division euclidienne et decimale de deux nombres entiers

6ème – Chapitre 10
Division euclidienne et décimale de nombres entiers
DIVISION EUCLIDIENNE ET DECIMALE DE DEUX
NOMBRES ENTIERS
1) Division euclidienne
a) Différentes méthodes de calcul
On peut effectuer une division :
 par un calcul mental dans les cas simples ;
 en posant l'opération (paragraphe b) ;
 à la calculatrice.
b) Division de deux entiers
Considérons la division suivante : division de 472 par 25.
1ère étape :
4 7 2 2 5
 2 5
1
2 2
2ème étape :
4 7 2 2 5
 2 5
1 8
2 2 2
 2 0 0
2 2
dans 47, combien de fois 25 ?
réponse : 1 fois
25  1  25 47  25  22
on abaisse le 2
en 222, combien de fois 25 ?
réponse : 8 fois
25  8  200 222  200  22
Dans une division euclidienne, on s'arrête à cette étape (quand il n'y a plus de chiffre à abaisser).
c) Vocabulaire
Dans l'exemple ci-dessus, 472 est le dividende, 25 est le diviseur, 18 est le quotient et 22 est le
reste.
On a la propriété suivante (utile pour vérifier les calculs) :
dividende = quotient  diviseur + reste
En effet, 472  25  18  22 .
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Division euclidienne et décimale de nombres entiers
2) Division décimale
Reprenons l'exemple du paragraphe 1-b : division de 472 par 25. Nous allons chercher à écrire une
égalité du type 472  25  ... . Pour cela, nous allons poursuivre la division :
Rappel de l'étape 2 :
4
 2
2
 2
7
5
2
0
2
2 2 5
1 8
2
0
2
3ème étape :


4
2
2
2

7
5
2
0
2
2
2
2
0
2
0
2
2 5
1 8, 8
on abaisse un zéro et on place une virgule au quotient.
en 220, combien de fois 25 ?
réponse : 8 fois
25  8  200 et 220  200  20
0
0
0
4ème étape :


4
2
2
2

7
5
2
0
2
2

2
2
0
2
0
2
2
2 5
1 8, 8
0
0
0
0
8
on abaisse à nouveau un zéro
en 200, combien de fois 25 ?
réponse : 8 fois
25  8  200 et 200  200  0
0
0
0
On obtient un reste nul.
Conclusion :
472 : 25  18,88
On a 472  25  18,88 .
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Division euclidienne et décimale de nombres entiers
3) Divisibilité
Définition
On dit qu'un nombre est divisible par un autre lorsque le reste de la division des deux nombres est
égale à 0.
Exemple
340 est divisible par 10 car le reste de la division de 340 par 10 est égal à 0 (on a 340  10  34 ).
Critères de divisibilité
Un nombre entier est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5.
Un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9.
Exemples
148 est divisible par 2 car son dernier chiffre est 8.
635 est divisible par 5 car son dernier chiffre est 5
1 272 est divisible par 3 car 1  2  7  2  12 est divisible par 3.
5 236 est divisible par 4 car le nombre formé par ses deux derniers chiffres, c'est-à-dire 36, est
divisible par 4.
6 273 est divisible par 9 car 6  2  7  3  18 est divisible par 9.
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