fiche cours proprietes geometrie

Propriétés concernant les DROITES PARALLELES ET PERPENDICULAIRES
Figure
Propriétés
Condition/conséquence
1. Si deux droites sont parallèles à une même
troisième,
Alors elles sont parallèles entre elles.
Condition :
(d1) // (d2) et (d1) // (d3)
Conséquence :
(d2) // (d3)
2. Si deux droites sont perpendiculaires à une même
troisième,
Alors elles sont parallèles entre elles.
Condition :
(d) ┴ (d1) et (d) ┴ (d2)
Conséquence :
(d1) // (d2)
3. Si deux droites sont parallèles,
Alors toute droite perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre.
Condition :
(d1) // (d2) et (d) ┴ (d1)
Conséquence :
(d) ┴ (d2)
Propriétés concernant le PARALLELOGRAMME
Figure
Propriétés
Condition/conséquence
1. (directe)
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
Alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux
Condition :
ABCD est un parallélogramme
Conséquence :
(AB) // (CD) et (AD) // (BC)
1. (réciproque)
Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux
à deux,
Alors c’est un parallélogramme
Condition :
ABCD quadrilatère
+ (AB) // (CD) et (AD) // (BC)
Conséquence :
ABCD est un parallélogramme
2. (directe)
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
Alors ses diagonales ont le même milieu
Condition :
ABCD est un parallélogramme
Conséquence :
[AC] et [BD] ont le même milieu
2. (réciproque)
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même
milieu,
Alors c’est un parallélogramme
Condition :
ABCD quadrilatère
+ [AC] et [BD] ont le même milieu
Conséquence :
ABCD est un parallélogramme
3. (directe)
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
Alors ses côtés opposés sont de même longueur
Condition :
ABCD est un parallélogramme
Conséquence :
AB = DC et AD = BC
3. (réciproque)
Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même
longueur deux à deux,
Alors c’est un parallélogramme
Condition :
ABCD quadrilatère
+ AB = DC et AD = BC
Conséquence :
ABCD est un parallélogramme
1 et 3. (réciproque)
Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés
parallèles et de même longueur,
Alors c’est un parallélogramme
Condition :
ABCD quadrilatère
+ AB = DC et (AB) // (DC)
Conséquence :
ABCD est un parallélogramme

Propriétés concernant le LOSANGE
Figure
Propriétés
Condition/conséquence
1. (réciproque)
Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même
longueur,
Alors c’est un losange
Condition :
ABCD quadrilatère
+ AB = BC = CD = DA
Conséquence :
ABCD est un losange
1. (directe)
Si un quadrilatère est un losange,
Alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et
ses quatre côtés sont de même longueur
Condition :
ABCD est un losange
Conséquence :
(AB) // (CD) et (AD)//(BC)
Et AB = BC = CD = DA
2. (directe)
Si un quadrilatère est un losange,
Alors ses diagonales ont le même milieu et sont
perpendiculaires
Condition :
ABCD est un losange
Conséquence :
[AC] et [BD] ont le même milieu
Et (AC) ┴ (BD)
2. (réciproque)
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même
milieu et sont perpendiculaires,
Alors c’est un losange.
Condition :
ABCD quadrilatère
+ [AC] et [BD] ont le même milieu
Et (AC) ┴ (BD)
Conséquence :
ABCD est un losange
3. (réciproque)
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de
même longueur,
Alors c’est un losange
Condition :
ABCD parallélogramme
+ AB = BC (ou CD = AD…)
Conséquence :
ABCD est un losange
4. (réciproque)
Si un parallélogramme a ses diagonales
perpendiculaires,
Alors c’est un losange
Condition :
ABCD parallélogramme
+ (AC) ┴ (BD)
Conséquence :
ABCD est un losange
Propriétés concernant le RECTANGLE
Figure
Propriétés
Condition/conséquence
1. (réciproque)
Si un quadrilatère a trois angles droits,
Alors c’est un rectangle
Condition :
ABCD quadrilatère
+ A = B = C = 90°
Conséquence :
ABCD est un rectangle
1. (directe)
Si un quadrilatère est un rectangle,
Alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, de
même longueur, et ses quatre angles sont droits.
Condition :
ABCD est un rectangle
Conséquence :
(AB) // (CD) et (AD) // (BC)
Et AB = CD et AD = BC
Et A = B = C = D = 90°
2. (directe)
Si un quadrilatère est un rectangle,
Alors ses diagonales ont le même milieu et sont de
même longueur
Condition :
ABCD est un rectangle
Conséquence :
[AC] et [BD] ont le même milieu
Et AC = BD
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D

2. (réciproque)
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même
milieu et qui sont de même longueur,
Alors c’est un rectangle.
Condition :
ABCD quadrilatère
+ [AC] et [BD] ont le même milieu
Et AC = BD
Conséquence :
ABCD est un rectangle
3. (réciproque)
Si un parallélogramme a un angle droit,
Alors c’est un rectangle
Condition :
ABCD parallélogramme
+ A = 90° (ou B ou C …)
Conséquence :
ABCD est un rectangle
4. (réciproque)
Si un parallélogramme a ses diagonales de même
longueur,
Alors c’est un rectangle
Condition :
ABCD parallélogramme
+ AC = BD
Conséquence :
ABCD est un rectangle
Propriétés concernant le CARRE
Figure
Propriétés
Condition/conséquence
1. (réciproque)
Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et
un angle droit,
Alors c’est un carré
Condition :
ABCD quadrilatère
+ AB = BC = CD = DA
et A = 90° (ou B ou C ou D )
Conséquence :
ABCD est un carré
1. (directe)
Si un quadrilatère est un carré,
Alors il a quatre côtés de même longueur, quatre
angles droits et ses côtés opposés sont parallèles deux à
deux.
Condition :
ABCD est un carré
Conséquence :
AB = BC = CD = DA
Et A = B = C = D = 90°
Et (AB) // (CD) et (AD) // (BC)
2. (directe)
Si un quadrilatère est un carré,
Alors ses diagonales ont le même milieu, sont
perpendiculaires et sont de même longueur.
Condition :
ABCD est un carré
Conséquence :
[AC] et [BD] ont le même milieu
Et AC = BD et (AC) ┴ (BD)
2. (réciproque)
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même
milieu, qui sont perpendiculaires et de même longueur,
Alors c’est un carré.
Condition :
ABCD quadrilatère
+ [AC] et [BD] ont le même milieu
Et AC = BD et (AC) ┴ (BD)
Conséquence :
ABCD est un carré
3. (réciproque)
Si un losange a un angle droit,
Alors c’est un carré
Condition :
ABCD losange + A = 90°
Conséquence :
ABCD est un carré
4. (réciproque)
Si un losange a ses deux diagonales de même
longueur,
Alors c’est un carré
Condition :
ABCD losange + AC = BD
Conséquence :
ABCD est un carré
5. (réciproque)
Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même
longueur,
Alors c’est un carré
Condition :
ABCD rectangle + AB = BC
Conséquence :
ABCD est un carré
6. (réciproque)
Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires,
Alors c’est un carré
Condition :
ABCD rectangle + (AC) ┴ (BD)
Conséquence :
ABCD est un carré
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D