u +√v √u +√v

Première S Chapitre II : Etudes de
fonctions et fonctions associées
Année scolaire
2012/2013
I ) Etude de quelques fonctions particulières :
1) Fonction racine :
a) Rappel : Définition de la racine carrée d'un nombre positif :
La racine carrée d'un nombre positif x est l'unique nombre positif y, tel que y2 = x
Autrement dit : on ne prendra la racine carrée que d'un nombre positif et le
résultat obtenu est toujours positif.
Remarque : Toutes les règles des calculs avec les racines carrées vues en troisième
sont bien sûr considérées acquises.
b) Fonction racine :
La fonction qui à x associe
√
x
est définie sur [0;+ ∞ [
Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0;+∞[
Démonstration :
Soient u et v, deux nombres de [0;+∞[ tels que u < v
Si on note f la fonction racine carrée, alors f(u) =
√
u
et f(v) =
√
v
Étudions f(u) – f(v) :
f(u) – f(v) =
√
u
-
√
v
=
(
√
u −
√
v ) x (
√
u +
√
v )
(
√
u +
√
v )
Remarque :
√
u
+
√
v
s'appelle la quantité conjuguée de
√
u
-
√
v
Alors , f(u) – f(v) =
(
√
u )2−(
√
v )2
√
u +
√
v
(en effet : (a+b)(a-b) = a2 -b2 (identité
remarquable) )
D'où : f(u) – f(v) =
u − v
√
u +
√
v
Or,
√
u
+
√
v
> 0 et comme u < v, alors u – v < 0
D'où : f(u) – f(v) < 0 c'est-à-dire : f(u) < f(v)
Par conséquent : f est strictement croissante sur [0;+ ∞ [
Représentation graphique :

Fonctions associées à la fonction racine :
Exemples :
1) Considérons la fonction f définie par f(x) =
√
2 x +3
f est définie si et seulement si : 2x + 3 ≥ 0
C'est-à-dire : si et seulement si x ≥ -
3
2
Donc : L'ensemble de définition est [ -
3
2
;+∞ [
2) On considère la fonction g définie par g(x) =
√
x
2−
x −6
g est définie si et seulement si : x2 – x – 6 ≥ 0
Calcul du discriminant du trinôme :
 = b2 – 4ac = 1 -4x(-6) = 25 > 0 donc le trinôme a deux racines
x1 =
− b +
√
Δ
2 a
=
1+5
2
= 3 et x2 =
− b −
√
Δ
2 a
=
1−5
2
= - 2
Le trinôme est du signe de a (ici a = 1 > 0) à l'extérieur de ses racines :
Donc l'ensemble de définition de g est :
D = ]-  ;- 2] U [3;+  [
2) Fonction valeur absolue :
a) Définition de la valeur absolue d'un nombre :
Soit x ∈ℝ :
La valeur absolue de x notée | x| est définie par :
| x| = x si x ≥ 0 et | x| = - x si x ≤ 0
Exemples :
|5| = 5 mais |-9| = 9

b) Étude de la fonction valeur absolue :
La fonction f définie sur ℝ par f(x) = | x| est strictement décroissante sur ]-∞ ;0] et
strictement croissante sur [0;+∞[
Représentation graphique de la fonction valeur absolue :
Remarque :
On dit que f est une fonction affine par morceaux car elle est définie par :
f(x) = - x sur ]-∞ ;0] et par f(x) = x sur [0;+∞[
Exemple : Ecrire sans valeur absolue l'expression suivante :
f(x) = |5x – 4|
5x – 4 ≥ 0 ⇔ x ≥
4
5
- Sur l'intervalle [
4
5
;+∞[ , f(x) = 5x – 4
- Sur l'intervalle ]-∞ ;
4
5
] , f(x) = - 5x + 4
Applications : voir les exercices
3) Croissance comparée de quelques fonctions :
On va étudier les représentations des fonctions suivantes sur l'intervalle [0;+∞[ :
f,g,h,i définies respectivement pour par : f(x) = x, g(x) = |x|, h(x) =
√
x
et i(x) = x2
Toutes les courbes représentatives de ces fonctions passent par les points de
coordonnées (0;0) et (1;1).
Voici les courbes :

- Sur [0;1] : x2 ≤ x ≤
√
x
- Sur [1;+∞[ ,
√
x
≤ x ≤ x2
II) Variations des fonctions associées :
1) Fonctions du type u + k , où u est une fonction et k un nombre :
a) Découverte graphique à l'aide de Geogebra :
On considère f la fonction carré et on construit une fonction g définie par
g(x) = f(x) + a où a est un paramètre que l'utilisateur peut modifier.
Cliquer sur le lien suivant :
http://mangeard.maths.free.fr/Ecole/JeanXXIII/PremiereS/fonction_u_plus_k.htm
l
b) Propriété :
De manière générale, si u est une fonction définie sur un intervalle I et k un nombre
réel.
Alors, la fonction u + k est aussi définie sur I et ses variations sont les mêmes que
celles de u.
Démonstration facile :
Il suffit de se ramener à la définition de fonction croissante (ou décroissante)
Supposons u définie sur un intervalle I.
Supposons que u soit croissante sur un intervalle J ⊂ I.
Pour tout (x, y) de JxJ, avec x < y, alors u(x) < u(y)

D'où : u(x) + k < u(y) + k
C'est-à-dire u + k est croissante .
Autrement dit : u + k a les mêmes variations que u
Exemple :
Considérons g définie par g(x) =
√
x
+ 3 sur [0 ; 5]
On pose f la fonction racine carrée sur le même intervalle [0;5]
Variations de f sur [0;5] :
x0 5
Variations
de f
0
√
5
x0 5
Variations
de g 3
√
5
+3
Variations de g sur [0;5]
2) Fonctions du type
√
u
où u est une fonction à valeurs positives :
a) Découverte graphique à l'aide de Geogebra :
On considère la fonction f définie par f(x) = ax2 + bx + c où a,b et c sont des
paramètres que l'utilisateur peut faire varier chacun dans l'intervalle [-5;5]
On va construire ensuite la fonction g = |f| afin d'obtenir une fonction à valeurs
positives ou nulles pour pouvoir définir la fonction h =
√
g
Rappel : Pour que h soit définie, il faut que g soit positive (c'est le cas par définition
de g)
Cliquer sur le lien suivant :
http://mangeard.maths.free.fr/Ecole/JeanXXIII/PremiereS/fonction_racine_de_u.
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