Série N 1 2016-17 - Faculté des Sciences d`El Jadida

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UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI A.U. 2016-2017
FACULTE DES SCIENCES Filière : SMP-S3
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
TD de Mécanique du Solide Indéformable
Série N° 1
Exercice 1
Dans un repère  (O; , ,  ) orthonormé direct, on considère le champ de vecteurs  défini par :
Où x, y et z sont les coordonnées du point M dans le repère ( ), a et b sont deux constantes réelles.
1. ‘Anti-symétriser’ ce champ.
2. Déterminer alors les éléments de réduction au point O du torseur associé.
3. Déterminer sa nature et son axe central dans les deux cas : a = 0 et   
Exercice 2
Un solide de révolution (S) est composé d’un cylindre (S
2
) de
hauteur H fixé à une demi-sphère (S
1
) de rayon a et de centre  .
Soit  (Oxyz) un repère orthonormé direct fixe de base associée
,  ,
) et soit I le point de contact de (S) avec le plan ).
Soit   le repère orthonormé direct lié à (S) de base
associée 
,  , 
) dont ( ) est l’axe de révolution orienté de
(S
1
) vers (S
2
). Soit G le centre de masse de (S) tel que  .
On utilisera les angles d’Euler (ψ, θ, ϕ) et on désignera par ( ,  ,
) et (
,  ,  ) les deux bases intermédiaires.
1. Représenter les figures planes de rotation et donner
l’expression du vecteur rotation instantané de (S) par rapport
à (. Exprimer ses composantes dans la 2
ème
base
intermédiaire ( ,  ,  ), ainsi que dans la base 
,  ,
).
2. Déterminer la condition géométrique de contact entre (S) et le plan fixe ). Déterminer alors le nombre de degrés de liberté du
système.
3. Calculer la vitesse absolue de G ainsi que son accélération absolue
4. Calculer la vitesse de glissement en I de (S) par rapport au plan ) et exprimer ses composantes dans la première base intermédiaire
( ,  , 
).
Exercice 4
Un pendule double est constitué de deux tiges homogènes (’) et
(). La tige (’) est en liaison pivot d’axe (’, ) avec le bati et est
astreinte à se déplacer sans frottement sur l’axe (Oy). La tige () est
en liaison pivot d’axe (A, ) avec la tige (’). Soient trois repères :
•    lié au bâti fixe.
•  ’ ié à la tige ’
• 
 lié à la tige (AB)
tels que :
O
O
A
I
B
x
y
z
α
αα
α
β
ββ
β
z
O’
(S
1
)
x
(S
2
)
y
G

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′ = y ′ = 2a
1
(a> 0); =2b
2
(b> 0); α = ( ,
1
); β = ( ,
2
).
On pose :   
A. Déterminer
a. les torseurs cinématiques : [V (’)]
O’
, [V ()]
A
et [V (’)]
A
. Préciser leurs natures.
b. l’axe central et le moment central de chaque torseur.
B. Dans la suite, on considèrera que   . Déterminer :
a. les positions des centres instantanés de rotation.
b. géométriquement les champs des vitesses pour les mouvements de ’et AB par rapport à () dans le cas où K=1/2
c. la base et la roulante du mouvement plan sur plan de la tige (AB) par rapport à (R).
Exercice 3
On considère un solide (S) constitué d’un disque de centre C et de rayon R
auquel est soudée, selon son axe de révolution, une tige rectiligne de longueur
L. Soit   un repère orthonormé direct de base associée
,  , 
), lié
à (S) et dont l’axe de révolution () est orienté du côté de la tige. Soit 
(Oxyz) un repère orthonormé direct fixe de base associée
,  ,
) et soit I le
point de contact de (S) avec le plan ) tel que :  où
ω est constante.
On utilisera les angles d’Euler ,  et et on désignera par ( ,  , 
) et (
,
,  ) les deux bases intermédiaires.
Partie I :
La tige coupe constamment l’axe vertical (Oz) en un point M variable tel
que : 
 et 
1. Représenter les figures planes de rotation et donner l’expression du
vecteur rotation instantané de (S) par rapport à (.
2. Exprimer ses composantes dans la 2
ème
base intermédiaire ( ,  ,  ),
3. Exprimer la condition de contact géométrique entre (S) et le plan fixe ) en fonction de R, et  où  est la coordonnée de
C suivant l’axe (Oz). Déterminer alors le nombre de degrés de liberté du système.
4. Déterminer les vecteurs vitesse du point géométrique I par rapport à ( et 
5. Calculer et exprimer dans la deuxième base intermédiaire les vitesses:    , 
6. Déterminer et Z en fonction des paramètres du problème.
7. Déterminer et exprimer dans la deuxième base intermédiaire : la vitesse absolue   et la vitesse d’entraînement 
Partie II :
La tige coupe constamment l’axe vertical (Oz) en un point M fixe tel que : 
 et 
1. Montrer que les coordonnées généralisées du système se réduisent à  et .
2. Déterminer le vecteur rotation instantané de (S) par rapport à (. Exprimer le résultat dans ( ,  , 
)
3. Calculer la vitesse de glissement en I de (S) par rapport au plan ).
4. Exprimer la condition du roulement sans glissement en I. Quel est alors le nombre de degré de liberté du système ?
5. En utilisant la F.F.C.S, calculer la vitesse     en fonction de R et  .
6. Calculer l’accélération 
   en fonction de R, L et  . Exprimer le résultat dans ( ,  , 
)
O
x
y
z
C
I
M