Université de Metz Master 1 de Mathématiques 2008/2009 Alg`ebre

Universit´e de Metz
Master 1 de Math´ematiques 2008/2009
Alg`ebre. Partiel du 10 Novembre 2008
Question 1
Soit Aun anneau unitaire. Soit Iun ensemble. Nous notons AIl’ensemble des applications
ϕ:I→A`a support fini, c’ est `a dire pour ϕ∈AI, la partie supp(ϕ) := {i∈I;ϕ(i)6= 0}
de Iest finie.
Montrer que AIest un A−module libre et d´eterminer une base pour ce module libre. (1pt)
Question 2
(1) Soit Aun anneau unitaire. Supposons que tout id´eal `a gauche de Aest de type fini.
Montrer que toute famille Fnon-vide d’id´eaux `a gauche de Acontient un ´el´ement
maximal. (2pts)
(2) Soit Kun corps et soit A=K[X]. Soit B=M2(K). Soit α=0 1
−1 0 .
(a) Montrer directement (sans citer le th´eor`eme du cours) qu’il existe un homo-
morphisme unique µ:A→B, tel que µ(1) = 1 0
0 1 et tel que µ(X) = α.
(1pt)
(b) D´eterminer le noyau de l’homomorphisme µ.(1pt)
(3) Soit Aun anneau commutatif int`egre unitaire noeth´erien. Soit 0 6=a∈A. Montrer
que aposs`ede un diviseur irr´eductible. (2pts)
(4) Soit Aun anneau commutatif int`egre unitaire. Soit a∈Aun ´el´ement premier.
Montrer que aest irr´eductible. (1pt)
Question 3
(1) Soit Aun anneau commutatif, int`egre, unitaire et factoriel. Montrer que tout
´el´ement irr´eductible de Aest aussi premier.(1pt)
(2) Soit Aun anneau commutatif, int`egre, unitaire et factoriel et soit Kle corps des
fractions de A. Soit P∈A[X] un ´el´ement primitif. Supposons que Pest irr´eductible
dans K[X]. Montrer que Pest irr´eductible dans A[X].(2pts)
(3) Soit A=C(0,1) l’alg`ebre r´eelle des fonctions continues d´efinies sur l’intervalle [0,1]
`a valeurs r´eelles. Montrer que An’est pas noeth´erienne.(1pt)
(4) D´ecomposer en produit de facteurs irr´eductibles le polynˆome P= 2X4−5x3+
4X−1∈(Z/7Z)[X].(2pts)
(5) Soit Aun anneau commutatif int`egre unitaire et factoriel. Soient P, Q ∈A[X].
Montrer que le contenu de P Q est associ´e au produit des contenus de Pet de Q.
(2pts)
1

2
Question 4
Soient Aun anneau commutatif et Iun id´eal de A. On appelle radical de Il’ensemble not´e
√I={x∈A/∃n∈Nv´erifiant xn∈I}
1) Montrer que √Iest un id´eal de A.(1pt)
2) Soient kun corps commutatif et n≥2. En consid´erant A=Mn(k) l’anneau des matrices
carr´ees d’ordre n`a coefficients dans ket I={0}, montrer que l’hypoth`ese Acommutatif
est n´ecessaire dans la question 1).(1pt)
3) On revient au cas Acommutatif. Si Iet Jsont deux id´eaux quelconques de A:
(i) Montrer que p√I=√I(1pt)
(ii) Montrer que √IJ =√I∩J=√I∩√J(1pt)
(iii) Montrer que √I+J=p√I+√J(1pt)
4) Si Aest un anneau principal et Iun id´eal de A, d´eterminer √I.(1pt)
Question 5
Soient Aun anneau commutatif int`egre unitaire et Eune partie quelconque de A. On
rappelle que le sous-anneau de Aengendr´e par Eest le plus petit sous-anneau de A
contenant E. On le note < E >.
1) Montrer que si Eest fini alors < E > est noeth´erien (utiliser le th´eor`eme de Hilbert).
(1pt)
2) Soient maintenant kun corps commutatif et A=k[X, Y ]. On consid`ere E={XiYj, i >
j≥0} ∪ ket on pose B=< E > .
a) Montrer que P∈Bsi et seulement si Pest combinaison lin´eaire, `a coefficients dans k,
de 1 et d’un nombre fini de monˆomes de la forme XiYjavec i>j≥0.(1pt)
b) Montrer que B=< E0>o`u E0={Xi+1Yi, i ≥0} ∪ k.(1pt)
3) On veut montrer que Bn’est pas noeth´erien. Pour tout entier n≥1, soit Inl’d´eal
de Bengendr´e par X, X2Y,...,XnYn−1.On va montrer que c’est une suite strictement
croissante d’id´eaux de B. On raisonne par r´ecurrence:
Montrer que X2Y /∈I1et que In−1⊂In,(n≥2). Prouvons que Xn+1Yn/∈In.On suppose
le contraire, il existe donc des polynˆomes P1, . . . , Pn´el´ements de Btels que
Xn+1Yn=P1X+P2X2Y+. . . +PnXnYn−1.
En d´eduire que XnYn∈Bpuis conclure.(2pts)