PPCM deux de entiers relatifs. Lien entre le PGCD

PPCM deux de entiers relatifs.
Lien entre le PGCD et le PPCM.
Proposition 1 et définition
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
L'ensemble des multiples, strictement positifs, communs à a et b admet un plus petit élément
.
Ce nombre
est appelé : plus petit multiple commun et est noté
PPCM a,b
Preuve de la proposition 1.
Cet ensemble n'est pas vide puisque il contient de
∣ a b ∣
c'est donc une partie non vide de
ℕ*
elle
admet un plus petit élément non nul.
Proposition 2
L'ensemble des multiples communs de a et b est l'ensemble des multiples de
=PPCM a,b
(en particulier
divise tous les multiples communs de a et b)
Preuve de la proposition 2.
Si M est multiple de
il est aussi clairement de a et b (puisque
l'est); tout multiple de
est
multiple commun de a et b.
Réciproquement Soit M un multiple commun de a et b la DE de M par
s'écrit
M=qr
où
0r
a et b divisent M et
donc ils divisent
M−q
c'est à dire
r
, r est donc un multiple commun de
a et b . Par définition de
(plus petit multiple commun) et puisque
0r
nécessairement
r=0
. M est donc un multiple de
Les multiples communs de a et b sont les multiples de
.
Proposition 3
Si a et b sont deux entiers relatifs non nuls alors :
PGCD a,b ×PPCM a,b = ∣ a×b ∣
Application: je connais
PPCM a,b
dès que j'ai déterminé
PGCD a,b
Preuve de la proposition 3.
puisque
PPCM a,b =PPCM ∣ a ∣ , ∣ b ∣
et
∣ ab ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣
nous pouvons considérer a et b entiers
naturels non nuls.
Soit
= PGCD a,b
il existe alors a' et b' premiers entre eux tels que
a= a '
et
b=b '
Observons alors le nombre
= a ' b '
et un multiple de a et b puisque
= a ' b '=a b '=a ' b
Soit M un multiple commun de a et b; M s'écrit alors
M= a
;
M=b
;
et
relatifs .
M=a= a '
et
M=b= b '
alors
 a ' = b '
alors
a ' = b '
{
a '∣b '
a∧b=1
alors d'après le théorème de Gauss
a '∣
, il existe donc
' tel que
=' a '
Ainsi
M=b '=' a ' b ' ='a ' b ' ='
Conclusion Tout multiple commun de a et b est aussi multiple de
= a ' b '
autrement dit
= PPCM a,b
ainsi :
PPCM a,b =a ' b '
et :
PGCD a,b ×PPCM a,b =×=  a ' b ' = a ' b ' =a×b
PGCD a,b ×PPCM a,b =a×b
Proposition 4
Pour tout
k∈ℕ*
PPCM k a ,k b =k PPCM a,b
S. Baudet page 1 sur 2

PPCM deux de entiers relatifs.
Lien entre le PGCD et le PPCM.
Proposition 5
PGCD, PPCM et décomposition en produit de facteurs premiers de deux entiers naturels non nuls
Calcul du PGCD
Le PGCD de a et b est égal au produit des facteurs premiers communs aux décompositions de a et b
affectés du plus petit exposant sous lequel il figure dans ces deux décompositions.
Calcul du PPCM
Le PPCM de a et b est égal au produit de tous les facteurs premiers figurant dans l'une ou l'autre des
décompositions de a et b affectés du plus grand exposant sous lequel il figure dans l'une ou l'autre
des décompositions.
Autrement dit:
Soit
p1,p2,pn
la liste ordonnées de tous les nombres premiers présents dans les décompositions
de a et b :
a=p1
1×p2 2×× pn n
b=p1
1×p2 2×× pn n
où les
_i et
_i sont positifs
(éventuellement nuls)
alors
PGCD a;b =p1
min 1,1
×p2
min 2,2
×× pn
min n,n
=∏
i=1
i=n
pi
min i,i
PPCM a;b =p1
max 1;1
×p2
max 2;2
×× p1
max n;n
=∏
i=1
i=n
pi
max i;i
Exercices
1. Soit
a=7n 5n2−5n
et
b=5n 7n2−7n
. Déterminer
PPCM a,b
2. n
∈
ℕ
a=n23n
b= 2n1 n3
. Déterminer
PPCM a,b
3. Déterminer les couples d'entiers naturels solutions
x,y
du système
{
x y=28040
PPCM x,y =960
4. Déterminer les PPCM des couples (162;252) et (220;315)
5. Décomposer m et n , calculer leur PGCD et leur PPCM puis ceux de
m2
et
n2
dans les cas
suivants:
a) m=900 et n=750 b) m=1410 et n=1092 c) m=550 et n=351
6. Trouver tous les entiers a tel que
PPCM a, 15 =420
(idem =421)
7. Quel est le PPCM de deux nombres consécutifs ?
Sur le livre...
Travailler les exercices résolus G et H page 411. Exercices page 425
S. Baudet page 2 sur 2