OPTIQUE GEOMETRIQUE UNIVERSITE FHB

UNIVERSITE FHB
UFR  Biosciences
OPTIQUE
GEOMETRIQUE
Ce cours d'optique géométrique
s’adresse aux étudiants en première
année de licence. Il donne aux
étudiants les notions fondamentales
de l’optique géométrique.
Les conditions de stigmatisme
rigoureux et approché, les formules de
conjugaison des miroirs, des dioptres
ainsi que des lentilles minces sont
abordées.
Octobre 2016
Dr SORO Adama
Plan du cours d’optique géométrique
CHAPITRE I : LOIS FONDAMENTALES DE L’OPTIQUE GEOMETRIQUE
I –Définition de l’optique géométrique
II – Principe de Fermat
II.1. Chemin optique
II.2. Enoncé du principe de Fermat
III – Conséquences du principe de Fermat
III.1. Définitions
III.2. Propagation rectiligne de la lumière
III.3. Retour inverse de la lumière
IV – Lois de Snell-Descartes
IV.1. Lois de la réflexion
IV.2. Lois de la réfraction
IV. 3. Angle de réfraction limite
IV.4. Réflexion totale
CHAPITRE II : FORMATION DES IMAGES - STIGMATISME & APLANETISME
I - Définitions
I.1. Objet
I.2. Système optique
I.3. Image d’un point
I.4. Caractères réel et virtuel
II – Stigmatisme rigoureux
II.1. Définition
II.2. Condition de stigmatisme rigoureux
III – Stigmatisme approché
III.1. Définition
III.2. Conditions de stigmatisme approché
IV – Aplanétisme
V – Condition de l’approximation de Gauss
CHAPITRE III : MIROIR ET DIOPTRE PLANS
I – Miroir plan
I.1. Définition
I.2. Formules de conjugaison
II – Dioptre plan
II.1. Définition
II.2. Formules de conjugaison
III – Lame à faces parallèles
III.1. Définition
III.2. Marche et déplacement latéral d'un rayon lumineux
III.3. Relations de conjugaison
IV – Prisme
IV.1. Définition
IV.2. Marche d’un rayon et formules du prisme
IV.3. Conditions d’émergence
CHAPITRE IV : DIOPTRE ET MIROIR SPHERIQUES
I – Dioptre sphérique
I.1. Définitions
I.2. Invariant fondamental du dioptre sphérique
I.3. Relation de conjugaison
I.4. Foyers et vergence
I.5. Formules de Newton et grandissement transversal
II – Miroir sphérique
I.1. Définitions
I.2. Stigmatisme du miroir sphérique
I.3. Formules de Descartes du miroir sphérique
I.4. Foyers et formule de Newton
I.5. Convergence du miroir sphérique
I.6. Quelques constructions d'images
CHAPITRE V : LENTILLES MINCES
I  Classification des lentilles
I.1.Lentilles convergentes
I.2. Lentilles divergentes
II – Conditions de minceur d’une lentille et représentation conventionnelle
des lentilles minces
II.1. Conditions de minceur d'une lentille
II.1. Représentation conventionnelle des lentilles minces
III  Tracé d'objet et d'image
III.1. Rayons remarquables
III.2. Construction de l'image d'un objet
III.3. Tracé d'un rayon quelconque
IV – Formules des lentilles minces
V.1. Formule de Newton
V.2. Formule de Descartes
V  Puissance d'une lentille mince
Chapitre I
Lois fondamentales de l’optique géométrique
I –DEFINITION DE L’OPTIQUE GEOMETRIQUE
L’Optique est la branche de la physique qui étudie tout ce qui concerne la lumière et
les phénomènes analogues, même lorsque ces phénomènes ne sont pas détectables
par l’être humain.
On distingue l’optique géométrique dans laquelle il n’est fait aucune hypothèse
concernant la nature ondulatoire de la lumière, et qui s’appuie sur quelques
principes et lois simples utilisant la notion de rayons lumineux et l’optique physique
dans laquelle on prend en compte la nature ondulatoire de la lumière.
L’optique géométrique a pour but de caractériser la propagation de la lumière en
utilisant uniquement des constructions géométriques. On peut alors considérer que
l’énergie transportée par la lumière se propage suivant des courbes appelées rayons
lumineux.
II – PRINCIPE DE FERMAT
II.1. Chemin optique
Soient deux points A et A’ situés sur le même rayon lumineux. Soit un élément d’arc
ds compté sur ce rayon lumineux et soit n l’indice de réfraction du milieu de
propagation au voisinage de ds.
dS
A’
n
A
A'
On appelle chemin optique entre A et A’, notée LAA’ ou (AA’) :
(AA’) =  ndS
A
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A'
A'
c
A'
vdt
(AA’) =  ndS =  dS = c 
= c·tAA’
A v
A
Av
Le chemin optique (AA') représente donc la distance qu'aurait parcourue la lumière
dans le vide pendant le temps qu’elle met pour aller de A à A' dans le milieu réel de
propagation.
Soit dL la variation élémentaire de chemin optique le long de ds :
dL = n ds
II.2. Enoncé du principe de Fermat
Ce principe constitue le principe fondamental de l’optique géométrique, il s’énonce
ainsi :
Le chemin optique entre deux points quelconques A et A’ situés sur un même rayon
lumineux qui se réfléchit ou se réfracte sur un nombre quelconque de surfaces, est
stationnaire (ou extrémal) ; c’est-à-dire que les dérivées partielles par rapport aux
paramètres qui définissent les points de rencontre avec les dioptres ou miroirs
successifs sont nulles.
dL = 0
III – CONSEQUENCES DU PRINCIPES DE FERMAT
III.1. Définitions
Un milieu homogène est un milieu dont la composition est la même en tous ses points.
Un milieu isotrope est un milieu dont les propriétés physiques sont les mêmes dans
toutes les directions.
III.2. Propagation rectiligne de la lumière
Dans un milieu transparent, homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne
droite. La trajectoire de la lumière constitue un rayon lumineux. Un ensemble peu
étendu de rayons lumineux constitue un pinceau lumineux. Un ensemble plus étendu
constitue un faisceau lumineux.
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convergent
(pinceau ou faisceau)
divergent
parallèle
III.3. Retour inverse de la lumière
Le trajet suivi par la lumière entre deux points situés sur un même rayon lumineux
est indépendant du sens de propagation de la lumière entre ces deux points.
IV – LOIS DE SNELL-DESCARTES
On appelle:
 Dioptre, une surface de séparation entre deux milieux matériels transparents
et homogènes d'indices de réfraction différents;
 Miroir, une surface qui réfléchi totalement la lumière qu'elle reçoit;
 Plan d'incidence, le plan contenant le rayon incident, la normale au dioptre
(ou miroir) et le rayon réfracté (ou réfléchi).
IV.1. Lois de la réflexion
Surface réfléchissante
(Miroir)
S
SI : rayon incident
IR : rayon réfléchi
N
i
r
I
i : angle d’incidence
I : point d’incidence
r : angle de réfraction
R
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Première loi :
Le rayon incident SI, le rayon réfléchi IR et la normale IN sont contenus dans un même plan
perpendiculaire au miroir; c'est le plan d'incidence.
Deuxième loi :
Le rayon réfléchi IR est symétrique au rayon incident SI par rapport à la normale à la surface
réfléchissante. On a donc : i = r.
IV.2. Lois de la réfraction
S
i
I
i'
n
c
v
n' 
c
v'
Surface réfractante
R’
(dioptre ou surface dioptrique)
Première loi :
Le rayon incident SI, le rayon réfracté IR’ et la normale sont contenus dans un même plan
perpendiculaire au dioptre; c'est le plan d’incidence.
Deuxième loi :
Les angles d'incidence et de réfraction sont liés par la relation:
n·sini = n’·sini’.
IV. 3. Propagation vers un milieu plus réfringent: angle de réfraction limite
Lorsque la lumière passe d’un milieu moins réfringent dans un autre plus réfringent
(n’ > n) on a:
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n

sin i 
n'

n
1 
n'


o
i, i’  0 , 90


sin i ' 

sini’ < sini

i’ < i
Le rayon se rapproche de la normale en pénétrant dans le milieu le plus réfringent.
Pour l’incidence rasante, où i = 90o, i’ prend une valeur l, appelée angle de réfraction
limite, donné par :
n·sin(90) = n’·sinl
sinl =
n
n'
l = arcsin n

n'
Considérons la propagation d’un rayon lumineux de l’air (n = 1) vers le verre (n’ =
1,5). On a la relation : sini = 1,5 sin i’. Pour certaines valeurs de i, on obtient le tableau
suivant :
Angle d’incidence i(°)
Angle de réfraction i’(°)
0
0
10
6,65
20
13,18
30
19,47
40
25,37
50
30,71
60
35,26
70
38,79
80
41,04
90
41,81
Pour i = 90°, on a i’ = 41,81°. Cette valeur est alors celle de l’angle limite de réfraction.
IV.4. Propagation vers un milieu moins réfringent :Réflexion totale (angle
critique)
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Lorsque la lumière passe d’un milieu plus réfringent dans un autre moins réfringent
(n’ < n) alors :
n

sin i 
n'

n
1 
n'

i, i’  0 , 90 o 


sin i ' 

sini’ > sini

i’ > i
Le rayon réfracté est plus éloigné de la normale que le rayon incident.
En faisant croître i à partir de 0, l’angle i' croît plus vite et atteint la valeur extrême de 90°
pour une valeur ic de i telle que :
n sin iC  n'sin 90
sin iC 
n'
n'
 iC  arcsin( )
n
n
(I.15)
Pour i > ic, il n’ya plus de rayon réfracté. Toute la lumière incidente est alors
réfléchie : c’est le phénomène de réflexion totale. ic est appelé angle critique.
Soit la propagation de la lumière du verre (n = 1,5) vers l’air (n’ = 1). On a la relation :
1,5 sini = sini’. Pour certaines valeurs de i, on obtient le tableau suivant :
Angle d’incidence i(°)
Angle de réfraction i’(°)
0
0
10
15,10
20
30,87
30
48,59
40
74,62
41,81
90
50
Impossible
60
Impossible
70
Impossible
80
Impossible
90
Impossible
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Pour tout angle d’incidence i ≤ 41,81°, on a une réfraction. Mais pour i > 41,81°, on a
le phénomène de réflexion totale. L’angle ic = 41,81° est appelé angle critique ou
angle d’incidence limite pour avoir une réfraction.
Remarque:
On regroupe très souvent les lois de la réfraction et de la réflexion en trois lois dites
les trois de Snell-Descartes:
1ère Loi: Le rayon incident, le rayon réfracté, le rayon réfléchi et la normale à la
surface réfractante ou réfléchissante au point d'incidence O sont dans le plan
d'incidence
2ème loi: L'angle de réflexion r est lié à l'angle d'incidence i par la relation:
r = i
ème
3 loi: L'angle de réfraction i' et l'angle d'incidence i sont liés par la relation:
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Chapitre II
Formation des images - Stigmatisme & Aplanétisme
I - DEFINITIONS
I.1. Objet
On appelle objet la source des rayons lumineux dont on étudie la propagation à
travers un système optique donné.
I.2. Système optique
On appelle système optique, l’ensemble d’un certain nombre de milieux
transparents, en général homogènes et isotropes, séparés par des surfaces réfractantes
(dioptres) ou réfléchissantes (miroirs).
Les systèmes utilisés sont souvent centrés, c'est-à-dire qu’ils possèdent un axe de
symétrie.
On distingue trois catégories de systèmes optiques :
- Les systèmes dioptriques : composés seulement des dioptres ; exemple : lunettes,
œil.
- Les systèmes catoptriques : formés uniquement de miroirs. Exemple : le miroir
plan.
- Les systèmes catadioptriques : constitués des dioptres et des miroirs ; exemple :
les télescopes.
I.3. Image d’un point
Soient un système quelconque (S.O.) et une source ponctuelle de lumière placée en A.
Si toute la lumière issue de A vient converger en un point A’ (ou semble provenir
d’un point A’) après avoir traversé (S), on dit que A’ est l’image de A à travers (S).
Exemple : une image sur un écran de cinéma (l’objet est la pellicule du film et le
système optique est le projecteur). Par contre, une ombre portée n’est pas une image
car il n’y a pas de système optique à partir duquel elle se forme.
I.4. Caractères réel et virtuel
Un système optique est limité par deux faces extrêmes :
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-
la face d’entrée est celle par laquelle la lumière pénètre dans le système ;
-
la face de sortie est celle par laquelle la lumière en sort.
On peut diviser l’espace en deux régions, l’espace réel et l’espace virtuel. Ainsi la
nature de l’image formée par le système optique est liée à sa position dans l’espace.
Pour un système dioptrique, l’espace objet réel est en avant de la face d'entrée et
l’espace image réelle se trouve après la face de sortie. L'espace image virtuelle se
trouve en avant de la face de sortie alors que l'espace objet virtuel est situé en arrière
de la face d'entrée.
Pour un système catadioptrique ou catoptrique, les espaces objet réel et image réelle
sont confondus et se trouvent en avant de la face d'entrée. Les espaces objet virtuel et
image virtuelle sont aussi confondus et sont en arrière de la face d'entrée.
Une image est dite réelle si elle est située dans l’espace image réelle ; elle est alors
formée par l’intersection des rayons physiques issus de l’objet. Elle peut être obtenue
sur un écran.
o Une image est virtuelle si elle est formée par l’intersection des prolongements
de rayons physiques. Dans ces conditions, elle se trouve dans l’espace image
virtuelle. Une telle image ne peut être obtenue sur un écran.
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o Un objet est réel s’il existe physiquement (lampe, Soleil…). Il se trouve ainsi
dans l’espace objet réel.
Finalement,
La nature réelle ou virtuelle d’un objet (ou d’une image) est relative à sa position par
rapport au système optique.
II – STIGMATISME RIGOUREUX
II.1. Définition
Un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour le couple de points (A,
A’) si tous les rayons issus de A passent par A’ après avoir traversé le système. Les
points A et A’ sont dits conjugués par rapport au système.
II.2. Condition de stigmatisme rigoureux
Si A et A’ sont réels :
A’
A
On a (AA’) = cte
Cette propriété est difficile à réaliser même pour des systèmes optiques très simples.
De plus, mis à part le cas du miroir plan (Cf. Chapitre III), les surfaces
correspondantes ne sont rigoureusement stigmatiques que pour un seul couple de
points ce qui limite beaucoup leur intérêt pour la formation des images d’objets
étendus.
Par ailleurs le stigmatisme rigoureux est un idéal qui ne tient pas compte :
- des phénomènes de diffraction qui tendent toujours à élargir l’image d’un point. La
diffraction limite la résolution de tous les instruments d’optique (appareils photo,
caméras, télescopes…), c’est-à-dire la taille du plus petit objet dont on peut faire l’image.
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- des caractéristiques du détecteur. La rétine de l’œil, par exemple est formée de cellules de
quelques microns de diamètre et deux points lumineux qui sont sur la même cellule ne
sont pas distingués par l’observateur.
Il est donc nécessaire d’élargir la définition du stigmatisme d’un système optique
pour rendre la notion d’image à travers ce système plus souple.
III – STIGMATISME APPROCHE
III.1. Définition
Un système optique présente un stigmatisme approché pour un couple de points A
et A’ si tous les rayons issus du point A qui entrent dans l’instrument en ressortent
en passant tous très près du point A’ à l’échelle du pouvoir séparateur du dispositif
d’observation ; l’image du point A est une tache de très petites dimensions centrées en
A’.
On dit que A et A′ sont conjugués au sens du stigmatisme approché.
III.2. Conditions de stigmatisme approché
A’
α
A
(S)
Le système centré (S) réalise le stigmatisme approché pour tous les points de l’axe
optique à condition que les rayons émis soient paraxiaux (angle α petit).
IV – APLANETISME
A et A’ sont deux points de l’axe pour lesquels le système centré (S) est
rigoureusement stigmatique.
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B et B’ sont deux points très proches de A et A’ respectivement, et situés dans les
plans perpendiculaires à l’axe (AA’) (plans de front).
B
u
u
α
A’
α'
A
+
B’
n'
+
n
(S)
+
On montre que :
n. AB. sin   n. AB. sin  
Condition d’aplanétisme (ou condition d’Abbe ou condition des sinus)
Si les rayons sont paraxiaux, sinα ≈ α
Soit,
et
sinα’ ≈ α’
n. AB.  n. AB. 
(Relation de Lagrange-Helmholtz)
V – CONDITION DE L’APPROXIMATION DE GAUSS
Tout système centré est utilisé dans les conditions de l'approximation de Gauss.
Ces conditions permettent d’obtenir une image convenable d’un objet et traduisent le
stigmatisme approché dans un petit volume. Elles sont les suivantes :
 l’objet doit être plan, perpendiculaire à l’axe optique, de petites dimensions ;

il ne doit envoyer sur le système que des rayons paraxiaux (les rayons
considérés restent voisins de l'axe optique avec de faibles angles
d'inclinaison).
L’image obtenue dans ces conditions est de bonne qualité, plane, perpendiculaire à
l’axe.
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Chapitre III
Miroir et dioptre plans
I – MIROIR PLAN
I.1. Définition
Un miroir plan est une surface plane capable de réfléchir la quasi-totalité de la
lumière qu’elle reçoit, quelque soit l’angle d’incidence.
I.2. Formule de conjugaison
Un miroir plan donne de tout point objet A, une image A’ rigoureusement
stigmatique, symétrique du point objet par rapport au plan du miroir.
A
A’
r
i
r
i
H
H
I
I
A
A’
A réel,
A’ virtuel
A virtuel,
Dans un miroir plan, l’objet et l’image sont de natures opposées :
AH  HA'
Formule de conjugaison
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A’ réel
II – DIOPTRE PLAN
II.1. Définition
Un dioptre plan est une surface plane séparant deux milieux homogènes et isotropes,
d’indices de réfraction différents.
II.2. Formule de conjugaison
i2
n2
H
A’
n1
i1
i1
+
Dioptre plan
I
N
A
n1 > n2
A’ est l’image de A et se situe sur l’axe (AH), H étant le projeté orthogonal de A sur le
dioptre plan. A est réel et A’ est virtuel.
Les triangles IHA’ et IHA sont rectangles en H :
HI
HA
tgi 
1
Or seul
et
tgi 
2
sini
n

 cte
sini
n
1
2
2
1
HI
HA'

tgi
tgi
1
2

HA'
HA
d’après la 3ème loi de Snell-Descartes.
L’image A’ n’est pas fixe. Sa position dépend de l’angle d’incidence i1. Ce qui
implique que
tgi1
HA'

 cte
tgi 2
HA
Il n’existe donc pas de stigmatisme rigoureux pour un point pris à une distance finie
en dehors du dioptre plan.
Le seul cas de stigmatisme rigoureux du dioptre plan est celui des points à l’infini.
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Dans les conditions de Gauss, les rayons issus de A sont paraxiaux: i1
faibles.
tgi1  sin i1 

tgi2  sin i2 

Avec cosi1 ≈ 1
et cosi2 ≈ 1.
tgi1
tgi2

i2 sont
HA'
n
 2
n1
HA
n1
HA
Ou encore :
et

n2
HA HA'


n1
n2
HA'
Formule de conjugaiso n
III – LAME À FACES PARALLELES
III.1. Définition
Une lame à faces parallèles est constituée par un milieu transparent, homogène et
isotrope limité par deux faces planes et parallèles baignant dans un même milieu ou
dans des milieux différents.
III.2. Marche et déplacement latéral du rayon
S
i
n'
I
d
r
e
r'
H
n
i-r
I’
J
n'
i'

r  r' 

n1  n2  n'

d = IH déplacement latéral du rayon (SI)
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i  i'
n > n’
Dans
IHJ,
sin(i – r) =
IH
d

IJ
IJ
d  IJ  sin(i  r )
D’où
Dans II’J,
cosr =
e
IJ
d 
e
sin(i  r )
cos r
d  e

e
cos r
IJ 
sin(i  r )
cos r
III.3. Relation de conjugaison
n
1
1
I’
I
A1
A
H
A’
H’
e
1
n
A
H
A1
1
H’
HA1
HA

1
n
A’
et
H ' A'
H ' A1

n
1
Page 16 sur 40
AA'  AH  HH '  H ' A'
HA1
H ' A1
e
n
n
1
 e  H ' A1  A1 H
n
1
 e  H'H
n
1
 e  (  e)
n


On a :

1

AA'  e1  
n

Formule de conjugaison de la lame à faces //
IV – PRISME
IV.1. Définition
Un prisme est un milieu transparent homogène et isotrope, limité par deux dioptres
non parallèles formant un angle dièdre A.
IV.2. Marche d’un rayon – Formules du prisme
L
A
D
i1
I
α1
r1
α2
r2
1
J
i2
1
n
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* En I :
* En J :
*
sini1 = nsinr1
sini2 = nsinr2
Dans ILJ :
(1)
(2)
A + α1 + α2 = π
A+

2
- r1 +

2
- r2 = π
A + π – (r1 + r2) = π
A = r1 + r2
(3)
La déviation latérale D est donnée par :
D = d1 + d2
= i1 – r1 + i2 – r2
= i1 + i2 – (r1 + r2)
= i1 + i2 – A
D = i1 + i2 - A
(4)
Les relations (1), (2), (3) et (4) sont appelées les formules du prisme.
IV.3. Conditions d’émergence
 Sur la 1ère face, la lumière va vers le milieu plus réfringent Il y a toujours une
réfraction et
r1 ≤ r1l = λ
Sur la 2nde face, la lumière va vers le milieu le moins réfringent. Il y réfraction si et
seulement si :
On a :
r2 ≤ r2c = λ
r1   

r2   
Avec λ qui est tel que

sin

2
r1  r2  2
A  2
 n  sin 

  arcsin
Le rayon peut sortir du prisme si :
A  2 arcsin
1
n
1ère condition d'émergence.
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1
n
 Si le rayon sort sur la 2nde face on a :
r2  

A  r1  
( A   )  r1
sin( A   )  sin r1
n sin( A   )  n sin r1
Or
sin i1  n sin r1

n sin( A   )io  sin i1
sin io  sin i1
io  i1
Avec io tel que
Comme
sin io  n sin( A   )
 
i1  0; 
2

io  i1 
on a :

2
2ème condition d'émergence.
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Chapitre IV
Dioptre et miroir sphériques
I – DIOPTRE SPHERIQUE
I.1. Définitions
Un dioptre sphérique est une surface sphérique, généralement en forme de calotte
sphérique, séparant deux milieux transparents homogènes et isotropes d’indices
différents.
Ω : ouverture du dioptre
C : centre du dioptre
Ω
S : sommet du dioptre
S
C
CS : rayon du dioptre
n
n'
(CS) : axe principal
I.2. Invariant fondamental du dioptre sphérique
i'
I
i
ω
A
A’
C
S
n
+
Page 20 sur 40
n'
n' > n
Dans CIA :
CA
IA
IA


sin i
sin(   ) sin 

CA  IA 
sin i
sin 
Dans CIA’ :
CA'
IA'
IA'


sin i ' sin(   ) sin 
CA IA sin i


CA' IA' sin i '
CA  CA CA


et
CA'  CA' CA'
CA
IA n'


CA'
IA' n

CA'  IA'
sin i '
sin 
n sin i  n' sin i '
nCA
n' CA'

IA
IA'
In var iant fondamental du dioptre sphérique
I.3. Relations de conjugaison
Pour la plupart des couples de points objet-image, le stigmatisme n’est donc pas
rigoureux. L’étude se fait dans les conditions du stigmatisme approché (conditions
de Gauss). Ainsi, pour des rayons paraxiaux, I tend vers S et l'invariant fondamental
devient :
CA n
SA


CA' n'
SA'
Cette relation est indépendante de I, donc de l’angle d’incidence car S est fixe. Dans
ces condition A et A’ sont conjugués.
a. Formule de conjugaison avec origine au sommet (S)
nCA
n'CA'

SA
SA'
n(CS  SA)
n'(CS  SA')

SA
SA'
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

CS 
CS 
n1 
 n ' 1 


SA 
SA' 




CS
CS
 n'  n
SA
SA'
 n
n' 
CS 

 n'n
 SA
SA' 


n  n
n
n'
n'n


SA
SA'
CS
n'
n
n'n


SA'
SA
SC
Formule de conjugaiso n
Remarque
Si
SC
(cas du dioptre plan)

n'
n

 0
SA'
SA

n'
n

SA'
SA
On retrouve la formule du dioptre plan ; le dioptre plan est donc un dioptre
sphérique de rayon infini.
b. Formule de conjugaison avec origine au centre (C)
nCA
n' CA'

SC  CA
SC  CA'
SC  CA) SC  CA')

nCA
n' CA'
1  SC  1  SC 
1 
  1 

n  CA  n'  CA' 
1 
n'n
 1
SC 

  
n' n
 nCA n' CA' 
1 
n'n
 1


  
nn' SC
 nCA n' CA' 
n'
n
n'n


CA CA' SC
Page 22 sur 40
n
n'
n  n'


CA'
CA
CS
Formule de conjugaiso n
avec origine au centre
I.4. Foyers et vergence
a. Foyers objet (F) et image (F').
F’
C
S
F
n
n
A
∞
n'
A’
F’
SA
∞

n'
SA’ = SF’
n'
n'n

SF '
SC
SF ' 
n' SC
n'n
Dis tan ce focale image
n
A
F’
n'
A’
∞
SA’

∞

SA = SF
n
n'n

SF
SC
Page 23 sur 40
SF  
n SC
n'n
Dis tan ce focale objet
Remarques
o
SF
SF '
 
f
n
n
 
n'
f'
n'
o SF  SF '  SC  f  f '  SC

o CF   SF '
F et F’ sont à égale distance de C et S
respectivement.
b. Vergence, convergence ou puissance du dioptre
Dans la formule de conjugaison, l’expression de D représente la vergence (ou la puissance) du
dioptre :
D 
n'n
SC
Vergence (ou puissance ) du dioptre
Si le foyer image d’un dioptre est réel, tous les rayons incidents paraxiaux parallèles
à l’axe convergent en F’. Le dioptre est dit convergent.
o Si D > 0
o Si D < 0
 dioptre convergent
 dioptre divergent
I.5. Formules de Newton  grandissement transversal
Ona:
SC n'
SA'

SC n'
(n'n) SA'
SC n
SA

 n'  n
SC n
(n'n) SA
 1
SF '
SF

 1
SA'
SA
SF '
SF

 1
SF ' F ' A'
SF  FA
Page 24 sur 40




SF SF '  F ' A'  SF ' SF  FA  SF  FASF ' F ' A'
FA F ' A'  SF SF '
Ceci est la formule de Newton donnant la position de l'image.
n
B
n'
I
F’
A
F
C
A’
S
J
B’
Le grandissement transversal par définition est :  
A' B'
AB
Considérons les triangles rectangles CAB et CA’B’ :

A' B' CA'

AB CA
C’est le grandissement transversal avec origine au centre (selon Descartes)
or
SA'
n' CA'

n CA
SA

 
n SA'
n' SA
C’est le grandissement transversal avec origine au sommet (selon Descartes).
Soit les triangles AFB et FSJ
FS
FS SJ
A' B'


   
FA
FA AB
AB
De même considérons les triangles SF’I et F’A’B’
C’est le grandissement transversal avec origine aux foyers (selon Newton).
Le grandissement transversal est donné par :
Page 25 sur 40
 
A' B'
CA'

AB
CA

or
 

nCA
n' CA'

SA
SA'
A' B'
CA'
n SA'



n' SA
AB
CA
II. MIROIR SPHERIQUE
II.1. Définition
Un miroir sphérique est une portion de sphère réfléchissante généralement en forme
de calotte sphérique.
Il existe deux types de miroirs sphériques; le miroir concave et le miroir convexe. Si
la surface réfléchissante est tournée vers le centre, le miroir est concave sinon il est
convexe.
Lumière
Lumière
Ω
C
S
S
Miroir concave
C
Miroir convexe
S est le sommet, C son centre, (CS) l’axe principal et
l’angle d’ouverture.
Les miroirs sphériques sont recouverts par évaporation d'une surface métallique.
II.2. Stigmatisme
Considérons un point objet A et son image A’ donnée par un miroir sphérique.
Page 26 sur 40
Dans le triangle CIA, on a :
et
De même dans le triangle CIA’ on a :
et
La position de l’image A’ n’est pas fixe car dépendant de . Le miroir sphérique n’est
donc pas rigoureusement stigmatique pour tout couple de points objet-image.
Page 27 sur 40
Le stigmatisme rigoureux n’est réalisé que pour le centre du miroir qui est son
propre conjugué, ainsi que pour tout point de la surface du miroir appelés points de
Weierstrass.
De façon générale, le miroir comme le dioptre sphérique sera utilisé dans les
conditions du stigmatisme approché ; c'est-à-dire dans les conditions de Gauss.
II.3. Formules de Descartes du miroir sphérique
Comme dans le cas du dioptre plan, le stigmatisme est réalisé dans les conditions de
l'approximation de Gauss (rayons paraxiaux). Donc l’angle est faible.
a. Relations de conjugaison avec origine au centre C
La relation (3) devient :
C’est la relation de conjugaison avec origine au centre C. Elle permet de déterminer
la position de l’image connaissant celle de l’objet et vis versa.
B
A’
A
C
S
B’
Le grandissement transversal (ou linéaire) du miroir sphérique est donné par la
relation :
Les triangles CAB et CA’B’ étant semblables, on a :
Cette relation de conjugaison permet de déterminer la grandeur de l’image
connaissant celle de l’objet ou à partir des positions de l’objet et de l’image.
b. Relation de conjugaison avec origine au sommet S
Page 28 sur 40
B
i
A’
C
A
i
S
B’
II.4. Foyers et formules de Newton
a. Foyer principal image F’ – Distance focale image
Soit un point objet A à l’infini sur l’axe. Ce point a pour image le foyer image F’ du
miroir.
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b. Foyer principal objet F – Distance focale objet
Soit une image A’ à l’infini sur l’axe. Ce point a pour conjugué le foyer objet F.
Un miroir sphérique ne possède qu’un seul foyer.
c. Formules de Newton
Considérons l’image A’B’ d’un objet AB à travers un miroir sphérique.
Les triangles FAB et FSJ sont semblables.
De même les triangles FA’B’ et FSI sont semblables.
Le grandissement transversal est tel que :
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II.5. Convergence du miroir sphérique
a. Miroir sphérique concave
Un miroir sphérique concave a un centre réel. Il est tel que :
.
Les foyers sont donc réels. Ainsi, un miroir sphérique concave à une vergence
négative ;
Comme l’indique la figure ci-dessous, un tel miroir est convergent.
Miroir concave (convergent)
b. Miroir sphérique convexe
Un miroir sphérique convexe a un centre virtuel. Il est tel que :
.
Les foyers sont donc virtuels. Ainsi, un miroir sphérique convexe à une vergence
positive ;
Comme l’indique la figure ci-dessous, un tel miroir est divergent.
Miroir Convexe (divergent)
Page 31 sur 40
II.6. Quelques constructions d’images
a. Image virtuelle donnée par un miroir sphérique convexe
b. Image virtuelle donnée par un miroir sphérique concave
c. Image réelle donnée par un miroir sphérique concave
Page 32 sur 40
Chapitre V
Lentilles minces
I – CLASSIFICATION DES LENTILLES
Une lentille est un milieu transparent homogène et isotrope, limité par deux dioptres
sphériques ou un dioptre sphérique et un dioptre plan.
I.1.Lentilles convergentes
90
C2
C1
S2
C1
S1
S2
S1
S1
S2
90
Lentille biconvexe
Lentille plan-convexe
Ménisque convergent
I.2. Lentilles divergentes
C1
C2
S1
S2
Lentille biconcave
S1
S2
Lentille plan-concave
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S1
S2
Ménisque divergent
II  CONDITIONS DE MINCEUR D’UNE LENTILLE ET REPRESENTATION
CONVENTIONNELLE DES LENTILLES MINCES
II.1. Conditions de minceur d'une lentille
Soit e l’épaisseur de la lentille : e = S1S2. La lentille est dite mince si :

 e  R1

 e  R2

e  R1  R2

Dans ces conditions, S1 et S2 sont confondus en O (centre optique de la lentille).
II.2. Représentation conventionnelle des lentilles minces
Les lentilles minces convergentes sont représentées comme le montre la figure cidessous :
n’ = 1
n=1
+
F
F’
O
OF = f
OF’ = f’
f = -f’
′=
′>0
Les lentilles minces divergentes sont représentées comme le montre la figure ci-
+
F’
O
OF’ = f’
F
OF = f
f = -f’
dessous :
′=
′<0
Page 34 sur 40
III  TRACES D’OBJETS ET D’IMAGES
III.1. Rayons remarquables
Tout rayon passant par le centre C de la lentille n’est pas dévié.
F
O
F’
F’
O
F
Tout rayon issu du foyer objet F est réfracté parallèle à l’axe optique
F
O
F’
F’
O
F
Tout rayon incident parallèle à l’axe optique passe par le foyer image F′.
F
O
F’
F’
Page 35 sur 40
O
F
III.2. Construction de l’image d’un objet
a. Lentille convergente
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b. Lentille divergente
III.3. Tracé d’un rayon quelconque
Pour construire l’incident ou l’émergent d’un rayon quelconque, on peut utiliser
l’une des méthodes suivantes :
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a. Méthode du foyer image secondaire
(P’)
A
∞
(P’)
A’
F
A
∞
F’
O
F’
O
OU
OU
(P’)
(P’)
A
∞
F
A’
A’
F
F’
O
F’
A’
A
∞
O
F
b. Méthode du foyer objet secondaire.
(P)
A
(P)
O
F’
F
A’
∞
A
F’
O
OU
A’
∞
F
OU
(P)
(P)
A’
∞
A’
∞
A
F
O
A
F’
F’
Page 38 sur 40
O
F
IV – FORMULES DES LENTILLES MINCES
(Q’)
(Q)
B
I
F’
A
A’
O
F
K
B’
IV.1. Formules de Newton
OFK 

AFB 
F ' A' B'

F 'OI 
OK
AB

A' B'
OI
FO
FA

A' B'

F ' A'
AB
A' B'

F 'O
AB
 OF


F ' A'
1
FA
 OF '

2
F ' A'
 OF '

 OF
FA
FA F ' A'  OF OF '
Les formules de Newton sont :
FA  F ' A'  OF  OF '
 
;
A' B'
AB
IV.1. Formules de Descartes
KOF 

KIB 
OF OK

IB
IK

OF OK

OA IK
1
OF ' I 

KB' I 
OF '

OF '
2
*

*
KB'

IO
IK
OA'

IO
IK
OF ' IO IK  KO
KO
OF


 1
 1
OA' IK
IK
IK
OA
OF '
OF '
 1
OA'
OA
1 
2
OF
OA

OA'
OF '
1
1
1


OA' OA OF '


OK
IK

IK
IO


A' B'
 AB
OF '  OF
or

(1ère formule)
OA'
OA
A' B'
OA'

AB
OA
(2ème formule)
Les formules de Descartes sont :
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
 OF
FA

F ' A'
 OF '
1
1
1


OA'
OA
OF '
;
 
A' B'
OA'

AB
OA
Remarque : les formules de Newton et de Descartes s’appliquent aux lentilles
minces convergentes et divergentes, quelle que soit la position de l’objet.
V – PUISSANCE D’UNE LENTILLE MINCE
Considérons la lentille mince d’indice n, de sommets S1, S2 et de rayons R1, R2.
Par définition, la puissance de la lentille est :
Connaissant les distances focales de la lentille mince, on peut déterminer la
puissance par la relation suivante :
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