Calcul propositionnel

Propositions
Calcul des prédicats, récurrences
Calcul propositionnel
Arnaud Labourel
Courriel : [email protected]
Université de Provence
29 novembre 2011
Arnaud Labourel, [email protected]
Calcul propositionnel
Propositions
Calcul des prédicats, récurrences
Principe
Connexions
Formes propositionnelles
But du calcul propositionnel
Objectif
Formaliser le raisonnement mathématique.
Cela permet de :
passer sous forme abstraite un raisonnement logique
vérifier un raisonnement de manière automatique
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Formes propositionnelles
Propositions
On exprime nos idées sous forme d’affirmations.
La proposition est l’objet mathématique qui formalise l’idée
intuitive d’affirmation.
Quelques propositions
2 plus 3 font 5 π est compris entre 6 et 7 La décimale de π qui porte le numéro 10300 est un 9 Remarque
Une proposition n’est pas forcément vraie
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Formes propositionnelles
Première définition d’une proposition
Définition provisoire
Une proposition est une affirmation qui est soit vraie, soit fausse,
mais qui n’est pas les deux à la fois.
Valeurs de vérité
Les proposition se répartissent en deux classes :
Les propositions vraies de valeur de vérité V
Les propositions fausses de valeur de vérité F
Remarque
Une affirmation n’est pas forcément une proposition
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Exemple d’affirmations qui ne sont pas des propositions
Paradoxe
La présente affirmation est fausse Si elle est fausse, elle est vraie.
Si elle est vraie, elle est fausse.
Pas assez précise
tout nombre réel strictement négatif est le carré d’un nombre Elle est trop imprécise pour être une proposition car elle peut être
interprétée de deux façons :
tout nombre réel strictement négatif est le carré d’un
nombre réel (fausse)
tout nombre réel strictement négatif est le carré d’un
nombre complexe (vraie)
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Démarche scientifique
Le but de toute activité scientifique est de distinguer parmi les
propositions celles qui sont vraies de celle qui sont fausses.
⇒ Calculer les valeurs de vérité
Raisonner = calculer les valeurs de vérité de propositions obtenue
en en combinant entre elles des propositions dont les valeurs de
vérité sont connues.
Les lois qui régissent ces combinaisons on la précision du calcul
algébrique
⇒ On parle de calcul propositionnel
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Formes propositionnelles
Calcul propositionnel
Calcul propositionnel
Etude de la façon dont les les propositions sont liées entre elles.
On ne va pas s’intéresser à des propositions explicites comme :
2 plus 3 font 5 .
⇒ On représentera les propositions par des lettres : proposition P,
Q, . . .
Définition
Une proposition est n’importe quel objet mathématique auquel est
associée une valeur de vérité unique (V ou F).
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Les connexions
De la même façon qu’en algèbre on peut ajouter, retrancher ou
multiplier pour obtenir de nouveaux nombres, il nous faut des
opérations (appelées connexions) pour créer de nouvelles
propositions.
Définition : Connexion
On appelle connexion tout procédé permettant de fabriquer une
proposition Q à partir de propositions données P1 , . . . , Pk , pourvu
que la valeur de vérité de la proposition Q ne dépende que des
valeurs de vérité des propositions P1 , . . . , Pk .
On représente les connexions par des symboles appelés
connecteurs (similaire aux opérateurs ×, +, − pour les entiers).
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Formes propositionnelles
Les trois principales connexions
Il y a trois connexions principales :
la négation : connecteur ¬
la conjonction : connecteur ∧
la disjonction : connecteur ∨
Remarque
A chaque connexion, on va associer une table de vérité : tableaux
indiquant la valeur de vérité de la proposition construite en
fonction des valeurs de vérité des propositions utilisées.
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La négation
Si l’on modifie une affirmation en la précédent de Il est faux
que on obtient une nouvelle affirmation qu’on appelle négation
de la première affirmation.
Exemple : La négation de
2 plus 3 font 5 .
2 plus 3 font 5 est
Il est faux que
Quand l’affirmation possède une valeur de vérité, sa négation
possède aussi une valeur de vérité qui est le contraire de celle de
l’affirmation originale.
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Table de vérité de la négation
Définition
On définit la négation d’une proposition P, comme étant la
proposition notée ¬P ayant la table de vérité suivante :
P ¬P
V F
F V
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La conjonction
Si on prend deux affirmations P et Q et qu’on les relie avec le mot
et , on obtient une nouvelle affirmation qu’on appelle la
conjonction.
Exemple : La conjonction de 6 est divisible par 2 et 6 est
divisible par 3 est 6 est divisible par 2 et 6 est divisible par 3 .
Quand les deux affirmations possèdent une valeur de vérité, la
conjonction possède aussi une valeur de vérité qui est vraie si et
seulement si les deux affirmations sont vraies.
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Formes propositionnelles
Table de vérité de la conjonction
Définition
On définit la conjonction de deux propositions P et Q, comme
étant la proposition notée P ∧ Q ayant la table de vérité suivante :
P Q P ∧Q
F F
F
F V
F
V F
F
V V
V
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La disjonction
Si on prend deux affirmations P et Q et qu’on les relie avec le mot
ou , on obtient une nouvelle affirmation qu’on appelle la
disjonction.
Exemple : La conjonction de 6 est divisible par 2 ou 6 est
divisible par 3 est 6 est divisible par 2 ou 6 est divisible par 3 .
Quand les deux affirmations possèdent une valeur de vérité, la
disjonction possède aussi une valeur de vérité qui est vraie si et
seulement si une des deux affirmations sont vraies (aussi vraie dans
le cas où les deux sont vraies).
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Table de vérité de la disjonction
Définition
On définit la disjonction de deux propositions P et Q, comme
étant la proposition notée P ∨ Q ayant la table de vérité suivante :
P Q P ∨Q
F F
F
F V
V
V F
V
V V
V
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Exemple de calcul propositionnel
Soient P, Q et R trois propositions.
S = P ∨ Q est une nouvelle proposition.
T = S ∧ R est une nouvelle proposition.
U = ¬T est une nouvelle proposition.
Beaucoup de possibilités pour créer de nouvelles propositions.
Peut-on avoir d’autres connexions ?
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Implication
Lorsqu’on cherche à démontrer qu’une proposition est vraie, on fait
souvent un raisonnement en deux parties :
la proposition P est vraie.
P → Q : la proposition Q se déduit de la proposition P
On peut dire :
P entraı̂ne Q
P implique Q
Si P, alors Q
Pour démontrer que l’affirmation P entraı̂ne Q est vraie, on
suit l’idée suggéré par la formulation Si . . ., alors . . . :
On suppose P vraie et on détermine la valeur de vérité de Q.
Si dans ce cas Q est vraie alors P entraı̂ne Q est vraie.
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Exemple d’implication
P entraı̂ne Q
P = à partir de 4 tout nombre pair est la somme de deux
nombres premiers Q = à partir de 7 tout nombre impair est la somme de trois
nombres premiers On suppose P vraie.
Si n est un nombre entier impair plus grand que 7, le nombre
(n − 3) est pair et plus grand que 4.
Puisque P est vraie, (n − 3) est la somme de deux nombres
premiers x et y .
n est la somme x + y + 3 de trois nombres premiers : x, y et 3.
On a donc bien
P entraı̂ne Q
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Attention
Remarque
Tant qu’on a pas prouvé que P est vraie, le fait que P entraı̂ne Q
ne prouve pas que Q est vraie.
Dans l’exemple précédent, personne ne connait la valeur de vérité
de P.
Conjecture de Goldbach
Tout nombre pair n ≥ 4 est la somme de deux nombres premiers
Vraie pour n ≤ 2.1018
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Le cas où P est fausse
P entraı̂ne Q
P = 2 est égal à 1 Q = Napoléon et Jules César sont une seul et même personne On obtient Si 2 est égal à 1 alors Napoléon et Jules César sont
une seul et même personne P entraı̂ne Q est vraie
Preuve :
Napoléon et Jules César sont deux personnes : mais deux
personnes n’en font qu’une si 2 est égal à 1.
Par conséquent, si 2 est égal à 1 alors Napoléon et Jules César
sont une seule et même personne
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Définition de
P entraı̂ne Q
Dans un raisonnement, quand on cherche à prouver que Si P,
alors Q est vraie, on suppose que P est vraie puis on essaye de
prouver que Q est vraie.
Deux cas possibles :
P est vraie : l’hypothèse ne change rien : un raisonnement qui
donnait la valeur de vérité de Q donnera toujours la même
valeur. P entraı̂ne Q a la même valeur que Q.
P est fausse : On convient que
vraie.
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P entraı̂ne Q
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est toujours
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Table de vérité de l’implication
Définition
On définit l’implication de deux propositions P et Q, comme étant
la proposition notée P → Q ayant la table de vérité suivante :
P Q P→Q
F F
V
F V
V
V F
F
V V
V
Remarque
P → Q et (¬P) ∨ Q ont la même valeur de vérité.
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Exemples
Exemple
La proposition
1
si
2 est un nombre entier alors
est vraie.
1
2
n’est pas un nombre entier P=
si
1
2
Q=
1
2
n’est pas un nombre entier est vraie
est un nombre entier est fausse
P → Q est donc vraie
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De l’utilité du parenthéses
Remarque
Il est indispensable de toujours mettre des parenthèses dans une
expression de calcul propositionnel.
Exemple :
¬P ∨ Q peut se comprendre comme :
¬(P ∨ Q)
(¬P) ∨ Q
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Variables
Les nombres seuls ne suffisent pas à exprimer les fonctions.
⇒ Il faut utiliser des variables
Exemple
Si x et y sont deux variables, le résultat du calcul :
(((2x)x)y ) + (((3y )y )y ) est le polynôme 2x 2 y + 3y 3 .
Arnaud Labourel, [email protected]
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Variables propositionnelles
On adjoint des variables p, q, r , . . . qu’on appelle variables
propositionnelles aux propositions.
On obtient des formes propositionnelles.
Exemple
(p ∨ 2 et 2 font 4 ) ∧ ((¬q) ∧ (¬r )) est une forme
propositionnelle qui dépend des variables p, q et r .
Les formes (ou formule) propositionnelles sont aux propositions
ce que sont les expression polynomiales aux nombres.
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Règles de construction
Les formules propositionnelles se construisent à partir des 4 règles
suivantes :
R1 : Une proposition est une formule propositionnelle
(constante).
R2 : Une variable p est une formule propositionnelle.
R3 : Si u et v sont deux formules propositionnelles, u ∨ v et
u ∧ v sont aussi des formules propositionnelles
R4 : Si u est une formule propositionnelle, ¬u est aussi une
formule propositionnelle
Une suite de symboles est une formule propositionnelle quand sa
construction dépend uniquement de ces 4 règles.
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Table de vérité
La valeur de vérité d’une formule propositionnelle ne dépend que
des valeurs de vérité de ses variables.
On peut représenter ses valeurs dans une table de vérité
Exemple : table de vérité de (¬p) ∨ (q ∧ r )
p
F
F
F
F
V
V
V
V
q
F
F
V
V
F
F
V
V
r (¬p) ∨ (q ∧ r )
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
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Formes propositionnelles
Quelques définitions
Définition : modèle
Modèle : choix de valeurs des variables pour une proposition
(correspond à une ligne de la table de vérité)
Définition : compatibilité
Deux formes propositionnelles sont compatibles si elles ont au
moins un modèle en commun. Dans le cas contraire, elles sont
incompatibles.
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Quelques définitions
Définition : tautologie
Une forme propositionnelle qui a toujours V comme valeur de
vérité est une tautologie.
Définition : contradiction
Une forme propositionnelle qui a toujours F comme valeur de
vérité est une contradiction (ou antilogie).
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Quelques exemples
La forme propositionnelle (¬p) ∨ p est une tautologie.
La forme propositionnelle (¬p) ∧ p est une contradiction.
(¬p) ∧ p et (¬p) ∨ p sont incompatibles.
(¬p) et (¬p) ∨ p sont compatibles.
p (¬p) ∨ p
F
V
V
V
p (¬p) ∧ p
F
F
V
F
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Calcul propositionnel
p (¬p)
F
V
V
F
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Connecter deux formes propositionnelles
p
F
F
F
F
V
V
V
V
q
F
F
V
V
F
F
V
V
r p ∧ q p ∧ (¬r ) (p ∧ q) ∨ (p ∧ (¬r ))
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
F
V
Méthode
Pour connecter deux formes propositionnelles, il faut faire comme
si les formes dépendaient de toutes les variables.
Arnaud Labourel, [email protected]
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Conséquence
Définition
Soient f et g deux formes propositionnelles. Quand
f → g = (¬f ) ∨ g est une tautologie, on dit que g est une
conséquence de f noté g ` f .
On peut aussi dire que g se déduit de f .
Arnaud Labourel, [email protected]
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Modèle et conséquence
Définition
Un choix des valeurs de vérité des variables qui donne une
proposition vraie s’appelle un modèle de la forme propositionnelle.
Théorème
La forme propositionnelle g est une conséquence de la forme
propositionnelle f si chaque modèle de f est un modèle de g .
Arnaud Labourel, [email protected]
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Exemple de conséquence
p → r est une conséquence de (p → q) ∧ (p → r )
p
F
F
F
F
V
V
V
V
q
F
F
V
V
F
F
V
V
r p→q p→r
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
Arnaud Labourel, [email protected]
(p → q) ∧ (p → r ) p → r
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
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Modus ponens
q est une conséquence de p ∧ (p → q)
Modus ponens : p ∧ (p → q) ` q
p q (p → q) p ∧ (p → q) q
F F
V
F
F
F V
V
F
V
V F
F
F
F
V V
V
V
V
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Modus tollens
(¬p) est une conséquence de (¬q) ∧ (p → q)
Modus tollens : (¬q) ∧ (p → q) ` (¬p)
p q (¬q) (p → q) (¬q) ∧ (p → q) (¬p)
F F
V
V
V
V
F V
F
V
F
V
V F
V
F
F
F
V V
F
V
F
F
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Connexions
Formes propositionnelles
Synonymes
Définition
Deux formes propositionnelles sont synonymes quand elles ont la
même table de vérité.
Théorème
La relation sur les formes propositionnelles définie par
synonyme de est une relation d’équivalence.
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Calcul propositionnel
est
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Formes propositionnelles
Exemple de synonymes
Contraposée
p → q et (¬q) → (¬p) sont synonymes.
p q (p → q) (¬q) (¬p) (¬q) → (¬p)
F F
V
V
V
V
F V
V
F
V
V
V F
F
V
F
F
V V
V
F
F
V
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Prédicat
L’affirmation n est pair n’est pas une proposition car sa valeur
de vérité dépend de n.
A chaque fois que l’on remplace n par une entier particulier on
obtient une proposition :
2 est pair est vraie
23 est pair est fausse
Définition
Cette sorte d’affirmation qui porte sur des symboles représentant
des éléments variables ou inconnus d’un ensemble fixé s’appelle un
prédicat
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Univers
On peut voir un prédicat comme une application P qui associe une
proposition P(x) à chaque élément x d’un ensemble U.
Définition
U est l’univers du prédicat P.
Exemples
Le nombre complexe z a pour module 3 (Univers : C)
Le triangle T est isocèle (Univers : ensemble des triangles)
Le relation R est réflexive (Univers : ensemble des relations)
N
L’application f : N → N est bijective (Univers : N )
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Poids d’un prédicat
Quand l’univers d’un prédicat est un produit d’ensembles, le
prédicat apparaı̂t comme une fonction de plusieurs variables.
Définition
Le nombre de variables est appelé le poids du prédicat.
Exemple : Le prédicat a + b = 5 porte sur un objet le couple
(a, b) donc il a un poids 1 sur N2 .
Le prédicat a + b = 5 porte sur deux objets : les entiers a et b
donc il a un poids 2 sur N.
Le poids dépends de l’ensemble de définition.
Arnaud Labourel, [email protected]
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Assigner des valeurs
Assigner une variable
En assignant une valeur à l’une des variables d’un prédicat de poids
n, on obtient un prédicat de de poids n − 1
Par convention on convient que les propositions sont les prédicats
de poids 0, pour que la règle s’applique aussi pour n = 1.
Exemple
Le prédicat
a + b = 5 est de poids 2.
En remplaçant a par 3, on obtient un nouveau prédicat de poids 1 :
3 + b = 5 .
En remplaçant ensuite b par 9, on obtient un nouveau prédicat de
poids 0 : 3 + 9 = 5 (proposition fausse).
Arnaud Labourel, [email protected]
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Ajouter des variables
A partir d’un prédicat de P de poids n dont l’univers est
A1 × A2 × · · · × An et d’un ensemble B, on peut créer un prédicat
Q de poids n + 1 dont l’univers est A1 × A2 × · · · × An × B.
Il suffit de dire que Q(A1 , A2 , . . . , An , B) est la même chose que
P(A1 , A2 , . . . , An ).
Cette opération étends le nombre de variables sur lesquelles porte
P en déclarant que les nouvelles variables n’ont pas d’influence sur
les propositions obtenues.
Exemple
A partir de P(n) = le nombre a est positif prédicat sur N de
poids 1, on obtient un prédicat Q de poids 2 sur N × B en
déclarant :
Q(n, b) = dans le couple (a, b), le nombre a est positif Arnaud Labourel, [email protected]
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Connecter des prédicats
On peut connecter les prédicats qui portent sur le même univers :
Le prédicat ¬P associe ¬P(x) à x
Le prédicat P ∨ Q associe à x la proposition P(x) ∨ Q(x).
Le prédicat P ∧ Q associe à x la proposition P(x) ∧ Q(x).
Exemples
Avec les prédicats :
P = n est pair Q = n est le carré d’un entier naturel On peut obtenir :
¬P =
il est faux que n soit pair P ∨Q =
n est pair ou il est le carré d’un nombre premier P ∧Q =
n est pair et il est le carré d’un nombre premier Arnaud Labourel, [email protected]
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Principe de récurrence
Connexions de prédicats
Pour énoncer un prédicat, on donne un nom à ses variables.
A priori, le choix du nom de la variable n’a pas d’importance :
triangle T est isocèle représente le même prédicat que le
triangle K est isocèle .
Attention
Lorsqu’on connecte les prédicats, les noms des variables sont
importants.
Arnaud Labourel, [email protected]
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le
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Quantificateurs
Principe de récurrence
Connexions de prédicats
Exemple
P(n) = l’entier n est pair Q(m) = l’entier m est divisible par 3 Pour faire la connexion entre les deux, on les transforme en
prédicat de taille 2 :
R(n, m) = l’entier n est pair S(n, m) = l’entier m est divisible par 3 pour obtenir :
R(n, m) ∨ S(n, m) =
par 3 l’entier n est pair ou l’entier m est divisible
Arnaud Labourel, [email protected]
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Prédicat sur un univers U
Soit P un prédicat de poids 1 sur l’univers U.
Puisqu’un prédicat associe une proposition P(x) à tout élément x
de U, les élémént de U sont triés en deux sous-ensembles : ceux
pour lesquels P(x) est vraie et ceux pour lesquelles P(x) est fausse.
Le prédicat P permet de construire une application f : U → {V, F}
qui associe la valeur de vérité de P(x) à x.
Généralement, on appelle prédicat une application de U vers B
avec F = 0 et V = 1.
Arnaud Labourel, [email protected]
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Principe de récurrence
Quantificateur universel
Définition
L’affirmation :
l’ensemble des x ∈ U pour lesquels P(x) est vraie est l’ensemble
U tout entier est une proposition (elle est soit vraie soit fausse).
On la note en abrégé ∀xP(x) et on lit
Quel que soit x, P(x) .
Remarque : Le symbole ∀ s’appelle le quantificateur universel
Arnaud Labourel, [email protected]
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Quantificateur existentiel
Définition
L’affirmation :
l’ensemble des x ∈ U pour lesquels P(x) n’est pas vide est une proposition (elle est soit vraie soit fausse).
On la note en abrégé ∃xP(x) et on lit
il existe x tel que P(x) .
Remarque : Le symbole ∃ s’appelle le quantificateur existentiel
Arnaud Labourel, [email protected]
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Calcul des prédicats, récurrences
Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Exemples
A partir du prédicat P(n) = l’entier n est pair on peut
fabriquer deux propositions :
Une proposition vraie : ∃nP(n)
Une proposition fausse : ∀nP(n)
Arnaud Labourel, [email protected]
il existe un entier pair tout entier est pair Calcul propositionnel
Propositions
Calcul des prédicats, récurrences
Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Valeur de vérité
Soit P un prédicat sur U = {e1 , e2 , . . . , en }.
∀nP(n) se confond avec P(e1 ) ∧ P(e2 ) ∧ · · · ∧ P(ek )
∃nP(n) se confond avec P(e1 ) ∨ P(e2 ) ∨ · · · ∨ P(ek )
Quand U est infini, on peut toujours voir ∀nP(n) comme une
conjonction infinie de propositions et ∃nP(n) comme une
disjonction infinie de propositions.
Si (U) = ∅ alors ∃nP(n) est fausse et ∀nP(n) est vraie.
Arnaud Labourel, [email protected]
Calcul propositionnel
Propositions
Calcul des prédicats, récurrences
Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Lier des variables
Dans le prédicat P(n) la variable n est libre car on peut encore lui
attribuer une valeur.
Dans les propositions ∀nP(n) et ∃nP(n), la variable n est liée.
Fait
Dans un prédicat de poids n, on peut toujours lier une variable libre
à l’aide de ∀ ou ∃ pour obtenir un nouveau prédicat de poids n − 1.
Exemple
A partir d’un prédicat P(a, b, c) (prédicat de poids 3) on peut
obtenir ∃bP(a, b, c) (prédicat de poids 2) puis ∀a∃bP(a, b, c)
(prédicat de poids 1) et finalement ∀c∀a∃bP(a, b, c) (prédicat de
poids 0=proposition).
Remarque
Si les quantificateurs sont différents leur ordre est important.
Arnaud Labourel, [email protected]
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Propositions
Calcul des prédicats, récurrences
Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Associations de prédicats
Théorème
Soit P(a, b) un prédicat de poids 2 ; Alors :
Les valeurs de vérité de ∀a∀bP(a, b), ∀b∀aP(a, b) et
∀(a, b)P(a, b) sont les mêmes.
Les valeurs de vérité de ∃a∃bP(a, b), ∃b∃aP(a, b) et
∃(a, b)P(a, b) sont les mêmes.
Si ∃b∀aP(a, b) est vraie alors ∀a∃bP(a, b) est vraie
(la réciproque n’est pas forcément vraie)
Si ∃a∀bP(a, b) est vraie alors ∀b∃aP(a, b) est vraie
(la réciproque n’est pas forcément vraie)
Arnaud Labourel, [email protected]
Calcul propositionnel
Propositions
Calcul des prédicats, récurrences
Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Exemple P(a, b) avec |A| = 3 et |B| = 4
On considère un univers A × B avec |A| = 3 et |B| = 4.
On représente le prédicat par un tableau dans lequel les cases
correspondent aux valeurs des variables.
On remplie le tableau avec les valeurs de vérités associées.
Arnaud Labourel, [email protected]
Calcul propositionnel
Propositions
Calcul des prédicats, récurrences
Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
∀a∀bP(a, b)
L’affirmation ∀a∀bP(a, b) dit que dans chaque ligne, toutes les
cases sont à V et donc toutes les cases du tableau sont à V.
L’affirmation ∀b∀aP(a, b) dit que dans chaque colonne, toutes les
cases sont à V et donc toutes les cases du tableau sont à V.
Les deux propositions sont équivalentes.
b
V V V V
a V V V V
V V V V
Arnaud Labourel, [email protected]
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Propositions
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
∃a∃bP(a, b)
L’affirmation ∃a∃bP(a, b) dit qu’il existe une ligne dans laquelle on
trouve une case V.
L’affirmation ∃a∃bP(a, b) dit qu’il existe une colonne dans laquelle
on trouve une case V.
Les deux propositions sont équivalentes.
b
F F F F
a F V F F
F F F F
Arnaud Labourel, [email protected]
Calcul propositionnel
Propositions
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
∃b∀aP(a, b) et ∀a∃bP(a, b)
L’affirmation ∃b∀aP(a, b) dit qu’il existe une colonne dans laquelle
toutes les cases sont V.
L’affirmation ∀a∃bP(a, b) dit que dans chaque ligne, on trouve une
case V.
La première proposition entraı̂ne la seconde mais elles ne sont pas
sont équivalentes.
b
F V F F
a F V F F
F V F F
b
V F F F
a F V F F
F F V F
∃b∀aP(a, b)
∀a∃bP(a, b)
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Calcul propositionnel
Propositions
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
∃a∀bP(a, b) et ∀b∃aP(a, b)
L’affirmation ∃a∀bP(a, b) dit qu’il existe une ligne dans laquelle
toutes les cases sont V.
L’affirmation ∀b∃aP(a, b) dit que dans chaque colonne, on trouve
une case V.
La première proposition entraı̂ne la seconde mais elles ne sont pas
sont équivalentes.
b
F F F F
a V V V V
F F F F
b
V F F F
a F V F V
F F V F
∃a∀bP(a, b)
∀b∃aP(a, b)
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Calcul propositionnel
Propositions
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Exemple : P(a, b) : a + b = 5
On considère le prédicat P(a, b) de poids 2 sur l’univers Z2 défini
par :
le couple d’entiers relatifs (a, b) est tel que a + b = 5.
proposition
∀(a, b)P(a, b)
∃(a, b)P(a, b)
∃b∀aP(a, b)
∀a∃bP(a, b)
∃a∀bP(a, b)
∀b∃aP(a, b)
interprétation
tout couple (a,b) vérifie a + b = 5
il existe couple (a,b) tel que a + b = 5
il existe b tel que pour tout a on ait a + b = 5
quel que soit a il existe b tel que a + b = 5
il existe a tel que pour tout b on ait a + b = 5
quel que soit b il existe a tel que a + b = 5
Arnaud Labourel, [email protected]
Calcul propositionnel
valeur
F
V
F
V
F
V
Propositions
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Négation de quantificateur
Théorème
Soit P(x) un prédicat de poids 1.
¬∀xP(x) et ∃x¬P(x) ont la même valeur de vérité.
¬∀xP(x) et ∃x¬P(x) ont la même valeur de vérité.
Exemple
La négation de tout entier n est divisible par 3 est
au moins un entier n qui n’est pas divisible par 3 .
Arnaud Labourel, [email protected]
Calcul propositionnel
Il existe
Propositions
Calcul des prédicats, récurrences
Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Négation de quantificateurs
Soit Q(x) = ∃yP(x, y ) un prédicat de poids 1.
La négation de Q(x) est : ¬Q(x) = ∀y ¬P(x, y )
La négation de ∀xQ(x) est ∃x¬Q(x) = ∃x∀y ¬P(x, y )
Méthode générale
Pour obtenir la négation d’une proposition, il suffit de remplacer
les quantificateurs ∀ par des ∃, les quantificateurs ∃ par des ∀, et
le prédicat par sa négation.
Exemple
La négation de quel que soit l’entier relatif a il existe un entier
relatif b tel que a + b = 5 est Il existe un entier relatif a tel
que quel que soit l’entier b, on ait a + b 6= 5 .
Arnaud Labourel, [email protected]
Calcul propositionnel
Propositions
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Connexions de quantificateurs
Théorème
Soient P et Q deux prédicat sur le même univers.
Les propositions ∀x(P(x) ∧ Q(x)) et (∀xP(x)) ∧ (∀xQ(x)) ont
la même valeur de vérité.
Si la proposition ∃x(P(x) ∧ Q(x)) est vraie alors
(∃xP(x)) ∧ (∃xQ(x)) est vraie (la réciproque peut être fausse).
Les propositions ∃x(P(x) ∨ Q(x)) et (∃xP(x)) ∨ (∃xQ(x)) ont
la même valeur de vérité.
Si la proposition (∀xP(x)) ∨ (∀xQ(x)) est vraie alors
∀x(P(x) ∨ Q(x)) est vraie (la réciproque peut être fausse).
Arnaud Labourel, [email protected]
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Propositions
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Idée de preuve
Soit A l’ensemble des x ∈ U tel que P(x) est vraie et B l’ensemble
des x ∈ U tel que Q(x) est vraie.
A ∪ B est l’ensemble pour lequel P(x) ∨ Q(x) est vraie.
A ∩ B est l’ensemble pour lequel P(x) ∧ Q(x) est vraie.
(∀xP(x)) ∧ (∀xQ(x)) signifie que A = U = B.
∃x(P(x) ∧ Q(x)) signifie que A ∩ B = U.
⇒ les deux ont bien la même valeur.
(∃xP(x)) ∨ (∃xQ(x)) signifie que A ou B n’est pas vide.
∃x(P(x) ∨ Q(x)) signifie que A ∪ B n’est pas vide.
⇒ les deux ont bien la même valeur.
Arnaud Labourel, [email protected]
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Propositions
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Idée de preuve
R1 : ∃x(P(x) ∧ Q(x)) affirme que l’on peut trouver un x tel que
P(x) et Q(x) soient vraie et donc que A ∩ B 6= ∅.
R2 : (∃xP(x)) ∧ (∃xQ(x)) affirme que ni A ni B ne sont vides.
Il est clair que R1 entraı̂ne R2 mais la réciproque peut être fausse.
R3 : (∀xP(x)) ∨ (∀xQ(x)) affirme qu’un des ensembles A ou B est
égal à U.
R4 : ∀x(P(x) ∨ Q(x)) affirme que pour tout x dans U, P(x) ou
Q(x) est vraie et donc que A ∪ B = U.
Il est clair que R3 entraı̂ne R4 mais la réciproque peut être fausse.
Arnaud Labourel, [email protected]
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Propositions
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Quantificateurs
Principe de récurrence
Exemple
P(x) = x est un entier pair Q(x) = x est un entier impair proposition
∀x(P(x) ∧ Q(x))
(∀xP(x)) ∧ (∀xQ(x))
∃x(P(x) ∧ Q(x))
(∃xP(x)) ∧ (∃xQ(x))
∀x(P(x) ∨ Q(x))
(∀xP(x)) ∨ (∀xQ(x))
∃x(P(x) ∨ Q(x))
(∃xP(x)) ∨ (∃xQ(x))
interprétation
tout entier est à la fois pair et impair
tout entier est pair et tout entier est impair
il existe un entier à la fois pair et impair
il existe un entier pair et il existe un entier
impair
tout entier est pair ou impair
tout entier est pair ou tout entier est impair
il existe un entier pair ou impair
il existe un entier pair ou il existe un entier
impair
Arnaud Labourel, [email protected]
Calcul propositionnel
valeur
F
F
F
V
V
F
V
V
Propositions
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Propriétés sur N
De nombreuses propositions qui concernent les entiers sont
construites au moyen d’un prédicat de poids 1 et du quantificateur
∀.
Exemple
Pour tout entier n ≥ 0 :
P(n) : 0 + 1 + 2 + · · · + n =
n(n + 1)
2
Cette affirmation se note ∀nP(n).
Souvent on prouve ces affirmations par récurrence en utilisant le
principe de récurrence
Arnaud Labourel, [email protected]
Calcul propositionnel
Propositions
Calcul des prédicats, récurrences
Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Principe d’induction faible
Principe d’induction faible
Soit P(n) un prédicat de poids 1 sur N. Si la proposition
∀n(P(n) → P(n + 1)) est vraie et que P(0) est vraie alors ∀nP(n)
est vraie.
Attention
Ne pas oublier de prouver P(0)
Méthode :
prouver que P(0) est vraie.
supposer que P(n) est vraie (hypothèse de récurrence) pour
prouver que P(n + 1) est vraie.
Arnaud Labourel, [email protected]
Calcul propositionnel
Propositions
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Exemple
P(n) : 0 + 1 + 2 + · · · + n =
n(n+1)
2
P(0) est vraie car 0 = 0
On suppose que P(n) est vraie :
0 + 1 + 2 + ··· + n =
n(n + 1)
2
On ajoute (n + 1) aux deux membres :
0 + 1 + 2 + · · · + n + (n + 1) =
=
n(n + 1)
+ (n + 1)
2
(n + 1)((n + 1) + 1)
2
P(n + 1) est vraie et donc ∀nP(n).
Arnaud Labourel, [email protected]
Calcul propositionnel
Propositions
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Attention
Il faut prouver P(0) est vraie.
Q(n) : 0 + 1 + 2 + · · · + n =
(n+3)(n−2)
2
On suppose que Q(n) est vraie et on ajoute (n + 1) aux deux
membres :
0 + 1 + 2 + · · · + n + (n + 1) =
=
(n + 3)(n − 2)
+ (n + 1)
2
((n + 1) + 3)((n + 1) − 2)
2
∀n(Q(n) → Q(n + 1)) mais ∀nQ(n) est fausse.
Arnaud Labourel, [email protected]
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Propositions
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Variante facile
Théorème
Soit P(n) un prédicat de poids 1 sur N. Si la proposition
∀n(P(n) → P(n + 1)) est vraie et que P(d) est vraie alors quel
que soit n ≥ d P(n) est vraie.
Pour démontrer ce théorème il suffit d’introduire le prédicat
Q(n) = P(n + d) et d’appliquer le principe d’induction faible à Q.
Arnaud Labourel, [email protected]
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Propositions
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Principe d’induction forte
Principe d’induction forte
Soit P(n) un prédicat de poids 1 sur N. Si la proposition P(0) est
vraie et si :
∀n ((P(0) ∧ P(1) ∧ · · · ∧ P(n)) → P(n + 1))
est vraie alors ∀nP(n) est vraie.
Théorème
Chacun des deux principes d’induction est une conséquence de
l’autre.
Arnaud Labourel, [email protected]
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Preuve d’équivalence
Prouvons que le principe d’induction faible est une conséquence du
principe d’induction forte.
Supposons acquis le principe d’induction forte et considérons un
prédicat P(n).
Si nous savons que ∀n(P(n) → P(n + 1)) est vraie alors on sait
que ∀n ((P(0) ∧ P(1) ∧ · · · ∧ P(n)) → P(n + 1)) car C ∧ A → B
est une conséquence de A → B.
Si P(0) est vraie, on peut appliquer le principe d’induction forte et
obtenir que P(n) est toujours vraie ce qui prouve la validité du
principe d’induction faible
Arnaud Labourel, [email protected]
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Preuve d’équivalence
Prouvons que le principe d’induction forte est une conséquence du
principe d’induction faible.
Supposons acquis le principe d’induction faible et considérons un
prédicat P(n).
Posons Q(n) = P(0) ∧ P(1) ∧ · · · ∧ P(n),
Si P(0) est vraie alors Q(0) est vraie car P(0) = Q(0).
Arnaud Labourel, [email protected]
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Quantificateurs
Principe de récurrence
Preuve d’équivalence
∀n ((P(0) ∧ P(1) ∧ · · · ∧ P(n)) → P(n + 1)) est vraie si et
seulement si ∀n(Q(n) → P(n + 1)) est vraie.
Cette proposition a pour conséquence
∀n(Q(n) → Q(n) ∧ P(n + 1)) car (A → A ∧ B) est une
conséquence de (A → B).
Puisque Q(n) ∧ P(n + 1) = Q(n + 1), cela donne
∀n(Q(n) → Q(n + 1)).
En utilisant le principe d’induction faible, on peut prouver que
Q(n) est toujours vraie.
Par conséquent ∀nP(n) est vraie et le principe d’induction forte est
prouvé.
Arnaud Labourel, [email protected]
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Variante facile
Théorème
Soit P(n) un prédicat de poids 1 sur N. Si la proposition
∀n ((P(d) ∧ P(d + 1) ∧ · · · ∧ P(n)) → P(n + 1))
est vraie et que P(d) est vraie alors quel que soit n ≥ d P(n) est
vraie.
Pour démontrer ce théorème il suffit d’introduire le prédicat
Q(n) = P(n + d) et d’appliquer le principe d’induction forte à Q.
Arnaud Labourel, [email protected]
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Exemple d’utilisation du principe d’induction forte
Montrons que P(n) = l’entier naturel n est un nombre premier
ou un produit de nombres premiers est vraie pour tout n ≥ 2.
P(2) est vraie car 2 est un nombre premier.
Hypothèse de récurrence : P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(n) est vraie.
Si (n + 1) est premier alors P(n + 1) est vraie.
Si (n + 1) n’est pas premier il est le produit de deux nombre p et q
compris entre 2 et n. L’hypothèse de récurrence dit que p et q sont
soit premiers ou produit de nombres premiers, ce qui fait que
P(n + 1) est vraie.
∀n ((P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(n)) → P(n + 1)) est vraie pour tout n
et donc P(n) est vraie pour tout n ≥ 2.
Arnaud Labourel, [email protected]
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Prédicats
Quantificateurs
Principe de récurrence
Quelques théorèmes 1
Théorème
Le principe de récurrence équivaut au fait que N est bien ordonné.
Ensemble bien ordonné : ensemble dans lequel chaque
sous-ensemble a un plus petit élément.
Arnaud Labourel, [email protected]
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Quantificateurs
Principe de récurrence
Quelques théorèmes 2
Axiomes de Peano
L’application s : N → N définie par s(x) = x + 1 possède trois
propriétés :
1
s est injective.
2
Il n’existe pas d’élément x dans N tel que s(x) = 0
3
La seule partie A ⊂ N qui contient 0 et qui est telle que
s(A) ⊂ A est N tout entier.
Théorème
Le troisième axiome de Peano équivaut au principe d’induction
faible.
Arnaud Labourel, [email protected]
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Principe de récurrence
Quelques théorèmes 3
On emploie le mot axiome car ces propriétés définissent N
Théorème
Considérons un ensemble N muni d’un élément particulier α ∈ N
et d’un application σ : N → N qui possède trois propriétés :
1
σ est injective.
2
Il n’existe pas d’élément x dans σN tel que σ(x) = α
3
La seule partie A ⊂ N qui contient α et qui est telle que
σ(A) ⊂ A est N tout entier.
Alors il existe une bijection entre N et N qui fait correspondre α à
0 et σ à s.
Arnaud Labourel, [email protected]
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