LA LOGIQUE DES PROPOSITIONS

ELEMENTS DE LOGIQUE
I - LA LOGIQUE DES PROPOSITIONS (CALCUL DE PREDICATS)
1. INTRODUCTION
Dans la logique des propositions nous nous intéressons à des phrases déclaratives
qui peuvent être vraies ou fausse mais pas les deux à la fois.
Exemple : la neige est blanche,
Le sucre est un hydrocarbure.
Convention : les lettres ou les caractères en MAJUSCULES seront utilisées pour
désigner les propositions.
Ainsi on notera :
P : La neige est blanche,
Q : Le sucre est un hydrocarbure.
R : l’eau pure est incolore
P, Q, R sont appelés formules atomiques ou atomes.
on utilisera les connecteurs logiques  (ET)  (OU)  (implique si … alors) ↔ (si et
seulement si)  (NON) pour construire des formules complexes (propositions
complexes).
2. . INTERPRETATION DE FORMULES
Définition : On appelle formules bien formées (fbf) ou formules tout court, les formules
récursivement définies comme suit :
1. Un atome est une formule bien formée
2. Si G est une fbf alors (négation de) G est une fbf
3. Si G et H sont des fbf alors (G  H), (G  H),
(G  H) et (G ↔H) sont des fbf
4. Toutes les formules bien formées sont générées par application des règles
ci- dessus.
Remarque : lorsqu’il n’y a pas de confusion, des parenthèses seront omises. Les
rangs décroissants des connecteurs à prendre en compte est le suivant : ↔, , , , .
On suppose que les connecteurs de rangs plus élevés sont atteints les derniers.
Ainsi :
P  Q  R équivaut à (P  (Q  R))
P  Q  R  S équivaut à (P  (Q  ((R)  S)))

Définition : Soit G une fbf supposons que A1, A2, … An soient les atomes apparaissant
dans la formule G.Alors une interprétation de G est une affectation de valeurs de
vérités à A1, A2, … An où chaque Ai est affecté soit de la valeur V soit de la valeur F et
non les deux à la fois.
Tables de vérité
G H G (G  H) (G  H) (G  H) (G ↔ H)
V V F V V V V
V F F F V F F
F V V F V V F
F F V F F V V
Définition : Une formule bien formulée est dite vraie dans une interprétation si et
seulement si G est évaluée à  dans l’interprétation ; sinon. G est dite fausse dans
l’interprétation.
S’ il y a n atomes différents dans une formule, alors il y aura 2n interprétation
différentes de cette formule.
Il est souvent commode de présenter une interprétation par un ensemble {m1,…, mn}
où mi est soit Ai soit Ai par exemple (P, Q, R, S) représente l’interprétation dans
laquelle P, Q, R et S sont respectivement affectés des valeurs V, F, F, et V.
3. VALIDITE ET INCONSISTANCE DANS LA LOGIQUE DES PROPOSITIONS
Dans cette section on considérera les formules qui sont toujours vraies sous toutes
leurs interprétations possibles et aux formules fausses sous toutes leurs
interprétations possibles.
Exemple : Soit G : ((PQ)  P)  Q)
2 atomes composent G donc il y a 22 = 4 interprétations
Table de vérité de G
P Q (PQ) (PQ)  P (PQ)  (P  Q)
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
G est vraie sous chacune de ses interprétations. Cette formule sera appelée :
Formule valide ou tautologie.
Exemple 2 :
Soit G : (PQ)  (P  ﾡQ)
P Q Q (PQ) (P  Q) (PQ)  (P  Q)
V V F V V F
V F V F F F

F V F V F F
F F V V F F
Dans cet exemple G est fausse sous toutes ses interprétations : et sera appelée ici
formule inconsistante ou contradiction.
Définition
Une formule est dite valide si et seulement elle est vraie sous toutes ses
interprétations. Une formule est dite invalide si et seulement si elle n’est pas valide.
Définition
Une formule est dite inconsistante si et seulement si elle est fausse sous toutes ses
interprétations. Une formule est dite consistante si et seulement si elle n’est pas
inconsistante.
Remarques :
1. Une formule est valide si et seulement si sa négation est inconsistante ;
2. Une formule est inconsistante si et seulement si sa négation est valide ;
3. Une formule est invalide si et seulement si il y a au moins une
interprétation dans laquelle elle est fausse ;
4. Une formule est consistante si et seulement si il y a au moins une
interprétation dans laquelle elle est vraie ;
5. Si une formule est valide, alors elle est consistante, mais la réciproque est
fausse ;
6. Si une formule est inconsistante, alors elle est invalide mais la réciproque
est fausse.
Exemples
Utilisent la table de vérité a établit que :
(P  P) est inconsistant, donc est aussi invalide ;
(P  P) est valide, donc est aussi consistante ;
(P  P) est invalide, cependant elle est consistante.
P P P  P P  P P P
V F F V F
F V F V V
Si une formule P est vraie dans une interprétation I on dit que I satisfait P ou que P
est satisfaite par I.
Si une formule P est fausse dans une interprétation I on dit que I falsifie P ou que P
est falsifiée par I.
Exemple :

La formule (P  (Q)) est satisfaite dans l’interprétation { P, Q} mais est falsifiée dans
l’interprétation {P, Q}.
Lorsqu’une interprétation satisfait une formule P elle est aussi appelée un Modèle de
P.
4. FORMES NORMALES DANS LA LOGIQUE DES PROPOSITIONS
Définition : Deux formules F et G sont dites équivalentes (ou F est équivalent à G),
noté F = G, si et seulement si les valeurs de vérités de F et G sont les mêmes ans
n’importe quelle interprétation de et G.
Dans la logique de propositions,
Supposons que désigne la formule qui est toujours vraie et supposons que ▨□
désigne la formule qui est toujours fausse.
Soient F, G et H des formules biens formulées, le tableau suivant donne des paires
utiles de formules équivalentes :
F ↔ G = (F  G)  (G  F)
F  G = F  G
F  G = G  F
(F  G)  H = F  (G  H)
F  (G  H) = (F  G)  (F  H)
F  □ (vrai)= F
F  (faux) = ▨ ▨
F  F = ▨
 (F) = F
 (F  G) = F  G
F  G = G  F
(F  G)  H = F  (G  H)
F  (G  H) = (F  G)  (F  H)
F  = F ▨
F  □ = □
F  F = □
 (F  G) = F  G
Définition : Un littéral est un atome ou la négation d’un atome.
Définition : Une formule F est dite en forme normale conjonctive si et seulement si F
est de la forme F1  F2  …  Fn n  1; où chaque Fi est une disjonction de littéraux.
Définition : Une formule F est dite en forme normale disjonctive si seulement si F est
de la forme : F1  F2  …  Fn n  1 où chaque Fi est une conjonction de littéraux.

Exemples :
Soient P, Q et R 3 atomes
F : (P  Q)  (P  Q R) est une formule en forme normale disjonctive.
P  Q R est une forme normale conjonctive.
Pour la transformation d’une formule en forme normale, on utilise les lois données
dans le tableau ci-dessus.
Exemples :
1) Donner une forme normale disjonctive de la formule (P  Q)  R
(P  Q)  R =  (P Ú Q) Ú R
= (P   (Q))  R
= (P  Q)  R
= (P  R)  (Q  R)
2) Donner la forme normale conjonctive de la formule (P  (Q  R))  S.
(P  (Q  R))  S.
=  (P  (Q  R))  S
= (P   (Q  R))  S = (P  ( (Q)  R))  S
= (P  (Q  R))  S
= ((P  Q)  (P  R))  S
= S  ((P  Q)  (P  R))
= (S  (P  Q)  (S  (P  R))
= (S  P  Q)  (S  P  R)
5. CONSEQUENCES LOGIQUES
Supposons les propositions suivantes :
(1) P  S
(2) S  M
(3) P
(4) M