Mesure et intégration : Théorème des classes monotones Cours et Exercices

Université Cadi Ayyad Faculté des Sciences Semlalia Marrakech
Département de Mathémathiques Filière SMA
Mesure et intégration :
Théorème des classes monotones
fonctionnelles de Dynkin et applications
Cours et Exercices
Auteur :
Brahim AIT BELHOUSSAINE
Filière : SMA
Semestre 6
Juin 2015

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2 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM

Table des matières
1 Rappels 7
1.1 Algèbre et tribu de parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Semi-anneau et clan de parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Tribu de parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Notiondetributrace .............................. 11
1.1.4 Tribu borélienne d’un espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Fonctionsmesurables.................................. 12
1.2.1 Applications mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Fonctions numériques mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Fonctions étagées et théorème d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Mesurespositives.................................... 17
1.4 Espaces Lp....................................... 18
2 Théorème des classes monotones fonctionnelles 23
2.1 Théorème des classes monotones ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 π-système et λ-système de parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Théorème des classes monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 MesuredeStieltjes............................... 26
2.1.4 Notion de l’indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Théorème des classes monotones fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 ThéorèmedeDynkin.............................. 30
3 APPLICATIONS 35
3.1 Identificationdesmesures................................ 35
3.2 Théorèmes de densité et approximations dans les espaces de Lebesgue Lp...... 36
3.2.1 Théorèmededensité .............................. 36
3.2.2 L’espérance conditionnelle d’une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . 40
3

0TABLE DES MATIÈRES
REMERCIEMENTS
Je tiens a remercier mes parents pour leur amour, leurs sacrifices ainsi que pour leur soutien tout
au long de mes études.
Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à mon encadrant Professeur Brahim Boufoussi, de
m’avoir accorder ce projet de mémoire, dont j’espère que mon travail soit à la hauteur de ses attentes.
Je le remercie pour son excellent suivi, ses remarques pertinentes et ses recommandations fort enri-
chissantes, et je le remercie également pour la grande patience dont il a fait preuve tout au long des
discussions que nous avons eu et dont j’ai bénéficié énormément.
Mes remerciement vont également aux membres du jury les professeurs, M. ERRAOUI et L.MANIAR,
pour leur disponibilité et leur soutient.
Je remercie les professeurs M.Houimdi et M.H.Lalaoui qui nous ont initié au logiciel de traite-
ment de texte scientifique LATEX, chose qui a été très bénifique et a facilité notre travail.
Mes remerciements vont aussi à l’ensemble des professeurs qui ont assuré avec succès l’encadre-
ment et l’enseignement de la filière SMA.
Ces remerciements seraient incomplets sans un remerciement adressé aux membres de ma famille,
en particulier ma chére mère, mes frères et mes sœurs.
Je remercie aussi mes amis et mes collègues et tout ceux qui ont participé de loin ou proche à la
réalisation de ce mémoire.
4 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM

0TABLE DES MATIÈRES
Introduction :
Ce travail présente un exemple de liens étroits existant entre la théorie de l’intégration et la théorie
des probabilités.
Le théorème classique des classes monotones est un exemple déjà étudié dans le cours d’intégra-
tion. L’aspect présenté dans ce document est fort intéressant et moins abordé dans les livres acadé-
miques au niveau de la licence, il s’agit d’une version fonctionnelle de théorème de Dynkin, d’où
l’interêt du sujet de mémoire. Expliquons de quoi il s’agit :
Lorsque l’on dispose d’une partie Md’un sous-espace vectoriel Hqui contient les constantes,
d’un espace vectoriel de fonctions bornées sur un ensemble Xa valeurs réels, le théorème de Dynkin
montre sous des conditions de stabilité par convergence monotone de Het de stabilité de Mpar
multiplication, que Hcontient toutes les fonctions bornées σ(M)-mesurables.
Ce résultat admet une preuve moyennant le théorème classique de Dynkin (classes monotones
version ensemblistes). Mais on va lui en donner une preuve purement fonctionnelle.
Comme application de ce théorème on va montrer des résultats concernant l’identification des lois
en probabilités et des résultats de densité dans les espaces de Lebesgue Lp.
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