Université de Marne-la-Vallée 1er semestre 2007/2008 Licence Mathématiques et Informatique, 3ème année Algèbre Feuille 4 : Anneaux Exercice 1. Soit (A, +, .) un anneau commutatif unitaire. Montrer que l’ensemble (A∗ , .) des éléments inversible de A muni du produit est un groupe. Montrer que si x ∈ A n’est pas inversible alors xy n’est pas inversible, pour tout y ∈ A. Montrer cependant que l’ensemble des éléments non inversibles de A n’est pas nécessairement un idéal de A. Exercice 2. Montrer que A = C 1 (R) l’ensemble des fonctions continûment dérivables sur R, muni de l’addition et du produit des fonctions, est un anneau commutatif unitaire. Soit D = {f ∈ A ; f 0 (0) = 0} et E = {f ∈ A ; f (0) = f 0 (0) = 0}. Montrer que D est un sous-anneau unitaire de A mais n’est pas un idéal de A et que E est un idéal de A. Exercice 3. Anneau de Boole On appelle anneau de Boole un anneau A tel que pour tout x ∈ A, x2 = x. Soit A un anneau de Boole 1. Montrer que 2x = 0 pour tout x ∈ A. Montrer que A est commutatif. Soient x et y dans A. Calculer xy(x + y). En déduire que si A contient plus de deux éléments non nuls, il n’est pas intègre. 2. Soit X un ensemble quelconque. Pour A et B inclus dans X, on pose A+B = A4 B = (A∪B)∩(A∩B)c et A.B = A∩B. Montrer que (P(X), +, .) l’ensemble des parties de X muni de la différence symétrique et de l’intersection est un anneau de Boole. Exercice 4. Quels sont les éléments inversibles de l’anneau A = Mn (Z) ? Exercice 5. (Idéaux bilatères des matrices carrées) Pour 1 ≤ k, l ≤ n soit Ek,l la matrice définie par 1 si (i, j) = (k, l) (Ek,l )i,j = 0 sinon 1. Pour A ∈ Mn (R), calculer AEk,l et Ek,l A. 2. Soit J un idéal bilatère non trivial de Mn (R). Soit A ∈ J, A 6= 0, montrer qu’il existe i0 , j0 tel que Ei0 ,j0 ∈ J. En déduire que Ei,j ∈ J, ∀i, j. En conclure que J = Mn (R). En déduire que les seuls idéaux bilatères de l’anneau Mn (R) sont {0} et Mn (R). Exercice 6. Déterminer les idéaux de Z, les idéaux premiers de Z, les idéaux maximaux de Z. Exercice 7. a b On considère l’ensemble A = Ma,b = ; a, b ∈ Z . Pour p premier, on définit Jp = b a {Ma,b ∈ A ; a + b ≡ 0 [p]}. Vérifier que A est un anneau commutatif unitaire et déterminer ses éléments inversibles. On veut montrer que Jp est un idéal maximal de A. Pour cela on va utiliser deux méthodes: 1. (a) Montrer que Jp est un idéal de A. (b) Soit I un idéal de A qui contient Jp . Supposons qu’il existe a0 , b0 ∈ Z tels que Ma0 ,b0 ∈ I \ Jp . Montrer que Mka0 ,kb0 ∈ I, ∀k ∈ Z. (c) Montrer que si Ma,b ∈ I alors Ma0 ,b0 ∈ I, ∀a0 , b0 ∈ Z tels que a + b ≡ a0 + b0 [p]. En déduire que I = A. Conclure. 2. Soit f : A → Z définie par f (Ma,b ) = a + b. Montrer que f est un homomorphisme d’anneau unitaire surjectif. En déduire que Jp est un idéal maximal de A. 3. Y a-t-il d’autres idéaux maximaux dans A ? Exercice 8. Soit A un anneau commutatif unitaire. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes i) A n’admet qu’un seul idéal maximal. ii) L’ensemble des éléments non inversibles de A est un idéal. Exercice 9. Soit A un anneau commutatif. On dit que a ∈ A est nilpotent s’il existe un entier n tel que an = 0. Montrer que l’ensemble des éléments nilpotent est un idéal. Exercice 10. Pn Soient A un anneau et a ∈ A. Montrer que l’ensemble I = { i=1 xi ayi ; n ≥ 1, xi , yi ∈ A, ∀i ∈ {1, ..., n}} est un idéal de A. Exercice 11. Soient A et B deux anneaux, I un idéal de A et f : A → B un homomorphisme d’anneaux. Montrer que f (I) est un idéal de f (A) mais pas de B en général. Exercice 12. Montrer que tout anneau intègre fini non trivial est un corps. On pourra considérer l’application x 7→ ax, où a ∈ A. Exercice 13. 1. Quels sont les idéaux de R ? 2. Soit I un idéal de R2 différent de R2 . Montrer que I ⊂ {0} × R ou I ⊂ R × {0}. En déduire quels sont les idéaux de R2 . 3. Soit I un idéal de Rn différent de Rn . Montrer qu’il existe i ∈ {1, ..., n} tel que I ⊂ {x ∈ Rn ; xi = 0}. En déduire quels sont les idéaux de Rn . Exercice 14. (Entiers de Gauss) On note Z[i] := {a + ib ; a, b ∈ Z} et pour z ∈ C, N (z) := zz = |z|2 . 1. Montrer que Z[i] est un sous-anneau unitaire de C et que Z est sous-anneau unitaire de Z[i]. Verifier que l’application z → z est un automorphisme de Z[i]. 2. Montrer que z ∈ Z[i] est inversible si et seulement si N (z) = 1. Déterminer les éléments inversibles de Z[i]. 3. Soit I un idéal propre et non trivial de Z[i]. Montrer qu’il existe n ≥ 0 tel I ∩ Z = nZ. Montrer que (n) ⊂ I ⊂ {z ∈ Z[i] ; N (z) ∈ nZ}. En déduire que n ≥ 2. 4. Montrer que si l’idéal I est premier, l’entier n défini à la question précédente est un nombre premier p. 5. Soit p un nombre premier tel qu’il n’existe aucun entier r vérifiant r2 ≡ −1 [p]. Montrer que, dans Z[i], on a (p) = {z ∈ Z[i] ; N (z) ∈ pZ}. En déduire que l’idéal (p) est maximal. Montrer que Z[i]/(p) est un corps à p2 éléments. 6. Soit p un nombre premier tel qu’il existe un entier r vérifiant r2 ≡ −1 [p]. Montrer que l’idéal (p) de Z[i] n’est pas premier. 2