corrigé - Université de La Réunion

Universit´e de la R´eunion Facult´e des Sciences et Technologies D´ecembre 2016
L3 – Licence d’informatique – Logiques et algorithmes – CC2 – corrig´e
Dur´ee : 90 minutes – sans document ni moyen ´electronique
Exercice 1 : (5 •)
Dans chacun des cas suivants, d´eterminez si la formule Aest ou n’est pas cons´equence logique de la conjonction des
formules A1et A2. Justifiez pr´ecis´ement votre r´eponse.
A:∀x(r(x)→p(x)) ; A1:∀x(p(x)→(q(x)∨r(x))) ; A2:∀y(q(y)→r(y)).
Non, An’est pas une cons´equence logique de A1et A2.
Justification : je consid`ere une interpr´etation Ide domaine {a}. Je d´efinis les interpr´etations des relations unaires
p,qet rcomme suit :
— la formule p(a) est fausse, i.e., I(p(a)) =faux ;
— la formule q(a) est fausse, i.e., I(q(a)) =faux ;
— la formule r(a) est vraie, i.e., I(r(a)) =vrai
Je constate que Ivalide A1et A2. Je consid`ere `a pr´esent A, que j’instancie en prenant apour valeur de x. J’obtiens
r(a)→p(a) qui est une formule fausse.
Conclusion : il existe une interpr´etation Iqui valide A1et A2et invalide A. C’est pr´ecis´ement la d´efinition de :
An’est pas une cons´equence logique de A1et A2.
A:∀x(p(x)→r(x)) ; A1:∀x(p(x)→(q(x)∨r(x))) ; A2:∀x(q(x)→r(x)).
Oui, Aest une cons´equence logique de A1et A2.
Justification : je consid`ere une interpr´etation Ide domaine non-vide validant A1et A2et je vais montrer que
Ivalide A. Je prends un ´el´ement equelconque du domaine. Si la formule p(e) est fausse, alors p(e)→r(e) est vraie.
Si la formule p(e) est vraie, alors d’apr`es A1, on a q(e)∨r(e) vraie. Si r(e) est vraie, alors p(e)→r(e) aussi. Si q(e)
est vraie, alors en instanciant A2en q(e)→r(e), j’obtiens r(e) vraie. Donc pour une interpretation quelconque I
validant A1et A2et un ´el´ement equelconque de son domaine, p(e)→r(e) est vraie, i.e., A:∀x(p(x)→r(x)) est
vraie.
Conclusion : pour toute interpretation quelconque Ivalidant A1et A2,Aest vraie. C’est pr´ecis´ement la d´efinition
de : Aest une cons´equence logique de A1et A2.
Exercice 2 : (5 •) On se place dans le cadre de la logique propositionnelle. Pour chaque s´equent ci-dessous,
d´eterminez informellement s’il est valide ou pas. Si vous pensez qu’il est valide, proposez une d´eduction naturelle
au format Fitch. Si vous pensez qu’il n’est pas valide, proposez un contre-exemple.
p→q, q →r`p→r
Valide.
Voici une d´eduction naturelle au format Fitch de ce s´equent :
1 | (P > Q) Premise
2 |_ (Q > R) Premise
3 | |_ P Assumption
4 | | Q 1,3 >E
5 | | R 2,4 >E
6 | (P > R) 3-5 >I

p→r, q →r`p↔q
Non valide.
Contre-exemple : voici une interpr´etation Iqui valide les pr´emisses du s´equent et invalide sa conclusion :
—I(p) = faux ;
—I(q) = vrai ;
—I(r) = vrai.
Exercice 3 : (5 •) On consid`ere le raisonnement suivant, justifiant le principe du tiers exclu p∨ ¬p:
Supposons la n´egation de ce principe. Supposons de plus p. Alors on a p∨ ¬p, contradiction avec notre premi`ere
hypoth`ese. Donc on a ¬pet a fortiori p∨ ¬p. De nouveau nous obtenons une contradiction, d’o`u la conclusion.
Reformulez soigneusement cette preuve au format Fitch.
1 |_ ~(P v ~P) Assumption
2 | |_ P Assumption
3 | | (P v ~P) 2 vI
4 | | # 1,3 #I
5 | ~P 2-4 ~I
6 | (P v ~P) 5 vI
7 | # 1,6 #I
8 ~~(P v ~P) 1-7 ~I
9 (P v ~P) 8 ~E
Exercice 4 : (5 •) Pour chaque s´equent ci-dessous, d´eterminez informellement s’il est valide ou pas. Si vous pensez
qu’il est valide, proposez une d´eduction naturelle au format Fitch. Si vous pensez qu’il n’est pas valide, proposez
un contre-exemple.
∀x p(x)` ∃x p(x)
Valide.
Voici une d´eduction naturelle au format Fitch de ce s´equent :
1 |_ (Ax)Px Premise
2 | Pa 1 AE
3 | (Ex)Px 2 EI
∃x p(x)` ∀x p(x)
Non valide.
Contre-exemple : je consid`ere l’interpr´etation Id´efinie sur le domaine {a, b}et telle que I(p(a)) = vrai et I(p(b)) =
faux. Je constate que cette interpr´etation valide ∃x p(x) et invalide ∀x p(x).