Polycopié "bancs de filtres"

Bancs de …ltres
J.Prado
8 juin 2006

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Table des matières
Introduction 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Gain de codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Rappel de la quanti…cation uniforme . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Quanti…cation en sous bandes . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Comparaison des quanti…cations . . . . . . . . . . . . 9
Filtrage Numérique. 11
2.3 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Invariance temporelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Causalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.3 Linéarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Filtres caractéristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1 Filtres non-récursifs causaux. . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.2 Filtres récursifs causaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.3 Eléments de réalisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Analyse temporelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.1 Impulsion unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.2 Echelon unité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.3 Rampe unité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.4 Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.5 Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Utilisation de la transformée en z. . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.1 Fonction de transfert discrète. . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.2 Estimation de H(z)à partir de l’équation récurrente. 17
2.6.3 Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.4 Réponse en fréquence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Quelques notations et dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.1 Les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.2 Les conjugaisons complexes . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.3 Les symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
iii

iv TABLE DES MATIÈRES
Synthèse des …ltres non-récursifs. 25
2.8 Caractéristiques des …ltres à phase linéaire. . . . . . . . . . . 26
2.8.1 Cas 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.8.2 Cas 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.9 Comportement fréquentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.9.1 Réponse symétrique. Nimpair. . . . . . . . . . . . . . 29
2.9.2 Réponse symétrique. Npair. . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9.3 Réponse antisymétrique. Nimpair. . . . . . . . . . . . 29
2.9.4 Réponse antisymétrique. Npair. . . . . . . . . . . . . 30
2.10 Position des zéros du …ltre à phase linéaire. . . . . . . . . . . 30
2.10.1 Zéro complexe hors du cercle unié. . . . . . . . . . . . 30
2.10.2 Zéro complexe sur le cercle unité. . . . . . . . . . . . . 30
2.10.3 Zéro réel hors du cercle unité. . . . . . . . . . . . . . . 31
2.10.4 Zéro réel sur le cercle unité. . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.11 Méthodes de synthèse des …ltres RIF. . . . . . . . . . . . . . 31
2.11.1 Méthode de la fenêtre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.11.2 Méthode aux valeurs propres. . . . . . . . . . . . . . . 40
2.11.3 Filtres maximalement plats . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.11.4 Méthode itérative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Conversion de fréquence 51
2.12 Conversion de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.12.1 Réduction d’un facteur M . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.12.2 Interpolation par un facteur L . . . . . . . . . . . . . 54
2.12.3 Conversion d’un facteur L/M . . . . . . . . . . . . . . 57
2.13 Notion de composantes polyphases . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.13.1 Implantation polyphase et notations conventionnelles . 58
2.13.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.13.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Filtrage Multicadence 65
2.14 Traitement en sous-bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.14.1 Banc de …ltres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.14.2 Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.15 Banc de …ltres à Mvoies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.15.1 Erreur de reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.15.2 Résolution directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.15.3 Résolution polyphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.15.4 Relation entre les matrices polyphase et de modulation 70
2.15.5 Condition générale de reconstruction parfaite . . . . . 71
2.15.6 Simpli…cation du problème . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.16 Banc de …ltres à 2 voies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.16.1 Analyse du signal reconstruit . . . . . . . . . . . . . . 75
2.16.2 Théorème de la reconstruction parfaite . . . . . . . . . 77

TABLE DES MATIÈRES v
2.16.3 Types de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.16.4 Filtres QMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.16.5 Banc orthogonal (CQF) . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.16.6 Banc biorthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.17 Exemples de bancs de …ltres à Mvoies . . . . . . . . . . . . . 91
2.17.1 Par construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.17.2 Banc de …ltres et TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.17.3 Banc de …ltres modulés . . . . . . . . . . . . . . . . . 96