exercices Nombres premiers

Correction des exercices : Nombres premiers
Exercice 1
1. Les restes possibles par la division de p par 12 sont les nombres entiers compris entre 0 et
11.
On a p = 12q + r avec 0 ≤ r < 12 .
Si r est divisible par un diviseur de 12, alors p n’est pas premier.
Donc r ≠ 2 , r ≠ 3 , r ≠ 4 , r ≠ 6 , r ≠ 8 , r ≠ 9 et r ≠ 10 .
Autrement dit, les restes possibles sont 1, 5, 7 et 11.
2.
Restes possibles
1
5
7
11
pour p
1
1
1
1
Restes pour p 2
Restes pour
0
0
0
0
p2 + 1
Donc p 2 + 1 est divisible par 12.
Exercice 2
(
)
2
1. 56 = 23 × 7 . Donc 56 × 2 × 7 = 24 × 7 2 = 22 × 7 = 784 est un carré parfait divisible par 56.
2. les diviseurs de 84 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 et 84.
On pose f ( x ) = x ( x + 1) ( 2x + 1) = 2x 3 + 3x 2 + x .
f ' ( x ) = 6x 2 + 6x + 1 > 0 , car x ≥ 0 (entier naturel).
(
)
f est continue et strictement croissante sur ⎡⎣0;+∞ ⎡⎣ , f ⎡⎣0;+∞ ⎡⎣ = ⎡⎣6;+∞ ⎡⎣ , et 84 ∈ ⎡⎣6;+∞ ⎡⎣ .
D’après le TVI, l’équation f ( x ) = 84 admet une unique solution.
Pour x = 3 , x + 1 = 4 et 2x + 1 = 7 , tous diviseurs de 84 et on a f ( 3) = 3× 4 × 7 = 84 , donc la
solution de cette équation est x = 3 .
Exercice 3
Le produit de deux entiers naturels a et b ( a < b ) est 11340. On note d leur pgcd.
1. a. d divise a, donc a = da' , et d divise b, donc b = db' , avec pgcd ( a',b') = 1 . Donc
2. a. On prend α et β maximum dans la décomposition de d. D’où d = 2 × 32 = 18 .
b. . a = 2 × 32 × 5 = 90 et b = 2 × 32 × 7 = 126 .
Exercice 4
1. ( 2α + 1) ( 2β + 1) = 3(α + 1) ( β + 1) ⇔ 4αβ + 2α + 2β + 1 = 3αβ + 3α + 3β + 3 TS
Chapitre 3 : Nombres premiers
11340 = ab = da' db' = d 2 a'b' . Donc d 2 divise 11340.
b. On a 11340 = 22 × 34 × 5 × 7 , comme d 2 divise 11340, alors d ne peut se décomposer
qu’avec des facteurs premiers de puissances pair, cad 2 et 3.
Ainsi on a d = 2α × 3β avec 0 ≤ α ≤ 1 et 0 ≤ β ≤ 2 .
1
⇔ αβ − α − β + 1 = 3 d’où (α − 1) ( β − 1) = 3 .
⎧α − 1 = 1 ⎧α = 2
2. 3 = 3× 1 donc soit ⎨
⇔⎨
⇔ n = 324 , soit
⎩β − 1 = 3 ⎩β = 4
⎧α − 1 = 3 ⎧α = 4
⇔⎨
⇔ n = 144
⎨
⎩β − 1 = 1
⎩β = 2
Exercice 5 : Triplets pythagoriciens
Soit p un nombre premier donné. On se propose d’étudier l’existence de couples ( x; y )
d’entiers naturels strictement positifs vérifiant l’équation :
( E ) : x 2 + y 2 = p2
1. Si x = 1 et y = 1 , x 2 + y 2 = 1 , donc (1;1) n’est pas solution de ( E ) .
Si x = 1 et y = 2 , ou x = 2 et y = 1 x 2 + y 2 = 5 , donc (1;2 ) et ( 2;1) ne sont pas solution de
( E) .
Pour x ≥ 3 (ou y ≥ 3 ), x 2 ≥ 9 (ou y 2 ≥ 9 ), donc ( x; y ) n’est pas de solution de ( E ) .
(
)
2. a. Si x et y pairs, cad x = 2k et y = 2k ' , alors x 2 + y 2 = 4k 2 + 4k '2 = 4 k 2 + k '2 . Comme p
est premier il ne peut être divisible par 4. Donc impossible.
Si x et y impairs, cad x = 2k + 1 et y = 2k '+ 1 , alors
(
)
x 2 + y 2 = ( 2k + 1) + ( 2k '+ 1) = 4k 2 + 4k + 1+ 4k '2 + 4k '+ 1 = 2 2k 2 + 2k + 2k '2 + 2k ' . Comme
2
2
p est premier il ne peut être divisible par 2. Donc impossible.
Donc x et y sont de parité différentes.
b. Supposons que x est divisible par p, cad x = kp . Donc
(
x 2 + y 2 = p 2 ⇔ k 2 p 2 + y 2 = p 2 ⇔ y 2 = 1− k 2
)
or x > 0 , donc k > 0 , et donc y 2 ≤ 0 . Impossible. Donc x n’est pas divisible par p.
On démontre de même que y n’est pas divisible par p.
(
c. Soit pgcd(x; y) = d . On alors x = kd et y = k ' d , cad x 2 + y 2 = k 2 d 2 + k '2 d 2 = d 2 k 2 + k '2
)
3. On suppose maintenant que p est une somme de deux carrés non nuls, c’est à dire que :
p = u 2 + v 2 où u et v sont deux entiers naturels strictement positifs.
(
a. u 2 − v 2 + ( 2uv ) = u 2 − v 2
2
2
)
2
(
+ 4u 2 v 2 = u 4 − 2u 2 v 2 + v 4 + 4u 2 v 2 = u 4 + 2u 2 v 2 + v 4 = u 2 + v 2
= p2
b. Pour p = 5 = 22 + 12 , on pose alors u = 2 et v = 1 , donc x = 4 − 1 = 3 et y = 2 × 2 × 1 = 4 . Les couples ( 3;4 ) et ( 4;3) sont les couples solutions.
TS
)
2
Chapitre 3 : Nombres premiers
ainsi d 2 divise p, ce qui implique que d divise p.
or p est premier, cad ses diviseurs son 1 et p.
comme x et y ne sont pas divisibles par p, alors d ≠ p , donc d = 1 . Ce qui prouve que x et y
sont premiers entre eux.
2
Pour p = 13 = 32 + 22 , on pose alors u = 3 et v = 2 , donc x = 9 − 4 = 5 et y = 2 × 3× 2 = 12 . Les couples (5;12 ) et (12;5) sont les couples solutions.
4. On se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l’équation ( E ) est impossible
lorsque p n’est pas la somme de deux carrés.
a. 12 + 12 = 2 ≠ 3 , 12 + 22 = 5 ≠ 3 , donc 3 n’est pas la somme de deux carrés.
22 + 22 = 8 ≠ 3 , donc 7 n’est pas la somme de deux carrés.
b. Pour p = 3 , l’équation devient x 2 + y 2 = 9 . Mais comme p n’est pas la somme de deux
carrés, alors cette équation n’a pas de solution.
On peut le vérifier. 22 + 22 = 8 ≠ 9 et 12 + 32 = 10 ≠ 9 .
De même pour x 2 + y 2 = 49 .
Exercice 6 : Rep-unit
Partie 1 : Primalité des rep-units
1. N 2 = 11 est premier, N 3 = 111 = 3× 37 n’est pas premier et N 4 = 1111 = 11× 101 n’est pas
premier.
1− 10 p 10 p − 1
2. N p = 1+ 10 + 100 + ...+ 10 p−1 =
.
=
1− 10
9
10 p − 1 102q − 1 100q − 1
3. a. N p =
.
=
=
9
9
9
Or 100q − 1 = (100 − 1) 100q−1 + 100q−2 + ...+ 100 + 1 = 99 100q−1 + 100q−2 + ...+ 100 + 1
(
)
(
)
(
)
q−1
q−2
100q − 1 99 100 + 100 + ...+ 100 + 1
=
= 11 100q−1 + 100q−2 + ...+ 100 + 1
9
9
q−1
donc N p = N 2 × a où a = 100 + 100q−2 + ...+ 100 + 1 ∈!
donc N p =
(
)
donc N p est divisible par N 2 .
b. De même N p = N 3 × b , donc N p est divisible par N 3 .
( )
q
k
10 p − 1 10 kq − 1 10 − 1
c. N p =
.
=
=
9
9
9
donc
q
(
)(
)
− 1 = 10 k − 1 10 kq−1 + 100 kq−2 + ...+ 10 + 1
(
)(
) (
)(
k
kq−1
kq−2
+ ...+ 10 + 1
10 k − 1
10 kq − 1 10 − 1 100 + 100
Np =
=
=
100 kq−1 + 100 kq−2 + ...+ 10 + 1
9
9
9
donc N p = N k × c où c ∈! , donc N p est divisible par N k .
d. Si p n’est pas premier, alors N p n’est pas premier puisque divisible par N k .
La contraposée de cette implication est :
TS
)
Chapitre 3 : Nombres premiers
( )
Or 10 k
3
Si N p est premier alors p est premier.
Cette condition n’est pas suffisante puisque 3 est premier mais N 3 ne l’est pas.
Partie 2 : Diviseurs des rep-units
1. 2 et 5 car un rep-unit n’est pas pair et ne termine pas par 0 ou 5.
2. 3 apparaît dans la décomposition du rep-unit N k si k est un multiple de 3 (Somme des
nombres divisible par 3).
10 k − 1
3. On a déjà prouvé que N k =
(cf partie 1 Q2), d’où 9N k = 10 k − 1 .
9
4.
k
1
2
3
4
5
6
7
8
k
3
2
6
4
5
1
3
2
10
5. D’après le tableau : 10 k ≡ 1 ⎡⎣7 ⎤⎦ équivaut à k est multiple de 6.
Donc, lorsque k est un multiple de 6, 10 k − 1 ≡ 0 ⎡⎣7 ⎤⎦ , cad 7 divise 10 k − 1 cad 9N k . Or 7 et 9
sont premiers entre eux, donc (th de Gauss) 7 divise N k .
Partie 3 : Les rep-units ne sont pas des carrés
1. n2 se termine par 1, cad le reste de la division euclidienne de n2 par 10 est 1.
Donc n2 = 10q + 1 .
Or n = 10s + t , avec 0 ≤ t < 10 .
n2 = (10s + t ) = 100s 2 + 20st + t 2 , et le reste de la division euclidienne de t 2 par 10 est 1 (car
2
celui de n2 est 1).
t
0
2
0
Reste de t
Donc n se termine par 1 ou 9.
1
1
2
4
3
9
4
6
5
5
6
6
7
9
8
4
9
1
2. Soit n se termine par 1. On a n = 10q + 1 , et en posant m = q , on a n = 10m + 1 .
Soit n se termine par 9. On a n = 10q + 9 = 10 ( q + 1) − 10 + 9 = 10 ( q + 1) − 1 , et en posant
m = q + 1 , on a n = 10m − 1 .
(
)
3. Si n = 10m + 1 , alors n2 = (10m + 1) = 100m2 + 20m + 1 = 20 5m2 + m + 1 , donc n2 ≡ 1 ⎡⎣ 20 ⎤⎦ .
2
(
)
2
4. N k = 1+ 10 + 100 + ...+ 10 k−1 . Or 100, 1000 … sont congrus à 0 modulo 20.
Donc N k = 1+ 10 ⎡⎣ 20 ⎤⎦ , N k = 11 ⎡⎣ 20 ⎤⎦ pour k ≥ 2 .
5. Par l’absurde, supposons N k distinct de 1 est un carré. D’après Q3, N k ≡ 1 ⎡⎣ 20 ⎤⎦ . Or N k ≡ 11 ⎡⎣ 20 ⎤⎦ , contradiction. Donc N k différent de 1 n’est pas un carré.
TS
Chapitre 3 : Nombres premiers
Si n = 10m − 1 , alors n2 = (10m − 1) = 100m2 − 20m + 1 = 20 5m2 − m + 1 , donc n2 ≡ 1 ⎡⎣ 20 ⎤⎦ .
4