PPCM deux de entiers relatifs. Lien entre le PGCD
publicité
PPCM deux de entiers relatifs.
Lien entre le PGCD et le PPCM.
Proposition 1 et définition
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
L'ensemble des multiples, strictement positifs, communs à a et b admet un plus petit élément .
Ce nombre est appelé : plus petit multiple commun et est noté PPCM a , b
Preuve de la proposition 1.
Cet ensemble n'est pas vide puisque il contient de ∣a b∣ c'est donc une partie non vide de ℕ* elle
admet un plus petit élément non nul.
Proposition 2
L'ensemble des multiples communs de a et b est l'ensemble des multiples de =PPCM a , b
(en particulier divise tous les multiples communs de a et b)
Preuve de la proposition 2.
Si M est multiple de il est aussi clairement de a et b (puisque l'est); tout multiple de est
multiple commun de a et b.
Réciproquement Soit M un multiple commun de a et b la DE de M par s'écrit M =q r où
0r
a et b divisent M et donc ils divisent M −q c'est à dire r , r est donc un multiple commun de
a et b . Par définition de (plus petit multiple commun) et puisque 0r nécessairement
r =0 . M est donc un multiple de
Les multiples communs de a et b sont les multiples de .
Proposition 3
Si a et b sont deux entiers relatifs non nuls alors :
PGCD a , b ×PPCM a , b =∣a×b∣
Application: je connais PPCM a , b dès que j'ai déterminé PGCD a , b
Preuve de la proposition 3.
puisque PPCM a , b =PPCM ∣a∣,∣b∣ et ∣ab∣=∣a∣∣b∣ nous pouvons considérer a et b entiers
naturels non nuls.
Soit = PGCD a , b il existe alors a' et b' premiers entre eux tels que a= a ' et b= b '
Observons alors le nombre = a ' b '
et un multiple de a et b puisque = a ' b '=a b '=a ' b
Soit M un multiple commun de a et b; M s'écrit alors M = a ; M =b ; et relatifs .
M =a= a ' et M =b= b ' alors a ' = b ' alors a ' = b '
a '∣b '
alors d'après le théorème de Gauss a '∣ , il existe donc ' tel que =' a '
a∧b=1
Ainsi M = b ' =' a ' b '=' a ' b '='
Conclusion Tout multiple commun de a et b est aussi multiple de = a ' b ' autrement dit
= PPCM a ,b
PPCM a , b = a ' b '
ainsi :
et : PGCD a , b ×PPCM a , b =×= a ' b '= a ' b ' =a×b
PGCD a , b ×PPCM a , b =a×b
{
Proposition 4
Pour tout k ∈ℕ* PPCM k a , k b =k PPCM a , b
S. Baudet
page 1 sur 2
PPCM deux de entiers relatifs.
Lien entre le PGCD et le PPCM.
Proposition 5
PGCD, PPCM et décomposition en produit de facteurs premiers de deux entiers naturels non nuls
Calcul du PGCD
Le PGCD de a et b est égal au produit des facteurs premiers communs aux décompositions de a et b
affectés du plus petit exposant sous lequel il figure dans ces deux décompositions.
Calcul du PPCM
Le PPCM de a et b est égal au produit de tous les facteurs premiers figurant dans l'une ou l'autre des
décompositions de a et b affectés du plus grand exposant sous lequel il figure dans l'une ou l'autre
des décompositions.
Autrement dit:
Soit p1 , p2 , pn la liste ordonnées de tous les nombres premiers présents dans les décompositions
de a et b : a= p1 × p 2 ×× pn
b= p 1 × p 2 ×× p n
où les _i et _i sont positifs
(éventuellement nuls)
alors
1
2
n
1
2
n
,
,
PGCD a ;b = pmin
× p min
×× p min
1
2
n
1
1
2
2
n
, n
i=n
=∏ pimin ,
i
i
i=1
i =n
;
;
PPCM a ;b = p1max ; × p max
×× p1max ; =∏ p max
2
i
1
1
2
2
n
n
i
i
i =1
Exercices
1. Soit a=7n 5n 2−5n et b=5n 7 n2−7 n
2. n ∈ ℕ a=n2 3 n
. Déterminer PPCM a , b
b= 2 n1 n3 . Déterminer PPCM a , b
3. Déterminer les couples d'entiers naturels solutions x , y du système
y=28040
{xPPCM
x , y =960
4. Déterminer les PPCM des couples (162;252) et (220;315)
5. Décomposer m et n , calculer leur PGCD et leur PPCM puis ceux de m 2 et n 2 dans les cas
suivants:
a) m=900 et n=750
b) m=1410 et n=1092
c) m=550 et n=351
6. Trouver tous les entiers a tel que PPCM a , 15 =420 (idem =421)
7. Quel est le PPCM de deux nombres consécutifs ?
Sur le livre...
Travailler les exercices résolus G et H page 411. Exercices page 425
S. Baudet
page 2 sur 2
