Isométrie de l`espace laissant un ensemble de 2 droites non cop

Isométries de l’espace laissant invariant un ensemble de 2 droites
non coplanaires.
On se place dans l’espace affine euclidien de dimension 3.
Soit D et D’ deux droites non coplanaires. On note Δ leur perpendiculaire commune, H
l’intersection de Δ et de D, H’ celle de Δ et D’.
On note G l’ensemble des isométries conservant {D, D’}. C’est un groupe pour la
composition. On note G+ l'ensemble des isométries positives et G-, l'ensemble des isométries
négatives.
Proposition 1 : soit f ∈ G.
a) On a : soit f (D)= D , soit f (D)= D’ (et aussi soit f (H)= H ou f (H)= H’)
b) La perpendiculaire commune Δ est globalement invariante par f et I, milieu de [HH’]
est invariant par f.
c) Le plan médiateur P de [HH’] est globalement invariant par f.
Démonstration : vient du fait que f est affine et conserve l’orthogonalité.
Soit d et d’ les projections orthogonales respectives de D et D’ sur P. Comme D etD' sont non
coplanaires, d et d' ne sont pas confondues. P étant globalement invariant par f, sa restriction à
P, fP , est une isométrie du plan P.
Comme f conserve l’orthogonalité, f conserve {d, d’} et par conséquent fP est une isométrie
plane conservant un ensemble de deux droites sécantes.
On note de plus Δ1 et Δ2 les droites de P, bissectrices du couple (d,d’).
Rappel : si g est une isométrie plane conservant un ensemble de deux droites sécantes en un
point I, d et d’, alors :
a) si d et d’ ne sont pas perpendiculaires, g est soit l’identité, soit la symétrie de centre I,
soit l’une des réflexions d’axe les bissectrices du couple de droites (d,d’).
b) si d et d’ sont perpendiculaires, g est soit l’une des isométries ci-dessus, soit l’une des
réflexion d’axe d ou d’axe d’, soit l’une des rotations de centre I et d’angle droit.
Remarque : d et d’ sont perpendiculaires si et seulement si D et D’ sont orthogonales.
Proposition 2: G contient une réflexion si et seulement si D et D' sont orthogonales.
Démonstration :
Si D et D’ sont orthogonales les réflexions de plan passant par D (resp D’) et orthogonal à D’
(resp D) conviennent.
Réciproquement, soit S une réflexion de G de plan p.
● Si S(D) = D et S(D') = D' alors soit D est une droite de p soit D est perpendiculaire à
p, et de même soit D' est une droite de p soit D' est perpendiculaire à p; comme D et D'
sont non coplanaires, p est le plan orthogonal à D contenant D' ou le plan orthogonal à
D' contenant D.
● Si S(D) = D' et S(D') = D. Supposons qu'il existe un point commun A à D et p , alors
S(A) = A (comme élément de p) et A est élément de D'. Dans ce cas , D et D' sont
sécantes ce qui est impossible car elles sont non coplanaires. On en déduit que D est
parallèle à p. Dans ce cas S(D) est parallèle à D ce qui est impossible puisque D et
S(D) = D' ne sont pas coplanaires.
Ph Michel
mars 2007
Proposition 3 : G- est non vide si et seulement si D et D' sont orthogonales.
Démonstration :
On a vu que si D et D' sont orthogonales alors G- contient des réflexions.
Supposons qu'elles ne soient pas orthogonales. Soit F un antidéplacement de G. Comme il a
au moins un point invariant et que ce n'est pas une réflexion c'est une antirotation, laissant I
invariant et la droite Δ glogalement invariante, mais non invariante point par point.
Doù f(H) = H'.
Comme toute antirotation est le produit commutatif, d'une rotation r et d'une réflexion s dont
l'axe et le plan sont perpendiculaires ; on pose F = r o s =s o r.
On déduit que r a pour axe Δ et s a pour plan P. La restriction de F à P est donc une rotation
de centre I échangeant d et d'.
Comme D et D' ne sont pas orthogonales, d et d' ne le sont pas, donc d'après le a) du rappel ,
la restriction de F à P est la symétrie centrale de centre I, dans ce cas r est le demi-tour d'axe
Δ, composée de deux réflexions de deux plans perpendiculaires en Δ .
Il vient alors que f est la symétrie de centre A et alors F(D) = D' et D sont parallèles ce qui est
contradictoire.
Etude du cas : D et D’ non orthogonales : G = G+.
i)
fP = Id : le plan P est invariant point par point par f.
Si f (H)=H, f laisse invariant point par point un plan et un point extérieur à ce plan.
Donc f =Id, qui est bien solution du problème.
Ph Michel
mars 2007
Si f (H)=H’, f laisse invariant point par point un plan P et échange deux points,
donc f ne peut être que la réflexion de plan P, ce qui n’est pas possible.
ii)
fP = σI , symétrie de centre I.
Si f (H) = H, f laisse invariant H et I et donc point par point la droite (IH) = Δ. Une
isométrie de l’espace ayant une droite de points invariants est soit une réflexion de
plan contenant Δ, soit une rotation d’axe Δ.
Ce n’est pas une réflexion, c’est donc une rotation d’axe Δ. Donc f ne peut être
que le retournement d’axe Δ. On le note r0 ; c’est bien solution du problème.
Si f (H) = H’, f est la symétrie de centre I, elle transforme toute droite en une droite
parallèle ce qui n’est pas le cas de D et D’ ; cette isométrie ne convient donc pas.
iii)
fP = S1 , réflexion d’axe Δ1.
f n’est pas une réflexion et a une droite de points invariants et f (H)= H’ ; c’est
donc le demi-tour d’axe Δ1, noté r1. On obtient de même le demi-tour d’axe Δ2 ,
noté r2.
On vérifie que r1 est dans G en remarquant que r1 est la composée de la réflexion
de plan P et de la réflexion de plan contenant Δ et Δ1.
On fait de même pour r2.
Conclusion : dans le cas où D et D’ ne sont pas orthogonales, G = {Id, r 0, r1, r2}. G est un
groupe isomorphe au groupe de Klein.
Etude du cas : D et D’ orthogonales :
On obtient de la même manière que précédemment les isométries Id, r0, r1 et r2.
Proposition 4 : Soit s une réflexion de G alors G - = sG+ .
Démonstration :
sG+est inclus dans G - .
Soit f un élément de G -. Comme s o f est dans G+ , f = s o s o f est dans sG+.
Soit s la réflexion de plan contenant D et Δ.
s o r0 est la réflexion de plan contenant D' et Δ, qu'on notera s'.
s o r1 et s o r2 sont des antirotations, composées de la réflexion de plan P et d'un des quart-de
tour d'axe Δ.
Conclusion :
dans le cas où D et D’ sont orthogonales, G = {Id, r0, r1, r2, s, s', s o r1, s o r1}.
Ph Michel
mars 2007