Des approximations diophantiques d`un système de formes linéaires

Mathemarics. Des approximations diophantiques d'un système de formes linéaires
compZexes. Par B. MEULENBELD. (Communicated by Prof. J. G. VAN DER CORPUT.)
(Communicated at the meeting of October 31. 1942.)
§ 1. Dans une communication précédente 1) M.M. KOKSMA et B. MEULENBELD ont
considéré un système de n
1 ~ 2 formes linéaires:
+
L v = avl XI + ... + avo n+1 Xn+1 (v = 1. ...• n + 1)
à coeffieients réels et à déterminant t:-. = I a,.1'- 1 =f O. et ont déduit un théorème. con tenant
quelques approximations diophantiques concemant ce système.
Dans Ie _présent article je communiquerai un théorème analogue pour Ie cas ou
L1 ••..• Ln+1 sont des formes plus spéciales. mais à coeffieients et à variables complexes.
_ Nous nous bomerons aux considérations des approximations dans Ie corps quadratique
imaginair K (i V;;;-). lei m désigne un nombre naturel. qui ne contient pas comme facteur
Ie carré d 'un nombre naturel. Soit en outre
x = O. 1 = 1.
X
= 1. 1 = 2.
si m ~ 3 (mod 4).
si m _ 3 (mod 4).
Alors (1. X+iY;) forme une base de K(i
entiers par rapport à K(i
Vm)
Vm).
de sorte que Ie système des nombres
est identique avec Ie s,ystème des nombres
P = X + X+iVm
1
y
(X'. y entiers rationnels).
Le théorème principal de cette note est Ie
Théorème 1. Soient n et r des nombres natureZs, 1 ~ r ;:;;; n, pour nt
1
s: r s: n
Ze
nombre rn. r. m soit désigné par
"n.r.m=
1
2) (r -n+
-2- 1)"( n-r+ )r-"+
+ (2n+2)r (2n+l) Z _1 ('r- n + 1)"~.
n-r+l
2r
~ -r-r Z2r (2n+
(2nl)n+l
n+1
m-2 (2n +2)/
!=O
1
11-
p=2r+ll1-r"
et pour 1 ~ r ~ n Ze nombre r~.r. m par
rn.r.m
= rn.r.m.
•
•
rn.r.m
=
pour--=r=n.
n+l-==
-==
2
!
2
(1)
~
(2)
n+l
rn.n-r+l.m. pour 1-==
= r<--2-'
1) J. F. KOKSMA et B. MEULENBELD. Sur Ie théorème de MINKOWSKI. concemant un
système de formes linéaires réelles. Comm. 1. Proc. Ned. Akad. v. Wetenseh .• Amsterdam.
45. 256--262 (1942).
Voir aussi Remarque dans Comm. 4. Proc. Ned. Akad. v. Wetenseh .• Amsterdam, 45.
584 (1942).
925
=
+
+
=
En outre soient 8v",(v
1. ... n 1; fl
1. .. .• n 1; v> fl) des nombres complexe!J
arbitraires. 190 v (v
1. ...• n 1) des nombres réels avec 1190v I 1, et LI_ ... , Ln+1 des
formes linéaires:
=
+
=
LI ={}I XI
L2
L n +1
= ()21 XI + {}2 X2
= ()n+I . 1 XI + ()n+I.2 X2 + ... + ()n+l . n Xn + {}n+1 Xn+l'
Alors à tout nombre t > 2 au moins un système de nombres entiers par rapport à K (i Vm )
(Pl • .... P n+ 1) correspond, satisfaisant à
(3)
et aux inégalités simultanées:
r
-<=
.E 1L.1=2
V
r
=1
t2 n-2 r+2
•.
(4)
Yn . r,m
n+1
2
=r+1
t
.E ILvl-<= - . .
r
L:'
( =1
(5)
)n-r+1
1
ILvi )r ( n+1
.E ILvl
-<= V .
=r+1
Yn.r.m
.
(6)
(7)
Remarques.
1. S'iI est possible de trouver un système de nombres entiers par rapport à K(i Vm).
de sorte qu'au moins une des inégalités Lv
0 (v
1. .. .. n 1) est valabIe. il est
évident que l'inégalité (7) est triviale.
=
2.
+
=
D'après ce théorème il existe pour tout nombre t
>2
au moins un système de
nombres entiers par rapport à K(iVm) (Pl . .. . . P n + l ) avec (3). (4). (5). (6) et (7).
Si
n+1
I
I Lv I =j; 0 Ie système ne peut pas rester Ie même. quand t croit indéfiniment,
v=r+1
comme iI ressort immédiatement de (5). Il y a donc une infinité de tels systèmes
(PI .....
P n+ l
)
avec (3). (6) et (7). Dans les cas oû
r
I
v=1
ILvl =0
cette dernière assertion est triviale. puisque avec (Pl ... .. P n + 1
en tier Z par rapport à K(iI/ ;;i) aussi (ZP l • .. .• ZP n+1
3.
Pour r
•
= n les nombres r n, r. m
Yn.m=Yn.n.m=Yn , n.m=
)
)
ou
n+1
I
v=r+1
ILvl =0,
est pour tout nombre
une solution de (6) et (7).
et r~, r. m définis par (1) et (2) deviennent:
(2nl)n+1 ~_1 2n (2n+2) (n-1)'"
2n ,L;'
2
2 (2n+2)/ n
m",=0
ft
n+l
+(2n+2)(2n+1)n
+
(n
-1 )1' ~
.E -1 -2(SJ
",=2n+1 ft
n
926
(2nl)n+1
~
m
2
~(n+J)2n+2
(22n+2n2n -
(2n+2) (n-l)2n+1
(n_l)2n+2
n2n 22n+1
- n 2n 22n+2 +
(2n+2)!
+ (2n+2) (2n+l)n
00
-1)1-' ~
~
-1 (n
-21-'=2n+1 ft
n
n2n+1(2n+l)
1
+ 22n+3(n+l)2n+1
Z l-'=2n+1 ft
00
(n-l) l-' ~
-
2n
'
d'oit suit
(8)
4. J'ai démontré ce théo.rème à J'aide d'une méthode de M. H. F. BUCHFELDT. Comme
Ia démonstration est très Iongue, et demande quelques lemmes, il n'est pas possible de la
donner dans cette note.
Dans Ie § 2 de cette communication nous appliquerons Ie théorème 1 sur J'approximatio:t
de la forme linéaire lhPl+ .. . +OnPn-Pn+1 à zéro (c'est Ie théorème 2), et dans Ie
§ 3 sur Ia somme et Ie produit des approximations simuItanées d'un système de nombres
complexes (01 ... .. 0 n) par des fractions rationnelles par rapport à K(iv;n) (c'est Ie
théorème 3).
§ 2. Théorème 2. Soit n un nombre naturel supérieur à L r n m Ie nombre désigné
pal' (8) . Soient en outre Ol .... . 0 n n nombres complexes. et t un nombre réel arbitraire > 2.
Alors il y a au moins un système entiel' pal' rapport à K(i v;n) (Pl' ... , P
n+1) avec
(9)
et
n
Z IP,·1 """"2
,'=1
Vn 72
-
Yn,m
.
(10)
tel que la forme linéaire
vérifie les inégalités simultanées:
I L I """"~,
t
I LI~
(1 " )n.
VYn~ v~IIP,·1
Démonstration. Nous appliquons Ie théorème
= L. r = n, Y ~ r m = Yn m' Les inégalités (9).
tivement de (3). (4') ,' (5) et '(6) . L'inégalité (7) ne
essentielIe. puisque les formes L, = P" (1' =' I. ... . n)
remarque 1).
Ln+1
(11 )
( 12)
=
1 avec L,. = P,. (1'
L .. . , nl .
(10), (11) et (12) résuItent respec~
nous donne pas une approximation
peuvent être égales à zéro (voir la
927
Remarques.
5. De la remarque 2 il s'ensuit qu'iJ y a une infinité de systèmes (Pl •.... Pn+d avee
(9) et (12).
6.
On voit de (12) que dans J'approximation de L à zéro la quantité
n
:E
I Pv I
se
,'='1
présente. Une autre approximation de L avee eette quantité. analogue à (12). ne m'est pas
eonnue. M .M. KOKSMA en MEULENBELD ont bi en déduit dans ll.'1 mémoire réeent 2) une
approximation de L avee P
= max.
n
(I P l I..... 1P n I)
au lieu de
,'=1
démontré 3} pour une infinité de systèmes entie.rs par rapport à K(i
ILI""""l/
:E
2
V;:;;}
I Pv I.
et ont
(Pl ..... P n + I) :
n
- r (2n)!Vl'n.1mpn·
§ 3. Théorème 3. Soit n un nombre naturel supérieur à 1, Y n m Ie nombre désigné
par (B). Soient en outre Uh , .... On) un système de n nombres complexes, et t un nombre
réel arbitraire
2.
>
Alors il y a au moins un systéme de nombres entiers par rapport à K(i
(Pl . .... P n + 1 ). qui satis/ont aux inégalités simultanées:
V;:;;)
n
1 """" IP n +1 I """" 2
t
•
Vl'n.m
i I 8-~I::=:
2
P n+1 - t IPn+l l '
v=1
"
iI8"-~
P + I """" 12n/
n 1
,'=1
V
Ûlf)-~I-==
P n+1 - V
,'=1
Démonstration.
LI
=
l'
(13)
1
1+ -I '
I'n.m IPn+1 1 n
(14)
1
I'n. m nn I Pn+1 In+l'
Nous appliquons maintenant Ie théorème 1 avee
P n+l • L,. = P n+1 8v-I-P,'-1
(v = 2 ..... n
11 existe done au moins un système (Pl ..... P n + I) avee
inégalités:
IPn+ll-==
n
v3
F
I'n.m
+ 1). r =
1. I'~. r. m = I'n. m·
I P n + 1 I;;;;: I.
qui satisfait aux
•
2
t
Z I Pn +1 8v-Pv I :: -.
v=1
2} J. F . KOKSMA et B. MEULENBELD. Diophantisehe Approximationen homogener
Linearformen in imaginären quadratisehen Zahlkörpern. Proe, Ned. Akad. v . Wetenseh,.
Amsterdam. H. 426-434 (1941).
3} Voir la no te 2) p . 427.11 fa ut remarquer. que Ie nombre I2n.m' qui se présente dans
cette no te est égal à
l/
2
n
(2n)! Yn m
928
1
n
IPn+ 1 8 v-Pv l ~ -----:==-----
IJ
V
,,=1
Yn,m nn IPn+11
Ces inégalités entrainent I'assertion du théorème 3.
Remarques.
7~
De la remarque 2 il s'ensuit qu'il y a une infi:lité de systèmes entiers par rapport à
K(iV;;) (Pl' ... 'P n+l
)
avecIPn+II;;:;:I, (13) et (14) .
8. Si les nombres (h, .. . , (J n sont tous irrationnels par rapport à K(i V;:;;), l'inégalité
(14) n'est pas triviale.
9.
On n'a jamais considéré I'approximation de la somme
produit
ÎI
v=1
I(J" -
~ Ià
Pn+1
Î
,'=1
I (Jv -
P"
Pn+1
I et du
zéro, que je sache. Par contre I'approximation simuitanée du
système (Jh ... , (Jn par des fractions ratio!lnelles par rapport à K(iVm) a bien été
recherchée. M. N . HOFREITER 4) communique que M. H. ARAL a déduit dans sa thèse,
en se servant d'une méthode de MINKOWSKI, que pour chaque système complexe Ol, ... , On
une infinité de systèmes entiers par rapport à K(i V;:;;) (Pl' ... , P n + I) avec I Pn + I
vérifient simuitanément les inégalités:
I;;:: 1
2n
(15)
=
résuItat, qui pour m
1 est identique avec celui, déduit par MINKOWSKII5).
Dans une note réce!lte 6) M.M. KOKSMA et MEULENBELD ont amélioré Ie résuItat (15)
en Ie portant à
P"
8" - -P
n+1
l
oû
I=~ l/n
n
2 ),
1
I
Yn .m (2 n , lP Milt +ïï
(v = 1. .. , , n)
(16)
"n, m est Ie nombre, défini en (8) .
En additionnant les demières inégalités, nous obtenons:
i P " I=n
~
Zn 8,,--p
,,=1
n+1
l/n
n
2(2 )/
1
I'
Yn,m n IPn+tll+ïï
n
Une comparaiso!l de cette inégalité avec (13) nous démontre en vertu de 2 n2n;;;: 1, que
(2n)!
notre résultat est une amélioration essentielIe.
Gest aussi Ie cas, quand on fait Ie produit des inégalités (16) et qu'on Ie compare
avec (14),
4) N , HOFREITER, Diophantische Approximationen komplexer Zahlen. Monatsh. f.
Math. u. Physik, 299-302 (1940).
5) H . MINKOWSKI, Geometrie der Zahle!l. Leipzig-Berlin, 1910, p. 108 e.s.
6) J. F. KOKSMA et B. MEULENBELD, Simultane Approximationen in imaginären quadratischen Zahlkörpem, Proc. Ned. Akad. v. Wetenseh., Amsterdam, 44,310-323 (1941).
11 faut remarquer que Ie nombre "n,m ' qui se présente dans cette note est égal à
2n
l
/--=-2
n -.
(2n) !"n,m