Chapitre 4

Chapitre 4 :
CINEMATIQUE
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I) Système, référentiel, repère :
1) Système :
Un système mécanique est un corps ou un ensemble de corps que l'on
distingue de son environnement pour en faire une étude particulière.
Son environnement est appelé milieu extérieur ou "reste de l'Univers".
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I) Système, référentiel, repère :
2) Référentiel et repère :
Un référentiel (R) est un objet matériel solide et étendu (de grande
dimension) par rapport auquel on étudie le mouvement d'un mobile.
Exemple : On étudie le mouvement d'une
mouche M dans un train : on pourra
décrire le mouvement observé par
un voyageur immobile dans un
compartiment (référentiel R) ou
celui décrit par une personne assise
sur un banc du quai (référentiel R').
Dans l'espace physique à trois dimensions, un repère
d'espace est un être mathématique défini par un point
O particulier du référentiel et par trois axes orientés
orthogonaux.
Remarque : En 4ème année, nous ne considérerons que des mouvements à
une seule dimension.
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II) Repérage d’un point :
1) Mouvement quelconque :
On considère un mobile ponctuel M dont la trajectoire par rapport à un
référentiel (R) est connue. On choisit un point particulier O de la trajectoire
comme origine et on choisit arbitrairement une orientation de la trajectoire.
La position d’un mobile peut être repérée par son abscisse curviligne,
mesure algébrique de l'arc OM : s(t) = OM
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II) Repérage d’un point :
2) Mouvement rectiligne :
Dans le cas particulier d'un mouvement rectiligne, nous pouvons
repérer la position du mobile par son abscisse x sur un axe orienté porté
par la trajectoire, après avoir choisi une origine O.
Remarque : Le choix de l'orientation de l'axe est arbitraire et n'est donc pas lié
au sens du mouvement. L'origine peut être choisie arbitrairement
également.
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III) Vitesse d’un point mobile :
1) Vitesse moyenne :
A l'aide du compteur kilométrique d'un véhicule, il est possible de connaître la
distance L qu‘il a parcourue pendant une durée ∆t.
L
La vitesse moyenne du véhicule est alors : vmoy = 
∆t
Dans le système international (S.I.) les longueurs s'expriment en mètre
(m) et les durées en seconde (s), la mesure de la vitesse s'exprime donc
en m.s−1 (ou en km.h−1).
Si la trajectoire du mobile est connue, on repère sa position par son abscisse
curviligne.
A un instant τ1 de date t1 le mobile est en M1 d'abscisse curviligne s1, et à un
instant τ2 de date t2 le mobile est en M2 d'abscisse curviligne s2.
Pendant l'intervalle de temps ∆t = t2 − t1 le mobile s'est déplacé de M1 en M2
et a parcouru sur sa trajectoire dans le référentiel R, la distance algébrique
M1M2 = ∆s = s2 − s1.
La mesure de la vitesse moyenne du véhicule est alors : vmoy = ∆s

 ∆t 
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III) Vitesse d’un point mobile :
2) Vitesse instantanée :
On considère le mobile à différents instants τi de date ti où le mobile occupe
une position Mi d'abscisse curviligne si.
Si nous considérons deux instants trop éloignés, la vitesse moyenne ne
représente pas bien l’évolution du mouvement du mobile au cours du temps.
Si nous considérons deux instants très voisins τi et τj tels que δt = tj − ti soit
très petit : le déplacement du mobile est très faible et MjMi = δs = sj − si est lui
aussi très petit.
Nous admettrons que la mesure v de la vitesse instantanée d'un point
mobile M à l'instant τ de date t est pratiquement égal à sa vitesse
moyenne entre deux instants très voisins encadrant t :
v = δs

 δt 
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IV) Accélération d’un point mobile :
1) Accélération moyenne :
A l'aide d’un indicateur de vitesse d'un véhicule, il est possible de connaître la
mesure v de la vitesse à chaque instant.
Intuitivement on sait que l'accélération représente le "taux" de variation de la
vitesse.
Exemple : Pour un mobile se déplaçant en ligne droite et dont la vitesse varie
de 20 m.s−1 (72 km/h) à 30 m.s−1 (108 km/h) en 5 s, nous dirons
que l'accélération moyenne est 10 m.s−1 en 5 s, soit a = 2 m.s−2.
A un instant τ1 de date t1 un mobile a une vitesse de mesure v1 et à un instant
τ2 de date t2 le mobile a une vitesse de mesure v2.
Pendant l'intervalle de temps ∆t = t2 − t1 le mobile a vu sa vitesse varier de :
∆v = v2 − v1.
Par définition la mesure de l’accélération moyenne est donnée par :
v – v  ∆v
amoy = 2  1 = 
 t2 – t1   ∆t 
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IV) Accélération d’un point mobile :
2) Accélération instantanée :
Si on effectue des mesures de vitesse à intervalle de temps δt très court, on
obtient la valeur de l'accélération instantanée.
Nous admettrons que la mesure de l'accélération instantanée d'un point
mobile M, se déplaçant en ligne droite, à l'instant τ de date t est
pratiquement égal à son accélération moyenne entre deux instants très
voisins encadrant τ :
δv
a= 
 δt 
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V) Etude de deux cas particuliers :
1) Mouvement rectiligne uniforme :
a) Définition :
Dans un référentiel (R), un point mobile M se déplace sur une droite
avec une vitesse de mesure constante et donc son accélération a une
mesure nulle.
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V) Etude de deux cas particuliers :
1) Mouvement rectiligne uniforme :
b) Loi horaire du mouvement :
On définit un axe orienté Ox, rectiligne, sur lequel se déplace le point mobile
M dans (R), et on choisit un point O comme origine des abscisses.
Remarque : Le choix de l’orientation de l’axe est indépendant du sens de
déplacement du mobile mais détermine le signe de la vitesse.
Soit vC la mesure algébrique ( positive ou négative) constante de la vitesse.
Soit x0 = x(0) l'abscisse du point mobile à l'instant pris comme origine des
dates (t = 0 s).
On a v = vx = vc. Nous admettrons que l'abscisse x(t) du mobile est une
fonction linéaire du temps.
La loi horaire est donc : x(t) = vc.t + x0
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V) Etude de deux cas particuliers :
2) Mouvement rectiligne uniformément varié :
a) Définition :
Dans un référentiel (R), un point mobile M se déplace sur une droite
avec une accélération de mesure constante.
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V) Etude de deux cas particuliers :
2) Mouvement rectiligne uniformément varié :
b) Loi horaire du mouvement :
On définit un axe orienté Ox, rectiligne, sur lequel se déplace le point mobile
M dans (R), et on choisit un point O comme origine des abscisses.
Remarque : Le choix de l’orientation de l’axe est indépendant du sens de
déplacement du mobile mais détermine le signe de la vitesse à
chaque instant et celui de l’accélération.
Soit ac la mesure algébrique constante de l’accélération.
Soit x0 = x(0) l'abscisse algébrique du point mobile à l'instant pris comme
origine des dates (t = 0 s).
Soit vx0 = vx(0) la mesure algébrique de la vitesse du point mobile à l'instant
pris comme origine des dates (t = 0 s).
Nous admettrons que la mesure algébrique de la vitesse vx(t) du
mobile est une fonction linéaire du temps : vx(t) = ac.t + v0
Nous admettrons que l’abscisse est une fonction du second degré du
temps. La loi horaire est de la forme :
1 .t2 + v .t + x
x(t) = .a
0
0
2 c
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VI) Les diagrammes :
1) Diagrammes des "espaces" :
Lorsqu'on a affaire à un problème à une dimension (mouvement rectiligne ou
abscisse curviligne lorsqu'on connaît la trajectoire) il est possible de
représenter dans un repère muni de deux axes, l'évolution de l'abscisse x(t)
du mobile en fonction de la date t : on construit le diagramme des espaces.
Exemple : Lors de l’étude d'un mouvement rectiligne et uniforme l'abscisse
est une fonction linéaire du temps.
x(t) = vc.t + x0 : le diagramme des espaces sera donc une droite.
x0
O
x
x0 = x(0) abscisse à l’origine des dates
pente vc de la droite, ici vc < 0
date t1 à laquelle le mobile passe
par l’origine O des abscisses
t1
origine des abscisses et des dates
t
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VI) Les diagrammes :
2) Diagrammes des "vitesses" :
Dans un problème à une dimension, il est parfois plus intéressant de
construire le diagramme représentant sur l’axe des ordonnées, l'évolution de
la mesure algébrique de la vitesse en fonction de la date t : on construit le
diagramme des vitesses.
Exemple : Lors de l’étude d'un mouvement rectiligne et uniformément varié la
vitesse est une fonction linéaire du temps.
vx(t) = ac.t + v0 : le diagramme des vitesses sera donc une droite.
v0
O
vx
v0 = vx(0) mesure de la vitesse à l’origine des dates
pente ac de la droite, ici ac < 0
date t1 à laquelle la mesure
de la vitesse s’annule
t1
origine des mesures de la vitesse et des dates
t