Grandissement et grossissement

Grandissement et grossissement
I. Formule de conjugaison et grandissement :
1. Construire l’image A’B’ de AB à travers la lentille de distance focale f’=0,20m en dessinant la
marche de 3 rayons.
1
1
1


OA' OA f '
OA
AB
Dans les triangles OAB et OA’B’, les relations de Thalès donnent :

OA' A' B'
F ' O OH
AB
Dans les triangles F’OH et F’A’B’, les relations de Thalès donnent :


F ' A' A' B' A' B'
F ' O OA
On en déduit que :

F ' A' O A'
avec
F ' A'  F ' O  OA'   f 'OA'
on obtient :
 f 'OA' OA'
OA' OA'
 f'
OA

1


ou encore
soit
 f'
f'
OA
OA
 f 'OA' O A'
1
1
1
 
En divisant par OA' :
OA' f ' OA
1
1
1


ce qui donne en réorganisant :
OA' OA f '
2. En utilisant le théorème de Thalès, retrouver la formule de conjugaison :
3. On définit le grandissement γ comme le rapport :  
A' B'
.
AB
Exprimer γ en fonction de OA' et OA .
Dans les triangles OAB et OA’B’, les relations de Thalès donnent :
OA'
OA
Que peut-on dire de l’image
d'où
OA
AB

OA' A' B'
 
si   1 ?
image plus grande que l’objet
Si   0 ?
image renversée
Calculer le rapport pour le cas de la figure 1.
II. Instrument d’optique : la loupe
Une loupe grossissante est une lentille convergente de distance focale f’.
1. Lorsqu’on utilise une loupe grossissante, où se situe l’image qu’on regarde par rapport à la lentille ?
L’image est-elle réelle ou virtuelle ?
On regarde l’image à travers la loupe ; elle n’est donc pas projetée sur un écran et n’est donc pas
réelle mais virtuelle.
2. Dans quelle zone l’objet doit-il être placé pour satisfaire cette condition ?
Il faut que l’objet soit placé entre la lentille et le foyer objet.
3. Déterminer graphiquement la position de l’image dans les deux cas suivants.
Peut-on considérer que la lentille constitue une loupe dans ces deux cas ? Justifier.
Il s’agit bien d’une loupe : l’image est virtuelle et agrandie dans les deux cas.
Lequel de ces cas correspond à l’utilisation la plus confortable ? Justifier.
Lorsque l’objet est au foyer, l’image est rejetée à l’infini ; elle constitue un objet à l’infini pour l’œil
qui n’accommode pas et est au repos, ce qui est le cas le plus confortable.
III. Grossissement :
1. Quelle est la distance la plus petite, dans le cas d’un œil normal, à laquelle on peut observer
nettement l’objet AB ?
Exprimer l’angle apparent α sous lequel on observe alors cet objet.
Rq : dans le cas d’angle petit (ce qui est le cas pour l’observation de petits objets), on peut
considérer que   tan .
B
α
O
A
Calculer cet angle dans le cas d’un objet dont la taille est AB = 6,0mm.
AB

0,25
2. Déterminer graphiquement la direction des rayons issus de B, émergeant de la loupe de distance
focale f’ = 6,0cm.
3. Déterminer l’expression de l’angle α’ en fonction de AB et f’, avec lequel les rayons arrivent dans
l’œil de l’observateur.
Rq : on utilisera également l’approximation  '  tan  '
'
AB
f'
4. On définit le grossissement G d’un instrument d’optique comme le rapport : G 
'
.

Donner l’expression de G pour une loupe en fonction de f’.
AB
'
0,25
f'
G


AB

f'
0,25
Calculer G dans le cas de la loupe étudiée.
0,25
G
 4,2 L’image est grossie 4,2 fois.
0,06
IV. Application :
Une lentille mince L1, de centre optique O, donne d’un objet AB haut de 2,0cm et situé à 12,0cm en
avant de la lentille image réelle A1B1 située 6,0cm après la lentille. AB est perpendiculaire à l’axe
principal de la lentille et A est situé sur cet axe.
1. Déterminer la distance focale de la lentille, ainsi que sa vergence C 1.
On utilise la formule de conjugaison :
1
1
1


O1 A1 O1 A f1 '
Avec
O1 A  0,12m
O1 A1  0,060m
1
1
1
C1 


 25
f1 ' 0,060 0,12
Soit
f1’ = 4,0 cm
2. Faire un schéma à l’échelle 1 et retrouver la position de l’image A1B1. Mesurer la taille de cette
image
échelle :
1carreau représente 1cm
3. Déterminer par le calcul le grandissement γ1 de la lentille L1, et retrouver la valeur de la taille de
l’image 1 mesurée précédemment.
graphiquement : γ1 = -0,5
OA
 0,06
Par le calcul :  1  1 1 
 0,50
0,12
O1 A
Les deux valeurs concordent.
On place au-delà de L1, à 8cm de O1, une lentille mince convergente L2 de distance focale f’2=3cm. A1B1
est pour la lentille L2.
4. Déterminer par le calcul la position A2B2 de l’image de A1B1 obtenue par la lentille L2. Cette image
sera t’elle réelle ou virtuelle ? Justifier.
Formule de conjugaison :
1
1
1


f2 '
O2 A2 O2 A1
1
1
1


O2 A2 O2 A1 f 2 '
D’où
Avec
O2 A1  O2 O1  O1 A1  0,080  0,060  0,020m
et
f2’= 0,030 m
1
1
1


 16,7
O2 A2  0,020 0,030
soit
O2 A1  0,060m
Il s’agit d’une image virtuelle puisqu’elle est située 6,0cm avant la lentille L 2.
5. Vérifier le calcul précédent en complétant votre schéma et en y construisant l’image A 2B2.
échelle :
1carreau représente 1cm
6. Calculer le grandissement γ2 de la lentille L2 ; en déduire la taille de l’image A2B2. Vérifier sur le
schéma.
O A
 0,06
2  2 2 
 3
O2 A1  0,02
L’image A2B2 est bien 3 fois plus grande que l’objet A1B1, et dans le même sens.
7. Exprimer le rapport A2B2/AB en fonction des grandissements des deux lentilles. Quel est l’intérêt
d’un tel montage.
AB
AB
AB
  2 2  2 2  1 1   2   1  0,5  3  1,5
AB
A1 B1
AB
A travers ce système optique, l’image finale obtenue est agrandie 1,5 fois et renversée.
Exercices livre : P23 n°9, 13, 14, 15, 16
n°9
1. Traduisons les hypothèses de l’énoncé sur un schéma à l’échelle :
30 cm en réalité soit 15cm à l’échelle 1/2
Image réelle renversée
de taille 72mm (soit
36mm à l’échelle
2. Recherche de la position de la lentille : on utilise le rayon qui n’est pas dévié et qui définit le centre
optique de la lentille :
Centre optique O
Rayon non dévié
3. Position des foyers : on utilise un rayon qui arrive parallèlement à l’axe optique :
O
F’
f’=5,6cm
On mesure la distance algébrique OF '  5,6cm (2,8cm sur le schéma)
La distance focale est donc f’ = 5,6 cm.
4. Calcul de la vergence :
1
1
C
 18
A.N. C 
f'
5,6  10 2
n°13
Calcul préliminaire : distance focale de la lentille : f’ = 1/8 = 12,5cm
1. AB est placé avant le foyer objet ; l’image est réelle et renversée ; l’image est plus petite que l’objet.
Echelle : 1 carreau représente 5,0cm
2. AB est placé avant le foyer objet ; l’image est réelle et renversée ; l’image a la même taille que
l’objet.
Echelle : 1 carreau représente 5,0cm
3. AB est placé avant le foyer objet ; l’image est réelle et renversée ; l’image est plus grande que
l’objet.
Echelle : 1 carreau représente 5,0cm
4. AB est placé entre le foyer objet et la lentille ; l’image est virtuelle et droite ; l’image est plus grande
que l’objet.
n°14
1. Utilisons la formule de conjugaison :
1
1
1


C
OA' OA f '
Soit
1
1

C
OA' OA
avec
OA  6,0  10 2
et C = 12,5δ.
A.N.
1
1

 12,5  4,2
2
OA'  6,0  10
D’où
OA' 
1
 0,24m
 4,2
L’image est donc située à 24 cm en avant de la lentille (elle est bien virtuelle : il faut regarder à
travers la lentille pour observer cette image).
Taille de l’image :
2. On utilise la formule du grandissement établie dans les exercices précédents :
OA' A' B'
 

OA
AB
d’où
OA'
A' B' 
 AB
OA
A.N.
 0,24
A' B' 
 3,0  12cm
 6,0
La taille de l’image est 12cm.
n°15
1. On veut obtenir une image réelle sur la pellicule de l’appareil photo : l’image est donc forcément
renversée.
2.
Définition du grandissement :
AB
 
A' B'
A.N.
36  10 3
 
 0,72
5,0  10 2
n°16
1. La modélisation de la courbe par une droite est satisfaisant puisque la droite passe par toutes les
barres représentant les incertitudes de mesure.
2. Exploitation du graphique :
a. La droite est représentation d’une fonction affine du type :
1
1
 a
b
x A'
xA
où a est le coefficient directeur de la droite et b l’ordonnée à l’origine.
Pour déterminer le coefficient directeur, je choisis 2 points sur la droite :
A(0 ; 8,0) et B(-4,0 ; 4,0)
8,0  4,0
a
 1,0
0   4,0
b. L’ordonnée à l’origine de la droite est b = 8,0.
c. L’équation de la droite est donc donnée par :
1
1

 8,0
x A' x A
ou encore, en ajoutant l’abscisse de la lentille :
1
1

 8,0
x A'  xO x A  xO
ce qui équivaut à :
1
1

 8,0
OA' OA
soit
1
1

 8,0
OA' OA
Par analogie avec la formule de conjugaison
1
1

C
OA' OA
on peut conclure que la vergence de la lentille est C = 8,0 δ.