Unité 3 – Multiples, Facteurs et les Exposants Les nombres premiers

Unité 3 – Multiples, Facteurs et les Exposants
Les nombres premiers et les nombres composés
Un nombre premier est un nombre qui n’a que 2 facteurs différents, c’est-à-dire 1 et lui-même.
Un nombre composé est un nombre qui a 3 facteurs ou plus.
Crible d’Ératosthène (pour trouver les nombres premiers inférieurs à 100)
Entoure 2 et biffe tous les multiples de 2
Entoure 3 et biffe tous les multiples de 3
Entoure 5 et biffe tous les multiples de 5
Entoure 7 et biffe tous les multiples de 7
Entoure les nombres qui restent
Les nombres biffés sont des nombres composés. Les nombres entourés sont des nombres premiers.

En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que
de 2.
L'ensemble des nombres premiers jumeaux jusqu'à 1000 :
(3, 5)
(5, 7)
(11, 13)
(17, 19)
(29, 31)
(41, 43)
(59, 61)
(71, 73)
(101, 103)
(107, 109)
(137, 139)
(149, 151)
(179, 181)
(191, 193)
(197, 199)
(227, 229)
(239, 241)
(269, 271)
(281, 283)
(311, 313)
(347, 349)
(419 , 421)
(431 , 433)
(461 , 463)
(521 , 523)
(569 , 571)
(599 , 601)
(617 , 619)
(641 , 643)
(659 , 661)
(809 , 811)
(821 , 823)
(827 , 829)
(857 , 859)
(881 , 883)

Les Multiples
Un multiple d'un nombre naturel est le produit de ce nombre entier et de n'importe quel autre nombre
entier naturel. (Par contre, pour cette leçon, nous n'utiliserons que les nombre entier naturel non nuls
comme multiplicateurs pour trouver nos multiples). Par exemple, pour trouver les multiples de 4,
multiplie 4 par 1, 4 par 2, 4 par 3, et ainsi de suite. Pour trouver les multiples de 5, multiplie 5 par 1, 5
par 2, 5 par 3, et ainsi de suite. Les multiples sont les produits de ces multiplications.
Exemple 1 :
Trouve les multiples du nombre entier naturel 4.
Multiplication :
4 x 1
4 x 2
4 x 3
4 x 4
4 x 5
4 x 6
4 x 7
4 x 8
4 x 9
4 x 10
4 x 11
Multiples de 4 :
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
Solution :
Les multiples de 4 sont: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44...
Exemple 2 :
Trouve les multiples du nombre entier naturel 5.
Multiplication :
5 x 1
5 x 2
5 x 3
5 x 4
5 x 5
5 x 6
5 x 7
5 x 8
5 x 9
5 x 10
5 x 11
Multiples de 5 :
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Solution :
Les multiples de 5 sont: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55...
Exemple 3 :
Trouve les multiples du nombre entier naturel 7.
Multiplication :
7 x 1
7 x 2
7 x 3
7 x 4
7 x 5
7 x 6
7 x 7
7 x 8
7 x 9
7 x 10
7 x 11
Multiples de 7 :
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
Solution :
Les multiples de 7 sont: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77...
Plus Petit Commun Multiple (PPCM)
PPCM est un acronyme de Plus Petit Commun Multiple.
Le PPCM de nombres que l’on compare entre eux est le plus petit nombre qui est un multiple de ces
nombres.
Deux hommes complètent plusieurs fois le tour d’une piste. Le premier prend 30 minutes pour réaliser
un tour de piste, alors que le second prend 45 minutes. S’ils sont partis en même temps, à quel moment
vont-ils se rencontrer pour la première fois?
On imagine les deux hommes parcourant la piste…

Le premier revient au point de départ après : 30, 60, 90, 120, … minutes.
Le deuxième revient au point de départ après : 45, 90, 135, … minutes.
Donc, ils vont se retrouver au point de départ après 90 minutes. Pendant ce temps le premier homme
aura parcouru 3 tours et le deuxième, 2 tours. Dans cet exemple, on a trouvé le PPCM de 30 et 45. Il
s'agit de 90. On a aussi trouvé par combien il faut multiplier chacun des nombres comparés pour
obtenir le PPCM de 90 : il faut multiplier 30 par 3 et 45 par 2.
Trouver le PPCM – Méthode 1 : les multiples des nombres
On peut trouver le PPCM en dressant tout simplement la liste des multiples de chacun des nombres
comparés. Cette méthode convient surtout pour les petits nombres.
On cherche le PPCM de 6, 8, 12.
Listes des multiples de chacun des nombres comparés :
6{6, 12, 18, 24, 30, 36, 48, …}
8{8, 16, 24, 32, …}
12 {12, 24, …}
Le plus petit commun multiple (qui se retrouve dans chaque ensemble) est 24
On écrit la réponse ainsi : PPCM (6, 8, 12) = 24
On peut arrêter les listes quand on trouve un multiple commun à tous les nombres comparés.

Trouver le PPCM – Méthode 2 : le tableau des diviseurs
Étape 1 : Prenons deux nombres, 12 et 108. On place chacun d’eux dans un tableau.
Étape 2 : Ensuite, on divise ces deux nombres par des nombres premiers, en commençant par 2, puis, si
cela ne fonctionne pas avec 2, en continuant avec 3, 5, 7, 11, 13 et ainsi de suite, jusqu’à ce que cela
fonctionne.
Étape 3 : On poursuit les divisions jusqu’à ce que les nombres soient devenus 1 dans chaque colonne.
Pour trouver le PPCM, il faut ensuite multiplier ensemble tous les diviseurs premiers de la colonne de
gauche.
Dans ce cas-ci : 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 108
On écrit la réponse ainsi : PPCM (12, 108) = 108
Trouver le PPCM – Méthode 3 : l’arbre de facteurs et le diagramme
Quand on cherche le PPCM de deux ou plusieurs nombres, on trouve d’abord le plus petit multiple de
ces nombres.
Pour trouver le PPCM, on peut construire un arbre de facteurs.