Mesure et intégration : Théorème des classes monotones Cours et Exercices

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Université Cadi Ayyad
Département de Mathémathiques
Faculté des Sciences Semlalia Marrakech
Filière SMA
Mesure et intégration :
Théorème des classes monotones
fonctionnelles de Dynkin et applications
Cours et Exercices
Auteur :
Brahim AIT BELHOUSSAINE
Filière : SMA
Semestre 6
Juin 2015
0
2
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
Table des matières
1
2
3
Rappels
1.1 Algèbre et tribu de parties d’un ensemble . . . . . . .
1.1.1 Semi-anneau et clan de parties d’un ensemble .
1.1.2 Tribu de parties d’un ensemble . . . . . . . . .
1.1.3 Notion de tribu trace . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Tribu borélienne d’un espace topologique . . .
1.2 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Applications mesurable . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Fonctions numériques mesurables . . . . . . .
1.2.3 Fonctions étagées et théorème d’approximation
1.3 Mesures positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Espaces L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Théorème des classes monotones fonctionnelles
2.1 Théorème des classes monotones ensemblistes . . . . . .
2.1.1 π-système et λ-système de parties d’un ensemble
2.1.2 Théorème des classes monotones . . . . . . . .
2.1.3 Mesure de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Notion de l’indépendance . . . . . . . . . . . .
2.2 Théorème des classes monotones fonctionnelles . . . . .
2.2.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Théorème de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . .
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APPLICATIONS
3.1 Identification des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Théorèmes de densité et approximations dans les espaces de Lebesgue L p
3.2.1 Théorème de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 L’espérance conditionnelle d’une variable aléatoire réelle . . . . .
3
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TABLE DES MATIÈRES
REMERCIEMENTS
Je tiens a remercier mes parents pour leur amour, leurs sacrifices ainsi que pour leur soutien tout
au long de mes études.
Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à mon encadrant Professeur Brahim Boufoussi, de
m’avoir accorder ce projet de mémoire, dont j’espère que mon travail soit à la hauteur de ses attentes.
Je le remercie pour son excellent suivi, ses remarques pertinentes et ses recommandations fort enrichissantes, et je le remercie également pour la grande patience dont il a fait preuve tout au long des
discussions que nous avons eu et dont j’ai bénéficié énormément.
Mes remerciement vont également aux membres du jury les professeurs, M. ERRAOUI et L.MANIAR,
pour leur disponibilité et leur soutient.
Je remercie les professeurs M.Houimdi et M.H.Lalaoui qui nous ont initié au logiciel de traitement de texte scientifique LATEX, chose qui a été très bénifique et a facilité notre travail.
Mes remerciements vont aussi à l’ensemble des professeurs qui ont assuré avec succès l’encadrement et l’enseignement de la filière SMA.
Ces remerciements seraient incomplets sans un remerciement adressé aux membres de ma famille,
en particulier ma chére mère, mes frères et mes sœurs.
Je remercie aussi mes amis et mes collègues et tout ceux qui ont participé de loin ou proche à la
réalisation de ce mémoire.
4
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
0
TABLE DES MATIÈRES
Introduction :
Ce travail présente un exemple de liens étroits existant entre la théorie de l’intégration et la théorie
des probabilités.
Le théorème classique des classes monotones est un exemple déjà étudié dans le cours d’intégration. L’aspect présenté dans ce document est fort intéressant et moins abordé dans les livres académiques au niveau de la licence, il s’agit d’une version fonctionnelle de théorème de Dynkin, d’où
l’interêt du sujet de mémoire. Expliquons de quoi il s’agit :
Lorsque l’on dispose d’une partie M d’un sous-espace vectoriel H qui contient les constantes,
d’un espace vectoriel de fonctions bornées sur un ensemble X a valeurs réels, le théorème de Dynkin
montre sous des conditions de stabilité par convergence monotone de H et de stabilité de M par
multiplication, que H contient toutes les fonctions bornées σ(M )-mesurables.
Ce résultat admet une preuve moyennant le théorème classique de Dynkin (classes monotones
version ensemblistes). Mais on va lui en donner une preuve purement fonctionnelle.
Comme application de ce théorème on va montrer des résultats concernant l’identification des lois
en probabilités et des résultats de densité dans les espaces de Lebesgue L p .
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AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
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TABLE DES MATIÈRES
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AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
Chapitre
1
Rappels
1.1
Algèbre et tribu de parties d’un ensemble
1.1.1
Semi-anneau et clan de parties d’un ensemble
Soit X un ensemble non vide.
Définition 1.
On appelle semi-anneau de parties de X, toute famille S de patries de X telle que :
i) Pour tout A, B ∈ S A ∩ B ∈ S .
ii) Pour tout A, B ∈ S , il existe C1 ,C2 , · · · ,Cn ∈ S , deux à deux disjoints tel que
ArB =
n
S
Ci .
i=1
Remarque 1
n
S
Si S est un semi-anneau de X, alors 0/ ∈ S . En effet : Soit A ∈ S on a A r A = 0/ = Ci , donc
i=1
Ci = 0/ ∈ S .
Exemple 1
Soit X = R, on pose S = {]a, b] / − ∞ < a 6 b < +∞}. S est un semi-anneaux de R. En effet :
i) Soit A =]a, b], B =]c, d] ∈ S .
1ère cas Si A ∩ B = 0/ ∈ S ( car 0/ =]a, a] ∈ S ).
/ alors on a max{a, c} 6 min{b, d} et A ∩ B =] max{a, c}, min{b, d}] ∈ S .
2ème cas Si A ∩ B 6= 0,
ii) Soit A =]a, b], B =]c, d] deux éléments de S . On a
A r B =]a, b] ∩ (]c, d])c = ]a, b] ∩ (] − ∞, c]∪]d, +∞[)
= (]a, b]∩] − ∞, c]) ∪ (]a, b]∩]d, +∞[)
= ]a, min(b, c)]∪]max(a, d), b] (∗)
/
L’égalité (*) est vraie si ]a, b]∩] − ∞, c] 6= 0/ et ]a, b]∩]d, +∞[6= 0.
Définition 2.
On appelle clan ou (anneau de Boole) sur X toute famille C de parties de X telle que :
i) Pour tout A, B ∈ C A ∪ B ∈ C .
ii) Pour tout A, B ∈ C A r B ∈ C .
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1
CHAPITRE 1. RAPPELS
Remarque 2
1. Si C est un clan sur X, alors 0/ ∈ C . En effet, on a pour tout A ∈ C , 0/ = A r A ∈ C .
2. Si C est un clan sur X, alors C est stable par intersection finie. En effet, Soit A, B ∈ C on a A∆B ∈ C
et A ∩ B = A ∪ B r A∆B ∈ C .
3. Tout clan sur X est un semi-anneau sur X. Puisque d’après le premier point, C est stable par
intersection finie et pour tout A, B ∈ C on a A r B = A r B ∪ 0/ ∈ C .
Exemple 2
Soit X = R, l’ensemble des réunions finies d’intervalles bornés de R est un clan sur R. En effet, on
pose
[
R f (R) = { Ii , τ f ini, Ii est un intevalle de R}
i∈τ
i) Soit A =
n
S
Ii , B =
i=1
m
S
J j deux éléments de R f on a A ∪ B ∈ R f (réunion finie d’intervalles bornés
j=1
de R).
ii) On a
c
ArB = A∩B
= (
=
=
=
n
[
Ii ) ∩ (
m
[
i=1
n
[
j=1
m
\
i=1
n \
m
[
j=1
(Ii ∩ (
J j )c
J cj ))
(Ii ∩ J cj )
i=1 j=1
n \
m
[
(Ii r J j )
i=1 j=1
Remarquons que R f est stable par intersection finie. En effet, on a
A∩B = (
n
[
i=1
Ii ) ∩ (
m
[
J j) =
j=1
n [
m
[
(Ii ∩ J j ) ∈ R f
i=1 j=1
Or Ii r J j ∈ R f donc A r B ∈ R f .
Définition 3.
On appelle algèbre sur X, tout clan A telle que X ∈ A .
Proposition 1.
une famille A de parties de X est une algèbre sur X si et seulement si A est stable par
réunion finie et par passage au complémentaire.
Démonstration
⇒) Il est clair que A est stable par réunion finie (car A est un clan sur X) et d’autre part on a pour
tout A ∈ A , Ac = X r A ∈ A car X ∈ A .
⇐) Par hypothèse A est stable par réunion finie. Soient A, B ∈ A on a ArB = A∩Bc = (Ac ∪B)c ∈ A .
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AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
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1.1. ALGÈBRE ET TRIBU DE PARTIES D’UN ENSEMBLE
Exemple 3
Soit X = R et A = {A ⊆ R / A f ini ou Ac f ini}. A est une algèbre sur R. En effet, par convention
L’ensemble vide est fini.
i) Soit A, B ∈ A .
1ère cas Si A et B sont finis alors A ∪ B est fini.
2ème cas Si A ou B est infini on a d’après la loi de Morgan (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc ∈ A .
ii) Soit A ∈ A .
1ère cas Si A est fini on a (Ac )c = A est fini.
2ème cas Si Ac est fini, alors A ∈ A .
Proposition 2.
Soit (Ci )i∈I (resp. (Ai )i∈I ) une famille quelconque de clans (resp. d’algèbres) sur X, alors
T
T
Ci (resp. Ai ) est un clan (resp. algèbre) sur X.
i∈I
i∈I
Démonstration
T
T
T
Soient A, B ∈ Ci on a A ∪ B ∈ Ci et A r B ∈ Ci ∀ i ∈ I, donc A ∪ B ∈ Ci et A r B ∈ Ci , par
i∈I
i∈I
suite (Ci )i∈I est un clan sur X. De même on montre que
T
i∈I
Ai est une algèbre sur X.
i∈I
Application
Soit X un ensemble non vide et soit ξ une famille non vide de parties de X. Notons FC ,ξ (resp.
FA ,ξ ), l’ensemble de tous les clans (resp. algèbres) sur X qui contient ξ. On a FC ,ξ est non vide car
P (X) ∈ FC ,ξ (resp. P (X) ∈ FA ,ξ ). Notons C (ξ) (resp. A (ξ)) l’intersection de tous les clans (resp.
algèbres) sur X contient ξ, d’après la proposition 2, c’est un clan de X (resp. algèbre), C (ξ) (resp.
A (ξ)) est le plus petite clan (algèbre) sur X contient ξ. C (ξ) (resp. A (ξ)) s’appelle le clan (algébre)
engendré par ξ.
Le résultat suivant est d’une très grande utilité dans la suite.
Théorème 1.
Soit X un ensemble non vide et soit S un semi-anneau sur X, alors le clan C (S) engendré par
S est égale à l’ensemble de toute les réunions finies d’éléments de S deux à deux disjoints.
Autrement dit on a :
C (S) = {
[
Ai / I f ini, Ai ∈ S et Ai ∩ A j = 0/ pour i 6= j}
i∈I
Le clan C (S) est appelé le clan de Borel.
Démonstration
On pose
[
R f (S) = {
Ai / I f ini, Ai ∈ S}
et
R f d (S) = {
i∈I
[
Ai / I f ini, Ai ∈ S et Ai ∩ A j = 0/ pour i 6= j}
i∈I
On a R f (S) est un clan de l’ensemble X. En effet, Soit A =
n
S
Ai , B =
i=1
m
S
B j deux éléments de
j=1
R f (S). On a A ∪ B ∈ R f (S) (réunion fini d’éléments de S) et d’autre part on a A r B =
n T
m
S
Ai r B j .
i=1 j=1
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AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
1
CHAPITRE 1. RAPPELS
Remarquons que R f (S) est stable par intersection finie. En effet, on a A ∩ B =
n S
m
S
Ai ∩ B j , comme
i=1 j=1
S est stable par intersection fini, alors A ∩ B ∈ R f (S). Or Ai r B j est une réunion fini d’éléments de S,
donc Ai r B j ∈ R f (S) et par suite A r B ∈ R f (S), donc R f (S) est un clan sur X contenant S.
Soit C un clan sur X tel que S ⊆ C , montrons alors que R f (S) ⊆ C , pour cela soit A ∈ R f (S) et
A=
n
S
n
S
Ai , comme S ⊆ C alors Ai ∈ C donc A =
i=1
Ai ∈ C (car C est un clan sur X), finalement
i=1
C (S) = R f (S). Pour terminer la démonstration il suffit de montrer que R f (S) = R f d (S). Il est clair
que R f d (S) ⊆ R f (S). Réciproquement soit A =
n
S
Ai ∈ R f (S). On pose B1 = A1 et Bi = Ai r
i=1
pour tout i > 1 on a A =
n
S
Bi =
n i−1
S
T
i−1
S
Ak
k=1
Ai r Ak . Or Ai r Ak est une réunion finie d’éléments de S deux
i=1
à deux disjoints, par suite
1.1.2
i=1 k=1
A ∈ R f d (S).
Tribu de parties d’un ensemble
Définition 4.
Soit X un ensemble non vide et F une famille de parties de X. On dit que F est une tribu
(ou σ-algèbre) sur X si et seulement si
i) 0/ ∈ F .
ii) Pour tout A ∈ F , Ac ∈ F .
iii) F est stable par réunion dénombrable.
Remarque 3
Si F est une tribu sur X alors F est stable par intersection dénombrable. En effet : Soit (An )n≥1 une
suite d’éléments de F . On a (
+∞
T
n=1
An )c =
+∞
S
n=1
Acn ∈ F .
Exemple 4
Soit X = R, la famille F = { A ⊆ R / A est dénombrable ou Ac est dénombrable} est une tribu de R.
On dit que A est dénombrable si et seulement si A est fini ou elle est en bijection avec l’ensemble N.
i) On a 0/ ∈ F (0/ est fini par convention).
ii) Soit A ∈ F , si A est dénombrable on a (Ac )c = A donc Ac ∈ F , sinon Ac est dénombrable.
iii) Soit (An )n≥1 une suite d’éléments de F , si An est dénombrable pour tout n ∈ N∗ alors
+∞
S
An est
n=1
dénombrable (Réunion dénombrable d’ensembles dénombrable est dénombrable), sinon il existe au
moins n0 ∈ N∗ tel que Acn0 est dénombrable dans ce cas on a (
+∞
S
n=1
An )c =
+∞
T
n=1
Acn ⊆ Acn0 , donc (
+∞
S
An )c
n=1
est dénombrable (Tout partie d’un ensemble dénombrable est dénombrable).
Il est évident que P (X) est une tribu de X, mais il n’y a pas beaucoup d’exemples intéressants de
tribus que l’on puisse décrire explicitement. C’est pourquoi la définition suivante est fondamentale.
Définition 5.
Soit Ω ⊆ P (X). On appelle tribu sur X engendrée par Ω, l’intersection de toutes les tribus
contenant Ω. Autrement dit c’est la plus petite tribu sur X contenant Ω. On la notera σ(Ω).
10
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
1
1.1. ALGÈBRE ET TRIBU DE PARTIES D’UN ENSEMBLE
Exemple 5
Soit X un ensemble non vide. Soit I un ensemble non vide. Soit A = (Ai )i∈I une partition de X. On a
σ(A ) = {
[
Ai / J ⊆ I, J dénombrable ou J c dénombrable}
i∈J
En effet : On pose
F ={
[
Ai / J ⊆ I, J dénombrable ou J c dénombrable}
i∈J
La famille F est une tribu de X. En effet : On a 0/ ∈ F . Soit B =
Ai ∈ F on a Bc = (
S
i∈J
S
i∈J
Ai )c =
S
i∈J c
Ai
(car A est une partition de X). Soit (Bn )n≥0 une suite d’éléments de F on a pour tout n ∈ N
S
S
S
Bn =
Ai où Jn ⊆ I. On a
Bn =
Ai . D’où F est une tribu de X contenant A donc on a
i∈Jnc
n≥0
i∈∪n≥0 Jn
σ(A ) ⊆ F . Réciproquement Soit B ∈ F B =
S
Ai .
i∈J
1ére cas Si J est dénombrable B ∈ F (car F est stable par réunion dénombrable ).
S
S
2éme cas Si J c est dénombrable alors on a Bc = ( Ai )c =
Ai ∈ F d’où B ∈ F (car F est stable
i∈J
i∈J c
par passage au complémentaire).
1.1.3
Notion de tribu trace
Soient X un ensemble non vide et A ⊆ X et soit F une tribu sur l’ensemble X.
Notons FA = {A ∩ F / F ∈ F } ⊆ P (A). FA est une tribu de A. En effet : 0/ ∈ FA et si B ∈ FA c-à-d
B = A ∩ F on a Bc = A r B = A ∩ F c ∈ FA . Soit (Bn )n une suite d’éléments de FA . On a ∀ n ∈ N
S
S
Bn = A ∩ ( Fn ) ∈ FA . D’où FA est une tribu sur A.
Bn = A ∩ Fn et
n∈N
n
Définition 6.
Le couple (A, FA ) est appelé sous-espace mesurable de l’espace mesurable (X, F ). La tribu
FA s’appelle la tribu trace de F sur A.
Remarque 4
Si A ∈ F , alors FA = {B ∈ F / B ⊆ A}.
Théorème 2.
Soient X et Y deux ensembles non vides. Soit f : X 7−→ Y Application et soit C une famille
de parties de Y . Alors :
σX ( f −1 (C )) = f −1 (σY (C ))
Démonstration
Comme σY (C ) est une tribu sur Y alors f −1 (σY (C )) est une tribu sur X et f −1 (C ) ⊆ f −1 (σY (C ))
donc σX ( f −1 (C )) ⊆ f −1 (σY (C )). Réciproquement soit F = {A ∈ σ(C ) / f −1 (A) ∈ σX ( f −1 (C ))}
F est une tribu sur Y . En effet :
/ = 0/ ∈ σX ( f −1 (C )).
i) On a 0/ ∈ F car 0/ ∈ σ(C ) et f −1 (0)
ii) Soit A ∈ F on a Ac ∈ σ(C ) et f −1 (Ac ) = ( f −1 (A))c ∈ σX ( f −1 (C )) (car f −1 (A) ∈ σX ( f −1 (C ))).
iii) Soit (An )n≥1 une suite d’éléments de F pour tout n ∈ N∗ on a An ∈ σ(C ) et f −1 (An ) ∈ σX ( f −1 (C ))
donc
+∞
S
n
+∞
S
An ∈ σ(C ) (car σ(C ) est une tribu sur Y ) et on a f −1 (
Par suite F = σ(C ).
11
n
An ) =
+∞
S
n
f −1 (An ) ∈ σX ( f −1 (C )).
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
1
CHAPITRE 1. RAPPELS
Proposition 3.
Soient X un ensemble non vide et A ⊆ X. Soit C une famille de parties de X. Notons CA la
trace de C sur A (CA = {A ∩C / C ∈ C }). Alors on a
σA (CA ) = (σX (C ))A
Démonstration
Considérons l’application f : A 7−→ X définie par : f (x) = x pour tout x ∈ A. On a f −1 (C ) = CA .
D’après le théorème 2 on a σ(CA ) = f −1 (σ(C )) = (σX (C ))A .
1.1.4
Tribu borélienne d’un espace topologique
Définition 7.
Soit (X,T ) un espace topologique. On appelle tribu borélienne de X, la tribu engendrée par
la topologie T de X. Elle sera notée BX .
Les éléments de BX sont appelés les boréliens de X.
Exemple important : Cas de R
Proposition 4.
La tribu borélienne de R est engendrée par la famille des ouverts de la forme ]a, +∞[.
Autrement dit on a :
BR = σ({]a, +∞[, a ∈ R})
Démonstration
On note par T la topologie de R. On a T = {O ⊆ R / O ouvert de R}.
Par définition on a BR = σ(T ) = σ({O ⊆ R / O ouvert de R}).
Tout ouvert de R est une réunion dénombrable d’intervalles ouverts de R.
Il suffit donc de vérifie que les intervalles de la forme ] − ∞, a[ et ]a, b[ sont dans σ({]a, +∞[, a ∈ R}).
(] − ∞, a[)c = [a, +∞[=
+∞
S
]a + n1 , +∞[ et ]a, b[=]a, +∞[∩] − ∞, b[. Donc BR ⊆ σ({]a, +∞[, a ∈ R}).
n=1
Réciproquement comme ]a, +∞[ est un ouvert de R alors σ({]a, +∞[, a ∈ R}) ⊆ BR .
Remarque 5
La tribu borélienne de R est engendrée par la famille des ouverts de la forme ] − ∞, a[ et encore elle
engendrée par la famille des ouverts de la forme ]a, b[.
1.2
Fonctions mesurables
1.2.1
Applications mesurable
Dans toute la suite on appellera espace mesurable tout couple (X,F ) ou F est une tribu sur X. Les
éléments de F seront appelés les mesurables de X.
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AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
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1.2. FONCTIONS MESURABLES
Définition 8.
Soient (X,F ) et (Y ,B ) deux espaces mesurables. On dit qu’une application f : X 7−→ Y est
F − B mesurable ou tout simplement mesurable si f −1 (B ) ⊆ F .
On vérifie facilement que f −1 (B ) est une tribu sur X. C’est le plus petite tribu sur X qui rend f
mesurable. On la note σ( f ) et on l’appelle tribu engendrée par f .
Exemple 6
Soit (X,F ) un espace mesurable et A ⊆ X alors χA est F -BR mesurable si et seulement si A ∈ F
Les propositions suivantes sont très utiles (conséquences du théorème 2).
Proposition 5.
Soient (X,F ) et (Y ,B ) deux espaces mesurables. Soit f : X 7−→ Y une application. On suppose qu’il existe C une famille de parties de Y telle que B = σY (C ). Alors f est mesurable
si et seulement si f −1 (C ) ⊆ F .
Démonstration
⇒) Si f est mesurable il est clair que f −1 (C ) ⊆ F (car f −1 (σY (C )) ⊆ F ).
⇐) On a f −1 (B ) = f −1 (σY (C )) = σX ( f −1 (C )) d’après le théorème 2. Comme f −1 (C ) ⊆ F alors
σX ( f −1 (C )) ⊆ F .
Proposition 6.
Soient (X,T ) et (Y ,Γ) deux espaces topologiques et soit f : X 7−→ Y une application continue. Alors f est Bx − BY mesurable.
Démonstration
On sait que BY = σ(Γ). Soit O ∈ Γ c-à-d O est un ouvert de Y , comme f est continue alors f −1 (O )
est un ouvert de X (voir le cour de topologie) c-à-d f −1 (O ) ∈ T ⊆ BX donc f −1 (Γ) ⊆ BX , d’après la
proposition 1 on a f est mesurable.
Théorème 3.
Soient (X, F ), (Y, T ), (Z, G ) des espaces mesurables et f : X 7−→ Y, g : Y 7−→ Z deux
applications mesurables. Alors go f : X 7−→ Z est mesurable.
Démonstration
Soit B ∈ G on a (go f )−1 (B) = f −1 (g−1 (B)) ∈ F .
n
n
N
i=1
i=1
Soient (X1 , F1 ), ...., (Xn , Fn ) des espaces mesurable on pose X = ∏ Xi muni de la tribu
Rappelons que
n
N
i=1
n
Fi .
Fi = σ( ∏ Fi ). C’est la plus petite tribu sur X qui rend ses projections mesurables.
i=1
13
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
1
CHAPITRE 1. RAPPELS
Proposition 7.
n
Soit (E, B ) un espace mesurable. Soit f : E 7−→ X = ∏ Xi une application. Alors f est
B-
i=1
n
N
Fi mesurable si et seulement
i=1
les fi sont les composantes de f .
si pour tout i ∈ {1, 2, .., n} on a fi est B -Fi mesurable où
Démonstration
n
⇒) Supposons que pour tout i ∈ {1, 2, .., n} on a fi est B -Fi mesurable et soit A ∈ ∏ Fi on pose
n
A = ∏ Ai avec Ai ∈ Fi on a
i=1
⇐) Supposons que f est B -
f −1 (A) =
n
N
f −1 (
i=1
n
n
N
T
fi−1 (Ai ) ∈ B , d’où f est B - Fi mesurable.
∏ Ai ) =
n
i=1
i=1
i=1
Fi mesurable. Soient i ∈ {1, 2, .., n} et A ∈ Fi . On a :
i=1
fi−1 (A) = f −1 (X1 × ... × A × ... × Xn ) ∈ B .
Théorème 4.
n
Soient (X1 , T1 ), ...., (Xn , Tn ) des espaces topologiques et X = ∏ Xi muni de la topologie
i=1
produit. Alors on a les propriétés suivantes :
i)
n
N
i=1
BXi ⊆ BX .
ii) Si X1 , ..., Xn sont tous à bases dénombrables d’ouverts, alors
n
N
i=1
BXi = BX .
Démonstration
n
n
N
N
i) Comme BX rend les projections de BXi mesurables (car elles sont continues), alors BXi ⊆ BX .
i=1
i=1
ii) Soit O un ouvert de X, comme X1 , ..., Xn sont tous à bases dénombrables d’ouverts, alors on peut
n
n
N
i=1
i=1
écrire O = ∏ Oi où Oi est un ouvert de Xi , donc O ∈
BXi .
Corollaire 1.
On a
BRn =
n
O
BR
i=1
.
1.2.2
Fonctions numériques mesurables
Théorème 5.
Soient (X, F ) un espace mesurable et (Y, T ) un espace topologique. Soient f , g : X 7−→ R
deux applications mesurables et Φ : R2 7−→ Y une application continue. Alors l’application
h : X 7−→ Y définie par h(x) = Φ( f (x), g(x)) pour tout x ∈ X, est mesurable.
14
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
1
1.2. FONCTIONS MESURABLES
Démonstration
Remarquons que h = ΦoG où G : X 7−→ R2 définie par G(x) = ( f (x), g(x)). La fonction G est mesurable (car les composantes sont mesurables) et Φ est mesurable (car il est continue) donc h est
mesurable (composé mesurable).
Corollaire 2.
Soient (X, F ) un espace mesurable et f , g : X 7−→ R deux applications mesurables. Alors
les fonctions f + g, f g, min( f , g) et max( f , g) sont mesurables.
Démonstration
Il suffit d’appliquer le théorème 5 avec Y = R et Φ(x, y) = x + y, xy, min(x, y), max(x, y).
Corollaire 3.
Soient (X, F ) un espace mesurable et f , g : X 7−→ R deux applications mesurables. Alors
les fonctions f + = max( f , 0), f − = max(− f , 0) et | f | sont mesurables.
Démonstration
Il suffit d’appliquer le théorème 5 avec Y = R et Φ(x, y) = max(x, 0), max(−x, 0). D’autre part On a
| f | = f + + f −.
Proposition 8.
Soient (X, F ) un espace mesurable et f : X 7−→ R fonction mesurable. Si f (x) 6= 0 ∀x ∈ X,
alors la fonction 1f est mesurable.
Démonstration
Comme 0 ∈
/ Im( f ), alors on peut supposé que f est à valeurs dans R∗ . Soit ϕ : R∗ 7−→ R∗ définie par
ϕ(x) = 1x . ϕ est continue sur R∗ donc il est mesurable et on a 1f = ϕo f .
Rappels sur R = R ∪ {+∞, −∞} :
1.Relation d’ordre : On munit R de la relation d’ordre sur R, complétée de ∀a ∈ R − ∞ < a < +∞.
R est donc totalement ordonné.
2.topologie : Les ouverts de R sont les unions d’intervalles de la forme [−∞, a[ , ]a, b[ , ]b, +∞]
∀ a, b ∈ R. R est un espace topologique compact.
3.structure borélienne : la tribu de Borel sur R est engendrée par les intervalles ]a, +∞] , a ∈ R.
Attention ! Les opérations algébriques du corps R ne s’étendent pas à R.
Exemple : a + b n’est pas défini si a = +∞ et b = −∞ (ou vice-versa).
ab n’est pas défini si a = 0 et b = +∞ (ou b = −∞) (ou vice versa).
Proposition 9.
Soit (X, F ) un espace mesurable. Soit fn : X 7−→ R une suite de fonctions mesurables. Alors
les fonctions supn fn , infn fn , limn fn et limn fn : X 7−→ R sont mesurables.
En particulier si ( fn )n converge vers une fonction f , alors f est mesurable.
15
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
1
CHAPITRE 1. RAPPELS
Démonstration
On sait que BR = σ({]a, +∞] /a ∈ R}). On pose g = supn fn , on a :
(sup fn )−1 (]a, +∞]) = sup( fn−1 (]a, +∞]))
n
n
=
[
fn−1 (]a, +∞]) ∈ F
n
Ainsi g est mesurable. On pose h = infn fn on a h = − supn (− fn ), comme − fn est mesurable alors h
est mesurable. Il reste à montrer que limn fn et limn fn sont mesurables. On a limn fn = infn supk≥n fk
on déduit de ce qui précède que limn fn est mesurable, de même pour limn fn = supn infk≥n fk .
Comme f = limn fn , alors f = limn fn = limn fn .
1.2.3
Fonctions étagées et théorème d’approximation
Définition 9.
Soit X un ensemble non vide. Soit f : X 7−→ R une fonction. On dit que f est étagée si f ne
prend qu’un nombre fini de valeurs.
En notant α1 , ..., αn les valeurs de f et Ai = f −1 (αi ) pour i = 1, ..., n, on a donc
n
f = ∑ αi χAi
i=1
Remarque 6
Si (X, F ) est un espace mesurable, alors f est mesurable si et seulement si Ai ∈ F ∀ i ∈ {1, ..., n}.
Le théorème suivant est appelé théorème d’approximation et sera très utile dans la suite. Il permet
d’approcher toute fonction mesurable par des fonctions mesurables plus simples.
On admet ce théorème :
Théorème 6.
+
Soient (X, F ) un espace mesurable et f : X 7−→ R une fonction mesurable. Alors il existe
une suite croissante de fonctions mesurables étagées qui converge simplement vers f .
Remarque 7
Si de plus f est bornée, alors la convergence peut être choisie uniforme.
Corollaire 4.
Soient (X, F ) un espace mesurable et f : X 7−→ R une fonction mesurable. Alors il existe
une suite de fonctions mesurables étagées qui converge simplement vers f .
Démonstration
1ere cas : Si f est positive, on conclut de théorème 6.
2eme cas : Si f est quelconque on pose f = f + − f − et applique le théorème 6 à chaque fonction.
16
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
1
1.3. MESURES POSITIVES
1.3
Mesures positives
Dans tout ce paragraphe (X, F ) est un espace mesurable.
Définition 10.
+
On appelle mesure positive sur (X, F ), tout application µ : F 7−→ R vérifiant :
/ =0
i) µ(0)
ii) Pour toute suite (An )n≥1 d’éléments de F deux à deux disjoints on a
µ(
+∞
[
+∞
An ) =
∑ µ(An)
n=1
n=1
Le triplet (X, F , µ)est appelé espace mesuré.
Proposition 10.
Soit (X, F , µ) un espace mesuré. Alors on a les propriétés suivantes :
1. Si A, B ∈ F et A ⊆ B, alors µ(A) 6 µ(B).
2. Si (An )n≥0 est une suite d’éléments de F , alors
µ(
[
An ) 6
∑ µ(An)
n≥0
n≥0
3. Si (An )n≥0 est une suite croissante d’éléments de F , alors
µ(
[
An ) = lim µ(An )
n7−→+∞
n≥0
4. Si (An )n≥0 est une suite décroissante d’éléments de F avec µ(A0 ) < +∞, alors
µ(
\
An ) = lim µ(An )
n≥0
n7−→+∞
Démonstration
1. On a B = A ∪ (B r A) or A ∩ (B r A) = 0/ donc µ(B) = µ(A ∪ (B r A)) = µ(A) + µ(B r A) et par
suite on a µ(A) 6 µ(B).
2. Posons B0 = A0 , et ∀ n ≥ 1, Bn = An r
n−1
S
Ak . Pour tout n ∈ N on a
S
n≥0
k=0
17
An =
S
Bn .
n≥0
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
1
CHAPITRE 1. RAPPELS
De plus, (Bn )n≥0 est une suite d’éléments de F deux à deux disjoints et µ(Bn ) 6 µ(An ) pour tout
n ∈ N, alors
[
[
µ( An ) = µ( Bn ) = ∑ µ(Bn ) 6 ∑ µ(An )
n≥0
n≥0
n≥0
n≥0
3. Posons B0 = A0 , et ∀ n ≥ 1, Bn = An r An−1 , alors (Bn )n≥0 est une suite d’éléments de F deux à
deux disjoints et ∀ n ≥ 0, An =
n
S
Bk . Ainsi
k=0
n
µ(An ) =
∑ µ(Bk ) 7−→
k=0
∑ µ(Bn) = µ(
n≥0
[
Bn ) = µ(
n≥0
[
An )
n≥0
4. Posons B0 = A0 et Bn = A0 r An pour tout n ∈ N∗ . Alors (Bn )n≥0 est une suite croissante d’éléments
de F . Pour terminé la démonstration il suffit d’utiliser la propriété 3.
Exemple 7
1. Mesure de comptage
Soit X un ensemble non vide, Sur (X, P (X)), on définit la mesure de comptage µ(A), A ⊆ X par
(
card(A) si A est fini
µ(A) =
+∞
sinon
2. Mesure de Dirac
Soit (X, F ) un espace mesurable et soit x ∈ X, on définit la mesure de Dirac µ(A), A ∈ F par
(
1
µ(A) =
0
si x ∈ A
sinon
Remarque 8
La condition µ(A0 ) < +∞ du (4) de la proposition 7 est nécessaire. En effet, considérons (N, P (N))
T
/
muni de la mesure de comptage et considérons An = {n, n + 1, n + 2....}, alors An+1 ⊆ An et An = 0,
n
mais ∀ n ∈ N µ(An ) = +∞.
1.4
Espaces L p
Soit (X, F , µ) un espace mesurable, on note par M(X, F , R), l’espace vectoriel de fonctions F mesurables de X vers R et soit p un réel tel que 1 6 p < +∞.
Définition 11.
Soit f ∈ M(X, F , R). On dit que f ∈ L p si | f | p dµ < +∞. Dans ce cas on pose :
R
k f kp =
Z
p
1
p
| f | dµ
l’espace L p est appelé espace de Lebesgue.
18
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
1.4. ESPACES LP
1
Lemme 1.
Soient a, b ∈ R+ et 1 6 p < +∞, 1 6 q < +∞ deux réelles conjugués c-à-d
alors on a :
ab 6
1
p
+ q1 = 1,
a p bq
+
p
q
Démonstration
Comme la fonction x 7−→ ln(x) est concave (car ln" (x) = − x12 6 0) alors on a :
ln(tx + (1 − t)y) ≥ tln(x) + (1 − t)ln(y) pour tout x, y ∈ R+
∗ et t ∈ [0, 1]
Posons t =
1
p
= 1 − q1 et x = a p et y = bq donc on a :
1
1
1
1
1
1
ln( a p +(1− )bq ) ≥ ln(a p )+(1− )ln(bq ) = pln(a)+(1− )qln(b) = ln(a)+ln(b) = ln(ab)
p
p
p
p
p
p
Comme la fonction x 7−→ exp(x) est croissante alors on a :
1 p
1
a + (1 − )bq ≥ ab
p
p
.
Proposition 11.
Soient f , g : X 7−→ R deux applications F -mesurables et soient p, q ∈ [1, +∞[ conjugués
tels que f ∈ L p et g ∈ Lq . Alors f g ∈ L1 et on a l’inégalité suivante :
k f gk1 6 k f k p kgkq
(∗)
L’inégalité (*) est appelé l’inégalité de Hölder.
Démonstration
On pose a = k|ffk|p et b =
|f|
kgkq .D’après
le lemme précédent on a :
| f g|
| f |p
|g|q
6
+
p
q
k f k p kgkq
pk f k p qkgkq
Ce qui est donne l’inégalité suivante :
| f g| 6
k f k p kgkq | f | p k f k p kgkq |g|q
+
p
q
pk f k p
qkgkq
19
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
1
CHAPITRE 1. RAPPELS
Par passage à l’intégrale on a :
Z
k f k p kgkq | f | p k f k p kgkq |g|q
+
)dµ
p
q
pk f k p
qkgkq
Z
Z
k f k p kgkq | f | p
k f k p kgkq |g|q
(
)dµ
+
(
)dµ
p
q
pk f k p
qkgkq
Z
Z
k f k p kgkq
k f k p kgkq
p
| f | dµ +
|g|q dµ
p
q
pk f k p
qkgkq
k f k p kgkq
k f k p kgkq
p
q
p k f kp +
q kgkq
pk f k p
qkgkq
k f k p kgkq k f k p kgkq
+
p
q
1 1
k f k p kgkq ( + )
p q
k f k p kgkq .
Z
| f g|dµ 6
(
=
=
=
=
=
=
Lemme 2.
Soient a, b ∈ R+ et α ∈ [1, +∞[. Alors on a l’inégalité suivante :
(a + b)α 6 2α−1 (aα + bα )
.
Démonstration
Comme la fonction x 7−→ xα est convexe (car (xα )" = α(α − 1)xα−2 ≥ 0) alors on a :
(tx + (1 − t)y)α 6 txα + (1 − t)yα pour tout x, y ∈ R+
∗ et t ∈ [0, 1].
On a donc (a + b)α = ( 12 2a + 21 2b)α 6 21 (2a)α + 12 (2b)α =
2α α
α
2 (a + b ).
Proposition 12.
Soient f , g : X 7−→ R deux applications F -mesurables tel et p ∈ [1, +∞[ tel que f , g ∈ L p .
Alors on a :
k f + gk p 6 k f k p + kgk p (∗∗)
L’inégalité (**) est appelé l’inégalité de Minkowski.
Démonstration
On a d’après le lemme précédent :
kf
Soit q =
p
p−1
+ gk pp
Z
=
p
| f + g| dµ 6 2
p−1
Z
(
p
| f | dµ +
Z
|g|q dµ) < +∞.
le conjugué de p. Alors on a :
k f + gk pp 6
Z
| f || f + g| p−1 dµ +
Z
|g|| f + g| p−1 dµ
6 k| f + g| p−1 kq (k f k p + k g k p )
20
d’après Hölder
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
1.4. ESPACES LP
1
D’autre part, comme
Z
k| f + g| p−1 kq = (
| f + g| p )
p−1
p
= (k| f + g|k) p−1
Alors on a :
k f + gk pp 6 (k| f + g|k) p−1 (k f k p + kgk p )
Ceci donne l’inégalité cherchée.
Proposition 13.
L’espace L p est un espace vectoriel normé.
Démonstration
Soient f , g ∈ L p et α ∈ R. D’après l’inégalité de Minkowski on a :
k f + αgk p 6 k f k p + kαgk p = k f k p + |α|kgk p < +∞
Donc f + αg ∈ L p . On a définie la norme de L p dans la définition 11.
Le théorème suivant est d’un usage constant en analyse et en probabilité. Il porte les noms de théorème
de Lebesgue et de théorème de la convergence dominée.
Théorème 7.
Soient (X, F , µ) un espace mesuré et 1 6 p < +∞. Soit ( fn )n≥1 une suite d’éléments de L p
qui converge µ − p.p vers une fonction F -mesurable f : X 7−→ R.
On suppose qu’il existe g ∈ L p positive telle que
| fn | 6 g
µ − p.p
∀n ≥ 1
Alors f ∈ L p et fn −→ f dans L p .
Démonstration
Considérons hn = | fn − f | p , on a hn −→ h = 0 µ − p.p et on a de plus :
|hn | 6 (| fn | + | f |) p 6 2 p−1 (| fn | p + | f | p ) 6 2|g| p
Comme 2|g| p est µ-intégrable alors on a : lim
R
n7−→+∞
21
| fn − f | p dµ = 0 ( théorème de Lebesgue).
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
1
CHAPITRE 1. RAPPELS
22
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
Chapitre
2
Théorème des classes monotones fonctionnelles
2.1
Théorème des classes monotones ensemblistes
2.1.1 π-système et λ-système de parties d’un ensemble
Il est souvent intéressant de travailler sur des familles plus simple que des tribus, et les notions
suivantes seront utiles dans la suite.
Définition 12.
Soit X un ensemble non vide. Un π-système est une famille de parties de X, stable par
intersection finie et contenant X.
Exemple 8
Soit X = R, l’ensemble Γ = {] − ∞, a], a ∈ R} ∪ {R} est un π-système sur R.
Définition 13.
Soit X un ensemble non vide. Un λ−système sur X est une famille de parties de X, stable
par différence et par réunion dénombrable croissante.
Exemple 9
Soit X = R, la famille T = {A ⊆ X / A = −A} est un λ-système sur R.
Définition 14.
Soit X un ensemble non vide. Une classe monotone sur X est une famille de parties de X,
sable par réunion dénombrable croissante et par intersection dénombrable décroissante.
Exemple 10
Soit X = R, la famille Γ = {I ⊂ R / I est un intervalle de R} est une classe monotone sur R. En effet :
S
i) Soit (In )n≥1 une suite croissante d’éléments de Γ et x, y ∈ n≥1 In , alors il existe (n, m) ∈ N2 tel que
x ∈ In et y ∈ Im .
S
Si n = m on a [x,y] ⊆ In ( car In est un intervalle ) et donc [x,y] ⊆ n≥1 In .
S
Si n < m on a In ⊆ Im donc [x,y] ⊆ Im et par suite [x,y] ⊆ n≥1 In .
T
ii) Soit (In )n≥1 une suite décroissante d’éléments de Γ et x, y ∈ n≥1 In donc x, y ∈ In ∀ n ≥ 1.
T
T
Comme In est un intervalle, alors [x,y] ⊆ In ∀n ∈ N∗ et par suite [x,y] ⊆ n≥1 In , d’où n≥1 In ∈ Γ.
23
2
CHAPITRE 2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES
Proposition 14.
Soient X un ensemble non vide et F ⊆ P (X), alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
1- F est une tribu sur X.
2- F est un π-système et un λ-système sur X.
3- F est une algèbre et une classe monotone sur X.
Le lemme suivante est appelé le lemme de Dynkin :
Lemme 3.
Soit X un ensemble non vide. Soient C ⊆ P (X) un π-système sur X et F un λ-système sur
X tel que C ⊆ F alors :
σ(C ) ⊆ F
Démonstration
Soit F0 le plus petit λ-système sur X contenant C (il existe, car il suffit de prendre l’intersection des
λ-système sur X contenants C ).
On pose
Γ1 = {A ∈ F0 /
∀C ∈ C
A ∩C ∈ F0 }
Γ1 est un λ-système contenant C . En effet :
i) Soit A, B ∈ Γ1 et C ∈ C on a A r B ∈ F0 et de plus on a :
(A r B) ∩C = (A ∩ Bc ) ∩C = (A ∩C) ∩ Bc
= (A ∩C) r B
Comme A ∩C ∈ F0 et F0 est un λ-système alors (A r B) ∩C ∈ F0 , d’ou A r B ∈ F0 .
ii) Soit (An )n≥1 une suite croissante d’éléments de Γ1 et C ∈ C . Pour tout n ≥ 1 on a An ∈ F0
S
S
S
S
et An ∩C ∈ F0 , n≥1 An ∈ F0 et n≥1 (An ∩C) ∈ F0 . Or
n≥1 (An ∩C) = ( n≥1 An ) ∩C ∈ F0
S
d’où
n≥1 An ∈ Γ1 .
Comme C est un π-système, alors C ⊆ F0 . Par minimalité de F0 on a F0 ⊆ Γ1 .
On pose
Γ2 = {A ∈ F0 /
∀C ∈ F0
A ∩C ∈ F0 }
.
De même on montre que Γ2 est un λ-système sur X . On a C ⊆ Γ2 ,. En effet, soit C ∈ C ,
comme F0 ⊆ Γ1 , alors A ∩C ∈ F0 , d’où C ∈ Γ2 . Par minimalité de F0 on a F0 ⊆ Γ2 , puisque
F0 contient C , alors F0 est un π-système sur X, d’après la proposition 1, F0 est une tribu
sur X. D’ou σ(C ) ⊆ F .
2.1.2
Théorème des classes monotones
Le théorème suivant est appelé le théorème des classes monotones ensemblistes, il sera utile dans
la suite pour montrer le théorème de classes monotones fonctionnelles de Dynkin.
24
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
2
2.1. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES ENSEMBLISTES
Théorème 8.
Soit X un ensemble non vide. Soit A ⊆ P (X) une algèbre sur X
Alors :
σ(A ) = M (A )
Démonstration
On a σ(A ) est une classe monotone contenant A , donc M (A ) ⊆ σ(A ).
D’une part on pose :
M1 = {A ∈ M (A ) / Ac ∈ M (A )}
i) On a M1 est une classe monotone sur X contenant A , donc M (A ) ⊆ M1 .
D’autre part on pose
M2 = {A ∈ M (A )/ ∀B ∈ A A ∪ B ∈ M (A )}
ii) On a M2 est une classe monotone sur X contenant A , donc M (A ) ⊆ M2 .
On considère maintenant
M3 = {A ∈ M (A ) / ∀ B ∈ M (A ) A ∪ B ∈ M (A )}
iii) On a M3 est une classe monotone sur X contenant A , donc M (A ) ⊆ M3 . Par suite M (A ) est
une algèbre sur X, d’après la proposition 1, M (A ) est une tribu sur X, d’où σ(A ) ⊆ M (A ).
Le résultat suivant est important, il permet de prouver l’unicité de l’extension des mesures dans le
théorème de Hahn-Caratheodory.
Proposition 15.
Soient (X, F ) un espace mesurable et A une algèbre sur X telle que F = σ(A ).
Soient µ et ν deux mesures finies sur F telles que µ = ν sur A .
Alors :
µ = ν sur
F
.
Démonstration
Soit
Γ = {A ∈ F /
µ(A) = ν(A)}
On a Γ est une classe monotone sur X contenant A . En effet :
i) Soit (An )n≥1 une suite croissante d’éléments de Γ. On a pour tout n ∈ N∗
µ(
+∞
[
n=0
µ(An ) = ν(An ). On a
An ) = lim µ(An ) = lim ν(An )
n
n
+∞
[
= ν(
An )
n
ii) Soit (An )n≥1 une suite décroissante d’éléments de Γ. On a
µ(
+∞
\
n=0
An ) = lim µ(An ) = lim ν(An )
n
n
+∞
\
= ν(
An )
n
25
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
2
CHAPITRE 2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES
Or A ⊆ Γ (car µ = ν sur A ), donc M (A ) ⊆ Γ, d’après le théorème des classes monotones ensemblistes on a σ(A ) = M (A ).
Remarque 9
La proposition 10 reste vraie si les mesures µ et ν sont σ-finie sur A .
2.1.3
Mesure de Stieltjes
Définition 15.
Soit F : R 7−→ R une application. On dit que F est une fonction de répartition sur R si :
1- F est croissante et continue à droite.
2- lim F(x) = 0,
lim F(x) = 1.
x→−∞
x→+∞
Remarque 10
Si F : R 7−→ R est une fonction de répartition alors la limite à gauche existe en tout point de R. En
effet : Soient n ∈ N∗ et x0 ∈ R on a F(x0 − n1 ) 6 F(x0 + 1n ) (car F est croissante) comme F est
continue en x0+ alors limn→+∞ F(x0 + n1 ) = F(x0 ), donc limn→+∞ F(x0 − 1n ) existe (car la suite
réelle (F(x0 − n1 ))n est croissante majorée) .
Exemple 11
Soit µ une mesure positive sur R tel que µ(R) = 1. On pose
F(x) = µ(] − ∞, x])
F est une fonction de répartition sur R. En effet :
i) Si x, y ∈ R tels que x ≤ y on a µ( ] − ∞, x]) ≤ µ(] − ∞, y])
F(x) ≤ F(y).
ii) Soit x0 ∈ R. On a
\
1
] − ∞, x0 ] =
] − ∞, x0 + ]
n
n≥1
(car ] − ∞, x] ⊆] − ∞, y]), d’où
Donc
1
1
] − ∞, x0 + ]) = lim µ(] − ∞, x0 + ])
n
n
n
n≥1
µ(] − ∞, x0 ]) = µ(
\
1
= lim F(x0 + )
n
n
D’où F est continue à droit en x0 .
iii) On a
1 = µ(R) = µ(
[
] − ∞, n])
n≥1
= lim µ(] − ∞, n])
n
= lim F(n)
n
26
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
2
2.1. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES ENSEMBLISTES
Et on a
/ = µ(
0 = µ(0)
\
] − ∞, −n])
n≥1
= lim µ(] − ∞, −n])
n
= lim F(−n)
n
Donc F est une fonction de répartition sur R.
Théorème 9.
Soit F une fonction de répartition sur R, alors il existe une mesure finie µ sur BR tel que :
F(x) = µ(] − ∞, x])
La mesure µ est appelée la mesure de Stieltjes associe à F.
Démonstration
Soit
S = {]a, b], ]c, +∞[, ] − ∞, d] / a, b, c, d ∈ R et a 6 b}
S est un semi-anneau sur R, on définit une application µ sur S a valeurs dans R ∪ {+∞, −∞}
par :
µ([a, b[) = F(b) − F(a), µ([c, +∞[) = 1 − F(c), µ(] − ∞, d[) = F(d). On note par C (S) le clan
engendrée par S. On a
[
C (S) = {
Si
/ I f inie, Si ∈ S et Si ∩ S j = 0/ pour i 6= j}
i∈I
Soit A ∈ C (S) c-à-d A =
S
i∈I Si
avec I finie. On pose
µ(A) = ∑ µ(Si ).
i∈I
On vérifie que µ(A) ne dépend que de A. Ainsi on définit une application µ : C (S) 7−→ R
l’application µ définie ci-dessus est une mesure positive σ-finie sur C (S). Donc d’après le théorème
de Hahn-Caratheodory, elle se prolonge d’une manière unique en une mesure positive σ-finie sur
σ(C (S)) = BR . L’unicité dans le théorème de Hahn-Caratheodory est assurée par la proposition 14.
2.1.4
Notion de l’indépendance
Définition 16.
Soit (Ω, F ) un espace mesurable. On appelle probabilité (ou mesure de probabilité) sur
(Ω, F ) toute mesure positive P sur F telle que P(Ω) = 1. On dit que (Ω, F , P) est un
espace probabilisé. On dit aussi que P est une loi de probabilité, ou simplement une loi.
27
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
2
CHAPITRE 2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES
Définition 17.
On appelle variable aléatoire toute application mesurable définie sur un espace probabilisé
(Ω, F , P).
Définition 18.
Soit (Ω, F , P) un espace de probabilité. On dit que deux sous tribus A , B de F sont
P-indépendantes si ∀ A ∈ A et ∀ B ∈ B on a
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
Proposition 16.
Si C1 et C2 sont deux algèbres indépendantes dans l’espace probabilisé (Ω, F , P), alors les
tribus σ(C1 ) et σ(C2 ) sont indépendantes.
Démonstration
Soit A ∈ C1 . On pose
M1 = {B ∈ σ(C2 ) / P(A ∩ B) = P(A)P(B)}
M1 est une classe monotone sur Ω. Des événements indépendants de A contient C2 . Elle contient
donc la classe monotone engendrée par C2 qui est égale à σ(C2 ) d’après le théorème des classes
monotones ensemblistes. Soit à présent un élément B ∈ σ(C2 ). On pose
M2 = {A ∈ σ(C1 ) / P(A ∩ B) = P(A)P(B)}
M2 est une classe monotone sur Ω. Des événements indépendants de B contient C1 d’après le point
précédent, et donc σ(C1 ). La conclusion s’ensuit.
Remarque 11
Il suffirait de considérer dans la proposition précédente des familles C1 et C2 stables par intersection
finie.
La définition d’indépendance se formule de façon équivalente en terme de variables aléatoires.
Définition 19.
Deux variables aléatoires réelles X, Y sont dites indépendantes si les tribus σ(X) et σ(Y )
sont indépendantes.
Le résultat suivant est très pratique.
28
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
2
2.2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES
Proposition 17.
Soit (Ω, F , P) un espace de probabilité. Soit X, Y deux variables aléatoires réelles sur
(Ω, F , P), alors X, Y sont indépendantes si et seulement si
P(X 6 x,Y 6 y) = P(X 6 x)P(Y 6 y)
∀x, y ∈ R
équivalent à
F (X,Y ) = F X ⊗ F Y
Où F (X,Y ) (resp. F X et F Y ) désigne la fonction de répartition de vecteur aléatoire (X,Y )
(resp. variable aléatoire X et Y ).
Démonstration
⇒) Supposons que σ(X) et σ(Y ) sont indépendantes. Soit x, y ∈ R, on pose
A = X −1 (] − ∞, x]) et
B = Y −1 (] − ∞, y])
Il est clair que A ∈ σ(X) et B ∈ σ(Y ) donc P(A ∩ B) = P(A)P(B).
⇐) Supposons que P(X 6 x,Y 6 y) = P(X 6 x)P(Y 6 y)
∀x, y ∈ R. On pose
C1 = {X −1 (B), B ∈ BR } et C2 = {Y −1 (B), B ∈ BR }
Il est clair que C1 et C2 sont stables par intersection finie. Comme BR = σ(] − ∞, a], a ∈ R) alors
P(A ∩ B) = P(A)P(B) ∀ A ∈ C1 et ∀ B ∈ C2 . Donc d’après la proposition 15, les tribus σ(X) et σ(Y )
sont indépendantes.
2.2
Théorème des classes monotones fonctionnelles
2.2.1
Définitions et notations
Soit X un ensemble non vide. On désigne par E l’espace vectoriel des fonctions bornées définies
de X a valeurs réelles. On munit E par la norme de la convergence uniforme, k f k∞ = supx∈X | f (x)|.
Définition 20.
Soit H un sous-espace vectoriel de E . On dit que H est stable par convergence bornée si
pour toute suite ( fn )n≥1 de fonctions de H tel que :
i) Il existe M < ∞ tel que | fn (x)| 6 M ∀n ∈ N , ∀x ∈ X.
ii) limn fn (x) existe pour tout x ∈ X.
Alors limn fn ∈ H .
Définition 21.
Soit H un sous-espace vectoriel de E . On dit que H est stable par convergence monotone si
pour toute suite ( fn )n≥1 de fonctions positive croissante et bornée de H on a limn fn ∈ H .
29
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
2
CHAPITRE 2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES
Définition 22.
Soit H un sous-espace vectoriel de E . On dit que H est stable par multiplication si et
seulement si f g ∈ H pour tout f , g ∈ H .
Notations
1. Soit M un sous-ensemble de E . On note par σ(M ) la tribu engendrée par M c’est la plus petite
tribu (au sens de l’inclusion) qui rend les fonctions de M mesurables.
On vérifie que
σ( M ) = σ( f −1 (B), B ∈ BR , f ∈ M )
On note par b(σ(M )) l’espace vectoriel de fonctions de E , σ(M ) − BR mesurables. Il est facile de
voir que M ⊆ b(σ(M )).
2. Soit H un sous-espace vectoriel de E . On définie l’ensemble M H par :
M H = { f g/ f ∈ M et g ∈ H }
2.2.2
Théorème de Dynkin
Le théorème suivant est appelé le théorème des classes monotones de Dynkin. Ce théorème permet
de prouver beaucoup de résultats dans la théorie de l’intégration et des probabilités.
Théorème 10.
Soit H un sous-espace vectoriel de E tel que :
1- 1 ∈ H .
2- H stable par convergence monotone.
Soit M un sous-ensemble de E tel que M ⊆ H et stable par multiplication.
Alors H contient les fonctions bornées σ(M )-mesurables.
Démonstration
L’ensemble E des fonctions réelles bornées sur X est un espace vectoriel. On peut ainsi considérer H0
le plus petit sous-espace vectoriel de E qui vérifie les conditions 1 et 2 de théorème 10 et contenant
M . Il suffit de montrer que H0 contient les fonctions bornées mesurables par rapport à σ(M ).
On a σ(M ) ⊆ σ(H0 ) (car σ(H0 ) rend les fonctions de M mesurables), donc b(σ(M )) ⊆ b(σ(H0 )).
Le résultat sera prouvé si on montre que b(σ(H0 )) = H0 , pour cela on montre les deux lemmes
suivants :
Lemme 4.
H0 est stable par multiplication.
Démonstration
Soit f ∈ H0 , considérons l’ensemble H f définie par :
H f = { g ∈ H0 / f g ∈ H0 }
1). H f est un sous-espace vectoriel de E . En effet, Soient h, g ∈ H f et α ∈ R, on a αh + g ∈ H0 et
f (αh + g) = α f h + f g ∈ H0 , d’où αh + g ∈ H f .
30
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
2
2.2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES
2). H f est stable par convergence monotone. En effet : Soit (gn )n≥1 une suite de fonctions positive
croissante et bornée de H f et soit g = limn gn .
On a f gn = ( f + k f k)gn − k f kgn donc ( f + k f k)gn ∈ H0 et par passage à la limite on a
f g = ( f + k f k)g − k f kg. Comme ( f + k f k)gn (respectivement k f kgn ) est croissante positive et bornée et H0 stable par convergence monotone alors ( f +k f k)g ∈ H0 (respectivement k f kg ∈ H0 ), donc
f g ∈ H0 , d’où g ∈ H f .
3). Si f ∈ M alors M ⊆ H f (*) (car M est stable par multiplication et M ⊆ H0 ). On a encore
1 ∈ H f donc par minimalité de H0 on a H0 ⊆ H f . Remarquons que M H0 ⊆ H0 (**). En effet, soit
k ∈ M H0 on a k = hg, avec h ∈ M et g ∈ H0 , d’après (**) on a g ∈ H f donc f g ∈ H0 , puisque f est
quelconque dans M alors hg ∈ H0 .
4). Soit maintenant f ∈ H0 , d’après (**) on a M ⊆ H f et par minimalité de H0 on a H0 ⊆ H f , d’où
H f = H0 .
Lemme 5.
Si H0 est stable par multiplication alors b(σ(H0 )) ⊆ H0 .
Démonstration
1) Montrons que H0 est stable par l’application valeur absolue. Soit f ∈ H0 , alors | f | ∈ H0 . En effet,
on suppose que | f | < 1 (Quitte à remplacer f par | ffk ). On a
|f| =
q
+∞
1 − (1 − f 2 ) = 1 − ∑ αn (1 − f 2 )n
n=0
avec αn ≥ 0. En effet : Soit x ∈ R tel que |x| < 1 on a
√
1− 1−x =
+∞
∑ αn x n
n=0
√
n
avec αn = g n!(0) et αn ≥ 0 où g(x) = 1 − 1 − x, on remplace x par 1 − f 2 (x) car
|1 − f 2 (x)| 6 1, ∀x ∈ X. Donc
| f (x)| =
q
+∞
1 − (1 −
f (x)2 ) = 1 −
∑ αn(1 − f (x)2)n
∀x ∈ X
n=0
Soit Un (x) = ∑nk=0 αn (1 − f 2 (x))k est une suite positive croissante et bornée de H0 (car H0 est stable
par multiplication) et limn Un (x) = 1 − | f (x)|, comme H0 est stable par convergence monotone, alors
1 − | f (x)| ∈ H0 et par suite | f | ∈ H0 . On a encore pour tout f, g∈ H0

f +g+| f −g|

∈ H0
sup( f , g) =
2


in f ( f , g) =
f +g−| f −g|
2
∈ H0
2) On considère
F = {A ⊆ X / XA ∈ H0 }
F est une tribu sur X en effet :
i) On a X ∈ H0 (car 1 ∈ H0 ).
ii) Soit A ∈ F , on a XAc = 1 − XA ∈ H0 .
31
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
2
CHAPITRE 2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES
iii) Soit (An )n≥1 une suite d’éléments de F . On a χ∪n≥1 An = supn≥1 χAn ∈ H0 .
3) On a F = σ(H0 ). En effet, soit A ∈ F on a A = XA−1 ({1}) ∈ σ(H0 ) (car XA ∈ H0 et {1} ∈ BR ),
d’où F ⊆ σ(H0 ). Réciproquement il suffit de montrer que F rend les fonctions de H0 mesurables.
Soit f ∈ H0 on suppose que f est positive, on sait que BR = σ( [a, +∞[ / a ∈ R∗+ ). On a
f −1 ([a, +∞[) = { x ∈ X / f (x) ≥ a }
f (x)
= {x∈X /
≥1}
a
Quitte à remplacer af par f et on pose gn (x) = (in f ( f (x), 1))n , gn est une suite de fonctions de H0
positives croissantes et bornées et de plus gn converge vers la fonction X{ f ≥1} . Comme H0 est stable
par convergence monotone alors X{ f ≥1} ∈ H0 . Ce qui montre que { f ≥ 1} ∈ F . Si maintenant f est
quelconque sur H0 , on pose g = f +k f k, comme g est positive alors g est F -mesurable et f = g−k f k
est F -mesurable (comme somme de fonctions mesurables), d’où σ(H0 ) ⊆ F .
4). On montre que b(F ) ⊆ H0 . soit f ∈ b(F ), on suppose que f est positive alors d’après le théorème
d’approximation il existe ( fn )n≥1 une suite de fonctions croissantes positives F -mesurable telle que
fn est converge vers f .
pn
fn = ∑ ai,n XAi,n
∀n ∈ N
i=1
Or Ai,n ∈ F alors XAi,n ∈ H0 , comme H0 est stable par convergence monotone alors f ∈ H0 . Si f est
quelconque dans b(F ), on pose g = f + k f k.
Nous pouvons à présent conclure la démonstration du théorème. On sait que H0 ⊆ b(σ(H0 )). Enfin,
le lemme 3 montre que H0 = b(σ(H0 )).
Remarque 12
Le théorème 3 reste vrai si H0 est stable par convergence bornée.
Le corollaire suivant est la version la plus utilisé en pratique.
Corollaire 5.
Soit H un sous-espace vectoriel de E , stable par convergence monotone et contient les
constantes. Soit C une famille de parties de X telle que :
1- C stable par intersection finie.
2- XA ∈ H ∀A ∈ C .
Alors H contient les fonctions bornées σ(C )-mesurables.
Démonstration
1ére Méthode : Soit
M = {XA / A ∈ C }
On a par hypothèse H est stable par convergence monotone et 1 ∈ H , d’après la condition 2 de
théorème 4 on a M ⊆ H . M est stable par multiplication en effet : Soient A, B ∈ M on a XA XB =
XA∩B , comme A ∩ B ∈ C , alors M est stable par multiplication. D’après le théorème des classes
monotones de Dynkin on a b(σ(M )) ⊆ H . Il reste donc à montrer que σ(M ) = σ(C ), pour cela soit
A ∈ C . On rappelle que
σ( M ) = σ( f −1 (B), B ∈ BR , f ∈ M )
On a A = XA−1 ({1}) ∈ σ(M ) (car XA ∈ M et {1} ∈ BR ), donc C ⊆ σ(M ), d’où σ(C ) ⊆ σ(M ).
Réciproquement soit f ∈ M , il existe A ∈ C tel que f = XA et comme A ∈ σ(C ) (car A ∈ C ) alors f
est σ(C )-mesurable d’où σ(M ) ⊆ σ(C ).
32
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
2
2.2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES
2éme Méthode : Soit
M = {A ⊆ X/ χA ∈ H }
i) M est une classe monotone sur X. En effet : Soit (An )n≥0 une suite d’éléments croissante de M, on
a χ S An = sup χAn = lim χAn (car An est croissante). Comme (χAn )n est une suite croissante bornée
n≥0
n7−→+∞
d’éléments de H (car An ∈ M) et H est stable par convergence monotone, alors χ S
An
∈ H , d’où
n≥0
S
An ∈ M. De même on montre que M est stable par intersection décroissante. d’où M est une classe
n≥0
monotone sur X.
ii) Il est facile de voir que C ⊆ M donc M (C ) ⊆ M or d’après le théorème des classes monotones
ensembliste on a M (C ) = σ(C ).
iii) Montrons que b(σ(C )) ⊆ H , pour cela soit f ∈ b(σ(C )).
1ére cas : Si la fonction f est positive alors d’après le théorème d’approximation il existe une suite
croissante de fonctions étagées σ(C ) mesurables qui converge vers f . Comme H est stable par convergence monotone alors f ∈ H .
2éme cas : Si la fonction f n’est pas positive, on pose f = f + − f − , comme f + , f − ∈ H , alors f ∈ H .
33
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
2
CHAPITRE 2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES
34
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
Chapitre
3
APPLICATIONS
3.1
Identification des mesures
Proposition 18.
Soit (X, F ) un espace mesurable et soit µ, ν deux mesures de probabilité sur (X, F ). Soit
H = { f : X 7−→ R, bornée F − mesurable telle que :
Z
Z
f dµ =
f dν }
Alors pour toute partie M de H stable par multiplication, on a µ = ν sur σ(M ).
Démonstration
i) Il est clair que H est un sous-espace vectoriel de E .
ii) On a 1 ∈ H (car µ(X) = ν(X) = 1 < ∞).
iii) H est stable par convergence monotone, en effet, soit ( fn )n≥1 une suite d’éléments de H positive,
croissante et bornée. Comme fn est bornée mesurable alors limn fn l’est. D’après le théorème de
Beppo-Levi on a :
Z
Z
Z
Z
lim
n
fn dµ =
lim fn dµ et lim
n
n
fn dν =
lim fn dν
n
Donc limn fn dµ = limn fn dν, d’où limn fn ∈ H . Or M est stable par multiplication, alors d’après
le théorème des classes
monotone
de Dynkin on a b(σ(M )) ⊆ H . Soit maintenant A ∈ σ(M ), donc
R
R
XA ∈ H c-à-d que XA dµ = XA dν et par suite on a µ(A) = ν(A).
R
R
Proposition 19.
0
0
Soient (Ω, F , P) un espace de probabilité et X, Y , X et Y des variables aléatoires sur
(Ω, F , P) telle que :
0
0
E( f (X)g(Y )) = E( f (X )g(Y )) pour toute fonctions f , g : R 7−→ R, mesurables bornées.
Alors on a :
0
0
E(h(X,Y )) = E(h(X ,Y )) pour toute fonction h : R2 7−→ R, mesurable bornée.
35
3
CHAPITRE 3. APPLICATIONS
Démonstration
Soit
0
0
H = {h : R2 7−→ R, borélienne bornée telle que : E(h(X,Y )) = E(h(X ,Y ))}
i) On a H est un sous-espace vectoriel de fonctions bornées de R2 à valeurs réelles.
ii) En appliquant le théorème de Beppo-Levi, on a H est stable par convergence monotone.
iii) On a 1 ∈ H .
On pose :
M = {h : R2 7−→ R, borélienne bornée telle que : h = f ⊗ g ∀ f , g : R 7−→ R, mesurables bornées}
Il est clair M est une partie de H , stable par multiplication. D’après le théorème des classes monotones de Dynkin le sous-espace vectoriel H contient les fonctions bornées σ(M )-mesurable. Pour
terminer la démonstration il suffit de prouvé que σ(M ) = BR2 , on sait que
BR2 = σ({A × B / A ∈ BR et B ∈ BR })
On a XA×B (x, y) = XA (x)XB (y), comme XA et XB sont BR -mesurable, alors XA×B ∈ M , et donc elle
est σ(M )-mesurable, ce qui montre que A × B ∈ σ(M ), d’où BR2 ⊆ σ(M ), puisque BR2 rend les
fonctions de M mesurable, alors σ(M ) ⊆ BR2 .
3.2
Théorèmes de densité et approximations dans les espaces de
Lebesgue L p
3.2.1
Théorème de densité
Le théorème de densité suivant est très utile. Il permet de montrer les résultats de densité d’espaces
de fonctions dans les L p .
Théorème 11.
Soient (X, F , µ) un espace mesuré et 1 6 p < +∞. Soit M une sous-algèbre de fonctions
bornée F -BR mesurables tel que :
1- M ⊆ L p et σ(M ) = F .
2- Il existe une suite de fonctions (ψk )k de M bornée telle que limk ψk = 1.
Alors M est dense dans L p .
Démonstration
Soit k ∈ N fixé et H est l’ensemble des fonctions f : X 7−→ R bornée F -mesurable telle qu’il existe
une suite de fonctions ϕkn de M telle que lim k ϕkn − ψk f k p = 0}.
n7−→+∞
i) On a H est un sous espace de l’espace de fonctions bornée de X à valeurs réelles. En effet :
Soient f , g ∈ H et α ∈ R, il existe ϕkn ⊆ M (resp. θkn ⊆ M ) telle que lim k ϕkn − ψk f k p = 0
n7−→+∞
(resp. lim kθkn − ψk gk p = 0), on a ϕkn + αθkn est une suite d’éléments de M (car M est un espace
n7−→+∞
vectoriel) et on a
kϕkn + αθkn − ψk ( f + αg)k p = kϕkn − ψk f + α(θkn − ψk g)k p
6 kϕkn − ψk f k p + |α|kθkn − ψk g k p −→ 0
ii) Comme (ψk )k est une suite d’éléments de M , alors 1 ∈ H .
iii) On a H est stable par convergence monotone. En effet : Soit ( fn )n≥1 une suite de fonctions
36
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
3.2. THÉORÈMES DE DENSITÉ ET APPROXIMATIONS DANS LES ESPACES DE
LEBESGUE LP
3
croissante positive et bornée de H et soit f = lim fn , on a lim ψk fn = ψk f et |ψk fn | 6 Nψk ∈ L p
n
n
avec N est tel que | fn | 6 N ∀ n ∈ N, car M ⊆ L p , d’après le théorème de Lebesgue ψk f ∈ L p et
lim kψk fn − ψk f k p = 0. D’autre part comme fn ∈ H pour tout n ∈ N∗ , alors il existe une suite ϕkn de
n
fonctions de M telle que kϕkn − ψk fn k p 6 n1 . On a :
kϕkn − ψk f k p = kϕkn − ψk fn + ψk fn − ψk f k p
6 kϕkn − ψk fn k p + kψk fn − ψk f k p
1
6
+ kψk fn − ψk f k p
n
D’où lim kϕkn − ψk f k p = 0 et par suite f ∈ H .
n
On a M ⊆ H et elle est stable par multiplication car H est une algèbre. D’après le théorème des
classes monotones de Dynkin on a b(F ) ⊆ H , car σ(M ) = F , soit maintenant f ∈ L p , montrer
qu’il existe une suite de fonctions ϕn de M telle que lim kϕn − f k p = 0, pour cela on pose hn =
n
ψn X{| f |6n} f , on a lim hn = f . Soit C > 0 telle que |ψn (x)| 6 C et donc |hn | 6 C| f | ∈ L p , d’après
n7−→+∞
le théorème de convergence dominée on a
lim kψn X{| f |6n} f − f k p = 0, soit gn = X{| f |6n} f , gn est une suite d’éléments de b(F ) et par suite gn
n
est une suite d’éléments de H , donc il existe ϕn une suite d’éléments de M telle que
kϕn − ψn X{| f |6n} f k p 6 n1 . On a :
kϕn − f k p = kϕn − ψn X{| f |6n} f + ψn X{| f |6n} f − f kp
6 kϕn − ψn X{| f |6n} f k p + kψn X{| f |6n} f − f k p
1
+ kψn X{| f |6n} f − f k p
6
n
D’où lim kϕn − f k p = 0 et par suite M est dense dans L p .
n
• La densité de Cc (R, R) dans L p
Définition 23.
Soit f : R 7−→ R une fonction réelle. On appelle le support de f l’ensemble notée supp( f )
et définie par :
supp( f ) = {x ∈ R/ f (x) 6= 0}
On note par Cc (R, R) l’ensemble de fonctions réelles continues à support compact.
Remarque 13
Avec la convention 0 ∈ Cc (R, R), on a Cc (R, R) est un espace vectoriel.
On note par E espace vectoriel de fonctions bornées de R à valeurs dans R.
Théorème 12.
le plus petit sous-espace vectoriel H de E contenant Cc (R, R) stable par convergence monotone et contenant les constantes, coincide avec l’espace de fonctions bornées (BR ,BR )mesurables.
37
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
3
CHAPITRE 3. APPLICATIONS
Démonstration
On a b(BR ) est un sous-espace vectoriel de E stable par convergence monotone et 1 ∈ b(BR ) et on a
de plus Cc (R, R) ⊆ b(BR ). En effet : Soit f ∈ Cc (R, R), supp( f ) est un compact de R, on peut écrire
supp( f ) = [a, b] avec a, b ∈ R et a < b, comme f est continue alors f est BR -mesurable. D’autre part
puisque f est continue alors f ([a, b]) est encore compact de R donc f est bornée. Par minimalité de
H on a H ⊆ b(BR ). Réciproquement on pose M = Cc (R, R). M est stable pat multiplication. En
effet, soient f , g ∈ Cc (R, R) on a


 f = χsupp( f ) f , supp( f ) = {x ∈ R/ f (x) 6= 0}


g = χsupp(g) g,
supp(g) = {x ∈ R/ g(x) 6= 0}
1ére cas : Si supp( f ) ∩ supp(g) = 0/ alors f g = 0, d’après la remarque précédent 0 est à support
compact.
2éme cas : Si supp( f ) ∩ supp(g) 6= 0/ on a f g = χsupp( f ) f χsupp(g) g = χsupp( f )∩supp(g) f g, donc f g est
continue et elle est à support compact car supp( f ) ∩ supp(g) est un compact, d’où M est stable
par multiplication. D’après le théorème des classes monotone de Dynkin on a b(σ(M )) ⊆ H . Pour
terminer la démonstration il suffit de montrer que σ(M ) = BR . Puisque BR rend les fonctions de M
mesurables alors σ(M ) ⊆ BR . Réciproquement on sait que BR = σ({]a, b[ / a, b ∈ R et a 6 b})
pour tout a, b ∈ R tels que a < b on définie la fonction f par :

x−a+1
si a − 1 6 x 6 a



1
si a < x < b
f (x) =

−x + b + 1 si b 6 x 6 b + 1



0
en dehors
On a f ∈ M et ]a, b[= f −1 ({1}) ∈ σ(M ), d’où BR ⊆ σ(M ).
On désigne par λ la mesure de Lebesgue sur R.
Théorème 13.
l’espace Cc (R, R) est dense dans L p .
Démonstration
Soit M = Cc (R, R). On a Cc (R, R) est un sous-algèbre de fonctions BR -mesurables.
1)- On a M ⊆ L p et σ(M ) = BR . En effet :
i) Soit f ∈ M . On pose supp( f ) = [a, b], donc | f (x)| 6 Supx∈[a,b] | f (x)| on a :
Z
| f (x)|
p
p
dλ 6 Supx∈[a,b]
Z
p
χ[a,b] dλ = Supx∈[a,b] (b − a) < +∞
ii) On a σ(M ) = BR (déjà vue).
2)- Considérons la suite de fonctions (ψn )n≥1 définie par :

x+n+1
si −n − 1 6 x 6 −n



1
si −n < x < n
ψn (x) =

−x + n + 1 si n 6 x 6 n + 1



0
en dehors
On a limn ψn = 1, d’après le théorème de densité on a Cc (R, R) est dense dans L p .
38
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
3
3.2. THÉORÈMES DE DENSITÉ ET APPROXIMATIONS DANS LES ESPACES DE
LEBESGUE LP
Théorème 14.
Soient (X, F , µ) un espace mesuré et p ∈ [1, +∞[.
Soit A une algèbre sur X telle que σ(A ) = F on pose :
S (A , µ) = { f : R 7−→ R F −mesurable, f = ∑ ai χAi , I est f ini, ai ∈ R, Ai ∈ A , µ(Ai ) < +∞}
i∈I
Alors si µ est σ-finie sur A , S (A , µ) est dense dans L p .
Démonstration
On pose M = S (A , µ). M est une sous algèbre de fonctions F -mesurables. En effet :
n
m
i=1
j=1
i) Soient f , g ∈ M et α ∈ R, f = ∑ ai χAi , g = ∑ b j χB j , on a ( f + αg) = ∑(ai + αb j )χAi ∩B j ∈ M
i, j
car Ai ∩ B j ∈ A et µ(Ai ∩ B j ) < +∞ (car Ai ∩ B j ⊆ Ai ).
ii) On a f g = ∑ ai b j χAi ∩B j ∈ M .
i, j
On a M ⊆ L p et σ(M ) = F . En effet :
i) Il est clair que M ⊆ L p .
ii) Montrer que σ(M ) = F . Comme µ est σ-finie sur A , alors il existe une suite croissante (An )n≥1
S
An et µ(An ) < +∞ pour tout n ≥ 1. On a par hypothèse σ(A ) = F .
d’éléments de A tel que X =
n≥1
On a σ(M ) ⊆ σ(A ) (car les fonctions de M sont σ(A )-mesurables ). Réciproquement soit A ∈ A on
pose fn = χAn ∩A , ( fn )n est suite d’éléments de M car An ∩ A ∈ A et µ(An ∩ A) 6 µ(An ) < +∞, par
suite fn est σ(M )-mesurable pour tout n ≥ 1. On a


lim sup fn = χlim sup(An ∩A) = χ∪n≥1 (An ∩A) = χA .


lim inf fn = χlim inf(An ∩A) = χ∪n≥1 (An ∩A) = χA .
Donc limn fn = χA , d’où χA est σ(M )-mesurable et par suite A ∈ σ(M ) donc A ⊆ σ(M ) ce qui
est implique que σ(A ) ⊆ σ(M ). Soit ψn = χAn pour tout n ≥ 1, (ψn )n≥1 est suite d’éléments de M
et de plus on a limn ψn = 1. D’après le théorème de densité, on a S (A , µ) est dense dans L p .
Théorème 15.
Soient (X, F , µ) un espace mesuré et p ∈ [1, +∞[.
Soit A une algèbre dénombrable sur X telle que σ(A ) = F on pose :
D = {∑ ai χAi : I f ini ai ∈ Q, Ai ∈ A , µ(Ai ) < +∞}
i∈I
Alors si µ est σ-finie sur A , D est dénombrable et elle est dense dans L p .
Démonstration
n
Il suffit de montrer que D est dense dans S (A , µ). Soit f ∈ S (A , µ), f = ∑ ai χAi , Comme Q est dense
i=1
dans (R, |.|) alors pour tout i ∈ N∗n il existe une suite (an,i )n à valeurs dans Q telle que limn an,i = ai .
n
considérons la suite de fonctions ( fn )n définie par fn = ∑ ai,n χAi , il est clair que ( fn )n est une suite
i=1
d’éléments de D et elle est converge simplement vers f. Or pour tout i ∈ N∗n on a limn an,i = ai donc
39
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
3
CHAPITRE 3. APPLICATIONS
n
il existe Mi > 0 tel que |an,i | 6 Mi et on a | fn | 6 ∑ Mi χAi ∈ L p , d’après le théorème de Lebesgue on
i=1
a limn k fn − f k p = 0. Par suite D est dense dans S (A , µ), or S (A , µ) est dense dans L p donc D est
dense dans L p .
n
On a D est dénombrable. En effet : Considérons Dn = { ∑ ai χAi : ai ∈ Q, Ai ∈ A , µ(Ai ) < +∞}
i=1
Soit Ψ l’application définie par :
Ψ:
Dn
7−→
Qn × A n
n
P = ∑ ai χAi 7−→ Ψ(P) = ((a1 , a2 , ..., an ), (A1 , A2 , ..., An ))
i=1
Il est clair que Ψ est injective. Comme Q et A sont dénombrable alors Qn et A n sont l’est (produit
cartésienne fini) et donc Qn × A n est dénombrable (encore produit cartésienne fini) il existe donc une
injection Φ de Qn × A n dans N on pose θ = Φ ◦ Ψ est une application injective de Dn dans N et
par suite Dn est dénombrable (car il suffit une injection). D’autre part on a D =
+∞
S
Dn donc D est
n=1
dénombrable (c’est la réunion dénombrable d’ensembles dénombrables).
3.2.2
L’espérance conditionnelle d’une variable aléatoire réelle
Théorème 16.
Soit (Ω, F , P) un espace probabilisé et soit A une sous tribus de F . Soit X une variable
aléatoire réelle sur (Ω, F , P) intégrable. Alors il existe une unique variable aléatoire réelle
Y intégrable telle que :
i) YR est A -mesurable.
R
ii) A Y dP = A XdP pour tout A ∈ A .
Démonstration
1ére cas : Si X est positive, dans ce cas on définit une application ν sur l’espace (Ω, A , P) par :
Z
ν(A) =
pour tout A ∈ A
XdP
A
ν est une mesure sur (Ω, A , P) absolument continue par rapport à P (Voir chapitre 1). Comme P est
σ-finie sur A (car P est finie) alors d’après le théorème
de Radon-Nikodym il existe
Y une variable
R
R
R
aléatoire positive A -mesurable telle que ν(A) = A Y d P pour tout A ∈ A c-à-d A Y d P = A Xd P
pour tout A ∈ A .
2éme cas : Si X n’est pas positive sur Ω, dans ce cas on pose X = X + − X − , on définit de même ν1
et ν2 deux mesures sur (Ω, F , P) commeRdans le premier cas, il existe Y1 Ret Y2 variables
aléatoires
R +
positives A -mesurable telle
que ν1 (A) = A Y1 d P pour tout
A ∈ A c-à-d
Y d P = A X d P pour
R
R
R − A 1
tout A ∈ A et ν2 (A) = A Y2 d P pour tout A ∈ A c-à-d A Y2 d P = A X d P
pour tout
A ∈ A . On
R
R
pose Y = Y1 − Y2 , d’une part on a Y est A -mesurable et d’autre part on a A Y d P = A Xd P pour
tout A ∈ A .
Définition 24.
La variable aléatoire Y définie dans le théorème 10 est appelée espérance conditionnelle de
X sachant A , notée E(X|A ).
40
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
3
3.2. THÉORÈMES DE DENSITÉ ET APPROXIMATIONS DANS LES ESPACES DE
LEBESGUE LP
Théorème 17.
Soit (Ω, F , P) un espace probabilisé et soit A une sous tribus de F . Soit X une variable
aléatoire réelle sur (Ω, F , P) intégrable. Alors pour tout Z variable aléatoire sur (Ω, A , P)
bornée on a :
Z
Z
XZdP = E(X|A )ZdP
Ω
Ω
Démonstration
On pose :
H = {Z : Ω 7−→ R A − mesurable bornée telle que
Z
Z
XZdP =
Ω
E(X|A )ZdP}
Ω
i) On a H est un sous espace vectoriel de fonctions bornées de Ω à valeurs réelle.
ii) On a 1 ∈ H . EnR effet : LaRfonction 1 est A -mesurable bornée et comme Ω ∈ A alors d’après le
théorème 16 on a Ω XdP = Ω E(X|A )dP.
iii) H est stable par convergence monotone. En effet : Soit (Zn )n≥1 une suite croissante positive et
bornée de fonctions de H on pose Z = limn Zn .
Si X est positive alors E(X|A ) l’est, et on a (XZn )n≥1 est croissante positive
et limRn XZn = XZ
R
(resp. limn E(X|A )Zn = E(X|A )Z), d’après le théorème
de Beppo-Levi
on a Ω XZdP = Ω E(X|A )ZdP.
R
R
+
−
+
Si X est quelconque
on pose X = X − X . On a Ω X ZdP = Ω E(X + |A )ZdP et
R
R
−
−
+
−
Ω X ZdP = Ω E(X |A )ZdP, or E(X|A ) = E(X |A ) − E(X |A ) (Voir la démonstration de théorème 16), on a :
Z
Z
XZdP =
Ω
+
−
(X − X )ZdP =
Ω
Z
ZΩ
=
ZΩ
=
ZΩ
=
+
X ZdP −
Z
(X − ZdP
Ω
+
E(X |A )ZdP −
Z
E(X − |A )ZdP
Ω
(E(X + |A ) − E(X − |A ))ZdP
E(X|A )ZdP
Ω
Soit
M =R {χA / A ∈ A }. On a M ⊆ H en effet R: D’après le théorème
(16) on a
R
R
A Xd P = A E(X|A )d P pour tout A ∈ A c-à-d Ω XχA d P = Ω E(X|A )χA d P . D’autre part l’ensemble M est stable par multiplication en effet : On a χA χB = χA∩B ∈ M pour tout A, B ∈ A (car A
est une sous tribu de F ). D’après le théorème des classes monotones de Dynkin on a H contient les
fonctions bornées σ(M )-mesurables (i-e b(σ(M )) ⊆ H ). Pour terminé la démonstration il suffit de
montrer que σ(M ) = A , Comme la tribu A rend les fonctions de M mesurables, alors par minimalité
de σ(M ) on a σ(M ) ⊆ A . Réciproquement Soit A ∈ A , remarquons que A = χ−1
A ({1}) ∈ σ(M ).
Théorème 18.
Soient (Ω, F )un espace mesurable et X1 , X2 , ...., Xd des variables aléatoires réelles sur
(Ω, F ). Soit Y : Ω 7−→ Rn une application σ(X1 , X2 , ...., Xd )− BRn mesurable. Alors il existe
une application f : Rd 7−→ Rn borélienne telle que Y = f (X1 , X2 , ...., Xd ).
Démonstration
Cas où n = 1 : On pose T = σ(X1 , X2 , ...., Xd ).
41
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
3
CHAPITRE 3. APPLICATIONS
Soit H l’ensemble des fonctions Y : Ω 7−→ R positive bornée T -mesurable telle que ∃ f : Rd 7−→ R
borélienne telle que Y = f (X1 , X2 , ...., Xd ).
i) On a H est un sous espace vectoriel de fonctions bornées de Ω a valeurs réels.
ii) H est stable par convergence bornée.
On pose C = {X1−1 (A1 ) ∩ X2−1 (A2 ) ∩ .... ∩ Xd−1 (Ad ) / Ai ∈ BR } et M = {XC / C ∈ C }.
Comme C est stable par intersection finie alors M est stable par multiplication, de plus on a
σ(M ) = σ(X1 , X2 , ...., Xd ) et d’après le théorème des classes monotone de Dynkin on a
b(σ(X1 , X2 , ...., Xd )) ⊆ H . Si f est bornée et n’est pas positive on pose f = f + − f − ∈ H , puis on
passe au cas des variables aléatoires positives en utilisant le théorème d’approximation, puis des
variables aléatoires quelconques en posant f = f + − f − .
Cas où n > 1 : Soient Y1 ,Y2 , ...,Yn les composantes de Y, d’après le premier cas il existe une application fi : Rd 7−→ R borélienne telle que Yi = fi (X1 , X2 , ...., Xd ), pour tout i ∈ {1, 2, ..., n}. Considérons l’application f : Rd 7−→ Rn définie par : f (x1 , ..., xd ) = ( f1 (x1 , ..., xd ), ..., fn (x1 , ..., xd ) pour tout
(x1 , ..., xd ) ∈ Rd , f est une application borélienne (car les composantes sont boréliennes) et de plus
on a Y = f (X1 , X2 , ...., Xd ).
42
AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
Bibliographie
[1] Ph. Barbe, M. Ledoux : probabilités. Paris, Toulouse, septembre 2006
[2] W. Rana, Introduction to Measure and Integration, third ed., Springer-Verlag, New York, 2009.
[3] Daniel R EVUZ. Mesure et intégration. Paris : Hermann, 1997.
[4] Daniel R EVUZ. Probabilités. Paris : Hermann, 1997.
[5] http ://www.wikipedia.org
43
3
BIBLIOGRAPHIE
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AIT BELHOUSSAINE BRAHIM
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