Modèle binomiale

Modèle binomiale d'évaluation des options: cas d'une
seule période et de deux états de la nature
M. E. EZZAHID
Décembre 2014
Remarques, critiques, corrections et observations
sont les bienvenues
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1. La situation et le problème
Prenons un marché où il y a un seul actif (pétrole, or, dollar, action, …) dont le
prix spot en t=0 est S0. En t=1 le prix sera Su ou Sd. Nous ne savons pas les
probabilités du monde réel concernant les deux états de la nature e1 et e2.
Graphiquement la situation se présente comme suit:
Su
S0
Sd
t=0
t=1
Pour qu'aucune opportunité d'arbitrage ne soit présente, il faut que Su>S0>Sd. Il
importe que vous vérifiiez que si cette condition n'est pas remplie il y aura toujours
possibilité de réaliser un gain sans encourir aucun risque. Un opérateur qui aura
besoin de l'actif en t=1 a intérêt à acheter un call qui l'assure de l'obtenir à un prix
d'exercice K. Le problème est quel est le prix du call C0 en t=0? C'est-à-dire combien
le vendeur du call demande à l'acheteur de payer?
2. La démarche
Nous ne pouvons pas utiliser les probabilités historiques pour évaluer le prix
de l'option d'achat. La raison de la non utilisation des probabilités historique c'est leur
indisponibilité. Une deuxième raison est que rien ne justifie leur utilisation.
Remarquons que la valeur du call ou son prix en t=1est :
Et
C1=Su-K
C1=0
si Su>K
si Su<K
L'arbre donnant les prix de l'option en fonction des différentes valeurs
possibles du sous-jacent est :
Su
Cu
S0
C0
Sd
Cd
t=0
t=1
Pour le pricing de notre call, nous allons imaginer un actif/portefeuille qui a
les mêmes valeurs que le call en t=1. Ce portefeuille est composé d'un actif non risqué
b et de ∆ parts du sous-jacent. Pour fixer les idées nous allons supposer que S0=50 et
Su=53 et Sd=48. Le portefeuille qui réplique exactement le call aura en t=0 la valeur
P0=b+ ∆S0 et en t=1 le portefeuille de réplication aura pour valeur si le taux d'intérêt
est nul (r=0):
Si S1=Su=53 alors on aura : P1= b+ ∆53 = 3 = Cu
Si S1=Sd=48 alors on aura : P1= b+ ∆48 = 0 = Cd
Le portefeuille constitué réplique exactement le pay off du call quelque soit
l'état de la nature. Par suite en tout temps avant t=1 l'option d'achat et le portefeuille
auront la même valeur. Remarquons que celui qui a vendu le call sera en mesure de
faire face à toutes les situations envisageables en t=1.
3. Le prix de l'option
Les relations obtenues sont un système d'équations dont la résolution permet
de trouver b et ∆. En effet, on a b=-28,8 et ∆=0,6.
En t=0 on aura nécessairement égalité du prix du portefeuille et de l'option
d'achat que ce portefeuille réplique: C0=b+ ∆S0= -28,8+0,6 50=1,2.
Remarquons qu'on n'a pas utilisé les probabilités historiques, objectives ou
personnelles concernant la réalisation des états e1 et e2. La non utilisation des
probabilités objective provient du fait que l'utilisation du portefeuille répliquant a
suffit pour résoudre le problème.
4. Probabilités risque-neutre
Revenons au système déjà résolu. Nous allons maintenant prendre r ≠ 0 . On
aura dans ce cas le système suivant :
{
be rt + ∆Su = Cu
be rt + ∆Sd =Cd
⇒ ∆=
C u −C d
S C − S d Cu
et b = e − r u d
Su − S d
Su − S d
Donc
C 0 = b + ∆S 0 = e −r
S u .C d − S d C u C u − C d
+
S0
Su − S d
Su − Sd
 S C
S C
Cu S 0
Cd S 0 
C 0 = e −r  u d − d u + e r
− er

Su − S d
Su − Sd 
 Su − S d Su − S d
 e r S 0 − S d 
S C
S C
S C
Cd S 0 
C u + u d − u d + u d − e r
C 0 = e − r 


Su − S d Su − S d Su − S d
S u − S d 
 S u − S d 
Nous allons poser :
q=
er S0 − Sd
Su − S d
L'avant dernière équation devient :

S C
S C
S C
Cd S0 
C 0 = e − r qC u + u d − u d + u d − e r

S u − S d S u − Sd S u − S d
Su − S d 

Regrouper encore les termes permet d'écrire:
C 0 = e − r [qC u + (1 − q )C d ]
C 0 = e − r Ε Q (C1 )
On a donc une valeur espérée en t=0 des pay off du call et t=1 Cu et Cd. Les
probabilités utilisées ne sont pas du monde réel. C'est une probabilité de calcul définie
en AOA. Cette mesure de probabilité est appelée probabilité risque-neutre ou
probabilité de martingale.
Lorsque tout produit dérivé est réplicable par un portefeuille on dit que le
marché est complet.
Exercices
1. On a un sous jacent dont le prix spot est S0=100, un put sur ce sous jacent est vendu
au prix P=10, un call est acheté au prix C0=15.
a. Déterminez le taux d'intérêt sans risque
b. Représenter le profil de gain du put au prix d'exercice 105
2. Une action est cotée au prix S0=33 MAD. Son prix en t=1 sera S1=35 si l'état du
marché est bon et S1=25 si l'état du marché est mauvais. Déterminer le prix d'un call
sur cette action sachant que le taux d'intérêt sans risque est r=0,05.
3. Est-ce qu'on peut utiliser la même démarche pour trouver le prix d'un put ? Si oui,
utilisez les données de l'exercice 2 et déterminer le prix d'un put.
Références
Bodie, Z. et Merton, R., (2007), Finance, 2ème édition, éd. Nouveaux Horizons,
(Chapitre 15)
Elton, E. J. and Gruber, M. J., (2001), Modern portfolio theory and investment
analysis, éd. John Wiley & Sons, (chapter 22)
Miniconi, M., (2010), Petite introduction aux mathématiques des dérivés financiers,
Notes de cours, Université de Nice-Sophia –Antipolis