Cours

MATH´ EMATIQUES 3
semestre 3 des
Licences MISM
annn´ee universitaire 2004 - 2005
Driss BOULARAS

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Table des mati`eres
0 Rappels 5
0.1 Ensembles et op´erations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.1.1 Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.1.2 R´eunion ................................. 6
0.1.3 Intersection ............................... 6
0.1.4 Diff´erenceensembliste ......................... 7
0.1.5 Compl´ementaire............................. 7
0.1.6 Produitcart´esien ............................ 7
0.1.7 Cardinal d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.2 Applications .................................. 8
0.2.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.2.2 Graphe d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.2.3 Image directe, image r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.2.4 Restriction et prolongement d’une application . . . . . . . . . . . . 10
0.2.5 Injectivit´e, surjectivit´e et bijectivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 Int´egrales g´en´eralis´ees 13
1.1 Diversrappels.................................. 13
1.1.1 Rappels sur l’int´egrale d´efinie d’une fonction continue . . . . . . . . 13
1.1.2 Rappels sur les fonctions ´equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Int´egrale g´en´eralis´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 G´en´eralisation aux intervalles semi-ouverts . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 G´en´eralisation aux intervalles ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Propri´et´es des int´egrales convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Int´egrale g´en´eralis´ee de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Crit`eredeCauchy............................ 19
1.3.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.4 Int´egrabilit´e et ´equivalence de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Cas d’une fonction complexe de variable r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Exercices..................................... 23
2 S´eries num´eriques 25
2.1 Rappels sur les suites num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Position du probl`eme, d´efinitions, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 ParadoxedeZ´enon ........................... 27
2.2.2 D´efinitions, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
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4TABLE DES MATI ` ERES
2.3 S´eries `a termes positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 S´eries `a termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 S´eries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2 D’autres crit`eres de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Produit de s´eries num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Calcul approch´e de la somme d’une s´erie altern´ee . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 Notehistorique ................................. 35
2.8 Exercices..................................... 37
3 Suites et s´eries de fonctions 39
3.1 Suitesdefonctions ............................... 39
3.1.1 Introduction............................... 39
3.1.2 Convergence simple d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.3 Convergence uniforme d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Propri´et´es des suites uniform´ement convergentes . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 S´eriesdefonctions ............................... 43
3.3.1 Convergence simple, uniforme et absolue . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.3 Tableau r´ecapiltulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.4 Autrespropri´et´es ............................ 44
3.4 Exercices..................................... 46
4 S´eries enti`eres 47
4.1 Disque et rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1 D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Propri´et´es des s´eries enti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.1 Op´erations sur les s´eries enti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.2 S´erie d´eriv´ee d’une s´erie enti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.3 S´erie int´egrale d’une s´erie enti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Propri´et´es de la fonction somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.1 D´erivation et int´egration terme `a terme . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Applications................................... 51
4.4.1 R´esolution d’´equation diff´erentielle .................. 51
4.4.2 Calcul d’int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 S´eries trigonom´etriques 53
5.1 Introduction et d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Convergence des s´eries trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2.1 Propri´et´es de la fonction “somme” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Coefficients et s´erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.1 Cas des fonctions T-p´eriodiques.................... 58
5.4 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.1 Produit scalaire sur un espace vectoriel E............... 58
5.4.2 In´egalit´e de Bessel, ´egalit´e de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5 Notehistorique ................................. 60
5.6 Exercices..................................... 61

Chapitre 0
Rappels
0.1 Ensembles et op´erations sur les ensembles
La notion d’ensemble est intuitive. Sa manipulation est pr´ecis´ee par les op´erations d´efinies
ci-dessous. Les premiers exemples sont ceux des ensembles de nombres.
Notations “usuelles” des ensembles de nombres :
N: ensemble des nombres entiers naturels,N∗:{x∈N;x"=0},
Z: ensemble des nombres entiers relatifs,Q: ensemble des nombres rationnels,
R: ensemble des nombres r´eels,R∗:{x∈R;x"=0},
C: ensemble des nombres complexes,C∗:{x∈C;x"=0},
R−:{x∈R;x≤0},R+:{x∈R;x≥0},
R∗
+:{x∈R;x>0},R∗ −:{x∈R;x<0}.
De mani`ere g´en´erale, les ensembles les plus courants sont les ensembles de nombres, de
points g´eom´etriques (du plan ou de l’espace) ou de fonctions (dont la d´efinition sera
donn´ee plus tard).
Exercice 0.1 Citer un ´el´ement de chacun des ensembles pr´ec´edents
0.1.1 Parties d’un ensemble
Soit Eun ensemble quelconque. Une partie de Eest un ensemble dont les ´el´ements
appartiennent `a E.
Exemples
1. On pose E=R2. Les ensembles A={(x, y)∈R2;|x|<1}et
B={(x, y)∈R2;x= 1 et y≥1}sont bien des parties de E.
2. Si Ed´esigne l’ensemble des quadrilat`eres du plan, l’ensemble des rectangles en est
une partie.
3. Soit El’ensemble des fonctions d´efinies dans R, `a valeurs dans Ret continues. L’en-
semble des fonctions polynomiales est une partie de E.
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