Série N 1 2016-17 - Faculté des Sciences d`El Jadida

UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI
FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
A.U. 2016-2017
Filière : SMP-S3
TD de Mécanique du Solide Indéformable
Série N° 1
Exercice 1
Dans un repère ℛ (O; ı, ȷ, k) orthonormé direct, on considère le champ de vecteurs défini par :
+ − − + − + + + − + − = + − + − Où x, y et z sont les coordonnées du point M dans le repère (ℛ ), a et b sont deux constantes réelles.
1. ‘Anti-symétriser’ ce champ.
2. Déterminer alors les éléments de réduction au point O du torseur associé.
3. Déterminer sa nature et son axe central dans les deux cas : a = 0 et ≠ 0
z
Exercice 2
!
Un solide de révolution (S) est composé d’un cylindre (S2) de
(S2)
hauteur H fixé à une demi-sphère (S1) de rayon a et de centre .
z
Soit ℛ (Oxyz) un repère orthonormé direct fixe de base associée
) et soit I le point de contact de (S) avec le plan ).
, ,
Soit ℛ ! le repère orthonormé direct lié à (S) de base
) dont ( $
) est l’axe de révolution orienté de
associée ", #, $
y
.
(S1) vers (S2). Soit G le centre de masse de (S) tel que % = &$
O
On utilisera les angles d’Euler (ψ, θ, ϕ) et on désignera par (
, ',
) et (
) les deux bases intermédiaires.
, (
, $
G
x
(S1)
1. Représenter les figures planes de rotation et donner
l’expression du vecteur rotation instantané de (S) par rapport
à (ℛ. Exprimer ses composantes dans la 2ème base
).
), ainsi que dans la base , ,
intermédiaire (
, (
, $
I
2. Déterminer la condition géométrique de contact entre (S) et le plan fixe ). Déterminer alors le nombre de degrés de liberté du
système.
3. Calculer la vitesse absolue de G ainsi que son accélération absolue
4. Calculer la vitesse de glissement en I de (S) par rapport au plan ) et exprimer ses composantes dans la première base intermédiaire
(
, ', ).
j
O
O’
Exercice 4
y
Un pendule double est constitué de deux tiges homogènes (’)) et
i
α
) avec le bati et est
()*). La tige (’)) est en liaison pivot d’axe (’,+
astreinte à se déplacer sans frottement sur l’axe (Oy). La tige ()*) est
) avec la tige (’)). Soient trois repères :
en liaison pivot d’axe (A,+
A
lié au bâti fixe.
• ,
-; /, 1, 2
lié à la tige ’)
• , -’;/ , 1 , 2
β
lié à la tige (AB)
• , 4;/ , 1 , 2
tels que :
x
B
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= y ȷ
OO′
= 2a ı1 (a> 0);
O′A
=2b ı2 (b> 0); α = (ı, ı1);
AB
β = (ı, ı2).
On pose : $ = :; ⁄<;
A. Déterminer
a. les torseurs cinématiques : [V (-’4/,)]O’, [V (4?/,)]A et [V (4?/-’4)]A.
Préciser leurs natures.
b. l’axe central et le moment central de chaque torseur.
B. Dans la suite, on considèrera que @ = ABCDE. Déterminer :
a. les positions des centres instantanés de rotation.
b. géométriquement les champs des vitesses pour les mouvements de ’)et AB par rapport à (F) dans le cas où K=1/2
c. la base et la roulante du mouvement plan sur plan de la tige (AB) par rapport à (R).
Exercice 3
z
L
On considère un solide (S) constitué d’un disque de centre C et de rayon R
M
auquel est soudée, selon son axe de révolution, une tige rectiligne de longueur
), lié
L. Soit GH IJKL un repère orthonormé direct de base associée
", #, $
à (S) et dont l’axe de révolution (M!) est orienté du côté de la tige. Soit ℛ
) et soit I le
(Oxyz) un repère orthonormé direct fixe de base associée
, ,
point de contact de (S) avec le plan xy) tel que : P" = QRST
UV W
où
ωX est constante.
'
On utilisera les angles d’Euler Y, Z et [et on désignera par (
, ', ) et ((
,
O
) les deux bases intermédiaires.
', $
Partie I :
C
y
La tige coupe constamment l’axe vertical (Oz) en un point M variable tel
et \
= ]$
= que : P
1.
2.
x
Représenter les figures planes de rotation et donner l’expression du
vecteur rotation instantané de (S) par rapport à (ℛ.
),
Exprimer ses composantes dans la 2ème base intermédiaire ((
, ', $
I
3.
Exprimer la condition de contact géométrique entre (S) et le plan fixe ) en fonction de R,Z et ^_ où ^_ est la coordonnée de
C suivant l’axe (Oz). Déterminer alors le nombre de degrés de liberté du système.
4.
Déterminer les vecteurs vitesse du point géométrique I par rapport à (ℛ et ℛ 5.
a ∊ H/ℛ, `
I ∊ H/ℛ
Calculer et exprimer dans la deuxième base intermédiaire les vitesses: `
6.
Déterminer^ et Z en fonction des paramètres du problème.
7.
c/ℛ et la vitesse d’entraînement `
c ∊ H/ℛ
Déterminer et exprimer dans la deuxième base intermédiaire : la vitesse absolue `
Partie II :
et La tige coupe constamment l’axe vertical (Oz) en un point M fixe tel que : P = d
\ = −Q
1.
Montrer que les coordonnées généralisées du système se réduisent à Y et [.
2.
)
Déterminer le vecteur rotation instantané de (S) par rapport à (ℛ. Exprimer le résultat dans (
, ', 3.
Calculer la vitesse de glissement en I de (S) par rapport au plan ).
4.
Exprimer la condition du roulement sans glissement en I. Quel est alors le nombre de degré de liberté du système ?
5.
- ∊ H/ℛ en fonction de R et [; .
En utilisant la F.F.C.S, calculer la vitesse `
6.
Calculer l’accélération e
- ∊ H/ℛ en fonction de R, L et [; . Exprimer le résultat dans (
, ', )
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