Partie 1 : un ensemble de matrices Partie 2 : étude d`une application

Universit´e Claude Bernard - Lyon 1 Semestre d’automne 2012-2013
Math III - PMI Dur´ee : 1 heure et 30 minutes
Partie CCP - Devoir num´ero 1
Le candidat attachera la plus grande importance `a la clart´e, `a la pr´ecision et `a la concision de la r´edaction.
Si un candidat est amen´e `a rep´erer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et
devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.
Dans toutes les questions, il sera tenu le plus grand compte de la rigueur de la r´edaction ; toute r´eponse insuf-
fisamment justifi´ee sera consid´er´ee comme nulle.
Dans tout le probl`eme, on fixe un nombre entier n∈N∗et un nombre r´eel α. Notations :
•si pet qsont deux nombres entiers naturels p≤q, alors on d´esigne par Jp, qKl’ensemble des nombres entiers
naturels ktels que p≤k≤q,
•si k∈N, alors on note Ck[X] l’ensemble des polynˆomes de degr´e au plus k`a coefficients complexes.
Partie 1 : un ensemble de matrices
On note Jl’ensemble de toutes les matrices du type Jλ=
λ1 0
0λ1
0 0 λ
lorsque λd´ecrit C∗. On note ´egalement I
la matrice diagonale d’ordre 3 dont les ´el´ements diagonaux sont tous ´egaux `a 1.
1. L’ensemble Jest-il un sous-espace vectoriel de M3(C) ?
2. On note Nla matrice J0. Calculer Nppour tout p∈N.
En d´eduire que, pour λ∈C∗, il existe trois suites complexes (up)p,(vp)pet (wp)pdont on exprimera le
terme g´en´eral `a l’aide de λtelles que :
∀p∈N,(Jλ)p=up·I+vp·N+wp·N2.
3. Soit λ∈C∗. On pose, pour tout p∈N,Sp=
p
X
k=0
1
k!(Jλ)k.
Montrer qu’il existe une suite complexe (xp)p≥0que l’on explicitera, telle que pour tout entier p≥2, on
ait :
Sp=xp·I+xp−1·N+1
2xp−2·N2.
4. On admettra le r´esultat suivant : si z∈C∗alors lim
p→+∞
p
X
k=0
zk
k!=ez.
Pour p∈N, on note ai,j (p) le coefficient de Spsitu´e sur la ligne iet sur la colonne j(avec (i, j)∈ {1,2,3}2).
D´eterminer la matrice Sdont le coefficient g´en´eral ai,j est ´egal `a :
ai,j = lim
p→+∞ai,j (p).
Partie 2 : ´etude d’une application lin´eaire
On note El’ensemble de toutes les applications d´efinies sur R`a valeurs dans C. On rappelle que Eest un C-espace
vectoriel pour les lois suivantes : si fet gsont deux telles applications et λun nombre complexe, alors f+get
λf sont d´efinies comme suit :
∀x∈R,(f+g)(x) = f(x) + g(x) et (λf)(x) = λf(x).
On note d’autre part [0] l’application nulle de Rdans C, `a savoir [0] : x∈R7−→ 0.
1

5. Pour f∈E, on appelle gl’application d´efinie par : ∀x∈R,g(x) = f(x+ 2π). Montrer avec soin que
l’application ϕ:f7−→ ϕ(f) = gest un endomorphisme de E.
Pour k∈N, on d´esigne par Ekle sous-ensemble de Econstitu´e des applications du type : x7−→ P(x)·eiαx avec
P∈Ck[X].
6. (a) Montrer que Enest le sous-espace vectoriel de Eengendr´e par la famille F= (fk)0≤k≤no`u l’on a not´e :
fk:x7−→ xkeiαx ∀k∈J0, nK.
Montrer alors que Fest une base de En.
(b) Exprimer simplement En+1 `a l’aide de Enet de la droite vectorielle {λfn+1 |λ∈C}.
7. (a) Soit k∈J0, nK.´ Ecrire ϕ(fk) comme une combinaison lin´eaire des ´el´ements de F.
(b) En d´eduire que ϕ(En)⊂En.
8. On d´esigne par ml’endomorphisme de End´efini par : pour f∈En,m(f) = ϕ(f).
On note Mla matrice de mrelativement `a la base F. Montrer que Mest une matrice triangulaire sup´erieure
(d’ordre n+1) que l’on pr´ecisera (on pourra faire figurer dans cette matrice uniquement les coefficients nuls,
les coefficients diagonaux, ainsi que ceux situ´es juste au-dessus de la diagonale).
9. Calculer, pour p∈N, le d´eterminant de l’endomorphisme mp.
Partie 3 : changement de base
On reprend toutes les notations de la partie pr´ec´edente. On note Id l’application identit´e de En, `a savoir Id :
f7−→ f. On consid`ere un nouvel endomorphisme : l=m−(e2iπα) Id.
10. (a) V´erifier que l(f0) est l’application nulle [0].
(b) Soit k∈J0, n −1K. Montrer que l(fk+1) est un ´el´ement de Eket que sa composante selon fkvaut :
2(k+ 1)πe2iπα.
(c) En d´eduire que pour tout k∈J0, nK,Ek⊂Ker(lk+1).
(d) ´ Etablir la propri´et´e suivante :
∀k∈J0, nK, lk(fk)=(k!(2π)ke2ikπα)f0.
(e) En d´eduire que ln(fn)6= [0] et ln+1(fn) = [0].
11. Montrer que B= (ln(fn), ln−1(fn), . . . , l(fn), fn) est une base de En.
12. D´eterminer la matrice de lrelativement `a la base B.
13. En d´eduire la matrice de mdans la base B. Dans la suite, on notera M0cette matrice.
14. On note Jn+1 l’ensemble des matrices carr´ees A= (ai,j )(i,j)∈J1,n+1K2`a coefficients complexes v´erifiant les
quatre conditions suivantes :
•a1,1est de module 1,
• ∀(i, j)∈J1, n + 1K2,ai,i =aj,j ,
• ∀i∈J1, nK,ai,i+1 = 1,
• ∀(i, j)∈J1, n + 1K2, (j−i /∈ {0,1} ⇔ ai,j = 0).
Montrer que l’application qui `a un nombre r´eel αassocie la matrice M0est une surjection de Rdans Jn+1.
2

Correction du Devoir Surveill´e 1 - partie CCP
Partie 1 - un ensemble de matrices
1. La matrice nulle, ´el´ement neutre de l’addition des matrices, n’appartient pas `a J, donc Jn’est pas un
sous-espace vectoriel de M3(C).
2. On a N0=I,N1=
010
001
000
,N2=
001
000
000
, et pour p≥3, Npest la matrice nulle (not´ee 0M3(C)).
Soit λ∈C∗, on a Jλ=λI +N. Puisque Iet Ncommutent, on peut utiliser la formule du binˆome de
Newton, on obtient donc :
∀p∈N,(Jλ)p= (λI +N)p=
p
X
k=0 p
k(λI)p−kNk.
D’o`u pour tout p≥2, (Jλ)p=λpI+pλp−1N+p(p−1)
2λp−2N2. De plus, pour p= 0, le membre de droite
de l’´egalit´e pr´ec´edente vaut I= (Jλ)0, et pour p= 1, le membre de droite vaut λI +N=Jλ. En conclusion,
pour tout p∈N, on a (Jλ)p=upI+vpN+wpN2, avec up=λp,vp=pλp−1et wp=p(p−1)
2λp−2.
3. On pose pour tout p∈N,
Sp=
p
X
k=0
1
k!(Jλ)k=
p
X
k=0
1
k!(ukI+vkN+wkN2) = p
X
k=0
1
k!uk!I+ p
X
k=0
1
k!vk!N+ p
X
k=0
1
k!wk!N2
= p
X
k=0
1
k!λk!I+ p
X
k=0
1
k!kλk−1!N+ p
X
k=0
1
k!
k(k−1)
2λk−2!N2
= p
X
k=0
1
k!λk!I+ p
X
k=1
k
k!λk−1!N+1 2 p
X
k=2
k(k−1)
k!λk−2!N2
= p
X
k=0
1
k!λk!I+ p
X
k=1
1
(k−1)!λk−1!N+1 2 p
X
k=2
1
(k−2)!λk−2!N2
= p
X
k=0
λk
k!!I+ p−1
X
k=0
λk
k!!N+1 2 p−2
X
k=0
λk
k!!N2
On obtient donc, pour tout p≥2, Sp=xpI+xp−1N+1
2xp−2N2, o`u la suite (xp)pest d´efinie pour tout
p∈Npar xp=
p
X
k=0
λk
k!.
4. Pour tout p∈N, on a Sp=
xpxp−11
2xp−2
0xpxp−1
0 0 xp
.
Puisque la suite (xp)pconverge vers eλ, on a lim
p→+∞xp=eλ= lim p→+∞xp−1= lim p→+∞xp−2, donc
S=
eλeλ1
2eλ
0eλeλ
0 0 eλ
=eλ
1 1 1
2
0 1 1
0 0 1
.
Partie 2 - ´etude d’une application lin´eaire
5. Soit f∈Eet g:x∈R7−→ f(x+ 2π). On note ϕ:f∈E7−→ g. Puisque fest d´efinie sur R`a valeurs
complexes, gest aussi d´efinie sur R`a valeurs dans C. Ainsi, ϕest une application de Edans E. Il reste `a
3

montrer que ϕest lin´eaire. Soient (f1, f2)∈E2et λ∈C. Pour tout x∈R, on a
ϕ(λf1+f2)(x) = (λf1+f2)(x+ 2π) = λf1(x+ 2π) + f2(x+ 2π) = (λϕ(f1) + ϕ(f2))(x).
Ainsi ϕ(λf1+f2) = λϕ(f1) + ϕ(f2), donc ϕest un endomorphisme de E.
6. (a) Puisque (1, X, X2, . . . , Xn) est une base de Cn[X], pour tout P∈Cn[X], il existe (a0, . . . , an)∈Cn+1
tel que P=
n
X
k=0
akXk. Par cons´equent, on a
f∈En⇐⇒ ∃P∈Ck[X],∀x∈R, f(x) = P(x)eiαx
⇐⇒ ∃(a0, . . . , an)∈Cn+1,∀x∈R, f (x)=(a0+a1x+· · · +anxn)eiαx
⇐⇒ ∃(a0, . . . , an)∈Cn+1, f =
n
X
k=0
akfk.
On obtient donc En= Vect(f0, . . . , fn).
Montrons que la famille (fk)0≤k≤nest libre. Soit (µ0, . . . , µn)∈Cn+1 tel que µ0f0+· · · +µnfn= [0].
Alors pour tout x∈R, on a (µ0+µ1x+· · · +µnxn)eiαx = 0. Comme eiαx 6= 0 pour tout x∈R,
on obtient µ0+µ1x+· · · +µnxn= 0. Ainsi, le polynˆome µ0+µ1X+· · · +µnXn∈Cn[X] poss`ede
une infinit´e de racines, c’est donc le polynˆome nul. Par cons´equent, ∀0≤k≤n, on a µk= 0, donc la
famille (fk)0≤k≤nest libre. C’est une famille libre et g´en´eratrice de En, donc c’est une base de En. (On
en d´eduit au passage la dimension de En: dim(En) = n+ 1.)
(b) On a En+1 = Vect(f0, . . . , fn, fn+1) = Vect(f0, . . . , fn) + Vect(fn+1) = En+{λfn+1 |λ∈C}.
7. (a) Soit k∈J0, nK. Soit x∈R. On a ϕ(fk)(x) = fk(x+2π)=(x+2π)keiα(x+2π)=
k
X
p=0 k
p(2π)k−pxpe2iπαeiαx
donc ϕ(fk) =
k
X
p=0 k
p(2π)k−pe2iπαfpest une combinaison lin´eaire d’´el´ements de F.
(b) Soit f∈En. Alors il existe (a0, . . . , an)∈Cn+1 tel que f=a0f0+· · · +anfn. Par lin´earit´e de
ϕ, on obtient donc ϕ(f) =
n
X
k=0
akϕ(fk). Or d’apr`es la question pr´ec´edente, pour tout 0 ≤k≤n,
fkappartient `a En. Puisque Enest un espace vectoriel, il est stable par combinaison lin´eaire, donc
finalement ϕ(f)∈En. Ainsi, on a bien ϕ(En)⊂En.
8. Soit m∈ L(En) d´efini par m:f∈En7−→ ϕ(f). On remarque que mn’est rien d’autre que la restriction de
ϕ`a En. D’apr`es la question 7.a, on a ϕ(f0) = e2iπαf0et pour k∈J1, nK,ϕ(fk) = e2iπαfk+2kπe2iπαfk−1+hk
o`u hk∈Vect((fp)0≤p≤k−1). La matrice de mdans la base Fest donc la matrice d’ordre n+ 1 suivante :
M=e2iπα
1 2π ? · · · · · · ?
0 1 4π....
.
.
0 0 1 6π....
.
.
.
.
..........?
.
.
. 0 1 2nπ
0· · · · · · · · · 0 1
.
9. On a det(mp) = (det m)p. Or det m= det M=e2iπ(n+1)αcomme produit des termes diagonaux d’une
matrice triangulaire sup´erieure d’ordre (n+ 1). Ainsi, det(mp) = e2iπ(n+1)pα.
Partie 3 - changement de base
10. On note l=m−(e2iπα) Id.
4

(a) On a vu que m(f0) = e2iπαf0, donc (m−e2iπα Id)(f0) = [0], ainsi on a bien l(f0) = [0].
(b) Soit k∈J0, n −1K. On a vu que m(fk+1) = e2iπαfk+1 + 2(k+ 1)πe2iπαfk+hk−1avec hk−1∈
Vect((fp)0≤p<k). Par suite, l(fk+1) = 2(k+ 1)πe2iπαfk+hk−1. Ainsi, l(fk+1)∈Eket sa composante
selon fkest 2(k+ 1)πe2iπα.
(c) On a d´emontr´e que Ek+1 = Vect(fk+1) + Ek. Comme l(fk+1)) ∈Eket l(Ek)⊂Ek(puisque lest un
endomorphisme de Ek), par lin´earit´e de l, on en d´eduit que ∀k∈J0, n −1K,l(Ek+1)⊂Ek. D´emon-
trons par r´ecurrence (finie) sur kque lk+1(Ek) = {[0]}. Pour k∈J0, nK, notons H(k) la proposition
“lk+1(Ek) = {[0]}00.
•On a E0= Vect(f0) et l(f0) = [0] d’o`u l(E0) = {[0]}. La proposition H(0) est donc vraie.
•Supposons H(k) vraie pour un entier kfix´e dans J0, n −1K. Alors (lk+2(Ek+1) = lk+1(l(Ek+1)) ⊂
lk+1(Ek) = {[0]}. La propri´et´e H(k+ 1) est donc vraie, d’o`u le r´esultat voulu d’apr`es le principe de
r´ecurrence.
(d) On proc`ede encore une fois par r´ecurrence. Pour k∈J0, nK, notons P(k) la proposition “lk(fk) =
k!(2π)ke2ikπαf0”.
•On a l0(f0) = f0et 0!(2π)0e0f0=f0donc P(0) est vraie.
•Supposons P(k) vraie pour une entier k∈J0, n −1Kfix´e. Avec les notations pr´ec´edentes, on a
l(fk+1) = (2(k+ 1)πe2iπα)fk+hk−1d’o`u par lin´earit´e de lk,
lk+1(fk+1) = (2(k+ 1)πe2iπα)lk(fk) + lk(hk−1) = (2(k+ 1)πe2iπα)(k!(2π)ke2ikπα)f0+ [0]
= (k+ 1)!(2π)k+1e2i(k+1)παf0.
Donc P(k+ 1) est vraie. Ainsi d’apr`es le principe de r´ecurrence, P(k) est vraie pour tout k∈J0, nK.
(e) On calcule ln(fn)(0) = n!(2π)ne2inπα 6= 0 donc ln(fn) n’est pas l’application nulle. De plus, toujours
par lin´earit´e de l,ln+1(fn)=(n!(2π)ne2inπα)l(f0) = [0].
11. Notons B= (ln(fn), . . . , l(fn), fn). Comme dim(En) = n+1 et que la famille Bposs`ede n+1 ´el´ements de En,
il suffit de d´emontrer que la famille est libre pour prouver que c’est une base de En. Soit (µ0, . . . , µn)∈Cn+1
tel que µ0fn+µ1l(fn) + · · · +µnln(fn) = [0] (?). On applique ln`a (?), et on obtient µ0ln(fn) = [0]. Puisque
ln(fn)6= [0], on en conclut donc µ0= 0. On r´eit`ere l’op´eration et on montre par r´ecurrence imm´ediate que
pour tout k∈J0, nK,µk= 0. Ainsi la famille Best libre, donc c’est une base de En.
12. Pour tout k∈J0, n −1K,l(lk(fn)) = lk+1(fn) et l(ln(fn)) = [0], donc la matrice de ldans la base Best
0 1 0 . . . . . . 0
0 0 1 0 .
.
.
.
.
...........
.
.
.
.
.......0
.
.
. 0 1
0 0 . . . . . . 0 0
.
13. Par construction, m=l+e2iπα Id donc la matrice de mdans la base B, not´ee M0, est
M0= MatB(l) + e2iπαIn=
e2iπα 1 0 . . . . . . 0
0e2iπα 1 0 .
.
.
.
.
...........
.
.
.
.
.......0
.
.
.e2iπα 1
0 0 . . . . . . 0e2iπα
.
5