Nombres relatifs

Nombres relatifs
I. Somme et différence de nombres relatifs (rappels de 5ème)
Règle
• La somme de deux nombres relatifs de même signe est le nombre qui a :
- pour signe le signe commun ;
- pour distance à zéro la somme des distances à zéro des deux nombres.
• La somme de deux nombres relatifs de signes différents est le nombre qui a :
- pour signe le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
- pour distance à zéro la différence des distances à zéro des deux nombres.
je garde le signe
même
signe
j’additionne
+
signes
différents
je garde le signe du
« plus grand »
je soustrais
Exemples
3 + ( −5 ) = −2
( −3 ) + 7 = 4
( −4 ) + ( −2 ) = −6
12 + ( −7 ) = 5
−2 + ( −4 ) = −6
−8 + 10 = 2
Propriété
Soustraire un nombre, c’est additionner son opposé.
Exemples
5 − 9 = 5 + ( −9 ) = −4
6 − ( −12 ) = 6 + 12 = 18
−8 − 15 = −8 + ( −15 ) = −23
−9 − ( −7 ) = −9 + 7 = −2
II. Produit de nombres relatifs
Règle
Le produit de deux nombres relatifs est positif si les deux nombres sont de même signe ; il
est négatif si les deux nombres sont de signes différents.
Sa distance à zéro est égale au produit des distances à zéro des deux facteurs.
Exemples
( −7 ) × 8 = −7 × 8 = −56
3 × (−4) = −3 × 4 = −12
( −4 ) × (−6) = 4 × 6 = 24
Règle des signes
−2 × (−13) = 2 ×13 = 26
+ × +
→
+
− × −
→
+
+ × −
→
−
− × +
→
−
Remarques
- Le produit d’un nombre par 0 est égal à 0.
- Le produit d’un nombre par 1 est égal à lui-même.
- Le produit d’un nombre par (-1) est égal à son opposé.
Pour tout nombre a , on a
Exemples
a×0 = 0× a = 0
a × 1 = 1× a = a
a × ( −1) = ( −1) × a = −a
0 × ( −5) = 0
(Attention : le signe de −a dépend du signe de a .)
1× ( −5 ) = −5
( −1) × (−5) = 5
Règle
Le produit de plusieurs nombres relatifs est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair ; il
est négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair.
Exemples
2 × ( −3) × ( −2 ) × 4 = 2 × 3 × 2 × 4 = 48
( −3) × 2 × ( −1) × ( −2 ) × 3 = −3 × 2 ×1× 2 × 3 = −36
III. Quotient de nombres relatifs
Définition
On le note
Le quotient de a par b (avec b ≠ 0 ) est le nombre qui, multiplié par b , donne a .
a
ou a ÷ b .
b
a
×b = a
b
Exemples
Le nombre x qui vérifie l’égalité x × ( −3) = −5 est
Le nombre x qui vérifie l’égalité 7 x = −1 est
Remarques
- Pour tout nombre a , on a
−1
.
7
−5
.
−3
a
= a.
1
- Pour tout nombre b non nul, on a
0
b
= 0 et = 1 .
b
b
- On ne peut pas diviser par 0.
Exemples
−8
= −8
1
Définition
Soit x un nombre non nul.
−3
=1
−3
0
=0
7
L’inverse de x est le nombre qui, multiplié par x , donne 1. C’est donc le quotient
1
× x =1
x
1
noté au aussi x −1 .
x
Exemples
1
soit 0,5.
2
1
L’inverse de −3 est − .
3
1
L’inverse de
est 2.
2
1
L’inverse de − est −3 .
3
L’inverse de 2 est
1

 × 2 = 1
2

 1

 − × ( −3 ) = 1 
 3

Règle
Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse.
a
1
= a×
Pour tous nombres a et b (avec b non nul)
b
b
Démonstration
Exemple
1 a
1
a× = ×b×
b b
b
a
= ×1
b
a
=
b
a
× b = a (définition du quotient)
b
1
car b × = 1 (définition de l'inverse)
b
car
−3
1
= −3 ×
= −3 × 2 = −6
0,5
0,5
Règle
Le quotient de deux nombres relatifs est positif si les deux nombres sont de même signe ; il
est négatif si les deux nombres sont de signes différents.
Sa distance à zéro est égale au quotient des distances à zéro des deux nombres.
Remarques
La règle des signes est la même pour la multiplication et la division.
Exemples
3 ÷ ( −2 ) = −3 ÷ 2 = −1,5
1
−1 ÷ 3 = − ≃ 0,333
3
2
2
= − ≃ −0, 286
−7
7
−8 8
= =2
−4 4
valeur exacte
valeur approchée