Université de Metz Master 1 de Mathématiques 2008/2009 Alg`ebre

Université de Metz
Master 1 de Mathématiques 2008/2009
Algèbre. Partiel du 10 Novembre 2008
Question 1
Soit A un anneau unitaire. Soit I un ensemble. Nous notons AI l’ensemble des applications
ϕ : I → A à support fini, c’ est à dire pour ϕ ∈ AI , la partie supp(ϕ) := {i ∈ I; ϕ(i) 6= 0}
de I est finie.
Montrer que AI est un A−module libre et déterminer une base pour ce module libre. (1pt)
Question 2
(1) Soit A un anneau unitaire. Supposons que tout idéal à gauche de A est de type fini.
Montrer que toute famille F non-vide d’idéaux à gauche de A contient un élément
maximal. (2pts)
0 1
.
(2) Soit K un corps et soit A = K[X]. Soit B = M2 (K). Soit α =
−1 0
(a) Montrer directement (sans citer le théorème du
cours) qu’il existe un homo1 0
morphisme unique µ : A → B, tel que µ(1) =
et tel que µ(X) = α.
0 1
(1pt)
(b) Déterminer le noyau de l’homomorphisme µ.(1pt)
(3) Soit A un anneau commutatif intègre unitaire noethérien. Soit 0 6= a ∈ A. Montrer
que a possède un diviseur irréductible. (2pts)
(4) Soit A un anneau commutatif intègre unitaire. Soit a ∈ A un élément premier.
Montrer que a est irréductible. (1pt)
Question 3
(1) Soit A un anneau commutatif, intègre, unitaire et factoriel. Montrer que tout
élément irréductible de A est aussi premier.(1pt)
(2) Soit A un anneau commutatif, intègre, unitaire et factoriel et soit K le corps des
fractions de A. Soit P ∈ A[X] un élément primitif. Supposons que P est irréductible
dans K[X]. Montrer que P est irréductible dans A[X].(2pts)
(3) Soit A = C(0, 1) l’algèbre réelle des fonctions continues définies sur l’intervalle [0, 1]
à valeurs réelles. Montrer que A n’est pas noethérienne.(1pt)
(4) Décomposer en produit de facteurs irréductibles le polynôme P = 2X 4 − 5x3 +
4X − 1 ∈ (Z/7Z)[X].(2pts)
(5) Soit A un anneau commutatif intègre unitaire et factoriel. Soient P, Q ∈ A[X].
Montrer que le contenu de P Q est associé au produit des contenus de P et de Q.
(2pts)
1
2
Question 4
Soient A un anneau commutatif et I un idéal de A. On appelle radical de I l’ensemble noté
√
I = {x ∈ A/∃n ∈ N vérifiant xn ∈ I}
√
1) Montrer que I est un idéal de A.(1pt)
2) Soient k un corps commutatif et n ≥ 2. En considérant A = Mn (k) l’anneau des matrices
carrées d’ordre n à coefficients dans k et I = {0}, montrer que l’hypothèse A commutatif
est nécessaire dans la question 1).(1pt)
3) On revient aup
cas A commutatif. Si I et J sont deux idéaux quelconques de A:
√
√
(i) Montrer que √ I = √ I (1pt) √
√
∩ J = I ∩ J(1pt)
(ii) Montrer que IJ = I p
√
√
√
(iii) Montrer que I + J =
I + J(1pt)
√
4) Si A est un anneau principal et I un idéal de A, déterminer I.(1pt)
Question 5
Soient A un anneau commutatif intègre unitaire et E une partie quelconque de A. On
rappelle que le sous-anneau de A engendré par E est le plus petit sous-anneau de A
contenant E. On le note < E >.
1) Montrer que si E est fini alors < E > est noethérien (utiliser le théorème de Hilbert).
(1pt)
2) Soient maintenant k un corps commutatif et A = k[X, Y ]. On considère E = {X i Y j , i >
j ≥ 0} ∪ k et on pose B =< E > .
a) Montrer que P ∈ B si et seulement si P est combinaison linéaire, à coefficients dans k,
de 1 et d’un nombre fini de monômes de la forme X i Y j avec i > j ≥ 0. (1pt)
b) Montrer que B =< E 0 > où E 0 = {X i+1 Y i , i ≥ 0} ∪ k.(1pt)
3) On veut montrer que B n’est pas noethérien. Pour tout entier n ≥ 1, soit In l’déal
de B engendré par X, X 2 Y, . . . , X n Y n−1 . On va montrer que c’est une suite strictement
croissante d’idéaux de B. On raisonne par récurrence:
Montrer que X 2 Y ∈
/ I1 et que In−1 ⊂ In , (n ≥ 2). Prouvons que X n+1 Y n ∈
/ In . On suppose
le contraire, il existe donc des polynômes P1 , . . . , Pn éléments de B tels que
X n+1 Y n = P1 X + P2 X 2 Y + . . . + Pn X n Y n−1 .
En déduire que X n Y n ∈ B puis conclure.(2pts)