Congruences dans Z. Anneau Z=nZ.

Congruences dans Z. Anneau Z=nZ.
Dany-Jack Mercier
IUFM de Guadeloupe, Morne Ferret,
BP399, Pointe-à-Pitre cedex 97159, France
[email protected]
11 avril 2003
Connu :
- Relation d’équivalence,
- Structure de groupe,
- Division euclidienne dans Z,
- Nombres premiers, pgcd et ppcm, nombres premiers entre eux.
1
Congruences
Théorème 1 Soit n 2 N. La relation ´ dé…nie dans Z par
x ´ y , x ¡ y 2 nZ
est une relation d’équivalence.
Preuve : Notons que x ´ y si et seulement si n divise x ¡ y. La relation est ré‡exive
puisque n divise x ¡ x = 0. Elle est symétrique puisque si n divise x ¡ y, alors n divise
y ¡ x, et transitive puisque si n divise simultanément x ¡ y et y ¡ z, alors n divise la somme
(x ¡ y) + (y ¡ z) = x ¡ z.
Dé…nition 1 La relation ´ introduite dans le Théorème 1 est appelée relation de congruence
modulo n. On la note x ´ y (n) s’il peut y avoir confusion. Deux entiers x; y tels que x ´ y (n)
sont dits congrus modulo n.
Théorème 2 1) Deux entiers sont congrus modulo n si et seulement si ils ont le même reste
dans la division euclidienne par n.
2) Compatibilité des lois + et £ avec la relation de congruence : Si x ´ x0 (n) et y ´ y0 (n),
alors x + y ´ x0 + y0 (n) et xy ´ x0 y 0 (n).
Preuve : 1) est trivial. Montrons 2). Par hypothèse n divise x ¡ x0 et y ¡ y 0 . Comme
(x + y) ¡ (x0 + y 0 ) = (x ¡ x0 ) + (y ¡ y 0 ) et xy ¡ x0 y0 = x (y ¡ y 0 ) + (x ¡ x0 ) y0 , on constate que
n divisera encore (x + y) ¡ (x0 + y 0 ) et xy ¡ x0 y 0 .
0
[cann0002] v1.10 http://perso.wanadoo.fr/megamaths
c 2003, D.-J. Mercier. Vous pouvez faire une copie de ces notes pour votre usage personnel.
°
1
2
Anneau Z=nZ
Dé…nition 2 L’ensemble quotient de Z par la relation ´ de congruence modulo n est noté Z=nZ.
:
En particulier Z=0Z ' Z et Z=1Z ' f0g. Dans la suite, on supposera n ¸ 2 et l’on notera x
la classe d’équivalence de x dans Z=nZ. Le Théorème suivant montre que l’ensemble-quotient
Z=nZ est équipotent à l’ensemble f0; 1; :::; n ¡ 1g des restes des divisions euclidiennes par n.
n: :
: o
Théorème 3 Si n 2 N¤ alors Z=nZ = 0; 1; :::; n ¡ 1 .
Preuve : La division euclidienne
l’entier
relatif x par n s’écrit x = nq + r avec 0 · r < n,: et
n : de
: o
:
: :
:
:
entraîne x = r. Donc Z=nZ = 0; 1; :::; n ¡ 1 . On véri…e ensuite que les éléments 0; 1; :::; n ¡ 1
:
:
sont distincts deux à deux. Si r et s appartiennent à f0; 1; :::; n ¡ 1g et si r = s, alors nj (r ¡ s)
et 0 · jr ¡ sj < n entraînent r ¡ s = 0.
Dé…nition 3 Un anneau (A; +; :) est un ensemble A muni de deux lois internes + et : telles
que
1) (A; +) est un groupe commutatif. Cela signi…e que la loi + est
- commutative : 8x; y 2 A x + y = y + x;
- associative : 8x; y; z 2 A (x + y) + z = x + (y + z) ;
- possède un élément neutre 0 (dé…ni par : 8x 2 A x + 0 = x),
- telle que tout élément x 2 A possède un élément symétrique x0 (appelé opposé de x) dé…ni par
l’équation x + x0 = 0.
2) La loi : est
- associative : 8x; y; z 2 A (x:y) :z = x: (y:z) ;
- distributive par rapport à l’addition :
8x; y; z 2 A
x: (y + z) = x:y + x:z et (y + z) :x = y:x + z:x:
Dans la pratique, on suppose toujours que l’anneau est unitaire, c’est-à-dire qu’il existe un
élément neutre pour la multiplication. Cet élément, noté 1A , est dé…ni par la propriété :
8x 2 A x:1A = 1A :x = x:
On dit que l’anneau est commutatif si la multiplication est commutative.
On peut se souvenir des axiomes d’un anneau en retenant l’acronyme CANS-AD, qui ressemble
au mot “cansado” signi…ant ”fatigué” en espagnol...
Théorème 4 On peut dé…nir deux lois internes dans Z=nZ en posant
8x; y 2 Z
:
:
:
: :
:
x + y = x + y et x:y = x:y:
(¤)
Muni de ces lois, l’ensemble (Z=nZ; +; :) devient un anneau commutatif unitaire d’élément
:
unité 1.
2
:
:
: :
Preuve : Il faut d’abord véri…er que la somme x+ y et: le produit
x:y ne dépendent pas du choix
:
:
:
:
:
0
0
des représentants x et y des classes x et y. Ecrire x = x et y = y revient à écrire les congruences
x ´ x0 (n) et y ´ y 0 (n), et l’on a vu que ces congruences entrainaient x + y ´ x0 + y 0 (n) et
:
:
:
:
xy ´ x0 y 0 (n), autrement dit x + y = x0 + y 0 et x:y = x0 :y0 . La deuxième partie du Théorème
ne pose aucun problème.
Remarque : Soient (A; +; :) et (B; +; :) deux anneaux unitaires d’unités respectives 1A et 1B .
On rappelle qu’un homomorphisme d’anneaux de A vers B est une application f : A ! B
telle que
1) 8x; y 2 A f (x + y) = f (x) + f (y) ;
2) 8x; y 2 A f (x:y) = f (x) :f (y) ;
3) f (1A ) = 1B :
Avec cette dé…nition, on peut a¢rmer qu’il existe une et une seule structure d’anneaux sur
Z=nZ faisant de la projection canonique
p : Z ! Z=nZ
:
x 7!
x
un homomorphisme d’anneaux, et que cette structure est celle dé…nie au Théorème 4. En e¤et,
si une telle structure existe, les lois internes sont données par (¤).
3
Propriétés de l’anneau Z=nZ
:
Théorème 5 Soient n 2 Nn f0; 1g et x 2 Z=nZ. Il y a équivalence entre :
:
i) x est inversible,
ii) pgcd (x; n) = 1,
:
iii) x est un générateur de (Z=nZ; +) :
Preuve :
:
:
: :
:
x inversible , 9y 2 Z=nZ tel que x:y = 1
, 9y 2 Z 9u 2 Z xy + un = 1 , pgcd (x; n) = 1:
:
:
Si < x > désigne le sous-groupe engendré par x,
:
:
: :
:
:
:
x inversible , 9y 2 Z=nZ tel que x:y = 1
:
:
:
, 9y 2 Z y:x = 1 , 1 2< x > , < x > = Z=nZ:
Théorème 6 Soit n 2 Nn f0; 1g. Il y a équivalence entre :
i) n est premier,
ii) Z=nZ est un corps,
iii) Z=nZ est intègre.
n:o
:
Preuve : i) ) ii) Si n est premier, et si x 2 (Z=nZ) n 0 , n est premier avec x et il existera
: :
:
:
deux entiers relatifs u; v tels que un + vx = 1. Cela prouve que v:x = 1, et que x est inversible.
3
ii) ) iii) Tout corps est intègre, d’où la seconde implication. En e¤et, si K est un corps, si
x; y 2 K et si xy = 0, ou bien x = 0 et c’est …ni, ou bien x 6= 0 et x sera inversible, d’où
x¡1 xy = 0, puis y = 0.
: :
:
:
:
:
:
iii) ) i) Si n = ab alors a:b = 0 et l’intégrité de l’anneau Z=nZ donne a = 0 ou b = 0. Si, par
:
:
exemple, a = 0, alors a = na0 et n = na0 b, donc a0 b = 1 puis b = §1. Les seuls diviseurs de n
sont donc §1 et §n.
L’équivalence entre ii) et iii) provient aussi du Lemme général :
Lemme 1 Tout anneau intègre …ni est un corps.
n:o
Preuve : Soit A un anneau intègre …ni et a 2 An 0 . Il s’agit de montrer que a est inversible.
L’application
': A ! A
x 7! ax
est un morphisme du groupe additif (A; +), injectif puisque Ker ' = f0g. Comme A est de
cardinal …ni, ' sera bijective et il existera a0 2 A tel que aa0 = 1.
Théorème 7 Théorème des restes chinois
Les entiers p et q sont premiers entre eux si et seulement si Z=pZ £ Z=qZ ' Z=pqZ.
Preuve : Si pgcd (p; q) = 1, on considère le morphisme d’anneaux
f : Z ! Z=pZ
¡ : £ ¢Z=qZ
x 7!
x; x :
L’entier x appartient au noyau de f si, et seulement si, x est divisible à la fois par p et q, i.e.
par pq puisque, par hypothèse, p et q sont premiers entre eux. Ainsi Ker f = pqZ et on obtient
un monomorphisme d’anneaux
f : Z=pqZ ,! Z=pZ
¢
¡ :£ Z=qZ
x
e
7!
x; x
par décomposition canonique de f . Ce monomorphisme entre deux ensembles de même cardinal
pq sera nécessairement bijectif.
Notons qu’il est facile de montrer¡directement
la surjectivité de l’application f en utilisant le
: ¢
Théorème de Bezout. En e¤et, si a; b 2 Z=pZ £ Z=qZ, le système
½ :
:
x = a
x =b
équivaut à l’existence de deux entiers k; l tels que x = a + kp = b + lq (¤). Comme p et q
sont premiers entre eux, le Théorème de Bezout montre l’existence de 2 entiers u; v tels que
up+vq = 1, et cela nous permet d’écrire u (a ¡ b) p+v (a ¡ b) q = a¡b et d’exhiber une solution
de (¤).
Réciproquement, supposons que g : Z=pqZ ! Z=pZ £ Z=qZ soit un isomorphisme d’anneaux.
0
0
Supposons
³ ´ ³ : par
´ l’absurde que pgcd (p; q) = ± > 1 et notons p = ±p³ : et ´q = ±q . Nécessairement
g e
1 = 1; 1 . Comme g conserve les ordres additifs, l’ordre de 1; 1 devrait être celui de e
1,
³: ´ ³: ´
c’est-à-dire pq. C’est absurde puisque ±p0 q 0 1; 1 = 0; 0 avec 0 < ±p0 q 0 < pq.
4
4
4.1
Compléments et applications
Critères de divisibilité
Théorème 8 Soit an :::a0 l’écriture en base 10 d’un nombre entier x. Alors x est
1) divisible par 2 si et seulement si son dernier chi¤re est pair,
2) divisible par 3 (resp. 9) si et seulement si la somme de ses chi¤res est divisible par 3 (resp. 9),
3) divisible par 5 si et seulement si son
chi¤re est 0 ou 5;
P dernier P
4) divisible par 11 si et seulement si
a2k+1 ¡ a2k est divisible par 11.
Preuve : Il su¢t d’écrire
x = an :10n + ::: + a1 :10 + a0 ´ a0 (2) (resp. (5))
x = an :10n + ::: + a1 :10 + a0 ´ an + ::: + a1 + a0 (3) (resp. (9))P
P
x = an :10n + ::: + a1 :10 + a0 ´ an (¡1)n + ::: + a1 (¡1) + a0 ´ a2k ¡ a2k+1 (11)
4.2
Application à l’arithmétique
Voici quelques exercices d’arithmétique faisant intervenir les congruences et la divisibilité. Le
premier exercice montre que l’emploi des congruences facilite la recherche de divisibilités.
Exercice n± 1 : Existe-t-il des entiers naturels n tels que 35n ¡ 172n soit divisible par 6 ? Si
oui, lesquels ?
Solution : Le nombre a = 35n ¡ 17n est pair comme di¤érence de deux impairs. Donc 6 divise
a si et seulement si 3 divise a. Utilisons des congruences modulo 3. Comme 35 ´ 2 (3) et
17 ´ 2 (3), on aura
a ´ 0 (3) , 2n ¡ 22n ´ 0 (3) , 2n ´ 1 (3)
et cette dernière congruence équivaut à dire que n est pair.
¡
¢
Exercice n± 2 : Montrer que pour tous entiers x; y le nombre xy x24 ¡ y 24 est divisible par
39.
Solution : D’après le Théorème de Fermat, si p est un nombre premier qui ne divise pas x,
alors p divise xp¡1 ¡ 1, et donc aussi xk(p¡1) ¡ 1 où k 2 N, puisque
´
¡
¢ ³¡ p¡1 ¢k¡1 ¡ p¡1 ¢k¡2
xk(p¡1) ¡ 1 = xp¡1 ¡ 1
x
+ x
+ ::: + 1 :
Ici 39 = 3 £ 13. Si 3 (resp. 13) ne divise ni x, ni y, alors 3 (resp. 13) divisera
³
´ ³
´
x(3¡1)(13¡1) ¡ 1 ¡ y (3¡1)(13¡1) ¡ 1 = x24 ¡ y 24 :
Exercice n± 3 : L’équation 15x2 ¡ 7y 2 = 9 possède-t’elle des solutions en nombres entiers ?
Solution : Si elle en avait, on aurait 3y 2 ´ 4 (5), ce qui est absurde (remplacer y par 0; 1; 2; 3; 4).
Exercice n± 4 : On se donne deux entiers n ¸ 1 et q ¸ 2, et l’on note ± le pgcd de n et q ¡ 1.
n ¡1
Montrer que ± divise qq¡1
.
Solution : On pose n = ±a et q ¡ 1 = ±b. Alors
qn ¡ 1
A=
= q n¡1 + ::: + q + 1 = (±b + 1)n¡1 + ::: + (±b + 1) + 1;
q¡1
d’où A ´ 1 + ::: + 1 ´ n ´ 0 (±) si l’on utilise la formule du binôme de Newton et le fait que ±
divise n.
5
4.3
Groupes cycliques
Dé…nition 4 Un groupe est monogène s’il est engendré par un seul élément. Il est cyclique
s’il est monogène …ni.
L’importance des groupes additifs (Z=nZ; +) vient du fait que ce sont les seuls prototypes de
groupes cycliques existant dans la nature. En e¤et :
Théorème 9 Un groupe est monogène (resp. cyclique) si et seulement si il est isomorphe à
Z=pZ (resp. à Z=pZ avec p 6= 0).
Preuve : Soit x un élément d’un groupe G dont la loi est notée multiplicativement. Notons
< x > le sous-groupe engendré par x. C’est, par dé…nition, le plus petit sous-groupe de G
contenant x, et l’on sait que < x >= fxn = n 2 Zg. Si G est monogène, il existe x tel que
G =< x > et l’application
' : Z ¡! G
n 7¡! xn
est un épimorphisme de groupes. Le noyau de ' est un sous-groupe de Z, et tous les sous-groupes
de Z sont de la forme mZ avec m 2 N. D’où la discussion :
² Si Ker ' = f0g, ' est un isomorphisme et G ' Z.
² Sinon, Ker ' = pZ avec p 6= 0, et G ' Z = pZ par décomposition canonique de l’application
'.
Voici un autre résultat important :
Théorème 10 Si d est un diviseur de n, il existe un et un seul sous-groupe de (Z=nZ; +)
possédant d éléments. C’est
½ :
: ¾
:
: n
n
n
Gd = 0; ; :::; (d ¡ 1)
=< > :
d
d
d
De plus tous les sous-groupes de Z=nZ sont de cette forme.
Preuve : Soit d un diviseur de n. Si H est un sous-groupe d’ordre d de Z=nZ, le Théorème de
:
:
:
Lagrange montre que tout élément x de H véri…e dx = 0. Comme
:
n
:
dx = 0 , 9k 2 Z x = k ;
d
n: :
o
:
on déduit H ½ Gd où Gd = 0; nd ; :::; (d ¡ 1) nd . Les ensembles H et Gd ayant même cardinal,
on aura H = Gd , d’où l’unicité du sous-groupe H s’il existe. Réciproquement, on
véri…e que Gd
:
n
est bien un sous-groupe de Z=nZ, et qu’il s’agit du sous-groupe engendré par d . En…n l’ordre
de tout sous-groupe de Z=nZ divise l’ordre n du groupe d’après le Théorème de Lagrange, d’où
le dernier point.
Corollaire 1 Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.
6
4.4
Fonction indicatrice d’Euler
La fonction indicatrice d’Euler est la fonction ' qui à tout entier naturel n ¸ 1 associe le nombre
des entiers premiers avec n situés dans l’intervalle [1; n]. Si U (Z=nZ ) désigne le groupe multiplicatif formé des éléments inversibles de l’anneau Z=nZ, et si n ¸ 2, on a ' (n) = jU (Z=nZ )j
d’après le Théorème 5.
Théorème 11 Si n 2 Nn f0; 1g et si n = p®1 1 :::p®k k représente la décomposition de n en produit
de facteurs premiers,
µ
¶ µ
¶
¢
¢ ¡ ®
¡ ®1
1
1
®k ¡1
®1 ¡1
k
=n 1¡
::: 1 ¡
:
::: p ¡ p
' (n) = p ¡ p
p1
pk
Preuve : Si p est premier, il est premier avec tout nombre qu’il ne divise pas, et donc en
particulier avec chacun des entiers 1; 2; :::; p¡1. On déduit ' (p) = p¡1. Cherchons maintenant
' (p® ) où p est un nombre premier et ® 2 N¤ . On dénombre les entiers n 2 [1; p® ] qui ne sont
pas premiers avec p. Comme p est premier, ces entiers s’écrivent kp, et comme
1 · kp · p® , 1 · k · p®¡1 ;
on en trouve p®¡1 . Par suite ' (p® ) = p® ¡ p®¡1 .
Supposons maintenant que p et q sont premiers entre eux. Le Théorème des restes chinois
montre l’existence d’un isomorphisme g : Z=pqZ ! Z=pZ £ Z=qZ et l’on sait que les éléments inversibles de ces deux anneaux se correspondent par cet isomorphisme. On a donc
U (Z=pqZ) ' U (Z=pZ £ Z=qZ) = U (Z=pZ) £ U (Z=qZ). En égalant les cardinaux, on trouve
' (pq) = ' (p) ' (q), et …nalement
¢ ¡
¢
¡ ¢ ¡
¢
¡
' (n) = ' p®1 1 :::p®k k = ' (p®1 1 ) :::' p®k k = p®1 ¡ p®1 ¡1 ::: p®k ¡ p®k ¡1 :
4.5
Trois Théorèmes d’arithmétique
Théorème 12 Théorème d’Euler
:
: '(n)
:
Si n 2 Nn f0; 1g et si ' désigne l’indicateur d’Euler, alors a
= 1 pour tout élément a
inversible de Z=nZ.
Preuve : Première solution : L’ensemble U des éléments inversibles de Z=nZ forme un
:
: '(n)
groupe multiplicatif d’ordre ' (n), et le Théorème de Lagrange montre que a
= 1.
:
Seconde solution : Si a 2 U est …xé, l’application
! U
: :
7! ax
f: U
:
x
: :
:
est bien dé…nie car ax sera inversible dès : que x l’est. C’est une application bijective car en
:
multipliant les deux membre par l’inverse b de a :
:
8y 2 U
: :
:
:
::
ax = y , x = by:
Comme #U = ' (n), on aura
:
Y ::
Y :
Y :
:
:
: '(n)
ax =
x )
a = 1 ) a
= 1:
:
x2U
:
x2U
:
x2U
7
Théorème 13 Petit Théorème de Fermat
Si p est premier, alors ap ´ a (p) pour tout entier relatif a.
: p¡1
:
Preuve : Ici ' (p) = n
p ¡o1 car Z=pZ est un corps. Le Théorème d’Euler montre que a
= 1
:
:
:
:
p
pour tout a 2 Z=pZn 0 , d’où a ´ a (p) pour tout entier a non divisible par p. Si a = 0, la
congruence est triviale.
Remarques : Bien entendu, le petit Théorème de Fermat est aussi une conséquence du
Théorème de Lagrange. On cherchera aussi une autre preuve du petit Théorème de Fermat
en utilisant une récurrence sur a.
Théorème 14 Théorème de Wilson
Un entier p ¸ 2 est premier si et seulement si (p ¡ 1)! ´ ¡1 (p).
Preuve : ()) Si p est premier, Z=pZ est un corps et tous les éléments non nuls de Z=pZ sont
inversibles. De plus
³:
:´
:
:
:´³:
:
:
:2
x = 1 , x ¡ 1 x + 1 = 0 , x = §1:
:
Les seuls éléments non nuls de Z=pZ qui sont leur propre inverse sont donc §1. Si l’on fait le
: :
:
:
produit des néléments
non nuls de Z=pZ, on trouvera
n : o 1:2:::p ¡: 1 : = ¡:1. En e¤et, tout élément
:o
:
:
x 2 Z=pZn 0 est tel qu’il existe y 2 Z=pZn 0 tel que x: y = 1, si bien qu’en associant
: :
:
:
:
:
deux à deux les éléments du produit 1: 2::: p ¡ 1 on obtienne 1 sauf lorsque x = §1.
(() Par hypothèse il existe k 2 N tel que (p ¡ 1)! + 1 = kp. Si d est un diviseur positif de p
distinct de p, alors d divise (p ¡ 1)! et kp donc divise 1, et l’on déduit d = 1.
4.6
Une application à la cryptographie : le système RSA
On peut améliorer le Théorème d’Euler lorsque l’entier naturel n ¸ 2 est libre de tout carré,
c’est-à-dire sans facteur carré dans sa décomposition (on dit encore quadratfrei ou square free) :
Théorème 15 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et libre de tout carré. On note
n = p1 :::pk où les nombres premiers pi sont distincts entre eux deux à deux. Soit m un multiple
commun aux nombres p1 ¡ 1,... , pk ¡ 1. Soient c et d deux entiers naturels tels que cd ´ 1 (m),
autrement dit tels qu’il existe un entier k pour lequel cd = km + 1. Alors
1) La congruence xcd ´ x (n) est vraie pour tout entier relatif x.
2) Si m ¸ 0, alors xm+1 ´ x (n) pour tout x 2 Z.
3) On a x'(n)+1 ´ x (n) pour tout x 2 Z.
Preuve : 1) Soit x 2 Z. Si p est un facteur premier de n, le petit Théorème de Fermat permet
d’écrire xp¡1 ´ 1 (p) pour tout entier x non divisible par p. Comme km est un multiple de
p ¡ 1, on déduit xkm ´ 1 (p), ou encore xcd ´ xkm+1 ´ x (p). Cette dernière congruence est en
fait triviale lorsque x est divisible par p, de sorte que l’on puisse écrire xcd ´ x (p) pour tout
x 2 Z. La di¤érence xcd ¡ x sera divisible par chacun des nombres premiers pi , donc aussi par
le produit n = p1 :::pk , et l’on obtient bien xcd ´ x (n)
2) On applique 1) avec k = 1, d = 1 et c = m + 1.
8
3) On applique 2) avec m = ' (n) en notant que ' (n) = (p1 ¡ 1) ::: (pk ¡ 1) est bien un multiple
commun de p1 ¡ 1, :::, pk ¡ 1.
Le système RSA (Rivest, Shamir & Adleman, 1978) est un système de chi¤rement à clé révélée
actuellement très utilisé et que l’on retrouve par exemple dans le logiciel PGP de cryptage des
messages électroniques.
Choisissons deux entiers premiers p et q, et posons n = pq. Soient c et d deux entiers naturels
tels que cd ´ 1 (' (n)) où ' (n) = (p ¡ 1)(q ¡ 1) (on peut remplacer ' (n) par n’importe quel
multiple m commun à p ¡ 1 et q ¡ 1). On peut écrire cd = k' (n) + 1 où k 2 Z. Les messages
x seront des entiers appartenant à f0; 1; :::; n ¡ 1g, et le Théorème 15 montre que xcd ´ x (n).
Pour chi¤rer x, on calcule C(x) ´ xc (n), puis pour déchi¤rer y on calcule D(y) ´ y d (n). Les
fonctions C et D seront les fonctions de chi¤rement et de déchi¤rement, et elles véri…ent bien
D(C(x)) ´ D(xc ) ´ xcd ´ x (n) et C(D(y)) ´ C(y d ) ´ xdc ´ x (n).
Exemple numérique : Prenons p = 163, q = 359 et n = 163 £ 359 = 58517.
Ici ' (n) = 162 £ 358 = 57996 = 22 £ 34 £ 179 et l’on peut choisir c = 5 £ 17 £ 59 = 5015 qui
est premier avec ' (n). On résout l’équation de Bezout
5015d = 1 + 57996k
(¤)
en utilisant l’algorithme d’Euclide étendu. On a
57996 = 5015 £ 11 + 2831 ; 5015 = 2831 + 2184 ; 2831 = 2184 + 647 ;
2184 = 647 £ 3 + 243 ; 647 = 243 £ 2 + 161 ; 243 = 161 + 82 ;
161 = 82 + 79 ; 82 = 79 + 3 ; 79 = 3 £ 26 + 1:
D’où
1 = 79 ¡ 3 £ 26
= 79 ¡ (82 ¡ 79) £ 26 = 27 £ 79 ¡ 82 £ 26
= 27 £ (161 ¡ 82) ¡ 82 £ 26 = 27 £ 161 ¡ 53 £ 82
= 27 £ 161 ¡ 53 £ (243 ¡ 161) = 80 £ 161 ¡ 53 £ 243
= 80 £ (647 ¡ 243 £ 2) ¡ 53 £ 243 = 80 £ 647 ¡ 213 £ 243
= 80 £ 647 ¡ 213 £ (2184 ¡ 647 £ 3) = 719 £ 647 ¡ 213 £ 2184
= 719 £ (2831 ¡ 2184) ¡ 213 £ 2184 = 719 £ 2831 ¡ 932 £ 2184
= 719 £ 2831 ¡ 932 £ (5015 ¡ 2831) = 1651 £ 2831 ¡ 932 £ 5015
= 1651 £ (57996 ¡ 5015 £ 11) ¡ 932 £ 5015 = 1651 £ 57996 ¡ 19093 £ 5015:
On a les équivalences
(5015d ¡ 57996k = 1) , 5015d ¡ 57996k = 1651 £ 57996 ¡ 19093 £ 5015
, 5015 (d + 19093) = 57996 (1651 + k) :
Comme 5015 et 57996 sont premiers entre eux, le Théorème de gauss montre l’existence de t 2 Z
tel que 1651 + k = 5015t, d’où d + 19093 = 57996t. La réciproque étant évidente, les solutions
entières de l’équation (¤) seront ainsi (d; k) = (57996t ¡ 19093; 5015t ¡ 1651) où t 2 Z.
9
Choisissons d = 57996 ¡ 19093 = 38903. Si x 2 f0; 1; :::; 58516g, la clé de chi¤rement sera
C (x) = x5015 mod 58517 et la clé de déchi¤rement sera D (x) = x38903 mod 58517. Choisissons
un tableau de correspondance permettant d’écrire les 26 lettres de l’alphabet usuel et quelques
caractères spéciaux sous la forme de nombres. Par exemple :
espace
00
A
01
P
16
B
02
Q
17
C
03
R
18
D
04
S
19
E
05
T
20
F
06
U
21
G
07
V
22
H
08
W
23
I
09
X
24
J
10
Y
25
K
11
Z
26
L
12
.
27
M
13
,
28
N
14
O
15
’
29
Le message IL FAIT BEAU s’écrit 09-12-00-06-01-09-20-00-02-05-01-21. Quitte à rajouter des
zéros à la …n, on peut créer des blocs de 5 chi¤res pour obtenir 09120-00601-09200-00205-01210.
Le tableau ci-dessous donne la valeur de xc mod n en fonction de x :
x
x5015 mod 58517
:
:
09120
36974
00601
30760
09200
55559
00205
47231
01210
55755:
Le message chi¤ré sera 36974-30760-55559-47231-55755. On pourra le déchi¤rer en calculant
y 38903 mod 58517 pour chacun des blocs y de 5 chi¤res. Par exemple 3697438903 mod 58517 vaut
09120 et nous redonne la combinaison de lettres IL.
4.7
Une application au codage : le système UPC
Le code UPC (Universal Product Code) est le célèbre et très utilisé ”code barre” des supermarchés. C’est celui qui identi…e chacun des produits disponibles sur le marché. Il est constitué
par un nombre N = a1 :::a12 constitué de 12 chi¤res appartenant à f0; :::; 9g. Les onze premiers
chi¤res renseignent sur le produit, et le douzième chi¤re a12 est une clé calculée à partir des
autres chi¤res pour obtenir
5
X
i=0
3a2i+1 +
6
X
i=1
a2i ´ 0 (10) :
Le lecteur pourra démontrer que le code UPC détecte une erreur, mais ne permet la détection
de toutes les permutations de deux chi¤res consécutifs.
4.8
Cardinal d’un corps …ni
Soient A un anneau commutatif et 1A son élément unité. Par dé…nition, la caractéristique
de l’anneau A est nulle s’il n’existe pas d’entier naturel k non nul tel que k1A = 0 (et cela
revient à dire que 1A n’est pas d’ordre additif …ni). Dans le cas contraire, il existe un plus
petit entier k 2 N¤ tel que k1A = 0, et cet entier p est appelé ”caractéristique de A”. La
caractéristique de A n’est alors que l’ordre additif de l’unité 1A , c’est-à-dire l’ordre de 1A dans
le groupe additif (A; +).
10
Considérons un corps …ni k d’unité 1. Le corps k est commutatif d’après le Théorème de
Wedderburn, et de caractéristique non nulle p, autrement l’ensemble in…ni fk1 = k 2 Zg serait
inclus dans l’ensemble …ni k. L’application
': Z ! k
k 7! k1
est un homomorphisme d’anneaux dont l’image ' (Z) est le sous-groupe additif engendré par 1.
Par dé…nition de p, Ker ' = pZ, et la décomposition canonique de ' permet de construire un
isomorphime d’anneaux '
e qui rend le diagramme
Z
#
'
! k
"
'
e
Z=pZ ! ' (Z)
commutatif. Le sous-anneau ' (Z) est intègre puisque k l’est, et l ’anneau-quotient sera nécessairement intègre. Cela prouve que p est premier ou nul, et puisque p 6= 0, que p est un nombre
premier. Finalement Z=pZ est un corps à p éléments, et on le notera Fp , et Fp est inclus dans
k après son identi…cation à ' (Z) via l’isomorphisme '
e . Le corps k est naturellement structuré
en Fp -espace vectoriel, de dimension …nie » 2 N¤ puisque …ni ! Comment pourrait-il en être
autrement ? Ainsi k est isomorphe à F»p (par le choix d’une base de k), et l’on peut énoncer :
Théorème 16 Tout corps …ni est de caractéristique un nombre premier p et possède p» éléments
où » 2 N¤ .
Remarques : 1) On démontre une réciproque de ce Théorème : Si q = p» où p désigne un
nombre premier et » 2 N¤ , il existe un corps à q éléments et ce corps est unique à isomorphisme
près.
2) Les corps Z=pZ (p premier) constituent des prototypes de corps …nis, et tout corps …ni
contient un tel prototype. Cela montre l’importance des anneaux-quotients Z=pZ et de cette
leçon.
11