Nombres relatifs

Nombres relatifs
I. Somme et différence de nombres relatifs (rappels de 5ème)
Règle • La somme de deux nombres relatifs de même signe est le nombre qui a :
- pour signe le signe commun ;
- pour distance à zéro la somme des distances à zéro des deux nombres.
• La somme de deux nombres relatifs de signes différents est le nombre qui a :
- pour signe le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
- pour distance à zéro la différence des distances à zéro des deux nombres.
Exemples
(
)
3 5 2
+ − = −
(
)
3 7 4
− + =
(
)
12 7 5
+ − =
(
)
(
)
4 2 6
− + − = −
8 10 2
− + =
(
)
2 4 6
− + − = −
Propriété Soustraire un nombre, c’est additionner son opposé.
Exemples
(
)
5 9 5 9 4
− = + − = −
(
)
6 12 6 12 18
− − = + =
(
)
8 15 8 15 23
− − = − + − = −
(
)
9 7 9 7 2
− − − = − + = −
II. Produit de nombres relatifs
Règle Le produit de deux nombres relatifs est positif si les deux nombres sont de même signe ; il
est négatif si les deux nombres sont de signes différents.
Sa distance à zéro est égale au produit des distances à zéro des deux facteurs.
Exemples
3 ( 4) 3 4 12
× − = − × = −
(
)
4 ( 6) 4 6 24
− × − = × =
(
)
7 8 7 8 56
− × = − × = −
2 ( 13) 2 13 26
− × − = × =
Règle des signes + × + → +
− × −
→ +
+ × − → −
− × + → −
+
même
signe
signes
différents
je garde le signe
j’additionne
je garde le signe du
« plus grand »
je soustrais

Remarques - Le produit d’un nombre par 0 est égal à 0.
- Le produit d’un nombre par 1 est égal à lui-même.
- Le produit d’un nombre par (-1) est égal à son opposé.
Pour tout nombre
a
, on a
0 0 0
a a
× = × =
1 1
a a a
× = × =
(
)
(
)
1 1
a a a
× − = − × = −
(Attention : le signe de
a
−
dépend du signe de
a
.)
Exemples
(
)
0 5 0
× − =
(
)
1 5 5
× − = −
(
)
1 ( 5) 5
− × − =
Règle Le produit de plusieurs nombres relatifs est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair ; il
est négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair.
Exemples
(
)
(
)
2 3 2 4 2 3 2 4 48
× − × − × = × × × =
(
)
(
)
(
)
3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 36
− × × − × − × = − × × × × = −
III. Quotient de nombres relatifs
Définition Le quotient de
a
par
b
(avec
0
b
≠
) est le nombre qui, multiplié par
b
, donne
a
.
On le note
a
b
ou
a b
÷
.
a
b a
b
× =
Exemples Le nombre
x
qui vérifie l’égalité
(
)
3 5
x
× − = −
est
5
3
−
−
.
Le nombre
x
qui vérifie l’égalité
7 1
x
= −
est
1
7
−
.
Remarques - Pour tout nombre
a
, on a
1
a
a
=
.
- Pour tout nombre
b
non nul, on a 0
0
b
=
et
1
b
b
=
.
- On ne peut pas diviser par 0.
Exemples 8
8
1
−
= −
0
0
7
=
3
1
3
−
=
−
Définition Soit
x
un nombre non nul.
L’ inverse de
x
est le nombre qui, multiplié par
x
, donne 1. C’est donc le quotient
1
x
noté au aussi
1
x
−
.
1
1
x
x
× =

Exemples L’inverse de 2 est
1
2
soit 0,5.
1
2 1
2
× =
L’inverse de
3
−
est
1
3
−
.
( )
1
3 1
3
− × − =
L’inverse de
1
2
est 2.
L’inverse de
1
3
−
est
3
−
.
Règle Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse.
Pour tous nombres
a
et
b
(avec
b
non nul)
1
aa
b b
= ×
Démonstration 1 1
car (définition du quotient)
1
1 car 1 (définition de
l'inverse)
ab a
b b b
ab
b
a
a b
b
b
a
b
×× = × × =
= × × =
=
Exemple 3 1
3 3 2 6
0,5 0,5
−
= − × = − × = −
Règle Le quotient de deux nombres relatifs est positif si les deux nombres sont de même signe ; il
est négatif si les deux nombres sont de signes différents.
Sa distance à zéro est égale au quotient des distances à zéro des deux nombres.
Remarques La règle des signes est la même pour la multiplication et la division.
Exemples
(
)
3 2 3 2 1,5
÷ − = − ÷ = −
8 8
2
4 4
−
= =
−
1
1 3 0,333
3
− ÷ = − ≃
2 2
0,286
7 7
= − −
−
≃
valeur exacte valeur approchée