1. Introduction 2. Outils 3. Une onde sinusoïdale fixée dans l`espace

Ondes
Olivier MAURICE
1. Introduction
L'objet de ce document est de traiter des ondes en général, et plus particulièrement des ondes établies sur
définitions de conditions limites. Le but recherché est de comprendre graphiquement et
mathématiquement comment on peut imaginer une onde se déplaçant dans l'espace en trois dimensions.
2. Outils
Les deux outils qui seront utilisés pour tracer les courbes d'ondes seront le langage PERL d'une part, et
le logiciel de tracé de courbes gnuplot d'autre part. Les programmes ou commandes utilisés seront
détaillés dans le cours.
3. Une onde sinusoïdale fixée dans
l'espace en trois dimensions
On veut tracer une onde sinusoïdale issue d'une source centrée en trois dimensions. Cette onde à une
distance r de ce centre, et pour un angle t est définie par :
fr ,t=cos
2
r
R
1
La fonction f(r,t) est indépendante de t. C'est une caractéristique d'une onde symétrique par rotation.
Pour créer un fichier comportant les trois points définis dans un espace cartésien (x,y,z) on projette l'onde
sur ces trois coordonnées par :

{
x=r
100 cos
2t
360
y=r
100 sin
2t
360
2
Le fichier enregistré comporte trois colonnes, x, y et l'amplitude enregistrée dans une matrice comportant
la fonction définie en 1. On écrit finalement en PERL :
#trace d'une onde circulaire autour d'une source centrale
my @M;
my $pi;
$pi=3.14159;
for ($r=1;$r<100;$r++){
for ($t=0;$t<359;$t=$t+10){
$M[$r*360+$t]=cos($pi/2*$r/5);
}
}
$file="/home/maurice/Documents/RECHERCHES/mecanique_ondulatoire/trace_onde_1.dat";
open(DATA,">$file") or die "impossible ouvrir le fichier";
for ($r=1;$r<100;$r++){
for ($t=0;$t<359;$t=$t+10) {
$x=$r/100*cos($t*2*$pi/360);
$y=$r/100*sin($t*2*$pi/360);
print DATA $x." ".$y." ".$M[$r*360+$t]."\n";
}
}
close(DATA);
#affichage de la courbe par gnuplot
$fileG="/home/maurice/Documents/RECHERCHES/mecanique_ondulatoire/trace_onde.gnu";
open(DATA,">$fileG") or die "impossible ouvrir le fichier";
print DATA "reset "."\n";
print DATA "splot
'/home/maurice/Documents/RECHERCHES/mecanique_ondulatoire/trace_onde_1.dat'";
close(DATA);
Le dernier fichier créé permet de donner les commandes de base pour gnuplot pour tracer la fonction. La
commande reset permet d'éffacer les commandes précédemment passées en console, et le splot est une
fonction de tracé en trois dimensions cartésiennes.
Dans la console gnuplot, on appelle le script créé en tapant la commande de chargement de script load
« nom de fichier de script » photographiée figure 1.

Figure 1 : commande passée sous gnuplot
La figure obtenue doit être un peu recadrée manuellement, mais cette opération est très simple, il suffit
de cliquer sur l'image puis d'effectuer un mouvement de rotation pour indiquer à gnuplot que l'on désire
modifier l'angle ou faire un mouvement vers le haut ou le bas pour modifier l'échelle d'amplitude.
La figure 2 montre la courbe obtenue, exportée ici simplement par une copie d'écran.
L'onde varie avec le temps en multipliant dans tout l'espace les fonctions sinusoïdales par cos(wt). Ainsi,
une demi-période plus tard, les ventres positifs deviennent négatifs et inversement. Les zéros restent des
zéros. L'onde est stationnaire. On peut se demander comment il serait possible qu'un onde se déplace si
elle est constituée d'ondes stationnaires. C'est le propos du prochain paragraphe.
Figure 2 : tracé de l'onde fixe sous gnuplot
4. Ondes propagées en trois dimensions
L'onde précédente peut être changée dans tout l'espace d'une première façon très simple qui consiste à
déphaser les fonctions sinusoïdales. La figure 3 montre la même onde déphasée de pi sur 2. Ainsi en

faisant tourner le déphasage du cosinus on recrée un déplacement apparent de l'onde par mouvement de
ses ventres et noeuds. L'équation 3 exprime cette fonction.
Figure 3 : onde avec déphasage de pi sur deux
fr ,t=cos
2
r
Rt
3
Ce premier résultat montre que le mouvement d'une onde peut être créé par déphasage à la source.
Evidemment, il s'agit d'une onde établie précédemment dans tout l'espace. C'est en jouant sur la phase,
donc en créant une vitesse de phase que l'on crée un déplacement apparent de l'onde. On peut avoir
l'impression de « tricher », mais il faut bien comprendre que pour un observateur ne sachant pas le
mécanisme utilisé, l'impression est strictrement similaire. On peut donc considérer qu'une onde vibrant
dans tout l'espace est une conde stationnaire déphasée à la source en fonction du temps.
5. Onde en deux dimensions
Considérons une onde gausienne donnée par :
Gx ,= 1
e
− x−2
22
4
On développe un petit programme en perl pour tracer cette fonction.
#on crée déjà la partie non nule
# la gaussienne est tracée sur un domaine [0 - 1].
$sig=0.05;
$u=0.3;
for ($t=0;$t<100;$t++){

$x=$t/100;
$ft[$t]=exp(-($x-$u)**2/(2*$sig**2))/$sig;
}
$file="/home/maurice/Documents/RECHERCHES/mecanique_ondulatoire/formeS.dat";
$file2="/home/maurice/Documents/RECHERCHES/mecanique_ondulatoire/trace.gnu";
open DATA, "> $file";
for ($k=0;$k<100;$k++){
print DATA "$k $ft[$k]"."\n";
}
close DATA;
open DATA2, ">$file2";
print DATA2 "reset"."\n";
print DATA2 "plot '/home/maurice/Documents/RECHERCHES/mecanique_ondulatoire/formeS.dat'"."\n";
close(DATA2);
Après quoi on lance sous gnuplot le tracé de la gaussienne centrée ici en x=0,3.
Figure 4 : tracé de la fonction sous gnuplot
Cette fonction a pour moyenne la valeur µ qui peut aussi agir en déphasage. En jouant sur cette valeur,
on déplace le centre de la fonction dans l'espace des abscisses. En jouant sur le paramètre de moyenne
, on déplace cette onde dans la direction des x positifs. Ainsi, figure 6 on voit la même onde déplacée
pour =0.5.
6. Décomposition de l'onde temporelle
en ondes harmoniques
L'onde précédente occupe tout l'espace étudié. Elle ne se déplace que par changement de sa valeur
moyenne qui traduit un déplacement dans la position du zéro de la courbe, comme un changement de
référentiel. Ce que nous voulons c'est décomposer cette onde en somme d'ondes harmoniques qui
remplissent de même tout l'espace, ce qui est très cohérent avec la série de Fourier, et la somme de cette
série à chaque instant, par déphasage, redonne l'impulsion de départ à la position x correspondant au