Rotations dans l`espace

1994-95
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Rotations dans l'espace
Titre des leçons: Il y a en 1994 deux leçons assez voisines:
(n°55)
Réflexion de l'espace échangeant deux points donnés; plan médiateur, régionnement
associé. Etude des isométries de l'espace ayant une droite de points invariants.
(n°56)
Réflexions et rotations de l'espace. Invariants élémentaires: effet sur les distances, les
angles,… Applications à l'action sur les configurations usuelles.
Je vais proposer un plan d'ensemble, et j'indiquerai à la fin ce qu'on peut mettre dans chacun
des sujets.
On suppose connues les propriétés des réflexions (ie: symétries orthogonales par rapport à un
plan) de l'espace.
I: Plan médiateur de deux points.
Théorème: Etant donnés deux points A et B (distincts) de l'espace il existe une unique réflexion σ telle
que σ(A) = B et σ(B) = A.
Montrons l'unicité: Si la réflexion par rapport au plan ∏ échange A et B, alors (d'après la
construction classique de l'image d'un point par une réflexion) ∏ passe par le milieu de AB, et est
perpendiculaire à la droite AB. Il existe un unique plan qui possède ces deux propriétés, donc une
unique réflexion possible.
Montrons l'existence: Soit ∏ le plan perpendiculaire à AB passant par le milieu I de AB, alors
la construction classique du symétrique d'un point, montre que la réflexion σ par rapport à ∏ échange
A et B.
Définition: Ce plan ∏ est appelé le plan médiateur de AB.
Théorème : Le plan ∏ médiateur de AB est le lieu des points équidistants de A et B. Si M et A sont du
même coté de ∏, alors AM<BM. Si M et B sont du même côté de ∏, alors BM<AM.
Démonstration: Si M est dans ∏, alors AM = BM,
puisque σ est une isométrie. Si M et A sont du
même côté de ∏, alors le segment MB coupe ∏ en
N, et on a BM = BN + NM = AN + NM > AM
(car dans le triangle AMN, le côté AM est
inférieur à la somme des deux autres côtés).
On a donc les implications
M appartient à ∏
⇒
M et A du même côté de ∏
⇒
M et B du même côté de ∏
⇒
AM = BM
AM < BM
AM > BM
Et le principe du tiers exclus, nous permet d'affirmer que les réciproques sont vraies.
II: Etude des isométries ayant la droite δ comme ensemble de points fixes.
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Lemme 1: Soit δ une droite, et f une isométrie de l'espace qui fixe les points de δ. Soit P un plan
perpendiculaire à δ, alors f(P) P.
En effet: Soit A un point de δ et B = σ(A) (où σ est la symétrie par rapport à P), qui est aussi
sur δ. Alors le plan P est le plan médiateur de AB. Soit M dans ce plan, on a MA = MB; et, puisque f
est une isométrie qui laisse A et B fixes, on a aussi Af(M) = Bf(M); donc f(M) est dans P.
Conséquence:Supposons de plus que les seuls points fixes de f soient les points de δ , alors f|P est évidemment – une isométrie de P; elle a - évidemment - pour seul point fixe O=P δ; donc c'est une
rotation de centre O. On dit que f est une rotation d'axe δ; l'angle de cette rotation est - par définition l'angle de f|P comme rotation dans P.
Lemme 2: Soit deux plans ∏ et ∏' distincts contenant δ, et s et s' les symétries par rapport à ces plans.
Alors g = s s' est une rotation d'axe δ.
Démonstration: Il est clair que les points de δ = ∏ ∏' sont fixes par g. Pour montrer que ce sont les
seuls on remarque que si g(M) = M, et si l'on pose s'(M) = M', alors on a aussi s(M)=M' (puisque
s(M') = s(s'(M)) = g(M) = M). Donc ou bien M = M' et les plans ∏ et ∏' passent par M (et alors M
est un point de δ). Ou bien M et M' sont distincts, et alors ∏ et ∏' sont tous deux identiques au plan
médiateur de MM'; ce qui est exclu puisque ∏≠∏'.
Remarque 1: Le choix de P est arbitraire parmi les plans perpendiculaires à δ. Et notre définition
associe à la rotation f d'axe δ, un angle dans A(P) (groupe des "angles orientés de vecteurs" dans le
plan P). Notre construction identifie donc entre eux tous les groupes
A(P) pour tous les plans P
perpendiculaires à δ. Ainsi "on peut considérer" que les différents angles asociés à f dans les
différents A(P) sont identiques. Il y a là une difficulté, que l'on ne cherchera pas à élucider le jour de
l'oral; mais il faut savoir qu'elle existe.
Remarque 2: Attention l'angle de f est bien défini comme angle dans P. Mais si on veut le mesurer il
faut orienter P , et pour cela on oriente en général l'axe δ (ce qui oriente P par le bonhomme
d'Ampère).
III: Le groupe des rotations d'axe δ.
Notons Eδ l'ensemble des rotations de l'espace qui admettent δ comme axe, et notons RP,O
l'ensemble des rotations de P de centre O. Le lemme 1 définit une application χ: Eδ → RP,O.
Théorème: Cette application χ est surjective.
En effet: Si ρ est une rotation dans RP,O, on peut l'écrire ρ = σd σd' où d et d' sont des symétries de P
d'axes passant par O; soit ∏ et ∏' les plans contenant δ et respectivement d et d'; il est clair que s∏ s∏'
a pour restriction à P la rotation ρ = σd σd', et c'est un élément de Eδ d'après le lemme 2.
Théorème: Cette application χ est injective.
Démonstration. Soit f1 et f2 deux éléments de Eδ qui ont même restriction ρ à P. Ecrivons ρ
sous la forme ρ = σd σd', et soit ∏ et ∏' les plans contenant δ et respectivement d et d'. Posons f =
s∏ s∏' (qui est inversible comme composée de deux applications inversibles). Posons aussi g1 = f–
1 f et g = f–1 f . Ces deux isométries sont l'identité sur δ et aussi sur P; ce qui implique qu'elles
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sont l'identité (s'il existait un point M tel que gi(M)≠M, alors le plan médiateur de Mgi(M)
contiendrait δ et le plan P; ce qui est absurde). On a donc f–1 f1 = f–1 f2 =Id, c'est à dire f1 = f2 = f.
On étend χ en une application de Eδ {Id} dans RP,O {Id P }, ce qui donne toujours une
application bijective. Cette application χ commute à la composition des applications, et RP O {IdP} est
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un groupe abélien. Donc Eδ {Id} muni de la composition est un groupe isomorphe au groupe
RP,O {IdP} des rotations de centre O dans P. Ce groupe est aussi isomorphe au groupe des angles de
P; il est abélien.
IV: Isométries fixant les points de δ :
Lemme : Soit δ une droite, et f une isométrie de l'espace qui fixe les points de δ. Si f fixe un autre
point mais n'est pas l'identité, alors f est la réflexion par rapport à un plan contenant δ .
En effet soit P le plan perpendiculaire à δ et contenant un autre point fixe de f , alors -évidemment- f|P est une isométrie ayant une droite d passant par O=P δ de points fixes et qui n'est pas
l'identité (cf démonstration de II). Ainsi f|P est la réflexion par rapport à d et f est la réflexion par
rapport au plan contenant d et δ (cf démonstration de II).
Notons Iδ l'ensemble des isométries de l'espace qui fixent les points de δ . C'est clairement un
groupe composé des rotations d'axe δ , des réflexions par rapport à des plans contenant δ et de
l'identité. Notons IP,O l'ensemble des isométries de P fixant O. Le lemme 1 définit une application χ:
Iδ → IP,O.
Théorème: Cette application χ est un isomorphisme de groupes
La démonstration est analogue à celles du II.
Ce groupe est donc non abélien avec pour sous-groupe distingué Eδ∪{Id} .
V: Application aux polyèdres classiques ou autres figures.
Cas du tétraèdre régulier: Il est clair que les plans médiateurs des arêtes sont des plans de symétrie.
On composera deux de ces symétries (bien choisies) pour obtenir une rotation d'angle π, ou 2π/3 qui
envoie le tétraèdre sur lui même.
Cas du cube: Il est clair que les plans médiateurs des arêtes sont des plans de symétrie. On composera
deux de ces symétries (bien choisies) pour obtenir une rotation d'angle π/2, π, ou 2π/3 qui envoie le
cube sur lui même.
2π
Utiliser ces rotations d'angle ± 3 et la symétrie centrale pour montrer que l'intersection du
cube avec le plan médiateur d'une diagonale est un hexagone régulier.
Cas de deux droites: Déterminer les rotations de l'espace qui stabilisent la réunion de deux droites non
coplanaires. (On utilisera la perpendiculaire commune, ces rotations sont les trois symétries axiales
d'un repère orthonormé).
VI : Composées de rotations d'axes sécants.
A titre d'application on peut aussi proposer ce qui suit.
Lemme: Soit f une rotation d'axe δ et soit ∏ un plan contenant δ. Il existe des plans ∏' et ∏" contenant
δ tels que f = σ∏ σ∏' = σ∏" σ∏.
Démonstration: Soit P un plan perpendiculaire à δ, ρ = f|P (c'est une rotation de centre O = P δ), et
d = P ∏. (On sait qu') Il existe des droites d' et d" du plan P telles que ρ = sd sd' = sd" sd. Soit ∏' et
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∏" les plans contenant δ et respectivement d' et d". Alors σ∏ σ∏' = σ∏" σ∏ est une rotation d'axe δ
dont la restriction à P est ρ, c'est donc f (puisque χ est injective).
Théorème: Soit deux rotations f et g d'axes (distincts) δ et δ' sécants en un point O. Alors f g est une
rotation autour d'un axe passant par O.
En effet: Soit ∏ le plan défini par δ et δ'. Il existe (d'après le lemme) des plans ∏ et ∏' passant par O
et tels que σ∏ σ∏' = g et σ∏" σ∏ = f. On a alors f g = σ∏" σ∏ σ∏ σ∏' = σ∏" σ∏'. Donc f g est
une rotation dont l'axe ∏" ∏' passe par O. Il en résulte que l'ensemble des rotations dont l'axe passe
par O, est un groupe pour la composition des applications.
VII: Propriétés des rotations de l'espace.
On admet ici que les propriétés classiques des réflexions sont connues. Puisque les rotations
sont des composées de symétries, on peut affirmer:
Qu'elles conservent les angles (et les produits scalaires).
Qu'elles conservent les alignements. En particulier l'image d'une droite est une droite.
Qu'un plan a pour image un plan.
Que l'image d'un barycentre est un barycentre.
Etc
Les plans des deux leçons ( à developper ???) : Pour la première I, II,III, IV et éventuellement V ,
VI ou VII. Pour la seconde II, III, IV et V.