Quasi-Abelian Homological Algebra

Alg`ebre Homologique Quasi-Ab´elienne
Juin 1995 M´emoire pr´esent´e par
pour l’obtention du Diplˆome
d’Etudes Approfondies de
math´ematiques
Laboratoire Analyse,
G´eom´etrie et Applications
URA CNRS 742
Universit´e Paris-Nord
Institut Galil´ee
Fabienne Prosmans

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K
K
D
7
3
9
15
8
D
A
A A
NA A
A
Introduction
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Depuis de nombreuses ann´ees, les m´ethodes de l’alg`ebre homologique se sont av´er´ees
efficaces pour traiter de nombreux probl`emes math´ematiques dans des domaines aussi
vari´es que la topologie alg´ebrique, la g´eom´etrie alg´ebrique ou plus r´ecemment la
th´eorie des ´equations aux d´eriv´ees partielles. Malgr´e diverses tentatives int´eressantes
(cf. ), l’application de ces techniques `a l’analyse fonctionnelle n’a pas encore abouti
`a une th´eorie enti`erement satisfaisante.
L’alg`ebre homologique traditionnelle telle qu’elle est expos´ee dans est en effet
construite pour des cat´egories ab´eliennes et ne s’applique donc pas `a des cat´egories
telles que celle des espaces localement convexes.
L’alg`ebre homologique moderne bas´ee sur la notion de cat´egorie d´eriv´ee peut
s’adapter plus facilement au but recherch´e. Des cat´egories telles que celle des espaces
de Banach ou des espaces de Fr´echet sont en effet des cat´egories exactes au sens
de Quillen et une d´efinition de leur cat´egorie d´eriv´ee a ´et´e sugg´er´ee par Deligne
(cf. ). Laumon a expos´e cette id´ee un peu plus en d´etails dans pour l’appliquer
`al’´etude des -modules filtr´es.
En pratique, la notion de cat´egorie exacte est trop g´en´erale et on peut obtenir
des r´esultats plus int´eressants si on se limite `a la notion de cat´egorie quasi-ab´elienne
comme nous l’a conseill´e Jean-Pierre Schneiders.
Le but de ce m´emoire est d’exposer de mani`ere aussi autonome que possible
la construction de la cat´egorie d´eriv´ee d’une cat´egorie quasi-ab´elienne et de ses
t-structures canoniques. La d´emarche suivie consiste `a construire tout d’abord la
cat´egorie des complexes modulo homotopie associ´ee `a une cat´egorie additive
et `a la munir de deux t-structures canoniques. Ensuite, lorsque la cat´egorie
est quasi-ab´elienne, nous introduisons un syst`eme nul canonique de et
construisons la cat´egorie d´eriv´ee et ses t-structures par localisation. Nous
consid´erons ´egalement le probl`eme de la d´erivation des foncteurs dans ce contexte.
Enfin, `a titre d’exemple nous appliquons la th´eorie g´en´erale au cas de la cat´egorie
des espaces de Banach et nous montrons comment d´eriver les foncteurs naturellement
associ´es `a cette cat´egorie. Cela ´etablit un lien avec notre m´emoire .

ii
411
10
6
2
[] [ ]
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[]
Nous nous sommes largement inspir´es de la th´eorie des cat´egories d´eriv´ees telle
qu’elle est expos´ee dans et , et d’un article en pr´eparation de Jean-Pierre
Schneiders .
Nous supposerons que le lecteur a une bonne connaissance de la th´eorie des
cat´egories telle qu’elle est expos´ee par exemple dans . En ce qui concerne les
r´esultats d’analyse fonctionnelle, notre r´ef´erence standard sera .
Je tiens `a remercier vivement Jean-Pierre Schneiders pour son aide pr´ecieuse, sa
grande disponibilit´e et ses encouragements pendant la pr´eparation et la r´edaction de
ce travail.
Enfin, je ne voudrais pas terminer cette introduction sans remercier tr`es sinc`ere-
ment mes parents qui m’ont permis d’entreprendre cette ann´ee d’´etudes `a Paris.

1
A
A
AA A
AB
A
AA
A
B
AB
B
A
B
BB
Remarque 0.1.3.
A
∈A
∈A
×
A
AB A B
∈A
A×
×
×
×
×
Rappels de th´eorie des cat´egories
cat´egorie additive
foncteur
additif
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-
-
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R
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@R
0.1. Cat´egories additives
D´efinition 0.1.1.
D´efinition 0.1.2.
A B A, B
,
ABC
A, B B, C A, C
F
AB
A, B F A , F B
AB AB
AB iA AB
A
p
AiAB
p
B
pp AB
iB AB
A
p
BiAB
p
B
CHAPITRE 0
Une est si elle v´erifie les conditions suivantes :
i) pour tout , Ob( ), Hom ( ) a une structure de groupe ab´elien,
ii) il existe un objet nul i.e. un objet 0 tel que Hom (0 0) = 0,
iii) pour tout , , Ob( ), l’application
Hom ( ) Hom ( ) Hom ( )
est bi-additive,
iv) le produit et le coproduit d’un nombre fini d’objets de existent.
Soient et deux cat´egories additives. Un :
est si pour tout , Ob( ), il induit un homomorphisme de groupes
ab´eliens de Hom ( ) dans Hom ( ( ) ( )).
Soient et deux objets d’une cat´egorie additive . Si
est le produit de et , il existe un morphisme unique : tel que le
diagramme suivant soit commutatif.
id
0
(Les morphismes et sont les projections sur et respectivement.)
De mˆeme, il existe un morphisme unique : tel que le diagramme
suivant soit commutatif.
0
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