Université de Marne-la-Vallée Licence Mathématiques et

Universit´e de Marne-la-Vall´ee Licence Math´ematiques et Informatique, 3`eme ann´ee
1er semestre 2007/2008 Alg`ebre
Feuille 4 : Anneaux
Exercice 1.
Soit (A, +, .) un anneau commutatif unitaire. Montrer que l’ensemble (A∗, .) des ´el´ements inversible de A
muni du produit est un groupe. Montrer que si x∈An’est pas inversible alors xy n’est pas inversible, pour
tout y∈A. Montrer cependant que l’ensemble des ´el´ements non inversibles de An’est pas n´ecessairement
un id´eal de A.
Exercice 2.
Montrer que A=C1(R) l’ensemble des fonctions continˆument d´erivables sur R, muni de l’addition et du
produit des fonctions, est un anneau commutatif unitaire. Soit D={f∈A;f0(0) = 0}et E={f∈
A;f(0) = f0(0) = 0}. Montrer que Dest un sous-anneau unitaire de Amais n’est pas un id´eal de Aet
que Eest un id´eal de A.
Exercice 3. Anneau de Boole
On appelle anneau de Boole un anneau Atel que pour tout x∈A,x2=x. Soit Aun anneau de Boole
1. Montrer que 2x= 0 pour tout x∈A. Montrer que Aest commutatif. Soient xet ydans A. Calculer
xy(x+y). En d´eduire que si Acontient plus de deux ´el´ements non nuls, il n’est pas int`egre.
2. Soit Xun ensemble quelconque. Pour Aet Binclus dans X, on pose A+B=A4B= (A∪B)∩(A∩B)c
et A.B =A∩B. Montrer que (P(X),+, .) l’ensemble des parties de Xmuni de la diff´erence sym´etrique
et de l’intersection est un anneau de Boole.
Exercice 4.
Quels sont les ´el´ements inversibles de l’anneau A=Mn(Z) ?
Exercice 5. (Id´eaux bilat`eres des matrices carr´ees)
Pour 1 ≤k, l ≤nsoit Ek,l la matrice d´efinie par
(Ek,l)i,j =1 si (i, j) = (k, l)
0 sinon
1. Pour A∈ Mn(R), calculer AEk,l et Ek,lA.
2. Soit Jun id´eal bilat`ere non trivial de Mn(R). Soit A∈J,A6= 0, montrer qu’il existe i0, j0tel que
Ei0,j0∈J. En d´eduire que Ei,j ∈J,∀i, j. En conclure que J=Mn(R). En d´eduire que les seuls
id´eaux bilat`eres de l’anneau Mn(R) sont {0}et Mn(R).
Exercice 6.
D´eterminer les id´eaux de Z, les id´eaux premiers de Z, les id´eaux maximaux de Z.
Exercice 7.
On consid`ere l’ensemble A=Ma,b =a b
b a;a, b ∈Z. Pour ppremier, on d´efinit Jp=
{Ma,b ∈A;a+b≡0 [p]}. V´erifier que Aest un anneau commutatif unitaire et d´eterminer ses ´el´ements
inversibles. On veut montrer que Jpest un id´eal maximal de A. Pour cela on va utiliser deux m´ethodes:
1. (a) Montrer que Jpest un id´eal de A.
(b) Soit Iun id´eal de Aqui contient Jp. Supposons qu’il existe a0, b0∈Ztels que Ma0,b0∈I\Jp.
Montrer que Mka0,kb0∈I,∀k∈Z.
(c) Montrer que si Ma,b ∈Ialors Ma0,b0∈I,∀a0, b0∈Ztels que a+b≡a0+b0[p]. En d´eduire que
I=A. Conclure.
2. Soit f:A→Zd´efinie par f(Ma,b) = a+b. Montrer que fest un homomorphisme d’anneau unitaire
surjectif. En d´eduire que Jpest un id´eal maximal de A.
3. Y a-t-il d’autres id´eaux maximaux dans A?

Exercice 8.
Soit Aun anneau commutatif unitaire. Montrer que les deux propri´et´es suivantes sont ´equivalentes
i) An’admet qu’un seul id´eal maximal.
ii) L’ensemble des ´el´ements non inversibles de Aest un id´eal.
Exercice 9.
Soit Aun anneau commutatif. On dit que a∈Aest nilpotent s’il existe un entier ntel que an= 0. Montrer
que l’ensemble des ´el´ements nilpotent est un id´eal.
Exercice 10.
Soient Aun anneau et a∈A. Montrer que l’ensemble I={Pn
i=1 xiayi;n≥1, xi, yi∈A, ∀i∈ {1, ..., n}}
est un id´eal de A.
Exercice 11.
Soient Aet Bdeux anneaux, Iun id´eal de Aet f:A→Bun homomorphisme d’anneaux. Montrer que
f(I) est un id´eal de f(A) mais pas de Ben g´en´eral.
Exercice 12.
Montrer que tout anneau int`egre fini non trivial est un corps. On pourra consid´erer l’application x7→ ax,
o`u a∈A.
Exercice 13.
1. Quels sont les id´eaux de R?
2. Soit Iun id´eal de R2diff´erent de R2. Montrer que I⊂ {0} × Rou I⊂R× {0}. En d´eduire quels
sont les id´eaux de R2.
3. Soit Iun id´eal de Rndiff´erent de Rn. Montrer qu’il existe i∈ {1, ..., n}tel que I⊂ {x∈Rn;xi= 0}.
En d´eduire quels sont les id´eaux de Rn.
Exercice 14. (Entiers de Gauss)
On note Z[i] := {a+ib ;a, b ∈Z}et pour z∈C,N(z) := zz =|z|2.
1. Montrer que Z[i] est un sous-anneau unitaire de Cet que Zest sous-anneau unitaire de Z[i]. Verifier
que l’application z→zest un automorphisme de Z[i].
2. Montrer que z∈Z[i] est inversible si et seulement si N(z) = 1. D´eterminer les ´el´ements inversibles
de Z[i].
3. Soit Iun id´eal propre et non trivial de Z[i]. Montrer qu’il existe n≥0 tel I∩Z=nZ. Montrer que
(n)⊂I⊂ {z∈Z[i] ; N(z)∈nZ}.En d´eduire que n≥2.
4. Montrer que si l’id´eal Iest premier, l’entier nd´efini `a la question pr´ec´edente est un nombre premier
p.
5. Soit pun nombre premier tel qu’il n’existe aucun entier rv´erifiant r2≡ −1 [p]. Montrer que, dans
Z[i], on a (p) = {z∈Z[i] ; N(z)∈pZ}. En d´eduire que l’id´eal (p) est maximal. Montrer que Z[i]/(p)
est un corps `a p2´el´ements.
6. Soit pun nombre premier tel qu’il existe un entier rv´erifiant r2≡ −1 [p]. Montrer que l’id´eal (p) de
Z[i] n’est pas premier.
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