u +√v √u +√v

Première S
Chapitre II : Etudes de
fonctions et fonctions associées
Année scolaire
2012/2013
I ) Etude de quelques fonctions particulières :
1) Fonction racine :
a) Rappel : Définition de la racine carrée d'un nombre positif :
La racine carrée d'un nombre positif
x est l'unique nombre positif y, tel que y2 = x
Autrement dit : on ne prendra la racine carrée que d'un nombre positif et le
résultat obtenu est toujours positif.
Remarque : Toutes les règles des calculs avec les racines carrées vues en troisième
sont bien sûr considérées acquises.
b) Fonction racine :
La fonction qui à
x associe √ x
est définie sur [0;+∞[
Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0;+∞[
Démonstration :
Soient u et v, deux nombres de [0;+∞[ tels que u < v
Si on note f la fonction racine carrée, alors f(u) = √ u et f(v) =
Étudions f(u) – f(v) :
f(u) – f(v) =
√u - √v
=
( √ u − √ v ) x ( √ u + √v )
(√ u + √v )
Remarque : √ u + √ v s'appelle la quantité conjuguée de
2
Alors , f(u) – f(v) =
remarquable) )
D'où : f(u) – f(v) =
√v
2
( √ u ) −(√ v )
√ u +√ v
√u - √v
(en effet : (a+b)(a-b) = a2 -b2 (identité
u −v
√u +√v
Or, √ u + √ v > 0 et comme u < v, alors u – v < 0
D'où : f(u) – f(v) < 0 c'est-à-dire : f(u) < f(v)
Par conséquent : f est strictement croissante sur [0;+∞[
Représentation graphique :
Fonctions associées à la fonction racine :
Exemples :
1)
Considérons la fonction f définie par f(x) =
√ 2 x+3
f est définie si et seulement si : 2x + 3 ≥ 0
3
C'est-à-dire : si et seulement si x ≥ 2
3
Donc : L'ensemble de définition est [ ;+∞ [
2
2) On considère la fonction g définie par g( x) =
√ x − x−6
2
g est définie si et seulement si : x2 – x – 6 ≥ 0
Calcul du discriminant du trinôme :
 = b2 – 4ac = 1 -4x(-6) = 25 > 0 donc le trinôme a deux racines
x1 =
−b +√ Δ
=
1+5
=3
2
et
x2 =
−b −√ Δ
=
1−5
=-2
2
2a
2a
Le trinôme est du signe de a (ici a = 1 > 0) à l'extérieur de ses racines :
Donc l'ensemble de définition de g est :
D = ]-;- 2] U [3;+[
2) Fonction valeur absolue :
a) Définition de la valeur absolue d'un nombre :
Soit x ∈ℝ :
La valeur absolue de x notée | x| est définie par :
| x| = x si x ≥ 0 et | x| = - x si x ≤ 0
Exemples :
|5| = 5 mais |-9| = 9
b) Étude de la fonction valeur absolue :
La fonction f définie sur ℝ par f(x) = | x| est strictement décroissante sur ]-∞ ;0] et
strictement croissante sur [0;+∞[
Représentation graphique de la fonction valeur absolue :
Remarque :
On dit que f est une fonction affine par morceaux car elle est définie par :
f(x) = - x sur ]-∞ ;0] et par f(x) = x sur [0;+∞[
Exemple : Ecrire sans valeur absolue l'expression suivante :
f(x) = |5x – 4|
4
5x – 4 ≥ 0 ⇔ x ≥
5
4
- Sur l'intervalle [ ;+∞[ , f(x) = 5x – 4
5
4
- Sur l'intervalle ]-∞ ; ] , f(x) = - 5x + 4
5
Applications : voir les exercices
3) Croissance comparée de quelques fonctions :
On va étudier les représentations des fonctions suivantes sur l'intervalle [0;+∞[ :
f,g,h,i définies respectivement pour par : f(x) = x, g(x) = |x|, h(x) = √ x et i(x) =
Toutes les courbes représentatives de ces fonctions passent par les points de
coordonnées (0;0) et (1;1).
Voici les courbes :
x2
- Sur [0;1] :
- Sur [1;+∞[ ,
x2 ≤ x ≤ √ x
√ x ≤ x ≤ x2
II) Variations des fonctions associées :
1) Fonctions du type u + k , où u est une fonction et k un nombre :
a) Découverte graphique à l'aide de Geogebra :
On considère f la fonction carré et on construit une fonction g définie par
g(x) = f(x) + a où a est un paramètre que l'utilisateur peut modifier.
Cliquer sur le lien suivant :
http://mangeard.maths.free.fr/Ecole/JeanXXIII/PremiereS/fonction_u_plus_k.htm
l
b) Propriété :
De manière générale, si u est une fonction définie sur un intervalle I et k un nombre
réel.
Alors, la fonction u + k est aussi définie sur I et ses variations sont les mêmes que
celles de u.
Démonstration facile :
Il suffit de se ramener à la définition de fonction croissante (ou décroissante)
Supposons u définie sur un intervalle I.
Supposons que u soit croissante sur un intervalle J ⊂ I.
Pour tout (x, y) de JxJ, avec x < y, alors u(x) < u(y)
D'où : u(x) + k < u(y) + k
C'est-à-dire u + k est croissante .
Autrement dit : u + k a les mêmes variations que u
Exemple :
Considérons g définie par g(x) = √ x + 3 sur [0 ; 5]
On pose f la fonction racine carrée sur le même intervalle [0;5]
Variations de f sur [0;5] :
x
0
5
Variations
de f
√5
0
x
Variations
de g
0
5
√ 5 +3
3
Variations de g sur [0;5]
2) Fonctions du type √ u où u est une fonction à valeurs positives :
a) Découverte graphique à l'aide de Geogebra :
On considère la fonction f définie par f(x) = ax2 + bx + c où a,b et c sont des
paramètres que l'utilisateur peut faire varier chacun dans l'intervalle [-5;5]
On va construire ensuite la fonction g = |f| afin d'obtenir une fonction à valeurs
positives ou nulles pour pouvoir définir la fonction h = √ g
Rappel : Pour que h soit définie, il faut que g soit positive (c'est le cas par définition
de g)
Cliquer sur le lien suivant :
http://mangeard.maths.free.fr/Ecole/JeanXXIII/PremiereS/fonction_racine_de_u.
html
Ou en version GIF animé :
http://mangeard.maths.free.fr/Ecole/JeanXXIII/PremiereS/fonction_racine_de_u.
gif
b) Propriété :
De manière générale, si u est une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs
positives sur un intervalle J ⊂ I, alors √ u est définie sur J et a les mêmes
variations que u.
Exemple :
Soit f la fonction définie par f(x) = x2 – x – 6. On se place sur [-3;4].
On pose g la fonction définie par g(x) = √ f ( x )
g est définie si et seulement si x2 – x – 6 ≥ 0
Calcul de Δ :
Δ = b2 – 4ac = 1 – 4x(- 6) = 25 > 0 donc le trinôme a deux racines.
x1 =
– b +√ Δ
=
1+5
=3
2
et
x2=
– b −√ Δ
=
1– 5
=-2
2
2a
2a
f est du signe de a (c'est-à-dire positif ici) à l'extérieur de ses racines
D'où : f(x) ≥ 0 pour x ∈ ]-∞;-2]∪ [3;+∞[
Alors Dg = ]-∞;-2]∪ [3;+∞[
Voici le graphe de f sur [-3;4] :
- Sur ]-∞;-2] , f est décroissante, donc g l'est aussi
- Sur [3;+∞[ , f est croissante, donc g l'est aussi.
D'où le tableau de variation de g :
x
–3
Variations de
g
√6
–2
3
4
√6
0
0
Remarques :
Sur l'intervalle ]-2;3[, g n'est pas définie d'où les hachures dans le tableau de
variation .
Voici le graphe de g :
Remarque : la courbe de g est « en deux parties » car sur ]-2;3[, g n'est pas définie.
3) Fonctions du type k x u, où k est un nombre réel et u une fonction :
a) Découverte graphique à l'aide de Geogebra :
On considère f la fonction définie par f(x) = x2 – 3 sur et g = axf où a est un nombre
qui varie en -5 et 5, modifiable par l'utilisateur.
Alors g est définie par g(x) = ax(x2 – 3)
Cliquer sur le lien suivant :
http://mangeard.maths.free.fr/Ecole/JeanXXIII/PremiereS/fonction_k_x_u.
html
En version GIF animé :
http://mangeard.maths.free.fr/Ecole/JeanXXIII/PremiereS/chapitre2_anim001.gif
b) Propriété :
Dans la cas général, f étant une fonction définie sur un intervalle I et k un nombre
réel différent de zéro. kxf est une fonction définie sur I et deux cas sont à
envisager :
- Si k > 0, alors f et kxf ont les mêmes variations.
- Si k < 0, alors f et kxf ont des variations contraires.
Exemple :
Soit f définie par f(x) =
√ x +1 sur [-3;4]
2
On considère g définie sur [-3;4] par g(x) = -2
√ x +1
2
f est strictement croissante sur [-3;4] comme -2<0, g est strictement décroissante
sur [-3;4].
D'où le tableau de variation de g :
x
–3
4
Variations de g
–2
√ 10
–2
√ 17
1
où u est une fonction qui ne s'annule pas :
u
a) Découverte graphique à l'aide de Geogebra :
On considère la fonction f définie par f(x) = ax + 2 avec a, paramètre qu'on peut faire
varier de – 5 à 5. f est représentée en pointillés noirs.
4) Fonctions du type
On pose g définie par g(x) =
1
f ( x)
On représente g en trait plein rouge.
Cliquer sur le lien suivant :
http://mangeard.maths.free.fr/Ecole/JeanXXIII/PremiereS/fonction_un_sur_u.htm
l
Ou bien sur le GIF animé :
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b) Propriété :
Dans le cas général, f étant une fonction définie sur un intervalle I et de signe
1
constant sur I, alors g =
est définie sur I sauf éventuellement où f s'annule, et
f
les variations de g et de f sont contraires.
Exemple :
On pose f définie par f(x) = 3x2 + 3x – 6
g est définie par g(x) =
1
f ( x)
Tout d'abord, on va étudier le domaine de définition de g :
g est définie si et seulement si : 3x2 + 3x – 6 ≠ 0
Calcul des éventuelles racines de g :
Δ = b2 – 4ac = 9 + 72 = 81 > 0 donc g possède deux racines :
x1 =
– b +√ Δ
2a
=
– 3+9
=1
6
– 3– 9
=-2
6
2a
Donc : Dg = ℝ \ {1;- 2}
et
x2 =
– b −√ Δ
=
Or, le trinôme f est du signe de son a (c'est-à-dire positif) à l'extérieur de ses
racines, donc on va étudier les variations de g sur ]-∞;-2[ ∪ ]1;+∞[ puis sur ]- 2;1 [ (car
attention, f doit être de signe constant sur l'intervalle d'étude)
b
3
1
==2a
6
2
1 2
1
3
3
et le minimum est donné par β = f(α) = 3x() + 3 x (- ) - 6 =
-6
2
2
4
2
3
6
24
=
4
4
4
27
=4
Pour savoir en quel
x f atteint son minimum, on calcule α = -
D'où le tableau de variation de f :
x
–∞
– 1/2
Variations de f
+∞
– 27/4
Et donc celui de g :
x
Variations de g
–∞
–2
–1/2
1
+∞
– 4/27
Remarque : -2 et 1 sont des valeurs interdites pour g
Voici les graphes de f (en pointillés noirs) et de g (en bleu) :
Remarque : La courbe de g est en trois « parties » à cause des deux valeurs interdites
que sont – 2 et 1.