Congruences dans Z. Anneau Z=nZ.

Congruencesdans Z.Anneau Z=nZ.
Dany-JackMercier
IUFMdeGuadeloupe,MorneFerret,
BP399,Pointe-à-Pitrecedex97159,France
[e-mail]
11avril2003
Connu:
-Relationd’équivalence,
-Structuredegroupe,
-Divisioneuclidiennedans Z,
-Nombrespremiers,pgcdetppcm,nombrespremiersentreeux.
1Congruences
Théorème1Soit n2N.Larelation ´dé…niedans Zpar
x´y,x¡y2nZ
estunerelationd’équivalence.
Preuve :Notonsque x´ysietseulementsi ndivise x¡y.Larelationestré‡exive
puisque ndivise x¡x=0.Elleestsymétriquepuisquesi ndivise x¡y,alors ndivise
y¡x,ettransitivepuisquesi ndivisesimultanément x¡yet y¡z,alors ndiviselasomme
(x¡y)+(y¡z)=x¡z.
Dé…nition1Larelation ´introduitedansleThéorème1estappelée relationdecongruence
modulo n.Onlanote x´y(n)s’ilpeutyavoirconfusion.Deuxentiers x;y telsque x´y(n)
sontdits congrusmodulo n.
Théorème21)Deuxentierssontcongrusmodulo nsietseulementsiilsontlemêmereste
dansladivisioneuclidiennepar n.
2)Compatibilitédeslois +et £aveclarelationdecongruence:Si x´x0(n)et y´y0(n),
alors x+y´x0+y0(n)et xy ´x0y0(n).
Preuve :1)esttrivial.Montrons2).Parhypothèse ndivise x¡x0et y¡y0.Comme
(x+y)¡(x0+y0)=(x¡x
0
)+(y¡y
0
)et xy ¡x0y0=x(y¡y0)+(x¡x
0
)y
0
,onconstateque
ndiviseraencore (x+y)¡(x0+y0)et xy ¡x0y0.
0[cann0002]v1.10http://perso.wanadoo.fr/megamaths
c
°2003,D.-J.Mercier.Vouspouvezfaireunecopiedecesnotespourvotreusagepersonnel.
1

2Anneau Z=nZ
Dé…nition2L’ensemblequotientde Zparlarelation ´decongruencemodulo nestnoté Z=nZ.
Enparticulier Z=0Z'Zet Z=1Z'f0g.Danslasuite,onsupposera n¸2etl’onnotera : x
laclassed’équivalencede xdans Z=nZ.LeThéorèmesuivantmontrequel’ensemble-quotient
Z=nZestéquipotentàl’ensemble f0;1;:::;n¡1gdesrestesdesdivisionseuclidiennespar n.
Théorème3Si n2N¤alors Z=nZ=n: 0;: 1;:::;
:
n¡1o.
Preuve :Ladivisioneuclidiennedel’entierrelatif xpar ns’écrit x=nq +ravec 0·r<n,et
entraîne : x=: r.Donc Z=nZ=n: 0;: 1;:::;
:
n¡1o.Onvéri…eensuitequeleséléments : 0;: 1;:::;
:
n¡1
sontdistinctsdeuxàdeux.Si ret sappartiennentàf0;1;:::;n¡1getsi : r=: s,alors nj(r¡s)
et 0·jr¡sj<nentraînent r¡s=0.
Dé…nition3Un anneau (A; +;:)estunensemble Amunidedeuxloisinternes +et :telles
que
1) (A; +) estungroupecommutatif.Celasigni…equelaloi +est
-commutative:8x;y 2Ax+y=y+x;
-associative:8x;y;z 2A(x+y)+z=x+(y+z);
-possèdeunélémentneutre 0(dé…nipar:8x2Ax+0=x),
-tellequetoutélément x2Apossèdeunélémentsymétrique x0(appeléopposéde x)dé…nipar
l’équation x+x0=0.
2)Laloi :est
-associative:8x;y;z 2A(x:y):z =x: (y:z);
-distributiveparrapportàl’addition:
8x;y;z 2Ax: (y+z)=x:y +x:z et (y+z):x =y:x +z:x:
Danslapratique,onsupposetoujoursquel’anneauest unitaire,c’est-à-direqu’ilexisteun
élémentneutrepourlamultiplication.Cetélément,noté 1A,estdé…niparlapropriété:
8x2Ax:1A=1
A
:x =x:
Onditquel’anneauest commutatif silamultiplicationestcommutative.
Onpeutsesouvenirdesaxiomesd’unanneauenretenantl’acronyme CANS-AD,quiressemble
aumot“cansado”signi…ant”fatigué”enespagnol...
Théorème4Onpeutdé…nirdeuxloisinternesdans Z=nZenposant
8x;y 2Z: x+: y=
:
x+yet : x: : y=: x:y: (¤)
Munideceslois,l’ensemble (Z=nZ;+;:)devientunanneaucommutatifunitaired’élément
unité : 1.
2

Preuve :Ilfautd’abordvéri…erquelasomme : x+: yetleproduit : x: : ynedépendentpasduchoix
desreprésentants xet ydesclasses : xet : y.Ecrire : x=
:
x0et : y=
:
y0revientàécrirelescongruences
x´x0(n)et y´y0(n),etl’onavuquecescongruencesentrainaient x+y´x0+y0(n)et
xy ´x0y0(n),autrementdit
:
x+y=
:
x0+y0et : x:y =
:
x0:y0.LadeuxièmepartieduThéorème
neposeaucunproblème.
Remarque :Soient (A; +;:)et (B; +;:)deuxanneauxunitairesd’unitésrespectives 1Aet 1B.
Onrappellequ’un homomorphismed’anneaux de Avers Bestuneapplication f:A!B
telleque
1) 8x;y 2Af(x+y)=f(x)+f(y);
2) 8x;y 2Af(x:y)=f(x):f (y);
3) f(1A)=1
B
:
Aveccettedé…nition,onpeuta¢rmerqu’ilexisteuneetuneseulestructured’anneauxsur
Z=nZfaisantdelaprojectioncanonique
p:Z!Z=nZ
x7! : x
unhomomorphismed’anneaux,etquecettestructureestcelledé…nieauThéorème4.Ene¤et,
siunetellestructureexiste,lesloisinternessontdonnéespar (¤).
3Propriétésdel’anneau Z=nZ
Théorème5Soient n2Nnf0;1get : x2Z=nZ.Ilyaéquivalenceentre:
i) : xestinversible,
ii) pgcd(x;n)=1,
iii) : xestungénérateurde (Z=nZ;+) :
Preuve :
:
xinversible ,9
:
y2Z=nZtelque : x: : y=: 1
,9y2Z9u2Zxy +un =1,pgcd(x;n)=1:
Si <: x>désignelesous-groupeengendrépar : x,
:
xinversible ,9
:
y2Z=nZtelque : x: : y=: 1
,9y2Zy: : x=: 1,: 12<: x>,<: x>=Z=nZ:
Théorème6Soit n2Nnf0;1g.Ilyaéquivalenceentre:
i) nestpremier,
ii) Z=nZestuncorps,
iii) Z=nZestintègre.
Preuve :i) )ii)Si nestpremier,etsi : x2(Z=nZ)nn: 0o,nestpremieravec xetilexistera
deuxentiersrelatifs u;v telsque un +vx =1.Celaprouveque : v: : x=: 1,etque : xestinversible.
3

ii) )iii)Toutcorpsestintègre,d’oùlasecondeimplication.Ene¤et,si Kestuncorps,si
x;y 2Ketsi xy =0,oubien x=0etc’est…ni,oubien x6=0et xserainversible,d’où
x¡1xy =0,puis y=0.
iii) )i)Si n=ab alors : a:: b=: 0etl’intégritédel’anneau Z=nZdonne : a=: 0ou : b=: 0.Si,par
exemple, : a=: 0,alors a=na0et n=na0b,donc a0b=1puis b=§1.Lesseulsdiviseursde n
sontdonc §1et §n.
L’équivalenceentreii)etiii)provientaussiduLemmegénéral:
Lemme1Toutanneauintègre…niestuncorps.
Preuve :Soit Aunanneauintègre…niet a2Ann: 0o.Ils’agitdemontrerque aestinversible.
L’application
':A!A
x7! ax
estunmorphismedugroupeadditif (A; +),injectifpuisque Ker '=f0g.Comme Aestde
cardinal…ni, 'serabijectiveetilexistera a02Atelque aa0=1.
Théorème7Théorèmedesresteschinois
Lesentiers pet qsontpremiersentreeuxsietseulementsi Z=pZ£Z=qZ'Z=pqZ.
Preuve:Si pgcd(p;q)=1,onconsidèrelemorphismed’anneaux
f:Z!Z=pZ£Z=qZ
x7! ¡: x; x¢:
L’entier xappartientaunoyaude fsi,etseulementsi, xestdivisibleàlafoispar pet q,i.e.
par pq puisque,parhypothèse, pet qsontpremiersentreeux.Ainsi Ker f=pqZetonobtient
unmonomorphismed’anneaux
f:Z=pqZ,!Z=pZ£Z=qZ
ex7! ¡: x; x¢
pardécompositioncanoniquede f.Cemonomorphismeentredeuxensemblesdemêmecardinal
pq seranécessairementbijectif.
Notonsqu’ilestfaciledemontrerdirectementlasurjectivitédel’application fenutilisantle
ThéorèmedeBezout.Ene¤et,si ¡: a; b¢2Z=pZ£Z=qZ,lesystème
½:
x=: a
x=b
équivautàl’existencededeuxentiers k;l telsque x=a+kp =b+lq (¤).Comme pet q
sontpremiersentreeux,leThéorèmedeBezoutmontrel’existencede 2entiers u;v telsque
up+vq =1,etcelanouspermetd’écrire u(a¡b)p+v(a¡b)q=a¡betd’exhiberunesolution
de (¤).
Réciproquement,supposonsque g:Z=pqZ!Z=pZ£Z=qZsoitunisomorphismed’anneaux.
Supposonsparl’absurdeque pgcd(p;q)=±>1etnotons p=±p0et q=±q0.Nécessairement
g³e 1´=³: 1;1´.Comme gconservelesordresadditifs,l’ordrede ³: 1;1´devraitêtreceluide e 1,
c’est-à-dire pq.C’estabsurdepuisque ±p0q0³: 1;1´=³: 0;0´avec 0<±p0q0<pq.
4

4Complémentsetapplications
4.1Critèresdedivisibilité
Théorème8Soit an:::a0l’écritureenbase 10 d’unnombreentier x.Alors xest
1)divisiblepar 2sietseulementsisondernierchi¤reestpair,
2)divisiblepar 3(resp. 9)sietseulementsilasommedeseschi¤resestdivisiblepar 3(resp. 9),
3)divisiblepar 5sietseulementsisondernierchi¤reest 0ou 5;
4)divisiblepar 11 sietseulementsi Pa2k+1 ¡Pa2kestdivisiblepar 11.
Preuve :Ilsu¢td’écrire
x=an:10n+::: +a1:10+a
0´a 0(2) (resp. (5))
x=an:10n+::: +a1:10+a
0´a n+::: +a1+a0(3) (resp. (9))
x=an:10n+::: +a1:10+a
0´a n(¡1)n+::: +a1(¡1)+a 0´Pa
2k¡Pa 2k+1 (11)
4.2Applicationàl’arithmétique
Voiciquelquesexercicesd’arithmétiquefaisantintervenirlescongruencesetladivisibilité.Le
premierexercicemontrequel’emploidescongruencesfacilitelarecherchededivisibilités.
Exercicen
±
1:Existe-t-ildesentiersnaturels ntelsque 35n¡172nsoitdivisiblepar 6?Si
oui,lesquels?
Solution:Lenombre a=35n¡17nestpaircommedi¤érencededeuximpairs.Donc 6divise
asietseulementsi 3divise a.Utilisonsdescongruencesmodulo 3.Comme 35 ´2(3) et
17 ´2(3),onaura
a´0(3) ,2n¡22n´0(3) ,2n´1(3)
etcettedernièrecongruenceéquivautàdireque nestpair.
Exercicen
±
2:Montrerquepourtousentiers x;y lenombre xy ¡x24 ¡y24¢estdivisiblepar
39.
Solution:D’aprèsleThéorèmedeFermat,si pestunnombrepremierquinedivisepas x,
alors pdivise xp¡1¡1,etdoncaussi xk(p¡1) ¡1où k2N,puisque
xk(p¡1) ¡1=¡x
p¡1¡1
¢³¡x
p¡1
¢k¡1+¡x
p¡1
¢k¡2+::: +1
´:
Ici 39=3£13.Si 3(resp. 13)nediviseni x,ni y,alors 3(resp. 13)divisera
³x(3¡1)(13¡1) ¡1´¡³y(3¡1)(13¡1) ¡1´=x24 ¡y24:
Exercicen
±
3:L’équation 15x2¡7y2=9possède-t’elledessolutionsennombresentiers?
Solution:Sielleenavait,onaurait 3y2´4(5),cequiestabsurde(remplacer ypar 0;1;2;3;4).
Exercicen
±
4:Onsedonnedeuxentiers n¸1et q¸2,etl’onnote ±lepgcdde net q¡1.
Montrerque ±divise qn¡1
q¡1.
Solution:Onpose n=±a et q¡1=±b.Alors
A=qn¡1
q¡1=qn¡1+::: +q+1=(±b +1)n¡1+::: +(±b +1)+1;
d’où A´1+::: +1´n´0(±)sil’onutiliselaformuledubinômedeNewtonetlefaitque ±
divise n.
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