Des approximations diophantiques d`un système de formes linéaires

Mathemarics. - Des approximations diophantiques d'un système de formes linéaires
compZexes.
Par B. MEULENBELD. (Communicated by Prof. J. G. VAN DER CORPUT.)
(Communicated at the meeting of October 31. 1942.)
§ 1. Dans une communication précédente 1) M.M. KOKSMA et B. MEULENBELD ont
considéré un système de n + 1 ~ 2 formes linéaires:
L v = avl XI + ... + avo n+1 Xn+1 (v = 1. ...• n + 1)
à coeffieients réels et à déterminant t:-. = I a, .1'- 1 =f O. et ont déduit un théorème. con tenant
quelques approximations diophantiques
concemant ce système.
Dans Ie _ présent article je communiquerai un théorème analogue pour Ie cas ou
L1 ••..• Ln+1 sont des formes plus spéciales. mais à coeffieients et à variables complexes.
_ Nous nous bomerons aux considérations des approximations dans Ie corps quadratique
imaginair K
(i V;;;-). lei m désigne un nombre naturel. qui ne contient pas comme facteur
Ie carré d'un nombre naturel. Soit en outre
x = O. 1 = 1. si m ~ 3 (mod 4).
X = 1. 1 = 2. si m _ 3 (mod 4).
Alors (1. X+iY;) forme une base de K(i Vm). de sorte que Ie système des nombres
entiers
par rapport à K(i Vm) est identique avec Ie s,ystème des nombres
P +X+iVm
= X 1 y (X'. y entiers rationnels).
Le théorème principal de cette note est Ie
Théorème 1. Soient n et r des nombres natureZs, 1 ~ r ;:;;; n, pour nt
1
s: r s: n Ze
nombre r n. r. m soit désigné par
(2nl)n+l ~ 1 2r (2n+ 2) ( n+ 1)"( )r-"
"n.r.m= n+1 -r-r Z r--
2
-
n-r+ 1 +
m-2 (2n +2)/ !=O 11-
+ (2n+2)r (2n+l) Z _1 ('r- n + 1)"~.
n-r+l 2r p=2r+ll1-r" 2 ~
et pour 1 ~ r ~ n Ze nombre r~.r . m par
• n+l-== -== !
rn.r.m = rn.r.m. pour--
2
-=r=n.
• 1-== n+l
rn.r.m = rn.n-r+l.m. pour = r<--2-'
(2)
1) J. F. KOKSMA et B. MEULENBELD. Sur Ie théorème de MINKOWSKI. concemant un
système de formes linéaires réelles. Comm. 1. Proc . Ned. Akad. v. Wetenseh .• Amsterdam.
45. 256--262 (1942).
Voir aussi Remarque dans Comm. 4. Proc. Ned. Akad. v. Wetenseh .• Amsterdam, 45.
584 (1942).
(1)

925
En outre soient 8v",(v = 1. ... n + 1; fl = 1. ...• n + 1; v> fl) des nombres complexe!J
arbitraires. 190 v (v = 1. ...• n + 1) des nombres réels avec 1190 v I = 1, et LI_ . .. , Ln+1 des
formes linéaires:
LI ={}I XI
L2 = ()21 XI + {}2 X2
L n
+1 = ()n+I.1 XI + ()n+I.2 X2 + ... + ()n+l.n Xn + {}n+1 Xn+l'
Alors à tout nombre t > 2 au moins un système de nombres entiers par rapport à K (i Vm )
(Pl •.... P n+ 1) correspond, satisfaisant à
(3)
et aux inégalités simultanées:
r -<= V
r
t2 n-2 r+2
.E 1 L. 1 =2 •.
=1 Yn . r,m
(4)
n+1 2
.E ILvl-<= - . .
=r+1 t
(5)
( r
)r ( n+1 )n-r+1 1
L:' I Lvi .E ILvl -<= V . .
=1 =r+1 Yn.r.m
(6)
(7)
Remarques.
1. S'
iI est possible de trouver un système de nombres entiers par rapport à K(i Vm).
de sorte qu'au moins une des inégalités Lv = 0 (v = 1. .. .. n + 1) est valabIe. il est
évident que l'inégalité (7) est triviale.
2.
D'après ce théorème il existe pour tout nombre t > 2 au moins un système de
nombres entiers
par rapport à K(iVm) (Pl . .. . . Pn+l) avec (3). (4). (5). (6) et (7).
n+1
Si I I Lv I =j; 0 Ie système ne peut pas rester Ie même. quand t croit indéfiniment,
v=r+1
comme iI ressort immédiatement de (5). Il y a donc une infinité de tels systèmes
r n+1
(PI ..... Pn+l) avec (3). (6) et (7). Dans les cas oû I ILvl =0 ou I ILvl =0 ,
v=1 v=r+1
cette dernière assertion est triviale. puisque avec (Pl ... .. P n + 1 ) est pour tout nombre
en tier Z
par rapport à K(iI /;;i) aussi (ZP
l •
.. .• ZP n+1 ) une solution de (6) et (7).
3. Pour r = n les nombres r n, r. m et r~, r. m définis par (1) et (2) deviennent:
• (2nl)n+1 ~_1 2n (2n+2) (n-1)'"
Yn.m=Yn.n.m=Yn , n.m= n+l 2n ,L;' 2 +
m-
2
(2n+2)/ n ",=0 ft
(SJ 1 (n -1 )1' ~
+(2n+2)(2n+1)n .E - -2-
",=2n+1 ft n

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(2nl)n+1 ~(n+J)2n+2 (2n+2) (n-l)2n+1 (n_l)2n+2
~ (22n+2n2n - n2n 22n+1 -n
2n
22n+2 +
m 2 (2n+2)!
00 1 (n -1)1-' ~
+ (2n+2) (2n+l)n ~ - -2-
1-'=2n+1 ft n
+ Z - -
22n+3
n2n+1(2n+l)
00 1 (n-l) l-' ~
(n+l)2n+1 l-'=2n+1 ft 2n '
d'oit suit
4. J'ai démontré ce théo.rème à J'aide d'une méthode de M. H. F. BUCHFELDT. Comme
Ia démonstration est très Iongue, et demande quelques lemmes, il
n'est pas possible de la
donner dans cette note.
Dans Ie § 2 de cette communication nous appliquerons Ie théorème 1 sur J'approximatio:t
de la forme linéaire
lhPl+ .. . +OnPn-Pn+1 à zéro (c'est Ie théorème 2), et dans Ie
§ 3 sur Ia somme et Ie produit des approximations simuItanées d'un système de nombres
complexes (01
... .. 0 n) par des fractions rationnelles par rapport à K(iv;n) (c'est Ie
théorème 3).
§ 2. Théorème 2. Soit n un nombre naturel supérieur à L r n m Ie nombre désigné
pal' (8). Soient en outre Ol .... . 0 n n nombres complexes. et t un nombre réel arbitraire > 2.
Alors il y a au moins un système entiel' pal' rapport à K(i v;n) (Pl' ... , P n+1) avec
(9)
et
n Vn 72
Z I P, ·1 """"2 - .
,'=1 Yn,m
(10)
tel que la forme linéaire
vérifie les inégalités simultanées:
I L I """"~,
t
(11 )
I LI~ (1 " )n.
VYn~ v~IIP,·1
( 12)
Démonstration. Nous appliquons Ie théorème 1 avec L ,. = P ,. (1' = L .. . , nl .
Ln+1 = L. r = n, Y ~ r m = Yn m' Les inégalités (9). (10), (11) et (12) résuItent respec~
tivement de (3). (4' ),' (5) et '(6) . L'inégalité (7) ne nous donne pas une approximation
essentielIe. puisque les formes
L, = P" ( 1' =' I. .... n) peuvent être égales à zéro (voir la
remarque
1).
(8)

927
Remarques.
5.
De la remarque 2 il s'ensuit qu'iJ y a une infinité de systèmes (Pl •.... P n+d avee
(9) et (12).
n
6. On voit de (12) que dans J'approximation de L à zéro la quantité :E I Pv I se
,'='1
présente. Une autre approximation de L avee eette quantité. analogue à (12). ne m'est pas
eonnue. M . M. KOKSMA en MEULENBELD ont bi en déduit dans ll.'1 mémoire réeent 2) une
n
approximation de L avee P = max. (I Pl I ..... 1 P n I) au lieu de
:E I Pv I. et ont
,'=1
démontré 3} pour une infinité de systèmes entie.rs par rapport à K(i V;:;;} (Pl ..... P n + I) :
ILI""""l / 2n 1
- r (2n)!Vl'n . mpn·
§ 3. Théorème 3. Soit n un nombre naturel supérieur à 1, Y n m Ie nombre désigné
par (B).
Soient en outre Uh , .... On) un système de n nombres complexes, et t un nombre
réel arbitraire > 2.
Alors il y a au moins un systéme de nombres entiers par rapport à K(i V;:;;)
(Pl . .... P n + 1 ). qui satis/ont aux inégalités simultanées:
1 """" I Pn+1 I """" 2 tn •
Vl'n.m
i I 8-~I::=: 2
v=1 " Pn+1 -t IPn+l l '
iI8"-~ I """" 1 I'
,'=1 Pn+1 12n/ 1+ -
V I'n.m IPn+1 1 n
(13)
Ûlf)-~I-== 1
,'=1 l' Pn+1 -V I'n. m nn I Pn+1 I n+l'
(14)
Démonstration. Nous appliquons maintenant Ie théorème 1 avee
LI = Pn+l• L,. = Pn+1 8v-I-P, ' -1 (v = 2 ..... n + 1). r = 1. I'~. r. m = I'n. m·
11 existe done au moins un système (Pl ..... P n + I) avee I P n + 1 I;;;;: I. qui satisfait aux
inégalités:
I Pn+ll-== v3
F •
I'n.m
n 2
Z I Pn +1 8v -Pv I :: -.
v=1 t
2} J. F. KOKSMA et B. MEULENBELD. Diophantisehe Approximationen homogener
Linearformen in imaginären
quadratisehen Zahlkörpern. Proe, Ned. Akad. v. Wetenseh,.
Amsterdam. H. 426-434 (1941).
3} Voir la no te 2) p. 427.11 fa ut remarquer. que Ie nombre I2n.m' qui se présente dans
cette no te est égal à l/ 2n
(2n)! Yn m

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n 1
IJ IPn+1 8v -Pv l ~ -----:==-----
,,=1 V Yn,m nn I Pn+11
Ces inégalités entrainent I'assertion du théorème 3.
Remarques.
7~ De la remarque 2 il s'ensuit qu'il y a une infi:lité de systèmes entiers par rapport à
K(iV;;) (Pl' ... 'P
n+l) avecIPn+II;;:;:I, (13) et (14) .
8. Si les nombres (h, ... , (J n sont tous irrationnels par rapport à K(i V;:;;), l'inégalité
(14) n'est pas triviale.
9. On
n'a jamais considéré I'approximation de la somme Î I (J v -P" I et du
,' =1 Pn+1
produit ÎI I(J" - ~ I à zéro, que je sache. Par contre I'approximation simuitanée du
v=1 Pn+1
système (Jh ... , (Jn par des fractions ratio!lnelles par rapport à K(iVm) a bien été
recherchée. M. N . HOFREITER 4) communique que M. H. ARAL a déduit dans sa thèse,
en se servant d'une méthode de
MINKOWSKI, que pour chaque système complexe Ol, . .. , On
une infinité de systèmes entiers par rapport à K(i V;:;;) (Pl' ... , P n + I) avec I Pn + I I;;:: 1
vérifient simuitanément les inégalités:
2n
résuItat, qui pour m = 1 est identique avec celui, déduit par MINKOWSKII5).
Dans une note réce!lte 6) M.M. KOKSMA et MEULENBELD ont amélioré Ie résuItat
en Ie portant à
l
P" I ~ l/n 2n 1
8" - -P = ) , I (v = 1. .. , , n)
n+1 Yn .m (2 n , lP Milt +ïï
oû "n, m est Ie nombre, défini en (8).
En additionnant les demières inégalités, nous obtenons:
niP" I ~ l/n 2n 1
Z 8,,--p =n (2 )/ I'
,,=1 n+1 Yn,m n IPn+tll+ïï
(15)
(15)
(16)
Une comparaiso!l de cette inégalité avec (13) nous démontre en vertu de 2n n2n;;;: 1, que
(2n)!
notre résultat est une amélioration essentielIe.
Gest aussi Ie cas, quand on fait Ie produit des inégalités (16) et qu'on Ie compare
avec (14),
4) N, HOFREITER , Diophantische Approximationen komplexer Zahlen. Monatsh. f.
Math . u. Physik, 299-302 (1940).
5) H. MINKOWSKI, Geometrie der Zahle!l. Leipzig-Berlin, 1910, p. 108 e.s.
6) J. F. KOKSMA et B. MEULENBELD, Simultane Approximationen in imaginären qua-
dratischen Zahlkörpem, Proc. Ned . Akad. v. Wetenseh., Amsterdam, 44,310-323 (1941).
11 faut remarquer que Ie nombre "n,m ' qui se présente dans cette note est égal à
2n
l/
--=-2
n
-.
(2n) !"n,m