AI 4
Proposition 4 On suppose rp ≤n. Le nombre de façons de choisir p r−uplets de points
consécutifs disjoints parmi npoints d’un ensemble totalement ordonné est
n−p(r−1)
p.
Les p r−uplets sont encadrés par p+ 1 séparations. Choisir p r−uplets revient à choisir parmi ces
p+ 1 séparations, celles qui seront remplies par un des n−rp éléments de l’ensemble non inclus dans
un des r−uplets. Le nombre de choix possibles est donc le nombre de combinaisons de p+ 1 objets pris
n−rp àn−rp avec répétitions.
Exemple : Soit {x1,...,x8}un ensemble totalement ordonné (n= 8), et on prend 3couples de points
consécutifs disjoints de cet ensemble (p= 3 et r= 2). Il y a 10 choix possibles. Le symbole •indique
les places des éléments manquants déterminées par la combinaison.
combinaison choix de trois couples
{{1,1}} • • (x3, x4)(x5, x6)(x7, x8)
{{1,2}} •(x2, x3)•(x5, x6)(x7, x8)
{{1,3}} •(x2, x3)(x4, x5)•(x7, x8)
{{1,4}} •(x2, x3)(x4, x5)(x6, x7)•
{{2,2}} (x1, x2)• •(x5, x6)(x7, x8)
{{2,3}} (x1, x2)•(x4, x5)•(x7, x8)
{{2,4}} (x1, x2)•(x4, x5)(x6, x7)•
{{3,3}} (x1, x2)(x3, x4)• •(x7, x8)
{{3,4}} (x1, x2)(x3, x4)•(x6, x7)•
{{4,4}} (x1, x2)(x3, x4)(x5, x6)• •
Proposition 5 On suppose rp ≤n. Le nombre de façons de choisir p r−uplets de points
consécutifs disjoints parmi npoints situés sur un cercle est
n
pn−p(r−1) −1
p−1.
Si l’on choisit un r−uplet, il reste p−1r−uplets à choisir parmi n−rpoints d’un ensemble ordonné,
soit, d’après la proposition 4 n−p(r−1) −1
p−1.
En considérant le cercle comme orienté, choisir un r−uplet revient à choisir son premier terme. Il y a