Lois de Probabilité Complement module 5:Statistique

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Lois de Probabilité
Complement
module 5:Statistique
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Loi de Bernoulli
Soit un univers 0 constitué de deux éventualités, S pour succès et E pour échec
0= {E, S}
sur lequel on construit une variable aléatoire discrète, « nombre de succès» telle que au cours
d'une épreuve,
si S est réalisé, X= 1
si E est réalisé, X =
°
On appelle variable de Bernoulli ou variable indicatrice,
la variable aléatoireX telle que: X: 0 ---t IR
X(O) = {O,l}
La loi de probabilité associée à la variable de Bernoulli X telle que,
P(X= 0) =q
P(X=l) = P avec p+q
1
est appelée loi de Bernoulli notée B(l,p)
=
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L'espérance de la variable de Bemoulli est
2
car par définition
E(X) = LXiPi
= (0 X
q) + (1 xp)
=P
;=1
La variance de la variable de Bernoulli est
V(X)
2
car par définition V(X) = LX;2p; - E(X)2 = [(0 X q) + (1 x p)] _ p2
;=1
d'où V(X)
=
P - p2 = P (1 - p)
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= pq
= pq
1
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Loi binomiale
Décrite pour la première
fois par Isaac Newton en 1676 et démontrée pour la première fois
par le mathématicien suisse Jacob Bernoulli en 1713, la loi binomiale est l'une des
distributions de probabilité les plus fréquemment rencontrées en statistique appliquée.
Soit l'application
avec
Sn : rl' ~ JR_11
Sn
= X]
+ X2 +...+ X + ...+ XI
où Xi est une variable de Bernoulli
La variable binomiale, Sn . représente le nombre de succès obtenus lors de la répétition de n
épreuves identiques et indépendantes, chaque épreuve ne pouvant donner que deux résultats
possibles.
Ainsi la loi de probabilité suivie par la somme de n variables de Bernoulli où la probabilité
associée au succès est p, est la loi binomiale de paramètres n et p.
Sn: on ~ JR_n
n
Sn
= 'L.x;,
i=l
~
13(n,p)
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La probabilité que Sn
=
k, c'est à dire l'obtention de k succès au cours de n épreuves
indépendantes est :
c:
P(S/1 = k) = /lP k q IJ-k
Dénlonstration
Il est facile de démontrer que l'on a bien une loi de probabilité car:
/1
LP(Sn
k=O
Il
=k)=
LC}~pkqll-k
= (p+q)11 =1 carp+q=l
k=O
Remarque : Le développement du binôme de Newton (p+q)" permet d'obtenir l'ensemble
des probabilités pour une distribution binomiale avec une valeur n et p donnée. Il existe
également des tables de la loi binomiale où les probabilités sont tabulées pour des valeurs n et
p données.
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Exemple:
Dans une expérience sur le comportement du rat, rattus norvegiens, on fait pénétrer
successivement n rats dans un labyrinthe en forme de H. On étudie alors la probabilité que k
rats empruntent la branche supérieure droite du H.
A chaque épreuve, deux évènements peuvent se produire: soit le rat suit l'itinéraire voulu
(succès) soit il ne l'emprunte pas (échec). Sachant qu'il y a 4 itinéraires possibles (branches),
la probabilité du succès p = 1/4.
Hypothèse:
- si les rats n'ont pas été conditionnés,
- si la branche supérieure droite ne comporte aucun élément attractif ou répulsif,
- si le choix de l'itinéraire d'un rat n'affecte pas le choix du suivant (odeurs)
alors: la variable aléatoire X « itinéraire emprunté pour x rats» suit une loi binomiale
1
X ~ j3(n,-)
4
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dont la distribution des probabilités est la suivante si l'on étudie le comportement de 5 rats:
k
P(X=k)
o , 40
Distribution de probabilités
de la variable binomiale X
X ~ B (5, 0,25)
~~
0,30
0,20
1
-
-
2
-
0,10
°
3
-
,
0,00
o
,
,
1
2
,
3
. .....
1
,
r
4
5
k
Nombre de rats ayant emprunt" la
branche suprleure droite du labyrinthe.
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4
5
P(X= k)
c~(~r
= 0,237
c~(~)G)
= 0,395
c~GrGr
-
c;
= 0,088
4
erer
4
4
c;(!)c)'
CgCr
0,264
= 0,015
= 0,001
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Espérance et variance pour la loi binomiale
E(Sn) = np
L'espérance d'une variable binomiale Sn est égale à
en effet
E(SII) = E(X1 + X2+ ... + X+ ...+ XI)
n
or
E(X1 + X2+· .. + X;+ ...+ Xn) = LE(X;)
propriété de l'espérance
;=1
n
Il
et
E(SII) = L E(X;) = LP
Î= 1
d'où
E(Sn)
avec E(X;) = p
variable de Bernoulli
i= 1
= np
La variance d,urle variable binomiale Sn est égale à
en effet
V(Sn) = npq
V(Sn) = V(X1 + X2+ ... + X+ ...+ Xn)
Il
or
V(X] + X2+ ... + X;+ ...+ Xn) = LV(X;)
propriété de la variance
;=1
n
et
V(Sn) =LV(X;)
;=1
d'où
n
= LPq
avec V(X)
;=1
V(Sn) = npq
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= pq
car variable de Bernoulli
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Loi de Poisson
Pour chaque entier k ≥ 1 (fixé) la loi binomiale vérifie la propriété suivante :
P(Sn = k) = C p ( 1 − p)
k
n
n−k
k
λk e− λ
→
,
k!
lorsque n → +∞, sous la contrainte
np = λ
où λ est le nombre moyen de réalisation.
Remarque: Si on reprend l’exemple des rats, on pour n=100 rats on a p=1/4
et λ=25.
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Comparaison de la loi binomiale et la loi de Poisson
pour n=100, λ=1, p=0.01
TABLE
Binomiale
2
AN EXAMPLE OF THE POISSON ApPROXIMATION
Poisson
Nk
k
b(k; 100, 0.01)
0
1
2
3
4
0.366032
0.369730
0.184 865
0.060999
0.014 942
0.367
0.367
0.183
0.061
0.015
879
879
940
313
328
41
5
6
7
8
9
0.002898
0.000463
0.000063
0.000007
0.000001
0.003 066
0.000 5t 1
0.000073
0.000009
0.000001
l
0
0
0
0
p(k; 1)
34
16
8
0
The first columns illustrate the Poisson approximation to the binomial
distribution. The last column records the number of batches of 100 pairs of
random digits each in which the combination (7, 7) appears exactly k times.
Donc en pratique lorsque l’on a un « grand nombre » d’évènements qui suivent une
loi binomiale et qu’on connaît la moyenne λ, on peut utiliser une loi de Poisson.
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Démonstration
En effet on a p =
C p (1 − p)
k
n
k
n−k
λ
n
n!
λ 
=
 
k!(n − k )!  n 
λk 
n!  1 
= 
 
k!  (n − k )!  n 
k
 λ
1 − 
 n
n−k
k
 λ
1 − 
 n
n−k



λk 
n
n!  1 
n−k 
(
)
n
= 
−
λ
 

k!  (n − k )!  n 

n
n
Mais d' aprés la formule de Striling (i.e. n! ≈ 2πn   ) on a
e
n!
n
nn
e −k
≈
n−k
(n − k )!
n − k (n − k )
donc
n!  1 
n n−λ
n−k
lim
n − λ ) = lim
(




n → +∞
n → +∞
(n − k )!  n 
n−kn−k 
n
n−λ
= lim 

n → +∞
n−k 
n−k
e −k
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n−k
e −k
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Pour conclure il reste a montrer que
n−k
n−λ
−k
−λ
=
lim
e
e


n → +∞
n−k 
En effet on a
n−λ


n−k 
n−k
=e
 n−λ 
( n − k ) ln 

 n−k 
=e
 n −λ

( n − k ) ln 
−1+1 
n
−
k


  n − λ 2 
n−λ
 n−λ
ln
− 1 + 1 =
− 1 + O 
− 1 
n−k
 n−k
 n − k  
2

−λ+k
 − λ + k  

=
+ O 
 
n−k
n
−
k
 

Donc
 n −λ

−1+1 
( n − k ) ln 
 n−k

  − λ+k 2 
− λ + k +( n −k )O 
 
  n−k  


e
=e
d' où le résultat.
→ e − λ + k quand n → +∞,
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Une variable aléatoire X à valeurs dans];
suit une loi de Poisson de paramètre
Àke-A
P(_y = k) = ---
les réels Pk sont donnés par
k!
on note :
Remarque : Une loi de Poisson est donnée par sa loi de probabilité:
(1) Tfk,P(X= Ir) > 0
L P(X = k) = L
(2)
k;::O
d'où
k;::O
e-..l À-k
k!
L P(X = k) = e-Àe
À
À-k
= e -À
L.1';::0
k!
or
=1
k;::O
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Â
Oc > 0) si
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Espérance et variance
L 'espérance d'une variable aléatoire de Poisson est
Par définition
,
d'ou
(
E X)=
•__
).,,21
AI<
1_-J.).
L,.- = AI<
1>0
k!
e
,
= /1.
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E(~Y)= Â
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La variance d'tille variable de Poisson est
i
Par définition
1
en posant k'
=
L k2 Àke-
L .!!...)._ke-J. + L k(k-l) Àke-J.
J
=
k!
k~O
•
d'ou)'k;;
k + k(k -1). alors
.;,0 k!
"'e-À
, A.'
k~O
_{
12,3
A
k!
A
1k+lJ
/!.
=e À+-+-+ ...+--+e
k!
1! 2!
k!
l
-A'
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À3)4
/l
1!
2!
J
A·k+2
).-+-+-+....
+-k!
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Comparaison de la loi binomiale et la loi de Poisson
pour n=500, p=1/365, λ=500/365
(c) Birthdays. What is the probability, Pk' that in a company of 500
people exactly k will have birthdays on New Year's Day? If the 500
people are chosen at random, we may apply the scheme of 500 Bernoulli
trials with probability ofsuccess P = ais. For the Poisson approximation
we put ). = ~~-~
= 1.3699 ....
The correct probabilities and their Poisson approximations are as
follows:
k
o
1
2
3
4
5
6
Binomial
0.2537
0.3484
0.2388
0.1089
0.0372
0.0101
0.0023
Poisson
0.2541
0.3481
0.2385
0.1089
0.0373
0.0102
0.0023
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Exemple:
Une suspension bactérienne
contient 5000 bactéries/litre.
On ensenlence à partir de cette
suspension, 50 boites de Pétri, à raison dI cn13 par boite. Si X représente le nombre de
colonies par boite, alors la loi de probabilité de X est:
X ~ P(À=5)
La probabilité qu'il n'y ait aucune colonie sur la boite de Pétri est:
Rappel: 1 litre=1000 cm3
Donc ici le nombre moyen de bactéries par boite est 5.
On suppose aussi que le nombre de colonie par boite
est le même que le nombre moyen de bactéries par boites
P(X
= 0) =
50
-5
e
O!
= 0,0067 soit approximativement
0,67 o de chance.
La probabilité qu'il n'y ait au moins une colonie sur la boite de Pétri est:
P(X> 0)=1- P(X= 0) = 1-0,0067 = 0,9933 soit 99,3 o de chance d'avoir au moins
une colonie bactérienne qui se développe dans la boite de Pétri. (voir événement contraire)
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Loi binomiale négative (des temps d’attente)
Sous les conditions de Bernoulli (épreuves identiques et indépendantes), on
désire connaître la probabilité (d’attendre) de faire X=k épreuves
indépendantes, pour avoir n succès.
x suit une loi biuomtale
nêganve de paramètres n et p notée LJN (n,p) si :
1
n k-n
P (..(1.~T_- k) -_ Cnk-I P q
avec k; n
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E
N et k>
Il
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Espérance et variance
L'espérance associée il une loi binomiale négative est:
-
La variance associée il une loi binomiale nézative est:
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E(À') =!!_
p
V(.,Y) = 11~
P
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Loi géométrique ou loi de Pascal
ou binomiale négative avec n=1
Lorsque le nombre de succès n est égal à 1. la loi de la variable aléatoire discrète X porte
le nom de loi de Pasral ou loi gêomêrrtque de paramètre p telle que
P(X
D'où J'espérance
= k) = pq k-I
avec kEN
•
associée à la loi géométrique est:
l
E(X)=-
P
et la varmuce associée à la loi géométrique est:
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V(À.')=~
p'
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Loi normale ou loi de Laplace-Gauss
On parle de loi normale lorsque l'on a affaire à une variable aléatoire continue dépendant
d'un grand nombre de causes indépendantes dont les effets s'additionnent et dont aucune n'est
prépondérante (conditions de Borel). Cette loi acquiert sa forme définitive avec Gauss (en
1809) et Laplace (en 1812). C'est pourquoi elle porte également les n0111Sde: loi de
Laplace, loi de Gauss et loi de Laplace-Gauss.
Une variable aléatoire absolument continue X suit une loi normale de paramètres (~L, 0) si
sa densité de probabilité est donnée par:
f:IR~IR
x
1---7
f(x)
=
1
e
---1(X-I')2
CF
.,
avec Il
E
IR et
0 E
R
+
(j~
X ~
Notation:
V(Il, 0)
+∞
On admettra que
∫ f ( x)dx = 1 car on ne peut pas calculer cette intégrale par
-∞
des méthodes usuelles.
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La fonction J est paire autour d'un axe de symétrie x = IJ. car fCx +
d'où DE = [~l , +oo[
La dérivé premièreJ'(x)
d'où J'(x)
=
est égale à :J'(x) = _(
0 pour x
= ~L et
d'oùJ"(x)
pour x
=0
= ~L + cr
~ + cr
x
x;/' YX)
DélTIonstration
J'(x) < 0 pour x > ~l
La dérivé seconde f " (x) est égale à :
f"(x)
fClJ. - x)
~L ) =
~2(1 -
~-
(x
:;")2
et J"(x) > 0 pour x >
~L
)1
Dénl0nstration
(x)
+ cr
+00
0.2-
o
J"(x)
J'(x)
11\
+
0=2
0=5
0=10
0=20
0=30
0.15-
0
1
0.1
fCx)
1
a../2n
1
e
2
,
o
- 20
-10
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o
\.
,
o
,
20
,
30
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Espérance et variance
L'espérance
E(X)
de la loi normale vaut :
La variance de la loi normale vaut:
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1
V(X)
= ~L
= (52
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Loi normale centré et réduite
Une variable aléatoire continue X suit une loi normale réduite si sa densité de probabilité
est donnée par :
f: JR -+ JR
Remarque
• "V' X EJR,
·f
:
f est bien une loi de probabilité
j(x) > 0
est intégrable sur ]-00, + =l et
f:
f(x)dx
car:
=
1
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La fonctionfest paire carj{-x) =j{x) d'où DE = [0,+00 [
La dérivé première est f'(x) = -xj{x) avecf'(x) s 0 pour x 2: O.
La dérivée seconde est f"(x) = -f(x) + x2j{x) = (x2 -l)j{x) qui s'annule pour x = 1 sur DE.
Remarque : L'axe de symétrie correspond à l'axe des ordonnées (x = 0) et le degré
d'aplatissement de la courbe de la loi normale réduite est 1.
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L'espérance
d'une loi normale réduite est:
En effet par définition E(X)
=
f
E(X) = 0
+CI)
-CI)
xf(x)dx.
Or la fonction à intégrer est impaire d'où E(X)=O
(cours d'analyse: intégrale)
La variance d'une loi normale réduite est:
En effet par définition V(X) =
d'où
f~ x-e
V(X) = &
1
?
V(X) =
~l
or T/(X)
d'où
x2
2
-xe
1
=
&
f
21r
+en
2
~-~
e
E(X)2
x2f(x)dx-
x2
-~
-CI)
(
f:
V(X) = 1
-«> -
dx
S:
x2
î
j
') ]+00
-e 2" dx avec [ -xe '; ~
=
0
x2
2
dx =1 par définition d'une fonction de répartition
-CI)
V(XJ = 1
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Relation avec la loi normale
Si X suit une loi normale V (u,o), alors Z = X-JI , une variable centrée réduite suit
Cf
une la loi normale réduite N(O,I).
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Convergence en loi
Le théorème central limite
Appelé également théorème
de la limite centrale, il fut établi par Liapounoff et Lindeberg.
On se place dans une situation d'épreuves répétées, caractérisées par une suite
Xl, Xl, X3, ... , X;, ... , Xn de n variables aléatoires indépendantes et de même loi (espérance
E(Xï) = ~l et variance V (Xi) = (52). On définit ainsi deux nouvelles variables aléatoires:
Sn= Xl + X2 + + X;+ ...+ Xn
la moyenne M = X; + X2 + + X = ~
la somme
y
Il
n
n
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E(Sn)
=
n~
E(Mn)
=~
cr
V(M )=n
n
Théorème central limite
Soit la variable aléatoire Sn résultant de la somme de n variables aléatoires
indépendantes et de même loi, on construit la variable centrée réduite telle que:
Sn-nfl
ZII
Alors pour tout t
E
=
(C7Fn)
1R, la fonction de répartition Fn(t) = P(Zn < t) est telle que:
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Le mod`
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.
: III~~b~_..
•
•
~.
.....""..,."
,.
...
,.
,.
'.
1"
µ
En sciences humaines on observe souvent des distributions
I
plutôt symétriques autour de µ
I
avec une forme de cloche
Pour pouvoir faire des calculs, on va parfois supposer que X suit une
distribution ”modèle”, appelée Loi normale.
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Si X suit cette distribution ”modèle”, on lui associe une courbe :
µ
I
courbe symétrique par rapport à µ
I
forme de cloche
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Si X suit cette distribution ”modèle”, on lui associe une courbe :
aire grisée = P (X ≤ z)
µ
z
I
courbe symétrique par rapport à µ
I
forme de cloche
I
l’aire grisée représente la proportion cumulée
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Pour chaque µ, σ, il existe une loi normale de moyenne µ et
d’écart-type σ.
On la note N (µ, σ).
Cas particulier
µ = 0 et σ = 1 : loi normale centrée/réduite.
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Pour chaque µ, σ, il existe une loi normale de moyenne µ et
d’écart-type σ.
On la note N (µ, σ).
Cas particulier
µ = 0 et σ = 1 : loi normale centrée/réduite.
Lorsque l’on suppose qu’une variable X suit le modèle de la loi normale
N (µ, σ), on écrit
X ∼ N (µ, σ) .
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Exemples de lois normales avec moyennes différentes, même écart-type :
N (−1, 1)
N (3, 1)
-1
3
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Exemples de lois normales avec moyennes différentes, même écart-type :
N (−1, 1)
N (3, 1)
-1
3
Exemples de lois normales avec même moyenne, écart-types différents :
N (3, 1)
N (3, 2)
3
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Le mod`
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µ
Pour la tracer à la calculatrice/ordinateur,
1
(x − µ)2
y = √ exp −
.
2σ 2
σ 2π
Cette formule n’est pas utile pour ce cours !
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Étude sur le QI de 515 enfants du même âge, µ = 100, 1, σ = 5, 7.
,,---------------,
SJ
n
li
QI
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r~Il n Il n
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Étude sur le QI de 515 enfants du même âge, µ = 100, 1, σ = 5, 7.
QI
En rose, courbe de la loi normale N (µ = 100, 1; σ = 5, 7).
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I
distribution ”modèle” pour des variables quantitatives continues
I
moyenne µ, écart-type σ
I
allure de la courbe :
µ
I
aires = proportions cumulées
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Exemple
On suppose qu’une certaine variable X ∼ N (0, 1). Pour quelle proportion
d’individus est-ce que X ≤ 1, 56 ?
On cherche P(X ≤ 1, 56) (rappel : on écrit aussi F (1, 56)).
aire grisée = F (1, 56)
0
1, 56
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Exemple
On suppose qu’une certaine variable X ∼ N (0, 1). Pour quelle proportion
d’individus est-ce que X ≤ 1, 56 ?
On cherche P(X ≤ 1, 56) (rappel : on écrit aussi F (1, 56)).
On cherche 1,56 dans la table :
..
.
1, 5
..
.
...
0, 06
...
...
0.9406
...
Donc P(X ≤ 1, 56) = 0, 9406.
Pour 94, 06 % des individus, la variable X est inférieure à 1, 56.
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Exemple
On suppose qu’une certaine variable X ∼ N (0, 1). Pour quelle proportion
d’individus est-ce que X ≥ 1, 49 ?
On cherche P(X ≥ 1, 49). On écrit d’abord
P(X ≥ 1, 49) = 1 − P(X ≤ 1, 49) = 1 − F (1, 49)
On cherche 1,49 dans la table.
..
.
1, 4
..
.
...
...
...
. . . 0.9319
Donc P(X ≤ 1, 49) = 0, 9319.
Soit P(X ≥ 1, 49) = 1 − 0.9319 = 0.0681.
0, 09
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Exemple
On suppose qu’une certaine variable X ∼ N (0, 1). Pour quelle proportion
d’individus est-ce que X ≤ −1, 1 ?
P (X ≥ 1, 1)
P (X ≤ −1, 1)
-1, 1
0
1, 1
Mais on sait traiter les > :
P(X ≥ 1, 1) = 1 − P(X ≤ 1, 1) = 1 − 0, 8643.
Finalement, P(X ≤ −1,Complément
1) = 0, module
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À retenir :
F (−a) = 1 − F (a)
P (X ≥ 1, 1)
P (X ≤ −1, 1)
-1, 1
0
1, 1
par exemple : F (−1, 1) = 1 − F (1, 1).
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Pour n’importe quel a > 0,
I
P(X ≤ a)
⇒ table
a
0
II
P(X ≥ a)
= 1 −
0
III
IV
P(X ≤ −a)
⇒ cas I
a
0
⇒ cas II
=
-a
0
-a
0
P(X ≥ −a)
0
a
0
a
⇒ cas I
=
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a
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I
Pour faire des calculs avec une N (µ, σ), on se ramène à la loi
N (0, 1).
Théorème
Si
X ∼ N (µ, σ)
alors
X −µ
∼ N (0, 1) = Z .
σ
On dit que l’on centre et réduit X .
On utilise la lettre Z pour désigner une loi normale centrée/réduite.
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Exemple
On suppose qu’une certaine variable X ∼ N (11; 2). Pour quelle
proportion d’individus est-ce que X ≤ 14 ?
On cherche P(X ≤ 14).
I
On centre et on réduit X :
X −11
2
I
P(X ≤ 14) = P
∼ N (0, 1).
X − 11
14 − 11
≤
2
2
= P(Z ≤ 1, 5)
I
On cherche 1, 5 dans la table.
On trouve finalement P(X ≤ 14) = 0, 9332.
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TABLE DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE
Lecture de la table: Pour z=1.24 (intersection de la ligne 1.2 et de la colonne 0.04),
on a la proportion P(Z < 1,24) = 0.8925
I(x)
P(Z > 1,96) = 0,025
P(Z > 2,58) = 0,005
P(Z > 3,29) = 0,0005
z=1.24 X
Rappels:
1/ P(Z > z) = 1 - P(Z < z) et 2/ P(Z < -z) = P(Z > z)
Exemple: Sachant P(Z < 1,24) = 0,8925, on en déduit:
1/ (P(Z > 1,24) = 1 - P(Z < 1,24) = 1- 0,8925 = 0,1075
2/ P(Z < -1,24) = P(Z > 1,24) = 0,1075
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
0,00
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,99865
0,99903
0,99931
0,99952
0,99966
0,99977
0,99984
0,99989
0,99993
0,99995
0,99997
0,01
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,99869
0,99906
0,99934
0,99953
0,99968
0,99978
0,99985
0,99990
0,99993
0,99995
0,99997
0,02
0,5080
0,5478
0,5871
0,6255
0,6628
0,6985
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,99874
0,99910
0,99936
0,99955
0,99969
0,99978
0,99985
0,99990
0,99993
0,99996
0,99997
0,03
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,99878
0,99913
0,99938
0,99957
0,99970
0,99979
0,99986
0,99990
0,99994
0,99996
0,99997
0,04
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,6700
0,7054
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,99882
0,99916
0,99940
0,99958
0,99971
0,99980
0,99986
0,99991
0,99994
0,99996
0,99997
0,05
0,5199
0,5596
0,5987
0,6368
0,6736
0,7088
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,99886
0,99918
0,99942
0,99960
0,99972
0,99981
0,99987
0,99991
0,99994
0,99996
0,99997
Complément module Statistique 2015/2016
0,06
0,5239
0,5636
0,6026
0,6406
0,6772
0,7123
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,99889
0,99921
0,99944
0,99961
0,99973
0,99981
0,99987
0,99992
0,99994
0,99996
0,99998
0,07
0,5279
0,5675
0,6064
0,6443
0,6808
0,7157
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,99893
0,99924
0,99946
0,99962
0,99974
0,99982
0,99988
0,99992
0,99995
0,99996
0,99998
0,08
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,99896
0,99926
0,99948
0,99964
0,99975
0,99983
0,99988
0,99992
0,99995
0,99997
0,99998
0,09
0,5359
0,5753
0,6141
0,6517
0,6879
0,7224
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
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0,9986
0,99900
0,99929
0,99950
0,99965
0,99976
0,99983
0,99989
0,99992
0,99995
0,99997
0,99998