Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
S
Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108, 110
Schwarz . . . 8, 33, 72, 93, 103, 138, 142, 196
Segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 26, 32
Semi-cône . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 26, 101, 134
– convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
– polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 101, 102
Semi-norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Semi-simplicité . . . . . . . . . . . . . . 160, 229, 324
Séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91, 108, 112
Séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Série
– de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 69
– de fonctions méromorphes . . . . . . . . . . . . 71
– de Fourier . . . 64, 107, 109, 115, 121, 122,
137
– de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65, 89
– de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
– divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 50, 127
– entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 51, 79
– formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
– harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
– trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . 127, 132
Seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 251
Similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 61, 201
Simple connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 76
Singleton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 193
Singularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
– de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
– de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171, 222
339
– directe . . 98, 153, 164, 176, 224, 259, 261,
270, 271, 275, 279, 295, 308
– partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122, 127
sonde spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
– caractéristique . . . 157, 159, 164, 173, 210
– propre . . . . . . . . . . . 166, 176, 224, 306, 321
– stable . 158, 162, 171, 196, 198, 201, 223,
269, 295, 297, 306, 324
– vectoriel . . . . . . 98, 100, 149, 151, 258, 273
Sous-groupe . . . . . . . . . 94, 206, 252, 264, 310
– abélien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206, 258
– caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
– conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
– distingué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Sous-module . 234, 257, 263, 268, 273, 277,
283, 308
– stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Sous-variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 12, 20
Spectre . . . . . . . . . . . . . . . 74, 92, 167, 209, 217
Sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 94, 135
– unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 94
Stabilisateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9, 159, 165
Stampacchia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Stathme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238, 287
Steinitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128, 141
Submersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 91, 98, 109, 118
– bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
– convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
– de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95, 100
– de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . 69
– équirépartie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
– exhaustive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70, 81
– minimisante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 95
Supplémentaire . . . .101, 151, 203, 204, 228,
259, 266, 324
– stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159, 160
– topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
– compact . . . . . . . 37, 55, 117, 119, 121, 146
Surjection . 14, 103, 127, 150, 183, 259, 261,
270, 274, 309
– canonique . . 232, 259, 263, 273, 283, 294,
304, 308
Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Symbole de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Système
– de congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211, 243
– différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152, 177
– linéaire . . . . . . . . . . . . . 23, 24, 182, 188, 227
– non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
340
Index
T
Tableau de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 29
Taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 16, 24, 54
Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 24
Théorème
– central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
– chinois 161, 210, 229, 241, 253, 276, 279,
298, 307, 317, 323
– d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
– d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
– d’Hadamard-Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 13
– d’inversion globale . . . . . . . . . . . . 13, 34, 38
– d’inversion locale . . . . . . . . 6, 9, 10, 36, 52
– d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 261, 282
– de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
– de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
– de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
– de Bézout . . . . . . . . . . . . 239, 243, 272, 283
– de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 64
– de Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188, 321
– de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
– de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
– de Cayley-Hamilton . 149, 158, 163, 170,
172, 175, 203, 214, 217, 223, 300
– de convergence dominée . . . . 43, 116, 120,
128, 143
– de correspondance . . . . . . . . . . . . . . 258, 283
– de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
– de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
– de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
– de Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
– de Frobenius-Zolotarev . . . . . . . . .183, 251
– de Fubini . . . . . . . . . . . . . . 82, 115, 117, 125
– de Hahn-Banach . . . . . . . . 74, 97, 106, 133
– de Heine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
– de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . 172, 279, 293
– de Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
– de l’intégrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 63
– de la base adaptée . . . .276, 285, 289, 291
– de la base incomplète . 14, 145, 150, 204,
228, 272, 276
– de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 206, 246, 326
– de Liouville . . . . . . . . . . . 64, 69, 74, 77, 88
– de Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
– de Müntz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
– de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
– de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
– de prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
– de Riesz . . . . . 5, 71, 93, 96, 103, 106, 107
– de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
– de Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
– de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 196
– de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . 128, 141
– de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
– de Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
– de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 69, 78
– des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . 10
– des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63, 67
– des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . 198
– des zéros isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
– du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
– du prolongement analytique . . . . . . . . . 142
– du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
– du rang constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
– taubérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49, 129
Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 91
– faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 113
– matricielle . . . . . . . 157, 170, 177, 178, 200
Tore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114, 122, 232
Torsion . . . . . . . . . . . . 254, 262, 282, 309, 311
Trace . . . . . . . . . . . . . . .169, 170, 212, 223, 226
Transfert de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Transformée
– d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
– de Fourier . . . . 83, 92, 115, 123, 126, 142
– de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 126, 144
Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Transposée . . . . . . . . . . . . . . 155, 166, 187, 303
– d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Transvection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183, 186
Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 100
– des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Trigonalisation . . . . . 148, 157, 166, 170, 223
– simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120, 121
U
Unicité . . . . . . . . . . . . . . 15, 30, 31, 36, 42, 54,
75, 89, 95, 142, 152, 164, 173, 216,
240, 252, 261, 265, 276, 288, 297
Unipotent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174, 214
V
Valeur
– absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 18, 42
– propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 28, 134,
163, 167, 170, 177, 189, 198, 208,
211, 223, 306, 316, 324
Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Variation bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 12, 20
Vecteur propre . . 32, 125, 157, 177, 198, 209
Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 34, 184
Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104, 138
Index
W
Weierstrass . . . . . . . 66, 69, 78, 128, 132, 141
Wirtinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
Y
Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 24, 116, 201
Z
Zéro . . . . . . . . . . . . . . 24, 42, 67, 111, 157, 197
– isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51, 53, 73, 77
Zolotarev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183, 251
Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106, 108, 148, 228
341