DISTANCE, TANGENTE ET BISSECTRICE Objectifs : • Savoir que le point d’une droite le plus proche d’un point donné est le pied de la perpendiculaire menée du point à la droite. • Construire la tangente à un cercle en l’un de ses points. • Connaître et utiliser la définition de la bissectrice. • Utiliser différentes méthodes pour tracer : - la médiatrice d’un segment ; - la bissectrice d’un angle. • Caractériser les points de la bissectrice d’un angle donnée par la propriété d’équidistance aux deux côtés de l’angle. • Construire le cercle inscrit dans un triangle. 1. Distance d’un point à une droite La distance d’un point A à une droite ( d ) est la distance la plus courte qui sépare ce point A des points de la droite ( d ) . La distance AH est la distance entre le point A et la droite ( d ) . Les distances séparant le point A de n’importe quel autre point de la droite ( d ) (par exemple, comme les distances AB, AC ou AD) sont toutes supérieures à la distance AH. La distance d’un point A à une droite ( d ) est la distance AH, où H est le point d’intersection de ( d ) avec la perpendiculaire à ( d ) passant par A. [1] C. Lainé 2. Tangente à un cercle La tangente en un point A à un cercle ( c ) de centre O est la droite située à une distance OA du centre du cercle, et qui passe par A. La distance OA est la distance entre le point O et la droite ( d ) ; alors la droite ( T ) est la tangente au cercle ( c ) au point A. Cette tangente est la droite perpendiculaire en A au rayon [OA] . La tangente en un point A à un cercle ( c ) de centre O est la droite perpendiculaire en A au rayon [OA] . 3. Bissectrice d’un angle La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui a pour origine le sommet de l’angle, et qui partage l’angle en deux angles adjacents de même mesure. bissectrice de l’angle BAC La bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle. [2] C. Lainé Méthodes de construction de la bissectrice d’un angle donné : • Avec un rapporteur : • Avec un compas : [3] C. Lainé Propriété : • Si un point est situé à la même distance des côtés d'un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle. • Réciproquement, si un point appartient à la bissectrice d'un angle alors il est situé à la même distance des côtés de cet angle. 4. Cercle inscrit dans un triangle Propriété : Les bissectrices des angles d’un triangle se croisent en un même point ; on dit qu’elles sont concourantes. Le point commun à ces trois bissectrices est le centre du cercle inscrit dans ce triangle : chacun des côtés du triangle est tangent à ce cercle. Démonstration : • Le point O est situé sur la bissectrice ; le point O est alors de l’angle BAC situé à égale distance des côtés [ AB ] et [ AC ] . Par suite, on obtient OE = OD . • Le point O est situé sur la bissectrice ; le point O est alors de l’angle ABC situé à égale distance des côtés [BA] et [BC ] . Par suite, on obtient OE = OF . • On en déduit que OE = OF = OD , et donc que les points D, E et F sont sur un cercle c de centre O. Remarque : Les trois côtés d'un triangle sont tangents au cercle inscrit dans ce triangle. [4] C. Lainé Résumé Définitions Médiatrices Bissectrices La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. La bissectrice d’un angle est la droite qui le partage en deux angles adjacents de même mesure. Centre du cercle circonscrit au triangle Centre du cercle inscrit dans le triangle OA = OB = OC OE = OF = OD Figures Points de concours Propriétés Le point de concours des médiatrices est équidistant des trois sommets du triangle. Le point de concours des bissectrices est équidistant des trois côtés du triangle. [5] C. Lainé