2 cinematique du point repare

Mécanique du solide
Chapitre 1 : Cinématique du point
I. AL KORACHI
Ecole des Hautes Etudes d’Ingénierie Oujda
Chapitre 1 : Cinématique du point
1-Repérage du mouvement d’un point M
Soit un point matériel M en mouvement dans l’espace :
Pour décrire correctement le mouvement, on considère un point O fixe appelé aussi point de
référence du mouvement ou d’origine du mouvement, il sert tout simplement à relativiser le
mouvement.
Pour représenter les grandeurs vectorielles cinématique ou dynamique (La position, la vitesse,
la force ………), on considère aussi une base orthonormée directe
2-Définition d’un repère orthonormé direct
Le centre O est le point de référence du mouvement et
directe, alors
.
est une base orthonormée
est un repère orthonormé direct.
z
M
M
y
y
y
y
y
Propriétés :
x
est un repère orthonormé direct cartésien
sont les axes du repère :
est l’axe des abscisses du repère,
ordonnées du repère et
est l’axe des altitudes du repère.
3-Définition d’un référentiel orthonormé direct
Le centre O est le point de référence du mouvement,
est l’axe des
est une base orthonormée directe
et t est l’axe du temps, alors
est un référentiel orthonormé, direct et cartésien.
L’axe t du temps est universel et dirigé vers le futur.
Propriétés :
Le référentiel orthonormé direct
est Galiléen (d’inertie) si :
est fixe ou en mouvement rectiligne uniforme par rapport un autre référentiel
orthonormé direct fixe.
Mouvement rectiligne : Mouvement selon une droite.
Mouvement uniforme : Module de vitesse constant.
4-Vecteur-position
Soit M un point en Mouvement,
Soit
un référentiel orthonormé, direct, cartésien et Galiléen.
La trajectoire du mouvement du point M est la courbe formée par les points parcourus par M.
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Chapitre 1 : Cinématique du point
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z
Trajectoire
y
y
y
y
y
x
Le vecteur
est le vecteur-position du point M
Le vecteur vecteur-position, détermine la position du point M.
L’unité de la norme de la position est le mètre (m)
: est le vecteur déplacement du point M.
: Le vecteur déplacement infinitésimal du point M.
5- Vecteur-vitesse
La dérivée du vecteur-position du point M par rapport au temps
vitesse
est égale au vecteur-
du point M :
La norme du vecteur-vitesse
du point M mesure la rapidité du point M.
Le vecteur-vitesse
est toujours tangentiel à la trajectoire dirigé vers le sens du
mouvement.
Vecteur unitaire tangentiel à la trajectoire dirigé vers le sens du mouvement. (Regarder la
figure en haut)
L’unité de la norme de la vitesse est le mètre par seconde (m/s)
6-Vecteur-accélération
La dérivée du vecteur-vitesse
accélération
de M :
:
de M par rapport au temps
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est égale au vecteur-
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Chapitre 1 : Cinématique du point
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: Vecteur unitaire normal à la trajectoire (normal à ) dirigé vers le centre de courbure.
R : Rayon de courbure.
L’unité de la norme de l’accélération est le mètre par seconde au carré (m/s2)
7-Mouvement de rotation
Soient
un repère orthonormé direct et (T) une tige linéique d’origine O et de
longueur a en rotation par rapport à l’axe
qui porte
et passe par O.
un repère orthonormé, direct lié à la tige et
.
=
=
=
Vitesse de rotation ou vitesse angulaire
Le module de la vitesse moyenne (vitesse scalaire moyenne) d’un point M situé à l’extrémité
de la tige entre deux points A et B est la distance parcourue par ce mobile M entre A et B
(Arc
) divisée par le temps mis pour parcourir cette distance
:
Le module de la vitesse instantanée (vitesse scalaire instantanée) du point M :
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Chapitre 1 : Cinématique du point
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La vitesse de rotation ou la vitesse angulaire de la tige est égale :
Angle de rotation angulaire de la tige autour de l’axe
qui porte
et passe par O.
: Vitesse angulaire ou vitesse de rotation de la tige autour de l’axe qui porte et
passe par O.
Tous les points de la tige ont la même vitesse de rotation
, c’est pour cela que
est appelée la vitesse de rotation de la tige par rapport à R.
Relation entre la vitesse scalaire instantanée d’un point M de la tige et la vitesse de rotation
de la tige :
Quelque soit le point M qui appartient à la tige, sa vitesse scalaire instantanée est égale à la
distance r qui sépare ce point M du centre O de rotation, multipliée par la vitesse de rotation
de la tige :
Démonstration :
Le module de la vitesse instantanée (vitesse scalaire instantanée) du point M de la tige, situé à
une distance r par rapport à l’axe de rotation :
Vecteur-vitesse instantané de rotation de la tige :
L’axe de rotation détermine la direction du vecteur-vitesse de rotation, dans ce cas c’est la
droite qui porte le vecteur et qui passe nécessairement par le centre O et
est la
composante du vecteur-vitesse de rotation instantanée, finalement, Le vecteur-vitesse
instantané de rotation de la tige, s’écrit :
Le centre O ainsi que tous les points du solide qui coïncident avec l’axe de rotation
(l’axe
qui porte par O et porte ) sont au repos, c'est-à-dire leurs vitesses sont nulles.
Relation entre le vecteur-vitesse instantanée d’un point M de la tige et le vecteur-vitesse
instantanée de rotation de la tige :
Le vecteur-vitesse d’un point M de la tige par rapport à R, est égal : Exercice 2
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